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最小码距和检错纠错能力关系

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数据通信原理第四章 差错控制(一)

数据通信原理第四章 差错控制(一)

• 突发差错
– 一串串，甚至是成片出现的差错，差错之间有相关性， 差错出现是密集的 – 错误的信道称为有记忆信道或突发信道 – 如短波信道、散射信道 – 存储介质损坏或输出故障也可引发突发错误
一、差错分类和错误图样
• 发送数据序列： 000000001111111111 • 接收数据序列： 000010011111001011 • • • • 差错序列： 错误图样： 突发长度：12 练习： 发送数据序列：001000101111001111 接收数据序列：001000111111111111 • 错误图样：？ 突发长度：？ 1111111 7
一、检错和纠错的原理
• 码的差错和纠错能力是同信息量的冗余度 换取的 • 任何信息源发出的消息可以用“1”和“0”来 表示 • 对于最简单的只发送A和B两种消息，用“0” 代表A，“1”代表B
– 如果只传输一位二进制数，则无法判断是否为 错码
一、检错和纠错的原理
• 在信息码后添加一位监督码，形成11或00 两种码组，当接受端为10或01时则可判断 为错码； • 在信息码后添加两位监督码，形成111或 000，不仅可以判断错码，而且可以根据 “大数”法则纠正一个错误； • 以上例子中11、00或者111、000称为“许 用码组”，其余码组为“禁用码组”。
• 3种形式：
– 停发等候重发 – 返回重发 – 选择重发
• 停发等候 重发
• 返回重发
• 选择重发
（二）前向纠错
• 前向纠错系统（FEC）中，发送端的信道编码器 将输入数据序列变换成能够纠正错误的码，接收 端的译码器根据编码规律检验出错误的位置并自 动纠正。
– 优点：前向纠错方式不需要反馈信道，特别适合于只 能提供单向信道的场合。由于能自动纠错，不要求检 错重发，因而延时小，实时性好。 – 缺点:所选择的纠错码必须与信道的错误 特性密切配合， 否则很难达到降低错码率的要求；为了纠正较多的错 码，译码设备复杂，而要求附加的监督码元也较多， 传输效果就低。

信道编码与调制技术

信道编码与调制技术

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4.3 信道编码技术

线性分组码
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4.3 信道编码技术

线性分组码
线性分组码的性质：
1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。线性分 组码一定包含全0的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重
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4.3 信道编码技术

循环码
线性分组码的一种； 循环码中任意一组许用码循环左移1位后，仍为该循环 码中的另一个码组。

s an1 an2
a2 a1 c0
s=0,认为无误码；s=1，认为有误码 由r个监督码元构造出r个监督关系式来指示1位误码的 n种可能位置，要求
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4.3 信道编码技术

线性分组码
例 （7，4）分组码
s1 a6 a5 a4 a2 s2 a6 a5 a3 a1

差错控制编码的分类
按信息码元与附加的监督码元之间的检验关系分类： 线性码 非线形码 按信息码元与附加的监督码元之间的约束关系： 分组码：每组监督码元只与本组的信息码元之间有确 定的检验关系 卷积码：每组监督码元不但与本组信息码有关，还与 前面若干个码组的信息码元之间有约束关系 按照信息码元在编码后是否保持原来的形式不变分类： 系统码：信息码元序列保持不变 非系统码：信息码元信号序列改变
a2 a1 c0 1 an2 an1 1
奇偶校验码只能检出单个或奇数个误码，而无法检测
偶数个误码。检错能力有限，不能纠错。
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4.3 信道编码技术

线性分组码
信息码元与监督码元之间具有线性关系 （n，k）分组码，由k个码元按一定规则产生r个监督码 元，并附加在信息码元之后，组成长度为n=k+r的码组。 校验子s：

信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样

信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样

虽然通过Q矩阵可以产生线性分组码，但需要分为两矩步阵，G如则果被对称Q矩为阵线做性
变换：
在Q矩阵的G左边I加k 上Q一个100k×100k阶100单000位阵111，110即：110
分组码的生成矩阵
若f进一步满足线性关系：
则f ( 称u f为 线u 性' ) 编 码f ( 映u 射) ，若f ( f为u 一' ) , 一对应, 映 射G ，F 则( 2 ) 称 f{ 为0 , 唯1 } 一,可u , u 译' 线U k
性编码，由f编写的码c = (cn-1cn-2…c0)称为线性分组码，u = (un1un-2… u0 )为编码前的信息分组，其中k为信息位数，n为码长， 其编码效率为η= k/n
0100
110
1100
001
0101
101
1101
010
0110
011
1110
100
0111
000
1111
111
信道编码的基本概念以及汉明码编码 错误图样
监督矩阵的推导
将监督关系式进行变换
u6 u5 u4 c2 0
u6
u5
u3
c1
0
1u61u51u40u31c20c10c00 1u61u50u41u30c21c10c00
X X ' ( x n 1 x 'n 1 ,x n 2 x 'n 2 ,,x 0 x '0 )
信道编码的基本概念以及汉明码编码 错误图样
二、线性分组码
线性分组码的数学定义： 信道编码可表示为由编码前的信息码元空间Uk到编码后的码字 空间Cn的一个映射f，即： f： Uk → Cn 其中( n > k )

