2019届高三三角函数专题复习

三角函数与解三角形考点梳理： 一、三角函数（一）角的概念与诱导公式1． 与角α终边相同的角的集合：{}360,k k ββα=⋅+∈Z 2． 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限． （二）三角函数定义与同角三角函数基本关系的应用1．三角函数的定义——三角函数是,,x y r 三个量的比值 2．三角函数的符号—口诀：一全正二正弦，三正切四余弦． 3．三角函数线正弦线sin α=MP 余弦线cos α=OM 正切线tan α=AT4．同角三角函数的关系：22sin cos 1αα+=；sin tan cos ααα=．（三） 两角和与差的三角函数、二倍角公式的应用 1．两角和与差的三角函数()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±= (,,)2k παβαβπ±≠+2．二倍角公式sin 22sin cos ααα=．2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-[:3．降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=4．半角公式sin2α=2)cos 1(α-± ，2cos 12cos αα+±= αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=（四）三角函数图像的性质的应用sin y x = cos y x = tan y x =图象函数 性质定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦[: ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴（五）三角函数的变换函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换（0,00A ωϕ>>>，）函数sin()y A x ωϕ=+的图象可以通过下列两种方式得到：1．1sin sin()y x y x ϕωϕ=−−−−→=+−−−−−−−→横坐标变为原来的倍图像向左)sin(ϕω+=x ysin()A y A x ωϕ−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍2．1sin sin()y x y x ϕωωω=−−−−−−−→=−−−−→横坐标变为原来的倍图像向左)sin(ϕω+=x ysin()A y A x ωϕ−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍二、解三角形（一）正弦定理、余弦定理的应用1． 正弦定理2sin sin sin a b cR A B C=== 2． 余弦定理及推论2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-推论：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222cos 2a b c C ab+-=（二）面积公式及应用111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===热点探究：三角函数与解三角形是高考必考内容之一，考查的知识点只要有：任意角的三角函数的概念、同角三角函数的关系与诱导公式、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、正弦定理和余弦定理等，试题以考查基础为主，难度一般是中等偏下，通常在解答题的前两道中出现．分析近五年的高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考沙场点兵、实战演练1．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若4(),0253f απα=<<，求cos α的值．2．已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且⑴ 求f （x ）的最小正周期；⑵ 求f （x ）的单调递减区间；⑶ 函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？3． 已知ΔABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ， c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =--．（1）若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积．4． 已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-，(1,2)b =．（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||a b =（0θπ<<），求θ的值．5． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =， 3AB AC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积； （2）若1c =，求a 的值．6． 设函数f （θ）=3sin cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤．（1）若点P 的坐标为13(,)22，求f ()θ的值； （2）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值．7． 已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（1）求()f x 的最小正周期： （2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．8．在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知222()tan 3b c a A bc +-=（1）求角A ；（2）若=2a ，求ABC ∆面积S 的最大值．9． 已知函数()sin(2)sin(2)3cos 233f x x x x m ππ=++-+-，若()f x 的最大值为1． （1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()31f B =-，且3a b c =+，试判断三角形的形状．10． 若)2sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ+---=33-，且()πα,0∈． 求（1）ααααsin cos sin cos +-；（2）ααα2cos cos sin 1+-的值．11． 已知函数=)(x f 223sin cos 2cos x x x m ⋅++在区间[0,]3π上的最大值为2．（1）求常数m 的值；（2）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边是a ,b ,c ，若()1f A =，sin 3sin B C =， ABC ∆面积为334． 求边长a ．12． （2018上海）已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>．(1)令1ω=,判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．13．（2018福建）如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,22OP =,点M 在线段PQ 上．(1)若3OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值．[:答案：1．（1）()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+(2) 334sin()sin 66610πππα+++=2．⑴)(x f 的最小正周期T=.22ππ=⑵]127,12[ππππk k ++)(Z k ∈．⑶)6(2sin )(π+=x x f ，∴奇函数x y 2sin =的图象左移6π即得到)(x f 的图象， 3． 解证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v vQ即22a b a b R R⋅=⋅，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ABC ∴∆为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v即 a b ab ∴+=由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+-2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去 w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m11sin 4sin 3223S ab C π∴==⋅⋅=4．