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2010年数学建模竞赛答案

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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 浙江工贸职业技术学院

参赛队员 (打印并签名) ：1. 宋舒翔

2. 戴慧娇

3. 林伟伟

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘维先

日期： 2010年 9 月 13日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

- - 2 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

- - 3 输油管的布置

摘 要

对于问题一，本文考虑了公用管线费用与非公用管线费用相同或不同情形的因素来设计建立管线建设费用最省。由

对于问题二，本文考虑了注册资金，技术人员，负责人工作年限以及专职专业技术经济职员四个因素来评价管线费用最优解的管线布置，并利用层次分析法确定了各因素的权重，并用matlab软件编程，求的各因素的权重系数，最终计算出管线费用的最优化解minF 282.8197。

对于问题三，在问题一和问题二的情况下，根据题目的约束条件，建立线性规划模型，由LINGO求解，得最优解 minF=252.0913。

关键词：费尔马点 层次分析法 二次平均 最优方案

1.问题重述与分析

随着社会的发展，石油管道输送的优势越来越明显，管道设计的任务也越来越繁重，制定出最优的石油管道输送线，具有十分重要的经济和战略意义。

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。根据两家炼油厂到铁路线的距离、炼油厂的地理环境等建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

问题1的重述与分析 在实际中，两家炼油厂的位置可能处在同一条垂直于铁道线的直线上、处在同一条平行于铁道线的直线上和铁道铁所在直线不平行的直线上三种情况。利用费尔马点的应用容易分析出：在以两家炼油厂和将建设的车站所组成的三角形中，存在点P（费尔马点），使其到三角形三个顶点距离最小，即最优管道辅设方案中，公用管道辅设是成立的。特别的，当以车站为顶点的角大于0120时，点P与车站重路线距重合，此时，不需要辅设公用管道。利用几何性质，建立最优管道辅设费用费用函数，用最值的判定方法可以确定最优管道辅设方案。

在问题解决过程中，分公用管线与非公用管线费用相同和不同的情形解决。

问题2的重述与分析 该问题不但如图给出了两炼油厂的具体位置，更为符合实际设计出两炼油厂分别处于城区和城郊，这就要求在管道设计中充分考虑拆迁等附加费用。

为使拆迁等附加费用的估算更加合理，同时给出三家不同资质咨询公司的估算费用。设计中应用估算出的较为合理拆迁等附加费用，不但具有较高的经济价值，更具有一定的社会意义。

图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l =

20。又已知所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。三家公司给出的拆迁等附加费用的估算分别为：甲级资质公司估算为21万元/千米，二个乙级资质的工程咨询公司估算分为24、20万元/千米。

问题3的重述与分析 根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管，更能够体现设计者的经济理念。由于相关数据已经给出，利用问题2的结论，利用计算机编程使问题解决，更准确和迅速。

所有最优方案的设计都应符合我国的相关法律和国情才更具有实际意义，建模中，我们通过相关的假设使模型更具推广和应用价值。

2.模型假设与符号设定

3.1模型假设

在各项设计标准符合我国《石油化工企业防火规范》（2008）及相关建设标准条件下，进行以下假设：

1. 假设两炼油厂A、B为两个质点，铁路T在炼油厂A、B附近为直线；

2. 假设在炼油厂A、B所在一侧的铁路沿线均适合建车站；

3. 假设炼油厂A、B与铁路围成的区域内除城区内需要考虑拆迁外，其他地形地貌均相同；

4. 假设利用管道输送成品油没有损耗，即管道铺设费用不考虑输送过程成品油的损耗。

5. 假设管道铺设中工程施工费用在相同的环境中是不变的。

3.2符号约定

m 炼油厂A到铁路线L的距离

n 炼油厂B到铁路线L的距离

b 炼油厂A、B间水平距离

F 输送管道的总费用

f 铺设管道的附加费用

W 铺设费用的权重系数

1k A厂铺设非共用管线每千米的费用

2k B厂铺设非共用管线每千米的费用

3k 共用管线每千米的费用

4.模型的建立与求解

4.1问题一分析与模型建立

4.1.1最短路径的存在性论证

如图4.1，假设C点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC中，存在费尔马点P，使点P与ABC三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有