差错率差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有以下几

差错率差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有以下几

(3) 举例
(7,4) 线性码的生成矩阵为
(4) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系

由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的每行都满足 Hr×nCTn×1=0Tr×1，则有
Hr×nGTn×k=0Tr×k 或

Gk×nHTn×r=0k×r
线性系统码的监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接互换。


按纠正差错的类型可分为纠正随机错误的码和纠正突 发错误的码； 按码字中每个码元的取值可分为二进制码和多进制码。

(1)偶（或奇）校验方法

p 为偶校验位 m0+m1+m2+…+mk－1+p=0 (mod 2) 则 C =(m0,m1,m2,…,mk－1,p) 为一个偶校验码字。 C 中一定有偶数个“1” 当差错图案 E 中有奇数个“1”，即 R 中有奇数个位有错 时，可以通过校验方程是否为0判断有无可能传输差错。
E
图6.1.5 BSC编码信道
(2) 信道编码的基本思想

信道编码的对象：是信源编码器输出的信息序列m。通 常是二元符号1、0组成的序列。

信道编码的基本思想

按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元，使 不具有规律性的信息序列 m 变换为具有某种规律性 的数码序列 C； 码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的； 信道译码器利用这种预知的 编码规则译码。检验接 收到的数字序列 R 是否符合既定的 规则，从而发现 R 中是否有错，或者纠正其中的差错；
组的监督码元或监督元。

(3) 纠错编码的பைடு நூலகம்类

分组码：编码的规则仅局限于本码组之内，本码组的监 督元仅和本码组的信息元相关。

纠错码

纠错码

编码距离与纠错检测的关系

几个基本概念 码重:码组中“1”的个数成为码组的重量。 码距 :两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离。我们把 某种编码中各个码组之间距离最小值称为最小码距（d0）。一种编码 的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力。
1011101 与 1001001 之间的码距是 2。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误
比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误
000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两个码组
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一个错码。

译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否发生错误或纠正 错误，恢复原始信息序列。
纠错编码的分类

按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分组码与非分组码如 卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
1 1 n 1 0

v v ，若对任一 v a , a ,, a v 恒有 v a ,, a , a v ，则称 vn ,k 为循环码。
n,k n
0 1 n 1
n,k
n,k
在下表中给出了一种（7,3）循环码的全部码组
卷积码

把信源输出的信息序列，以个 k 0(k 0 通常小于 k)码元分为一段，通过 编码器输出长为 n 0(≥k 0 )一段的码段。 但是该码段的 n 0 k 0 个校验 元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的信息元有关，称m为 编码存贮。因此卷积码用(n 0， k 0， m)表示。

《通信原理》10信道编码和差错控制资料

《通信原理》10信道编码和差错控制资料

并保持误码率不变，付出的代价也是带宽
的增大。
2018/12/5
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纠错编码
纠错编码系统的性能：
传输速率和带宽的关系：对于给定的传输系
统，其传输速率和信噪比 Eb / n0 的关系为
E P T P P b s s s n n n ( 1 / T ) n R 0 0 0 0 B
提高传输速率，采用编码以保持误码
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线性分组码
S
001 010 100 011
E
错码位置
S
101 110 111 000
E
错码位置
0000001 a0
0010000 a 4
0000010 a1
0100000 a
5
a2 0000100
0001000 a3
a 1000000
6
0000000 无错
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线性分组码
线性码的封闭性
111 100 010 001 001 010 100 111
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线性分组码
汉明码 接收端解码方法：
根据接收码组，先计算出校正子S1S2S3 ， 然后查表判断错码位置。
S1 a6 a5 a4 a2 S2 a6 a5 a3 a1 S3 a6 a4 a3 a0
调制解调器至终端调制解调器的无差错数
据传送。
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6
基本内容
差错控制编码方法/纠错编码方法：
为了在接收端能够发现或纠正错码， 在发送码元序列中加入一些差错控制码 元（监督码元/监督位）。 加入的监督码元越多，纠/检错的能
力越强，传输效率越低，从而可以用降
低传输效率换取传输可靠性的提高。