（1） 1tan .4θ=（2）由||||a b =知，22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=所以212sin 24sin 5.θθ-+=从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos 21θθ+=-， 于是2sin(2)42πθ+=-．又由0θπ<<知，92444πππθ<+<，所以5244ππθ+=，或7244ππθ+=． 5．（1）2 （2）5232125cos =⨯-+=A c6． （1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos .2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是31()3sin cos 3 2.22f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中A （1，0），B （1，1），C （0，1）．于是0.2πθ≤≤又()3sin cos 2sin()6f πθθθθ=+=+， 且2,663πππθ≤+≤故当,623πππθθ+==即， ()f θ取得最大值，且最大值等于2；当,066ππθθ+==即时， ()f θ取得最小值，且最小值等于1．7．（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+当取得最小值—1．[: 8． （1）60A ︒= (2) 3 9． （1）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ （2）直角三角形 10．（1）223-（2）423- 11．（1）-1（2）712． (1)()2sin 2sin()2sin 2cos 22sin()24F x x x x x x ππ=++=+=+()F x 是非奇函数非偶函数．∵()0,()2244F F ππ-==,∴()(),()()4444F F F F ππππ-≠-≠-∴函数()()()2F x f x f x π=++是既不是奇函数也不是偶函数．(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163g x x x ππ=++=++,其最小正周期T π=由2sin(2)103x π++=,得1sin(2)32x π+=-,∴2(1),36k x k k Zπππ+=--⋅∈,即(1),2126k k x k Z πππ=--⋅-∈ [:区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点；故当(1),2126k k a k Z πππ=--⋅-∈时,21个,否则20个． 13． (1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,5OM =,22OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =．(2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒,在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+,同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒ ()()()131sin 45sin 45cos 4522ααα=⎡⎤︒+︒++︒+⎢⎥⎣⎦()()()2131sin 45sin 45cos 4522ααα=︒++︒+︒+ ()()1311cos 902sin 90244αα=-︒++︒+⎡⎤⎣⎦ 1331sin 2cos 2444αα=++ ()131sin 23042α=++︒ 因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为843-．。

题组层级快练(二十三)1．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数答案 D解析 f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选A. 3．函数y ＝2sin(π6－2x)(x ∈[0，π])的增区间是( )A ．[0，π3]B ．[π12，7π12]C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]答案 C解析 ∵y ＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z ，∴当k ＝0时，增区间为[π3，5π6]．4．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]答案 C解析 由f(x)＝12sin2x ＋12(1－cos2x)＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得到函数f(x)的一个单调增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.5．(2016·北京朝阳区期末)已知函数f(x)＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f(π7)，b ＝f(π6)，c ＝f(π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a答案 B解析 f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin(x ＋π3)，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f(π7)<f(π6)，而c ＝f(π3)＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f(π7)，所以c<a<b.6．(2016·南昌大学附中)设f(x)＝sin (ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( ) A ．f(0)＝1 B ．f(0)＝0 C ．f ′(0)＝1 D ．f ′(0)＝0答案 D解析 f(x)＝sin (ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝±ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.7．(2014·天津)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π 答案 C解析 f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2(sin ωx ×32＋cos ωx ×12)＝2sin (ωx ＋π6)， 令f(x)＝1，得sin (ωx ＋π6)＝12.∴ωx 1＋π6＝π6＋2k π或ωx 2＋π6＝5π6＋2k π.∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω(x 2－x 1)＝2π3，∴ω＝2，∴T ＝2πω＝π.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.9．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A ．[－32，0) B ．[－3，0)C ．(0，32] D ．(0，3]答案 C解析 由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32. 10．已知函数f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ，则函数f(x)的图像( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点(π8，－24)对称C ．最小正周期为2πD ．在区间(0，π8)上为减函数答案 A解析 化简f(x)＝cos(x ＋π4)·sinx ＝(22cosx －22sinx)·sinx ＝24(sin2x ＋cos2x －1)＝12sin(2x ＋π4)－24，则该函数图像的对称轴为直线x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，A 正确；其对称中心(－π8＋k π2，－24)，k ∈Z ，B 不正确；其最小正周期为π，C 不正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，D 不正确，故选A.11．