关于排列组合中的分组排队问题

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浅析排列组合中的“平均分组”问题

作者：郑晓华

来源：《读写算》2014年第15期

在排列组合中，有不少涉及到“平均分给”问题，学生在解题过程中容易重复计算，这类问题．如果通过注意观察、对照、比较，可以提高分析问题和解决问题的能力，涉及平均分组问题可以先组(分组)后排(排序)使复杂问题简单化，同时提高分析问题和解决问题的能力。

一、整体平均问题分组问题

例1有6本不同的书

(1)平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法。

(2)平均分成三堆有多少种不同的分法。

（2）同解法1共有

下面我们对解法（2）进行分析：设有A、B、C、D、E、F六本书。

所以 种方法中有重复分堆，应该剔除，事实上AB、CD、EF的所有排列有 种， 种排列只有一种分堆，所以本题正确解答是：所以就有 =15种方法。

从（2）的解法中知道，若平均分成m组，则m组的所有排列有 种， 种排列只对应一种分组，所以要除以 。

二、部分均匀问题分组问题

分组中若n组中有m组均匀，则需除以 。

例2把5本不同的书分成3堆，其中2堆各2本，1堆1本，有多种不同的方法。

解：3堆中有2堆都是2本，即有2部分均匀，所以共有： =10种方法

三、用先组（分组）后排（排序）的方法解决排列组合问题 龙源期刊网

例3（1）有5本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，1人1本，有多少种不同的借法。

（2）有6本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，另2人1本，有多少种不同的借法。

解：（1）先分堆，由于有2堆数相同（部分均匀），所以共有：

再排序： 种方法。

【排列问题】

例1. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求下面不同的排队方案的方法种数。

（1）选5名同学排成一行；

（2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；

（3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

（4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

（5）全体站成一排，男女各站在一起；

（6）全体站成一排，男生必须排在一起；

（7）全体站成一排，男生不能排在一起；

（8）全体站成一排，男、女生各不相邻；

（9）全体站成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻；

（10）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；

（11）全体站成一排，甲必须在乙的右边；

（12）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变；

（13）排成前后两排，前排3人，后排4人。

【组合问题】

例2. 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长。现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）只有一名女生当选；

（2）两队长都当选；

（3）至少有一名队长当选；

（4）至多有两名女生当选；

（5）既要有队长、又要有女生当选。

【分组分配问题】

例3．按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？

（1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（2）平均分成三份，每份2本；

（3）分成三份，一份4本，另两份每份2本；

（4）甲、乙、丙三人一人得一本，一人得两本，一人得三本；

（5）平均分给甲、乙、丙三人，每人得2本；

（6）甲、乙、丙三人中一人得4本，另两人每人得一本；

（7）甲得1本，乙得2本，丙得3本；

（8）甲得1本，乙得1本，丙得4本。

【分名额问题】

例4. 6个工厂组建一公司，共需要10名工人，每厂至少一人，至多3人，那么这10名工人在6个工厂分布情形有多少种？

变式. ……每厂至少一人，……？

【练习】

1.（1）6名运动员分配到四所学校去作体育表演，每校至少一人，有多少种分配方法？

太奇MBA数学助教李瑞玲

一．分组（分堆）与分配问题

将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问

题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题

有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相

同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对

象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。

一．基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同

的分配方法？

（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）

（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）

（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为90222426=CCC,

而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上

6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：

（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)

(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）

（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）

由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。以上的分组

实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组

的顺序，即除以33P,于是最后知分法为1569033222426==PCCC.

(2)先分组，分组方法是60332516=CCC，那么还要不要除以33P???（很

关键的问题）

由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=CCC。

（3）先分组，分组方法是30111246=CCC，这其中有没有重复的分法???(需

要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况

1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下

排列、组合问题基本题型及解法

同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.

一、相邻问题“捆绑法”

将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.

例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？

分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A＝2种，所以共有6×2＝12种排法.

二、不相邻问题“插空法”

该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.

例2 7个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.

分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A＝120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A＝2种方法.则共有5254AA＝440种排法.

三、定位问题“优先法”

指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.

例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有

种.

分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有55A种方法.则共1545AA＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.

四、同元问题“隔板法”

例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？

分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：

×× × ××× ××××

一种插法对应于一种分法，则共有39C＝84种分法.

五、先分组后排列

对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.