考点29 梯形

考纲要求命题趋势1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．2．掌握等腰梯形的性质与判定．3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.知识梳理一、梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．梯形的分类：梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎪⎨⎪⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积＝12(上底＋下底)×高＝中位线×高．二、等腰梯形的性质与判定1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．(2)等腰梯形同一底上的两个角________．(3)等腰梯形的对角线________．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形．(3)对角线相等的________是等腰梯形．三、梯形的中位线1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线．2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半．四、梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．自主测试1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为( )A．2 B． 3 C．3 D． 52．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A．7米 B．6米 C．5米 D．4米3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是( )A．∠ADE＝∠CDEB．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DED．CD＝AD＋BC4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．考点一、一般梯形的性质【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.∴AE∥DF，∠AEF＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF.∵BD ＝CD ，DF ⊥BC ，∴DF 是△BDC 边BC 上的中线．∵∠BDC ＝90°，∴DF ＝12BC ＝BF ＝4.∴AE ＝4，BE ＝BF －EF ＝4－3＝1.在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AB ＝42＋12＝17.方法总结 遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．触类旁通1 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，E ，F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．(1)AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．(2)当AB ＝DC 时，求证：四边形AEFD 是矩形． 考点二、等腰梯形的性质与判定【例2】如图，在等腰△ABC 中，点D ，E 分别是两腰AC ，BC 上的点，连接AE ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2.(1)求证：OD ＝OE ；(2)求证：四边形ABED 是等腰梯形．分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD ＝AE ，根据∠1＝∠2可以证明OA ＝OB ，根据等式性质可知OD ＝OE ；(2)先证明四边形ABED 是梯形，然后证明两腰相等即可．证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AC ＝BC . ∴∠BAD ＝∠ABE .又∵AB ＝BA ，∠2＝∠1，∴△ABD ≌△BAE ，∴BD ＝AE . 又∵∠1＝∠2，∴OA ＝OB .∴BD －OB ＝AE －OA ，即OD ＝OE .(2)由(1)知，OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE .∴∠OED ＝12(180°－∠DOE )．同理，∠1＝12(180°－∠AOB )．∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB . ∵AD 不平行于BE ，∴四边形ABED 是梯形， ∵AE ＝BD ，∴梯形ABED 是等腰梯形．方法总结 在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．触类旁通2 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为AO ，DO 的中点，四边形BCNM是等腰梯形吗？为什么？考点三、有关梯形的计算【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝42，求DC的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝42，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝ 2.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝42，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2 2.∴EF＝BC－BF－EC＝ 2.在Rt△AFE中，AE＝AF2＋EF2＝222＋22＝10，即DC＝10.方法总结解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.1．(2012山东临沂)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是( )A．AC＝BDB．OB＝OCC．∠BCD＝∠BDCD．∠ABD＝∠ACD2．(2012湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是( )A．正方形 B．矩形C．等腰梯形 D．直角梯形3．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )A．10 B．4 5C．10或4 5 D．10或2174．(2012湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC 的长为__________．5．(2012四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.6．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.求证：∠B＝∠E.1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( )A．6 B．7C．8 D．102．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )A．33cm2 B．6 cm2C．63cm2 D．12 cm23．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于O ，∠ABD ＝30°，AC ⊥BC ，AB ＝8 cm ，则△COD 的面积为( )A ．433cm 2B ．43cm 2C ．233cm 2D ．23cm 25．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，梯形ABCD 的周长为26，BE ＝4，则△DEC 的周长为__________．(第5题图)6．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm ，BC ＝8 cm ，则AB 的长度是__________ cm.(第6题图)7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝4，则梯形ABCD 的面积是__________．(第7题图)8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF ＝__________.(第8题图)9．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形．参考答案导学必备知识 自主测试1．D 2．B 3．C 4．1＜x ＜7 探究考点方法触类旁通1．解：(1)AD ＝13BC .理由如下：∵AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形， ∴AD ＝BE ，AD ＝FC .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ＝EF ，∴AD ＝BE ＝EF ＝FC ，∴AD ＝13BC .(2)证明：∵四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，∴DE ＝AB ，AF ＝DC . ∵AB ＝DC ，∴DE ＝AF .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴四边形AEFD 是矩形．触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN ∥AD ∥BC ，且MN ≠BC ，∴四边形BCNM 为梯形．在矩形ABCD 中，AO ＝DO ，又M ，N 分别是AO ，DO 的中点，∴OM ＝ON ，∴CM ＝BN ，∴四边形BCNM 是等腰梯形．触类旁通3．2 ∠CAB ＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠B ＝60°， ∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝30°.又∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝30°＝∠DAC . ∴CD ＝AD ＝BC ＝2 cm. 品鉴经典考题1．C 对于A ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ，故本选项正确；对于B ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB (SAS)，∴∠ACB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ，故本选项正确；对于C ，∵无法判定BC ＝BD ，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误；对于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ACD，故本选项正确．故选C.2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.3．C 考虑两种情况．①如图：因为CD＝22＋42＝25，点D是斜边AB的中点，所以AB＝2CD＝4 5.②如图：因为CE＝32＋42＝5，点E是斜边AB的中点，所以AB＝2CE＝10，故原直角三角形纸片的斜边长是10或4 5.4．4 过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.5．9 过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9.6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.研习预测试题1．B 2．A 3．C 4．A 5．18 6．15 7．98．10 如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.易得四边形ACGD 为平行四边形，∴CG ＝AD ＝4，BG ＝BC ＋CG ＝8＋4＝12. ∵AC ⊥BD ，AC ∥DG ，∴BD ⊥DG .∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ＝DG . ∴△BDG 为等腰直角三角形．又∵DF ⊥BC ，∴DF ＝12BG ＝6.∴AE ＋EF ＝DF ＋AD ＝6＋4＝10.9．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.又∵CE ⊥AC ，∴∠E ＝60°＝∠CBE .∴CE ＝BC ＝AD . ∵CD ∥AE ，AE ＝AB ＋BE ＝DC ＋BE ≠DC ， ∴四边形AECD 是等腰梯形．。