若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.5π4 答案 C解析 f(x)＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将其图像向右平移φ个单位得到g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像．∵g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像关于y 轴对称，即函数g(x)为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z . 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.12．(2015·东北四校模拟)已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是( )A ．[－π8，3π8]B ．[5π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 D解析 ∵f(π8)＝－2，∴－2sin(2×π8＋φ)＝－2.即sin(π4＋φ)＝1.∵|φ|<π，∴φ＝π4.∴f(x)＝－2sin(2x ＋π4)．由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．当k ＝0时，π8≤x ≤5π8.13．设f(x)＝xsinx ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)>f(x 2)，则下列结论中，必成立的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 12>x 22答案 D14．若y ＝cosx 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是________． 答案 －π<α≤015．将函数y ＝sin (ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________．答案 12解析 注意到函数的两相邻对称中心之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝23π－(－43π)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.16．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图像的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．答案 23π解析 f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．17．已知函数f(x)＝（sinx －cosx ）sin2xsinx .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．答案 (1){x ∈R |x ≠k π，k ∈Z } T ＝π(2)[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )解析 (1)由sinx ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )． 故f(x)的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f(x)＝(sinx －cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx －cosx) ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sinx 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f(x)的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．18．(2015·重庆理)已知函数f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在[π6，2π3]上的单调性．答案 (1)T ＝π 2－32(2)增区间[π6，5π12]，减区间[5π12，2π3]解析 (1)f(x)＝sin(π2－x)sinx －3cos 2x ＝cosxsinx －32(1＋cos2x)＝12sin2x －32cos2x －32＝sin(2x －π3)－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈[π6，2π3]时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在[π6，5π12]上单调递增；在[5π12，2π3]上单调递减．1．将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π)答案 B解析 将函数f(x)＝sin2x(x ∈R )的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2(x －π4)＝－cos2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为[k π，k π＋π2]，k ∈Z ，而满足条件的只有B.2．(2016·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图像的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图像的一个对称中心为(5π12，0)；④函数f(x)的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z .其中正确的结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sin π＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.3．(2013·浙江理)已知函数f(x)＝Aco s(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R )，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 f(x)是奇函数时，φ＝π2＋k π(k ∈Z )； φ＝π2时，f(x)＝Acos (ωx ＋π2)＝－Asin ωx 为奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件，选B.4．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 由题意知，f(x)在x ＝π6处取得最大值或最小值，∴x ＝π6是函数f(x)的对称轴．∴2×π6＋φ＝π2＋k π，φ＝π6＋k π，k ∈Z .又由f(π2)>f(π)，得sin φ<0.∴φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝－56π.∴f(x)＝sin(2x －5π6)．由2k π－π2≤2x －56π≤2k π＋π2，得f(x)的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．5．若函数f(x)＝Msin (ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b]上是增函数，且f(a)＝－M ，f(b)＝M ，则函数g(x)＝Mcos (ωx ＋φ)在[a ，b]上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．方法二：T ＝2πw ，g(x)＝Mcos(wx ＋φ)＝Msin(wx ＋φ＋π2)＝Msin[w(x ＋π2w)＋φ]，∴g(x)的图像是由f(x)的图像向左平移π2w (即T4)得到的．由b －a ＝T2，可知，g(x)的图像由f(x)的图像向左平移b －a 2得到的．∴得到g(x)图像如图所示．选C.6．(2015·全国Ⅰ)函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．(k π－14，k π＋34)，k ∈ZB ．(2k π－14，2k π＋34)，k ∈ZC ．(k －14，k ＋34)，k ∈ZD ．(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z答案 D解析 由题图知，函数f(x)的最小正周期T ＝(54－14)×2＝2，所以ω＝π，又(14，0)可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos(π4＋φ)＝0，π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，所以f(x)＝cos(πx ＋π4)，所以由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，选D.7．