自适应小波阈值去噪原理
小波变换的出现为信号处理领域带来了新的处理方法，其中的小波阈值去噪技术由于
其出色的去噪效果而备受关注。
该技术在如何确定阈值方面存在许多争议，为了解决这个
问题，自适应小波阈值去噪技术应运而生。
本文将详细介绍自适应小波阈值去噪技术的原
理和实现方式。
小波阈值去噪技术是基于小波变换的信号去噪方法，其基本原理是：将噪声信号通过
小波变换转换到小波域，利用小波变换的分解性质将噪声和信号分开，通过加入阈值进行
噪声的滤除，然后将小波域上的信号逆变换回时域，得到经过去噪后的信号。
具体来说，对于一个长度为N的信号$x(n)$，它可以进行小波变换得到其小波系数$CJ_k$，即：
$$
CJ_k = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)\psi_{j,k}(n)
$$
$\psi_{j,k}(n)$为小波基函数，它们可以由小波变换的不同种类选择。
通过多层小
波分解，可以得到多个小波系数矩阵$CJ_{nj}$，其中$n$表示小波变换的层数，$j$表示
小波系数的关键字，$j=(n,j)$。
在小波域中，噪声和信号的表现方式不同。
通常情况下，信号的小波系数分布在某个
范围内，而噪声则分布在零附近。
我们可以通过以零为中心的阈值将小波系数分为两部分：大于阈值的系数表示信号成分，小于阈值的系数表示噪声成分。
然后将小于阈值的小波系
数清零，再通过逆变换将小波系数转换回原始信号。
小波阈值去噪技术的核心问题是如何确定阈值。
传统的小波阈值去噪技术采用全局阈值，所有小波系数均采用同一个阈值进行处理。
这种方法可能会使信号丢失部分重要信息，从而影响其质量。
如果在将全部小波系数同时处理时，不同频带的信号成分和噪声带宽差
异较大，无法很好地选取合理的阈值。
为了解决这些问题，自适应小波阈值去噪技术应运而生。
该方法采用自适应阈值，在
不同频带上分别应用不同的阈值，以便更好地保留信号信息。
自适应小波阈值去噪技术的
步骤如下：
1. 利用小波变换将噪声信号转换到小波域。
2. 分析所有小波系数的分布，确定使用的小波分解层数n。
3. 将小波系数划分为不同的频带和子带。
4. 对每个子带进行平均绝对离差（MAD）的计算，作为该子带的参考值。
5. 利用MAD计算一个自适应阈值进行去噪，即：
$$
thr_j=K\sigma_j
$$
$thr_j$为第$j$个子带的阈值，$\sigma_j$为该子带的MAD，$K$为可调参数，一般取值为2-3。
6. 对每个子带的小波系数使用自适应阈值进行去噪。
7. 将去噪后的小波系数逆变换回原始信号。
自适应小波阈值去噪技术的实现可以采用Matlab等数学软件来完成。
Matlab提供了大量的小波变换算法库，例如discrete wavelet transform（DWT），stationary wavelet transform（SWT），undecimated wavelet transform（UWT）等。
下面以DWT为例，介绍自适应小波阈值去噪的具体实现过程。
假设原始信号为x，需要进行去噪处理：
1. 进行小波变换，可以使用matlab中的dwt函数。
假设原始信号为x，需要使用Daubechies-4小波将其分解为4层，并采用周期延拓的方式，可以使用如下命令：
```matlab
[wavedeco,l] = wavedec(x,4,'db4','mode','per');
```
wavedeco是小波系数，l是一个包含每个分解层的长度的向量。
2. 将小波系数分为不同的子带。
假设使用4层小波分解，那么分解后的系数矩阵应为：
cA4为第四级最低频带的系数，cD1、cD2、cD3、cD4依次为第1到第4级高频带的系数。
3. 计算每个子带的MAD值。
MATLAB中提供了mad函数可以用来计算MAD值。
```matlab
mad_cD1 = mad(cD1);
mad_cD2 = mad(cD2);
mad_cD3 = mad(cD3);
mad_cD4 = mad(cD4);
```
4. 计算每个子带对应的阈值。
假设K=2：
5. 对每个小波系数使用自适应阈值进行去噪，即：
```matlab
cD1_t = wthresh(cD1,'s',thr_cD1);
cD2_t = wthresh(cD2,'s',thr_cD2);
cD3_t = wthresh(cD3,'s',thr_cD3);
cD4_t = wthresh(cD4,'s',thr_cD4);
```
wthresh函数用于根据阈值进行小波系数的软阈值处理。
6. 将去噪后的系数矩阵进行组合形成新的小波系数矩阵。
```matlab
wavedeco_t = [cD1_t,cD2_t,cD3_t,cD4_t,cA4];
```
7. 将去噪后的小波系数逆变换回时域。
至此，自适应小波阈值去噪的完整过程就完成了。
四、总结
自适应小波阈值去噪技术具有灵活性和高效性，可以更好地处理复杂噪声和信号的混合物。
与传统的全局阈值方法相比，自适应小波阈值去噪技术能够更好地保留信号的重要信息，同时能够准确去除噪声，提高了信号去噪的准确性。
