中考数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题及

中考数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题及 1 / 20

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图（ 9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装表示图），在屋顶的斜坡面上安装太

阳能热水器：先安装支架

AB

和 CD

（均与水平面垂直），再将集热板安装在

AD

上 .为使

集热板吸热率更高，企业规定：

AD

与水平面夹角为

1 ，且在水平线上的射影

AF

为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为

2 ，并已知

tan

1

1.082 ，

tan

2

0.412 ．若是安装工人确定支架

AB

高为

25cm，求支架

CD

的高（结果精准到

1cm ）？

【答案】

【剖析】

过 A 作 AF CD 于 F ，依照锐角三角函数的定义用 θ

12

、 θ 表示出 DF、 EF的值，又可证

四边形 ABCE 为平行四边形，故有 EC=AB=25cm，再再依照 DC=DE+EC进行解答即可．

2．在矩形

ABCD中， AD＞AB，点

P 是

CD边上的随意一点（不含

C， D 两头点），过点

P

作 PF∥BC，交对角线

BD 于点

F． 中考数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题及 2 / 20

（ 1）如图 1，将 △ PDF沿对角线 BD 翻折获取 △ QDF，QF 交 AD 于点 E．求证： △ DEF是等腰三角形；

（2）如图 2，将 △ PDF绕点 D 逆时针方向旋转获取 △ P'DF'，连结 P'C， F'B．设旋转角为 α

（0°＜ α＜ 180°）．

① 若 0°＜α＜ ∠ BDC，即 DF'在 ∠ BDC的内部时，求证： △ DP'C∽ △ DF'B．

② 如图 3，若点 P 是 CD 的中点， △ DF'B 可否为直角三角形？若是能，试求出此时

tan∠ DBF'的值，若是不能够，请说明原因．

【答案】（ 1）证明见剖析；（ 2） ① 证明见剖析； ② 1 或 3 .

2 3 【剖析】

【剖析】（ 1）依照翻折的性质以及平行线的性质可知 ∠ DFQ=∠ ADF，所以 △ DEF是等腰三角形；

（2） ① 由于 PF∥ BC，所以 △ DPF∽△ DCB，进而易证 △DP′F∽′△ DCB；

② 由于 △ DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．

【详解】（ 1）由翻折可知： ∠ DFP=∠ DFQ，

∵ PF∥ BC， ∴∠

DFP=∠ ADF， ∴∠

DFQ=∠ ADF，

∴△ DEF是等腰三角形；

（2） ① 若 0°＜ α＜∠ BDC，即 DF'在∠ BDC 的内部时，

∵∠ P′ DF∠′=PDF，

∴∠ P′ DF﹣∠′F′ DC=∠PDF﹣ ∠ F′ ，DC

∴∠ P′ DC=∠F′ DB，

由旋转的性质可知： △ DP′F≌′△ DPF，

∵ PF∥ BC，

∴△ DPF∽ △ DCB，

∴△ DP′∽F△′DCB

∴ DC DP ' ，

DB DF '

∴△ DP'C∽ △DF'B；

② 当∠ F′ DB=90时°，以以下列图，

1 ∵ DF′ =DF=BD，

2

DF ' 1 ∴ ，

BD 2

DF ' 1 ∴tan ∠ DBF ′= ；

BD 2 中考数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题及 3 / 20

当∠ DBF′=90，°此时 DF′是斜边，即 DF′＞ DB，不符合题意；当∠ DF′B=90时°，以以下列图，

1 ∵ DF′ =DF=BD，

2

∴∠ DBF ′ =30， °

3

∴tan ∠ DBF ′= .

3

【点睛】本题观察了相像三角形的综合问题，波及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相像三角形的性质以及判断等知识，综合性较强，有必然的难度，娴熟掌握有关的性质与定

理、运用分类思想进行讨论是解题的重点 .