通信原理第11章差错控制编码分析


接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重 发。
发
数据信息 数据信息
收
图11.1-6 信息反馈法
第11章 差错控制编码
11.1
概述
收端把收到的数据序列全部经反向信道送回发
端，发端比较发出和送回的数据序列，从而发 现有否错误，如果有错误，发端将数据序列再 次传送，直到发端没有发现错误。
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或“10”， 收端判决为有错（因“01”“10”为禁用码组），但 无法确定错码位置，不能纠正，该编码具有检出 一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第11章 差错控制编码
11.1

概述
差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
11.2
差错控制编码的基本原理
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第11章 差错控制编码
11.2
11.1
概述
（1）检错重发法（ARQ） Automatic Repeat reQuest 收端在接收到的信码中发现错码时，就通 知发端重发，直到正确接收为止。例如奇偶 校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接 收单元中发现错误，但不一定知道该错误码 的具体位置。 需具备双向信道。

DVB-S信道编码


循环码的解码方法
接收端接收到码组 R(x) 时，要达到解 码和检错纠错的目的。由于任一码组的码 元多项式T(x)都应被码元多项式g(x)整除， 因此接收端可将接收码组 R(x) 用原始生成 多项式 g(x) 相除。如果传输中未发生误码， 接收码组与发送码组相同，即R(x)＝T(x)， 则R(x)必能被g(x)整除，无余项；如果发生 误码， R(x)≠T(x) ，则 R(x) 被 g(x) 相除时会 有余项出现，即
T’(x)亦是一个许用码组。 T’(x)也是 T(x)码组
向左循环移位i次的结果。
Example
设循环码T（x）=x6+x5+x2+1， 码组为（1100101），给定i=3， xiT（x）=x3（x6+x5+x2+1） = x9+x8+x5+ x3 ≡ x5+x3+x2+x（mod（x7+1）） 码组为（0101110）是许用码组，它是 （1100101）向左循环移位3次的结果。
卷积码基本形式及工作原理
图5-9最小码距与检错纠错能力间的关系
纠错码的分类
一、分类（线性分组码）
按对信息码元的处理方法分 分组码：将 k 个信息码元划分成 1 组，然后由这 k 个码元 按照一定的规则产生 r 个校验码元，从而组成长度为 k + r 的码字；在分组码中，校验码元仅校验本码字中的信息码 元；分组码一般用符号 ( n, k ) 表示，并且将分组码的结构 规定为前面 k 位为信息位，后面附加 r 个校验移位后仍是这组的码字 非循环码：任意一个码字中码元循环移位后不一定再 是该码中的码字 卷积码：每组的校验码元不但与本码组的信息码元有关， 而且还与前面若干组信息码元有关，即不是分组的特点， 而是每个校验码元对它的前后码元都实行校验，前后相连， 因此有时也称为连环码

第七章差错控制编码习题解答

8－1 某码字的集合为 00000000 1000111 0101011 0011101 1101100 1011010 0110110 1110001求：（1）该码字集合的最小汉明距离；（2）根据最小汉明距离确定其检错和纠错能力。

解：（1）通过两两比较每个码字，可知该码字集的最小汉明距离为4；（2）因为检错能力与最小码距的关系为：1min +=e d ，所以检错能力为3141min =-=-=d e又因为纠错能力与最小码距的关系为：12min +=t d ，所以纠错能力为5.121421min =-=-=d t取整后可得，纠错能力为1=t 。

8－2 已知二进制对称信道的差错率为210-=P 。

（1）（5，1）重复码通过此信道传输，不可纠正错误的出现概率是多少？（2）（4，3）偶校验码通过此信道传输，不可检出错误的出现概率是多少？解： （1）当（5，1）重复码发生3个或3个以上的错误时不可纠正，此时不可纠正的错误出现的概率为()()()60555144523351085.9111-⨯≈-+-+-=P P C P P C P P C P e （2）当（4，3）偶校验码发生偶数个错误时这些错误不可检出，这些错误出现的概率为()()4044422241088.511-⨯≈-+-=P P C P P C P e8－3 等重码是一种所有码字具有相同汉明重量的码，请分析等重码是否线性码？解：因为该码字集中所有的码字均有相同的码重，因此全零码字不包括在内，而线性码在输入信息位均为零时，输出也全为零，因此一定包含全零码。

因此等重码不是线性码。

8－4 对于一个码长为15，可纠正2个随机错误的线性分组码，需要多少个不同的校正子？至少需要多少位监督码元？解：对于一个码长为15的线性码，1个及2个随机错误的图样数为120215115=+C C所以至少需要121个校正子因为12712120631272151156=-<=+<=-C C所以至少需要7位监督码元。

计算机网络通信技术第04章纠错

内容提要：
差错控制的基本方式

反馈重发纠错（ARQ）方式 前向纠错（FEC）方式 混合纠错（HEC）方式 奇偶监督码 行列监督码 恒比码 海明码
常用检错码：

数据通信中的差错控制技术

在数据传输中，可靠性是一个重要的性能指标，
由于传输信道不理想以及来自各个方面的干扰，出现错误 码元是不可避免的。

行列监督码在某些条件下还能纠错。
突发差错行列监督码

行列监督码也常用于检查或纠正突发差错。可以检查 出错误码元长度小于或等于码组长度的所有错码，并纠正 某些情况下的突发差错。

3.

