固有频率的计算范文

第３７卷第２８期　・５２・　２　０　１　１年１　０月　山　西　建　筑　ＳＨＡＮＸＩ　ＡＲＣＨｒＩＥＣ　Ｉ＇ＵＲＥ　Ｖ０ｌ＿３７　Ｎｏ．２８　Ｏｃｔ．　２０１１　

文章编号：１００９—６８２５（２０１　１）２８—００５２—０２　

钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算　

杨斌谷淡平　

捅要：通过振型函数寻出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固　有频率的计算公式，对实际简支梁进行了动力试验，验证了固有频率理论计算公式的准确性。　

关键词：钢筋混凝土，简支梁，固有频率，数值计算　

中图分类号：ＴＵ３７５．１　文献标识码：Ａ　

０　引言　界条件下式（４）的解可表示为…：　

…。　慧　莩　一　＝　识别

、监测对于确保整个构筑物的安全，评估其服役状态，都具有　～　一　

重要的意义。深入了解钢筋混凝土梁的振动特性，是采用动力破　∑（Ａｍｃｏｓｗｍｔ＋曰　ｓｉｎｔｏ　ｆ）ｙｍ（　）　（５）　

本文通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分　．．申　函数　‘　，　日寸间无关而确定的振型特性　，　

方程，在基于组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有　为求告各　振型　对应的频率，取ｙ（　，　）：（Ａｃｏｓ∞　曰ｓｉｎ　）ｙ　频率的计算公式，通过对实际简支梁进行动力试验，证实了相关　（　），代入式（４）可得：　

理论和计算公式的正确性，能较好的满足工程需要。　一ＰｔＡ（ｘ）ｔＯ＇ｙ（　）：０　（６）　

１　简支梁固有频率的计算　式（６）即为求解梁横向振动　砉频率的微分方程。　

梁在横向荷载作用下，在长为ｌ的梁的轴向（　方向）处用相　由于　（　）和　（　）在任何截面都相等，则式（６）为四阶常系　距无限小的ｄｘ两横向截面截取一微段，设ｙ（　，ｆ），　（　，ｆ），Ｍ（ｘ，　数齐次线性微分方程，求出其通解后根据边界条件得出积分常数　ｔ）和Ｑ（ｘ，ｔ）分别表示梁的　截面处在ｔ时刻的挠度、转角、弯矩和　的关系，从而可求出固有频率∞。　剪力。它们必须满足以下微分关系　：　：　

1——动力学应用专题

2基本内容

1、单自由度系统的自由振动

2、固有频率的计算

3、单自由度系统有阻尼的自由振动

4、单自由度系统的受迫振动

5、隔振与减振

3基本要求

1、会应用动力学基本理论建立单自由度系

统的振动微分方程

3、会计算振动周期、固有频率和振幅2、掌握自由振动、受迫振动的特征

5、了解隔振的概念4、掌握共

振和临界转速的概念

4振动是日常生活和工程实际中常见的物理现象。

例如：钟表的摆动；汽车行驶时车厢的上、下颠簸，

左、右晃动；电机、机床等工作时的振动，狂风吹得旗帜

哗哗作响、对瓶口吹气引起发声；以及地震时引起的建筑

物的振动等。1

、振动：

物体（或系统）在其平衡位置附近

周期性的往复运动。引言

一、振动的现象与定义

5利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度

振动筛引起噪声，影响劳动条件

振动打桩机等消耗能量，降低精度等。

3. 研究振动的目的：研究并掌握振动规律，

消除或减小有害的振动，充分利用振动为人

类服务。2、振动的利弊：引言

一、振动的定义与现象

6引言

二、振动的模型与分析方法

xmg

stlmg

m

k单自

由度

质量

弹簧

系统k

m

7三、振动的分类：

按振动产生的原因分类：

自由振动：无阻尼的自由振动，

有阻尼的自由振动（衰减振动）

强迫振动：无阻尼的强迫振动

有阻尼的强迫振动

按振动方程：

可分为

线性振动和非线性振动。单自由度系统的振动

多自由度系统的振动

弹性体的振动

按振动系统的自由度分类

引言

8

§17-1

单自由度系统的自由振动

一、自由振动的概念：

质量—弹簧系统

9

一、自由振动的概念：

10

弹簧－质量系统，物块的质量为

m

,

弹簧的刚度系数

为

k

,

物块自平衡位置的初始速度为

v

0

。运动过程中，其方向恒指向物体平衡位置的力称为恢复力。

物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下于其平衡位置附近的往复运动称为

无阻尼自由振动

。

二、自由振动微分方程及其解

l

0m

kv

0一、自由振动的概念：

11

12



iixFxm



0kxxm＋



以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立

Ox

1

悬臂梁固有频率的计算

试求在0x处固定、xl处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。

解：法一：欧拉-伯努利梁理论

悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0wxtwxtEIAxt；

悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI)0(4)xlxldwwwwxxdxxxx，；

该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)CcossincoshsinhWxCxCxCx，(t)AcostBsintTww；其中24AEI

将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C0C，24C0C；进一步整理可得12(x)C(coscosh)(sinsinh)WxxCxx；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(coscosh)C(sinsinh)0Cllll；12(sinsinh)C(coscosh)0Cllll要求12CC和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(coscosh)(sinsinh)=0(sinsinh)(coscosh)llllllll

所以得到频率方程为：cos()cosh()1nnll；该方程的根nl表示振动系统的固有频率：1224()(),1,2,...nnEIwlnAl满足上式中的各nl（1,2,...n）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.8751044.6940917.85475710.99554114.1372lllll，，，，；若相对于n的2C值表示为2nC，根据式中的1nC，2nC可以表示为21coscosh()sinsinhnnnnnnllCCll；2

1

悬臂梁固有频率的计算

试求在0x处固定、xl处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。

解：法一：欧拉-伯努利梁理论

悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0wxtwxtEIAxt；

悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI)0(4)xlxldwwwwxxdxxxx，；

该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)CcossincoshsinhWxCxCxCx，(t)AcostBsintTww；其中24AEI

将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C0C，24C0C；进一步整理可得12(x)C(coscosh)(sinsinh)WxxCxx；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(coscosh)C(sinsinh)0Cllll；12(sinsinh)C(coscosh)0Cllll要求12CC和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(coscosh)(sinsinh)=0(sinsinh)(coscosh)llllllll

所以得到频率方程为：cos()cosh()1nnll；该方程的根nl表示振动系统的固有频率：1224()(),1,2,...nnEIwlnAl满足上式中的各nl（1,2,...n）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.8751044.6940917.85475710.99554114.1372lllll，，，，；若相对于n的2C值表示为2nC，根据式中的1nC，2nC可以表示为21coscosh()sinsinhnnnnnnllCCll；2