概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计 公式（全）

2011-1-1

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概率论与数理统计完整版公式

第1章 随机事件及其概率

（1）排列组合公式 )!(!nmmPnm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!!nmnmCnm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，„表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA

如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

1《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 BA

称为事件A与事件B的和事件，指当且仅B}xxx{ 或ABA

当A，B中至少有一个发生时，事件发生BA

称为事件A与事件B的积事件，指当B}xxx{ 且ABA

A，B同时发生时，事件发生BA

称为事件A与事件B的差事件，指当且仅B}xxx{ 且—ABA

当A发生、B不发生时，事件发生BA—

，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事BA

件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件且S BABA

A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律 ABBAABBA

结合律)()( )()(CBACBACBACBA

分配律 )()B(CAACBA）（

))(()( CABACBA

徳摩根律BABAABA B —

§3．频率与概率

定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为

An

事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率nn

A

概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为

P（A），称为事件的概率

1．概率满足下列条件：)(AP

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0AP

（2）规范性：对于必然事件S 1)S(P

2（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有

nAAA,,,

21

（可以取）

n

kkn

kkAPAP

11)()(n

2．概率的一些重要性质：

（i） 0)(P

（ii）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）

nAAA,,,

21

n

kkn

kkAPAP

11)()(n

（iii）设A，B是两个事件若，则，BA)()()(APBPABP)A()B(PP

概率论与数理统计知识点总结

概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。

一、概率论知识点总结

1. 随机事件与概率

- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。

- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。

2. 古典概型与几何概型

- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。

- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。

3. 随机变量与概率分布

- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。

- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。

- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。

4. 期望与方差 - 期望：反映随机变量平均取值的数值。

- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。

5. 大数定律与中心极限定理

- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。

- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。

二、数理统计知识点总结

1. 抽样与抽样分布

- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。

- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。

2. 参数估计与置信区间

- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。

- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。

3. 假设检验与统计显著性

- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。 - 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。

4. 方差分析与回归分析

- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。

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概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律的数学学科，在自然科学、工程技术、社会科学、经济管理等众多领域都有着广泛的应用。以下是对概率论与数理统计中一些重要知识点的详细总结。

一、随机事件与概率

1、 随机试验

随机试验是指在相同条件下可以重复进行，试验结果不止一个且事先不能确定的试验。

2、 样本空间

样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合。

3、 随机事件

随机事件是样本空间的子集。

4、 事件的关系与运算

包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。

5、 概率的定义

概率是对随机事件发生可能性大小的度量。 6、 古典概型

具有有限个等可能结果的随机试验。

7、 几何概型

样本空间是某个区域，且每个样本点出现的可能性与区域的面积、体积等成正比。

8、 条件概率

在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

9、 乘法公式

用于计算两个事件同时发生的概率。

10、 全概率公式

将复杂事件的概率通过划分样本空间分解为简单事件的概率之和。

11、 贝叶斯公式

在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率。

二、随机变量及其分布

1、 随机变量

用数值来描述随机试验的结果。

2、 离散型随机变量

取值可以一一列举的随机变量。 3、 离散型随机变量的概率分布

列出随机变量的取值以及对应的概率。

4、 常见的离散型随机变量分布

包括 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。

5、 连续型随机变量

取值充满某个区间的随机变量。

6、 连续型随机变量的概率密度函数

用于描述连续型随机变量的概率分布。

7、 常见的连续型随机变量分布

包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

8、 随机变量的函数的分布

已知随机变量的分布，求其函数的分布。

三、多维随机变量及其分布

1、 二维随机变量

由两个随机变量组成的向量。

2、 二维随机变量的联合分布函数

描述二维随机变量的概率分布。 3、 二维离散型随机变量的联合概率分布