恒比码(3:2)
恒比码又称等比码或等重码（非零码组中“1”码的个数 称为码重）。恒比码的每个码组中，“1”和“0”的个数之 比都是恒定的。

方阵码只是对构成矩形四角的错码无法检测，故
其检错能力较强。
使误码率降至原误码率的百分之一到万分之一。
行列监督码(含突发错码)

当差错个数恰为4的倍数，且差错位置正好构成矩形的四个角时（如上
图所示方阵码中标有D的码元），方阵码检查不出错误。
含突发错码行列监督码
行列监督码

接收端按同样行列排成方阵，发现不符合行列 监督规则的判决有错。
恒比码

恒比码在检测时，通过计算接收码组中“1”
的数目，判定传输有无错误。这种码除了“1” 错成“0”和“0”错成“1”成对出现的错误以外， 还能发现其他所有形式的错误，故检错能力很 强。

应用这类码后，国际电报的误字率保持在
10-6以下。
4.5.3
纠错编码

现行的抗干扰编码发展成为两大类：分组码和卷积码。
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最小码距和检错纠错能力关系
一、码距？
码距就是两个码字C1与C2之间不同的比特数。

如：1100与1010的码距为2;1111与0000的码距为4。

一个编码系统的码距就是整个编码系统中任意(所有)两个码字的最小距离。

若一个编码系统有四种编码分别为：0000，0011，1100，1111，此编码系统中0000与1111的码距为4;0000与0011的码距为2，是此编码系统的最小码距。

因此该编码系统的码距为2。

二、码距和检错纠错有何关联?
首先大家要了解以下两个概念：
1.在一个码组内为了检测e个误码，要求最小码距应该满足：d>=e+1
2.在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应该满足：d>=2t+1
现在举个例子来说明这个问题：
假如我们现在要对A，B两个字母进行编码。

我们可以选用不同长度的编码，以产生不同码距的编码，分析它们的检错纠错能力。

||-- 若用1位长度的二进制编码。

若A=1，B=0。

这样A，B之间的最小码距为1。

合法码：{0,1｝;非法码：{0,1｝;
根据上面的规则可知此编码的检错纠错能力均为0，即无检错纠错能力。

其实道理很简单，这种编码无论由1错为0，或由0错为1，接收端都无法判断是否有错，因为1，0都是合法的编码。

||-- 若用2位长度的二进制编码，可选用11，00作为合法编码，也可以选用01，10作为合法编码。

若以A=11，B=00为例，A、B之间的最小码距为2。

合法码：{11,00｝;非法码：{01,10｝;
根据上面的规则可知此编码的检错位数为1位，无法纠错。

因为无论A(11)或B(00)，如果发生一位错码，必将变成01或10，这都禁用码组(非法码)，故接收端可以判断为误码，却不能纠正其错误。

因为无法判断误码(01或10)是A(00)错误还是B(11)错误造成，即无法判断原信息是A或B，或说A与B形成误码(01
或10)的可能性(概率)是相同的。

如果产生二位错码，即00错为11，或11错为00，结果将从一个合法编变成另一个合法编码，接收端就无法判断其是否有错。

所以此种编码的检错能力为1位，纠错能力为0位。

||--若用3位长度的二进制编码，可选用111，000作为合法编码。

A，B之间的最小码距为3。

合法码：{111,000｝;非法码：{001,010,011,100,101,110｝;
根据上面的规则可知此编码的检错位数为2位，纠错位数为1位。

例如：当信息A(000)产生1位错误时，将有3种误码形式，即001或010或100，这些都是禁用码组，可确定是误码。

而有这3个误码与合法编码000的距离最近，与合编码111的距离较远，根据误码少的概率大于误码多的概率的规律，可以判定原来的正确码组为000，只要把误码中的1改为0即可得到纠正。

同理，如果信息B(111)产生1位错误时，则有另三种误码可能产生，即110，101，011，根据同样道理可以判定原来的正确码组是111，并能纠正错误。

但是，如果信息A(000)或信息B(111)产生两位错误时，虽然能根据禁用码组识别其错误，但纠错时去会做出错误的纠正而造成“误纠错”。

如果信息A(000)或信息B(111)产生三位错误时，将从一个合法编码A(或B)变成了另一个合法编码B(或A)，这时既检不出错，更不会纠错了，因为误码已成为合法编码，译码后必然产生错误。

所以检错位数为2位，纠错位数为1位。

总结：。