PA+PB+PC

图4.1

且0120ACB时，费尔马点P在ABC内部

而当0120ACB时，费尔马点P与C点重合。

为此有如下结论：

①当0120ACB时，铺设公用管道PC的输送费用比不铺设公用管道费用低；

②当0120ACB时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC=0。

4.1.2问题一分析与模型建立

如图4.1，以炼油厂A、B间铁路线所在直线为x轴，以过炼油厂A且垂直于铁路线L直线为y轴，建立平面直角坐标系。设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k个单位（下同），根据实际意义易知21k。

根据参考文献[1]，点P不可能在A的上方，故mt0。

易得，A点关于过点P平行于x轴的直线1L的对称点'A（0，2t-m）。

由费尔马点的应用及平面几何对称性有

111FPBPAkPCBAkPC

为此，得到铺设管道的最优模型

min1FBAkPC 4-1

4.1.3问题一模型求解

对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A、B的坐标不同的取值，进行A、B不同位置时管道铺设设计。

4.1.3.1公用管道与非公用管道费用不同，即k1时模型的求解

已知A点关于1l对称点'A（0，2t-m）

22()(2)Ftbtmntk

求一阶导数，令'()0Ft求解：

2224mnkbtk或2224mnkbtmk（舍去）

又20224mnkbmk可得：

22()4()4nmknmkbkk

（1）如图4.2，在2()40nmkbk时，易判断'()0Ft，即()Ft为单调递减。

图4.2

此时，易得点P坐标为（0，m）, 即点P与点A重合时，最优管道铺设方案

为折线BA-AC。亦即车站建在（0，0），费用()Ft最小，且

22min()()Fmmkbmn。

特别的，当b=0时，两个炼油厂同位于垂于铁路线的直线上，车站建在点（0，0）点，最优管道铺设方案如图4.3，且输送管道铺设费的最优解为nkmmkmnF)1()(1min。

图4.3

（2）如图4.4,当22()4()4nmknmkbkk 时，易判断

()Ft在20,224mnkbk上单调递减,

在2,224mnkbmk上单调递增。

由2224mnkbtk可知'A的坐标为2'(0,)4kbAnk

图4.4

直线AB’的方程为2244kkbyxnkk；

直线y=t的方程2224mnkbyk

联立方程组得：22244224kkbyxnkkmnkbyk

22()42224mnkkbxkmnkbyk

P的坐标点为（22()4,2224mnkkbmnkbkk），最优管道铺设方案如图4.5所示。

图4.5

且min()Ft2222()()244kbmnkbbmnkkk。

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2010年数学建模D题的答案

2010年数学建模D题的答案

1 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

D题 对学生宿舍设计方案的评价

学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。

经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。

舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。

安全性：人员疏散和防盗等。

附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。

2 对学生宿舍设计方案的评价

摘要

本文主要从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计方案做出综合量化和比较。在评价过程中，主要运用了模糊决策和层次分析法，并利用MATLAB软件进行求解。

由于本问题的许多条件比较模糊，具有隐藏性，我们先对附件中的数据进行预处理，从中提取与评价相关的因素，然后利用层次分析法确定各准则对目标的权重，从而建立学生宿舍设计方案的评价模型。具体结果为：

（1）经济性方面：得出四种学生宿舍设计方案在此方面的的组合权向量为：

)1668.0,2265.0,5627.0,0440.0(，根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出：方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后为方案2。

（2）舒适性方面：得到组合权向量为：)1999.0,1576.0,5301.0,1124.0(，根据指标越大，优先选择程度越大的准则得出：方案2是舒适度最高的，其次为方案4、方案3，最后为方案1。

（3）安全性方面：得到组合权向量为：)2223.0,2684.0,4158.0,0935.0(，利用和（2）同样的准则，得出了方案2是安全性最强的，其次为方案3、方案4，最后为方案1。