梯形1、〔2021•宁波〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD 于点E，且AE∥CD，那么AD的长为〔〕考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．应选B．点评：此题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．2、〔2021•十堰〕如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，那么下底BC 的长为〔〕A．8B．9C．10 D．11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．应选：A．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据得出BF=EC的长是解题关键．3、〔2021•荆门〕如右图所示，等腰梯形ABCD，AD∥BC，假设动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影局部的面积为S，BP为x，那么S关于x的函数图象大致是〔〕A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．解解：①当直线l经过BA段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越答： 快；②直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l 经过DC 段时，阴影局部的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A 选项的图象符合． 应选A ． 点评： 此题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．4、〔2021年广州市〕如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==那么tan B =〔 〕A 23B 22 C114 D 554分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算． 解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ， 过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC 〔等腰三角形三线合一的性质〕， ∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2， 在Rt △ADF 中，AF==4，那么AC=2AF=8，tanB===2．应选B ．点评：此题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大．5、(2021年南京)如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。

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《20232024学年五年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。

1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

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黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学工作室2023年10月1日20232024学年五年级数学上册典型例题系列第四单元多边形的面积·梯形篇【十一大考点】专题解读本专题是第四单元多边形的面积·梯形篇。

本部分内容是梯形的面积及其应用，考点和梯形以梯形面积的实际应用为主，建议作为将其本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。

目录导航目录【考点一】梯形的面积其一 (3)【考点二】梯形的面积其二 (4)【考点三】已知面积，反求上底、下底或高 (6)【考点四】等高模型下的平行四边形、三角形、梯形 (7)【考点五】梯形中的最大图形问题 (8)【考点六】梯形中的面积变化问题 (10)【考点七】梯形面积的实际应用其一 (10)【考点八】梯形面积的实际应用其二 (12)【考点九】梯形面积的实际应用其三 (13)【考点十】梯形面积的实际应用其四 (14)【考点十一】差不变原理求梯形的面积 (15)典型例题【考点一】梯形的面积其一。

中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。

其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。

【讲义课题】：梯形及梯形的辅助线【考点及考试要求】一、学习目标：1. 掌握梯形的有关概念和基本性质。

2. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养分析问题能力和计算能力。

3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形的问题，体会图形变换的方法和转化的思想。

总结作梯形常见辅助线的方法，通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形的问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．二、重点、难点：重点：等腰梯形的性质及其应用。

难点：解决梯形问题的基本方法：将梯形转化为平行四边形或三角形及正确添加辅助线。

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）。

三、考点分析：考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用梯形直角梯形的概念√等腰梯形的概念√等腰梯形的性质与判定√知识梳理一、梯形的定义和分类梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是就位置来说的。

）1. 一些基本概念（如图）：底、腰、高。

2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

二、梯形的性质梯形的上底和下底互相平行，两腰不平行。

三、等腰梯形的性质1. 等腰梯形同一底边上的两个角相等2. 等腰梯形的两条对角线相等3. 等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴四、等腰梯形的判定1. 有两腰相等的梯形是等腰梯形2. 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形五、梯形的中位线1. 定义：梯形两腰中点的连线2. 定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半六、梯形的面积梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=中位线×高七、梯形中常作的辅助线（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长，使其与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）。

