2020-2021中考数学—直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习附答案解析

2020-2021中考数学—直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习附答案解析

一、直角三角形的边角关系

1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形

（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tan∠ADP

试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF

∵AD//BC

∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF

∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF

∴AB=BE AB=AF

∴AF=AB=BE

∵AD//BC

∴ABEF为平行四边形

又AB=BE

∴ABEF为菱形

（2）作PH⊥AD于H

由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5 ∴tan∠ADP=

考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数

2．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.

(1)求的面积；

(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)

(参考数据：，，，，，，)

【答案】（1）560000（2）565.6

【解析】

试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；

（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.

试题解析：(1)过点作交的延长线于点，

在中，，

所以米.

所以(平方米).

(2)连接，过点作，垂足为点，则.

因为是中点，

所以米，且为中点，

米，

所以米.

所以米，由勾股定理得，

米.

答：、间的距离为米.

考点：解直角三角形

3．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）

【答案】22.4m

【解析】

【分析】

首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．

【详解】

解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=3，

∴FG=tan3AGAGAFG，

在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，

∴CG=tanAGACG=3AG．

又∵CG﹣FG=24m，

即3AG﹣3AG=24m，

∴AG=123m，

∴AB=123+1.6≈22.4m．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．

（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、6695 ．

【解析】

【分析】

（1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝'''''ABCEADCD可求出CE，即可计算△CED′的面积，SABCE＝SABD′﹣SCED′；

（2）分类讨论，当0≤x≤115时和当115＜x≤4时，分别列出函数表达式；

（3）分类讨论，当AB′＝A′B′时；当AA′＝A′B′时；当AB′＝AA′时，根据勾股定理列方程即可．

【详解】

解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，

∴BD＝10cm，

根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm， ∵tan∠B′D′A′＝'''''ABCEADCD

∴682CE

∴CE＝32cm，

∴S ABCE＝SABD′﹣SCED′＝8634522222（cm2）；

（2）①当0≤x＜115时，CD′＝2x+2，CE＝32（x+1），

∴S△CD′E＝32x2+3x+32，

∴y＝12×6×8﹣32x2﹣3x﹣32＝﹣32x2﹣3x+452；

②当115≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝43（8﹣2x）

∴214y8223x＝83x2﹣643x+1283．

（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；

②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，

∵AN2+A′N2＝36，

∴（6﹣245）2+（2x+185）2＝36，

解得：x＝6695，x＝6695（舍去）；

③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，

∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2

∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2

解得：x＝32．

综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

5．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；

(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；

（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．

【详解】

（1）直线PD为⊙O的切线，

理由如下：

如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，

∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，

∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴直线PD为⊙O的切线；

（2）∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，

∴∠P=30°，

∵PD为⊙O的切线，

∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3，

∴0tan30ODPD，解得OD=1，

∴22POPDOD=2，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；

（3）如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，

∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°， 设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，

∵四边形AFBD内接于⊙O，

∴∠DAF+∠DBF=180°，

即90°+x+2x=180°，解得x=30°，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，

∵BE、ED是⊙O的切线，

∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，

∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，

∴△BDF是等边三角形，

∴BD=DF=BF，

∴DE=BE=DF=BF，

∴四边形DFBE为菱形.

【点睛】

本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．

6．阅读下面材料：

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB＝ADc ，sinC＝ADb，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即sinsinbcBC ．同理有：sinsincaCA，sinsinabAB，所以sinsinsinabcABC．

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．

（1）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝60，则AB＝ ；

（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/