2010年全国大学生数学建模竞赛题目

2010年全国大学生数学建模竞赛题目

2010年全国大学生数学建模竞赛题目

[日期：2010-10-16] 阅读：790 次

A题 储油罐的变位识别与罐容表标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

B题 2010年上海世博会影响力的定量评估

2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。

2010年数学建模集训小题目

2010年数学建模集训小题目

2010年数学建模集训小题目

1． 食品厂用三种原料生产两种糖果，糖果的成分要求和销售价见表1。

表1 糖果有关数据

原料A 原料B 原料C 价格（元/kg）

高级奶糖 ≥50% ≥25% ≤10% 24

水果糖 ≤40% ≤40% ≥15%

15

各种原料的可供量和成本见表2。

表2 各种原料数据

原料 可供量（公斤） 成本（员/公斤）

A 500 20

B 750 12

C 625 8

该厂根据订单至少需要生产600公斤高级奶糖，800公斤水果糖，为求最大利润，试建立线性规划模型并求解。

2．某商业公司计划开办5家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司iA（5,4,3,2,1i）对新商店jB（5,4,3,2,1j）的建造费用的报价（万元）为ijc（5,4,3,2,1,ji），见表3。商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？

表3 各建筑公司的建筑费用数据

1B 2B 3B 4B 5B

1A 4 8 7 15 12

2A 7 9 17 14 10

3A 6 9 12 8

7

4A 6 7

14 6 10

5A 6 9 12 10 6

3．上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验，并得到了如表4所示的数据。

表4 小鼠肉瘤的实验数据

时间 0 6 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

体积 0.004 0.031 0.061 0.074 0.103 0.152 0.210 0.339 0.520 0.813 1.269 1.558

（1）若t时刻肿瘤的体积)(tv满足指数模型

0)0(vvrvdtdv 请拟合参数r。

2010全国数学建模大赛B题论文

2010全国数学建模大赛B题论文

1 世博效应：对上海会展业的影响

摘要：会展业是会议业和展览业的总称,隶属于服务业,即通过举办各种形式的会议和展览,吸引大量商务客和游客,促进产品市场的开拓、技术和信息交流、对外贸易和旅游观光,并以此带动交通、住宿、等多项相关产业的发展,并被称为“无烟工业”.

2010年世博会对上海会展业影响深远,世博会带来的机遇表现在：首先,场馆建设和基础设施为会展提供良好的硬件环境.根据规划,整个世博园区提供了将近二百个展览场馆,世博会举办前、举办中以及举办后都将为上海的会展业带来巨大的发展空间.其次,世博会加快人才的大量培养,为上海会展行业储备和积聚人才.最后,世博会推进会展项目的国际化、专业化、品牌化发展.

上海会展业已成为上海服务业的重要组成部分,是提升城市形象、增强城市服务功能和促进社会建设的新兴产业,因此我国各大城市都在大力发展会展业,使其成为地区新的经济引擎,会展业的竞争力是城市综合竞争力的重要反映.

我们将建立两种模型,来综合的评估世博会对上海会展业的影响：

1. 模糊归一化法评估上海会展业竞争力的综合评价指标；

我们可以具体从经济发展水平,商贸发展水平,会展业发展水平,社会事业发展水平,区域交通条件,地理区位条件和旅游业发展水平的评价指标来对会展业的竞争力进行定量的评估.

2. 预测会展业未来的发展趋势.

“后事件效应”，即在重大事件活动举办之后呈现下降的典型特点,世博会谢幕后，由于国际入境旅游人数的减少，展馆被拆迁或改建等因素，会展业的利润收入会受到波动，因此我们用微分方程构造的数学模型对会展业未来的发展趋势作出一定的预测.

通过采集数据,建立模型,用Excel程序包 ,MATLAB 等软件对采集到的数据进行统计分析等处理,来对2010年世博会对上海会展业的影响效应进行定量的评估.

关键字：世博会 会展业 模糊归一 假设法

2 一、 问题重述

以“城市,让生活更美好”为主题,首次在中国举办的中国2010年上海世博会,是一次中国加强与世界交流,近距离对话世界多元文化,向世界学习的重要契机,更是实现科学发展、促进社会和谐的重要机遇.世界博览会不仅仅是为了商业性的目的,更为世界各国展示社会、经济、文化、科技各方面的成就以及发展的前景,提供了绝佳的机遇.