第20讲 梯形考纲要求命题趋势1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．2．掌握等腰梯形的性质与判定． 3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.知识梳理一、梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 3．梯形的分类：梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎪⎨⎪⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积＝12(上底＋下底)×高＝中位线×高．二、等腰梯形的性质与判定 1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行． (2)等腰梯形同一底上的两个角________． (3)等腰梯形的对角线________．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴． 2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形． (3)对角线相等的________是等腰梯形． 三、梯形的中位线1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线． 2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半． 四、梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形． 5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．自主测试1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为()A．2 B． 3 C．3 D． 52．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了()A．7米 B．6米 C．5米 D．4米3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是()A．∠ADE＝∠CDEB．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DED．CD＝AD＋BC4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．考点一、一般梯形的性质【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．∴AE∥DF，∠AEF＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF.∵BD＝CD，DF⊥BC，∴DF是△BDC边BC上的中线．∵∠BDC＝90°，∴DF＝12BC＝BF＝4.∴AE＝4，BE＝BF－EF＝4－3＝1.在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，∴AB＝42＋12＝17.方法总结遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．触类旁通 1 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由．(2)当AB＝DC时，求证：四边形AEFD是矩形．考点二、等腰梯形的性质与判定【例2】如图，在等腰△ABC中，点D，E分别是两腰AC，BC上的点，连接AE，BD 相交于点O，∠1＝∠2.(1)求证：OD＝OE；(2)求证：四边形ABED是等腰梯形．分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD＝AE，根据∠1＝∠2可以证明OA ＝OB，根据等式性质可知OD＝OE；(2)先证明四边形ABED是梯形，然后证明两腰相等即可．证明：(1)∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC.∴∠BAD＝∠ABE.又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE，∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB.∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.(2)由(1)知，OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE.∴∠OED＝12(180°－∠DOE)．同理，∠1＝12(180°－∠AOB)．∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.∵AD不平行于BE，∴四边形ABED是梯形，∵AE＝BD，∴梯形ABED是等腰梯形．方法总结在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．触类旁通2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M，N分别为AO，DO的中点，四边形BCNM是等腰梯形吗？为什么？考点三、有关梯形的计算【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝42，求DC的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝42，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝ 2.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝42，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2 2.∴EF＝BC－BF－EC＝ 2.在Rt△AFE中，AE＝AF2＋EF2＝(22)2＋(2)2＝10，即DC＝10.方法总结解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.A．AC＝BDB．OB＝OCC．∠BCD＝∠BDCD．∠ABD＝∠ACD2．(湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是()A．正方形 B．矩形C．等腰梯形 D．直角梯形3．(安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是()A．10 B．4 5C．10或4 5 D．10或2174．(湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC 的长为__________．5．(四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.6．(四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.求证：∠B ＝∠E .1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．102．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60°，CD ＝2 cm ，则梯形ABCD 的面积为( )A ．33cm 2B ．6 cm 2C ．63cm 2D ．12 cm 23．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD ＝DC ＝4，AB ＝1，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于O ，∠ABD ＝30°，AC ⊥BC ，AB ＝8 cm ，则△COD 的面积为( )A ．433cm 2B ．43cm 2C ．233cm 2D ．23cm 25．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，梯形ABCD 的周长为26，BE ＝4，则△DEC 的周长为__________．(第5题图)6．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm ，BC ＝8 cm ，则AB 的长度是__________ cm.(第6题图)7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝4，则梯形ABCD 的面积是__________．(第7题图)8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF ＝__________.(第8题图)9．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形．参考答案导学必备知识 自主测试1．D 2．B 3．C 4．1＜x ＜7 探究考点方法触类旁通1．解：(1)AD ＝13BC .理由如下：∵AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形， ∴AD ＝BE ，AD ＝FC .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ＝EF ，∴AD ＝BE ＝EF ＝FC ，∴AD ＝13BC .(2)证明：∵四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，∴DE ＝AB ，AF ＝DC . ∵AB ＝DC ，∴DE ＝AF .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴四边形AEFD 是矩形．触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN ∥AD ∥BC ，且MN ≠BC ，∴四边形BCNM 为梯形．在矩形ABCD 中，AO ＝DO ，又M ，N 分别是AO ，DO 的中点，∴OM ＝ON ，∴CM ＝BN ，∴四边形BCNM 是等腰梯形．触类旁通3．2 ∠CAB ＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠B ＝60°， ∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝30°.又∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝30°＝∠DAC . ∴CD ＝AD ＝BC ＝ 2 cm. 品鉴经典考题1．C 对于A ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ，故本选项正确；对于B ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB (SAS)，∴∠ACB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ，故本选项正确； 对于C ，∵无法判定BC ＝BD ，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误； 对于D ，∵∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ， ∴∠ABD ＝∠ACD ，故本选项正确． 故选C.2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.3．C 考虑两种情况． ①如图：因为CD ＝22＋42＝25，点D 是斜边AB 的中点， 所以AB ＝2CD ＝4 5. ②如图：因为CE＝32＋42＝5，点E是斜边AB的中点，所以AB＝2CE＝10，故原直角三角形纸片的斜边长是10或4 5.4．4过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.5．9过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9.6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.研习预测试题1．B2．A3．C4．A5．186．157．98．10如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.易得四边形ACGD为平行四边形，∴CG＝AD＝4，BG＝BC＋CG＝8＋4＝12.∵AC⊥BD，AC∥DG，∴BD⊥DG.∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝DG.∴△BDG为等腰直角三角形．又∵DF⊥BC，∴DF＝12BG＝6.∴AE＋EF＝DF＋AD＝6＋4＝10.9．证明：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∠DAB＝30°.∴∠CAE＝12又∵CE⊥AC，∴∠E＝60°＝∠CBE.∴CE＝BC＝AD. ∵CD∥AE，AE＝AB＋BE＝DC＋BE≠DC，∴四边形AECD是等腰梯形．。

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。