3．已知 Rt△ABC 中， ∠ ACB=90°，点 D、 E 分别在 BC、 AC边上，连结 BE、 AD 交于点 P，

设 AC=kBD， CD=kAE，k 为常数，试试究 ∠ APE的度数：

（1）如图 1，若 k=1，则 ∠ APE的度数为 ；

（ 2）如图 2，若 k= 3 ，试问（ 1）中的结论可否建立？若建立，请说明原因；若不建立，求出 ∠APE的度数．

（ 3）如图 3，若 k= 3 ，且 D、 E 分别在 CB、 CA 的延伸线上，（ 2）中的结论可否建立，请说明原因．

【答案】（ 1） 45°；（ 2）（ 1）中结论不建立，原因见剖析；（ 3）（ 2）中结论建立，理 中考数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题及 4 / 20

由见剖析 .

【剖析】

剖析：（ 1）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF， BF=AD，进而判断出

△ FAE≌△ ACD，得出 EF=AD=BF，再判断出 ∠ EFB=90 °即可得出结论；，

（2）先判断出四边形 ADBF 是平行四边形，得出 BD=AF， BF=AD，进而判断出

△FAE∽△ ACD，再判断出 ∠ EFB=90，°即可得出结论；

（3）先判断出四边形 ADBF 是平行四边形，得出 BD=AF， BF=AD，进而判断出

△ACD∽ △ HEA，再判断出 ∠ EFB=90，°即可得出结论；

详解：（ 1）如图 1，过点 A 作 AF∥ CB，过点 B 作 BF∥ AD 订交于 F，连结 EF，

∴∠ FBE=∠APE， ∠ FAC=∠ C=90 ，°四边形 ADBF 是平行四边形，

∴ BD=AF，

BF=AD．∵AC=BD， CD=AE，

∴ AF=AC．

∵∠ FAC=∠ C=90 ，°

∴△ FAE≌ △ ACD，

∴ EF=AD=BF，∠ FEA=∠

ADC． ∵∠ ADC+∠ CAD=90 ，°

∴∠ FEA+∠ CAD=90 =°∠ EHD．

∵AD∥ BF，

∴∠ EFB=90．°

∵ EF=BF， ∴∠

FBE=45，° ∴∠

APE=45 ．°

（2）（ 1）中结论不建立，原因以下：

如图 2，过点 A 作 AF∥CB，过点 B 作 BF∥ AD 订交于 F，连结 EF，

∴∠ FBE=∠APE， ∠ FAC=∠ C=90 ，°四边形 ADBF 是平行四边形， 中考数学压轴题专题直角三角形边角关系经典综合题及 5 / 20

∴ BD=AF， BF=AD．

∵ AC= 3 BD， CD= 3 AE，

AC CD ∴ 3 ．

BD AE

∵ BD=AF，

∴ AC CD 3 ．

AF AE

∵∠ FAC=∠ C=90 ，°

∴△ FAE∽ △ ACD，

AC AD BF ． ∴ 3

EF EF ∠ FEA=∠ ADC

AF

∵∠ ADC+∠ CAD=90 ，°

∴∠ FEA+∠ CAD=90 =°∠ EMD．

∵AD∥ BF，

∴∠ EFB=90．°

在 Rt△ EFB中， tan ∠ FBE=EF

BF

∴∠ FBE=30，°

∴∠ APE=30 ，°

（3）（ 2）中结论建立，如图

3 ，

3

3，作 EH∥CD， DH∥BE， EH， DH 订交于 H，连结 AH，

∴∠ APE=∠ ADH， ∠ HEC=∠ C=90 ，°四边形 EBDH是平行四边形，

∴BE=DH， EH=BD．

∵ AC= 3 BD， CD= 3 AE，

AC CD ∴ 3 ．

BD AE

∵∠ HEA=∠ C=90 ，°

∴△ ACD∽ △ HEA，

AD AC ∴ 3 ， ∠ ADC=∠ HAE．

AH EH

∵∠ CAD+∠ ADC=90 ，°

∴∠ HAE+∠CAD=90 ，°