(2013·江西理)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.8．(2015·天津文)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．答案 π2解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π4)，因为函数f(x)的图像关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)＝2sin (ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.9．(2013·安徽理)已知函数f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0，π8]，单调递减区间为[π8，π2]解析 (1)f(x)＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．10．(2015·安徽文)已知函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2＋cos2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f(x)＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sinxcosx ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1， 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4]，由正弦函数y ＝sinx 在[π4，5π4]上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0，π2]上的最大值为2＋1，最小值为0.。

三角函数总复习57.3.的终边上的任意一点（异于原点）0)，sec2sin sin tan tan 1tan tan 2tan 1tan ααβαβαα±-三角函数的化简、计算、注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！tan tan αcos 22α，sin 22cos α，1对角、函数名、式子结构化同)。

x 2sec x =”的内存联系――“知一求二”2cot 2tanCB A =+ ②任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. ③正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为ABC ∆外接圆半径) ④余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，=2b _________________,=2c ___________________.=A cos _______________________,=B cos _________________,=C cos _______________________.⑤面积公式 C ab S ABC sin 2121高＝底⨯=∆=_______=_________=))()((c p b p a p p ---＝rp Rabc=4（其中ABC r R c b a p ∆++=分别为、、)(21的外接圆、内切圆半径） ⑥边角之间的不等关系B A b a B A sin sin >⇔>⇔>15、正余弦定理适用的题型⑴余弦定理适用的题型 ①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。

⑵正弦定理适用的题型 ①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，这时解三角形会产生多解的情况，举例说明已知时，和、A b a 解的情况如下： i A 为锐角（A b a sin 与的关系）ii A 为钝角（b a 与的关系）16.三角函数的图像和性质1.正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。

精 品 试 卷第25讲 三角函数的图象与性质(一)1．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．2|MN |＝|sin a －cos a |＝2|sin(a －π4)|≤ 2. 2．函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为(C) A ．2 B. 3C ．1 D.12因为f (x )＝3sin x ＋12cos x －32sin x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin x cos π6＋cos x sin π6＝sin(x ＋π6)． 所以f (x )的最大值为1. 3．(2016·新课标卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos(π2－x )的最大值为(B) A ．4 B ．5C ．6D ．7因为f (x )＝cos 2x ＋6cos(π2－x ) ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x＝－2(sin x －32)2＋112， 又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B.4．(2017·新课标卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)的最大值为(A) A.65B ．1 C.35 D.15(方法一)因为f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6) ＝15(12sin x ＋32cos x )＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin(x ＋π3)， 所以当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.精 品 试 卷 (方法二)因为(x ＋π3)＋(π6－x )＝π2，所以f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)＝15sin(x ＋π3)＋cos(π6－x )＝15sin(x ＋π3)＋sin(x ＋π3)＝65sin(x ＋π3)≤65.所以f (x )max ＝65.5．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 在区间[－π4，π4]上的最小值为 1－22.f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，因为x ∈[－π4，π4]，所以－22≤sin x ≤22，所以当x ＝－π4，即sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－12－22＝1－22.6．如图，半径为R设∠BAC ＝θ，周长为p ，则p ＝2AB ＋2BC ＝2(2R cos θ＋2R sin θ)＝42R sin(θ＋π4)≤42R ，当且仅当θ＝π4时取等号．所以周长的最大值为42R .7．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间[－π3，π4]上的最大值和最小值．(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－x －π32＝12(12cos 2x ＋32sin 2x )－12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin(2x －π6)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π3，－π6]上是减函数，在区间[－π6，π4]上是增函数， 且f (－π3)＝－14，f (－π6)＝－12，f (π4)＝34， 所以f (x )在区间[－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12.8．(2016·湖北省八校第二次联考)若f (x )＝2cos(2x ＋φ)(φ>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f (x 0)＝a ，则a 的取值范围是(D) A ．(－1,2] B ．[－2，－1)C ．(－1,1)D ．[－2,1)因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－2π3(k ∈Z )， 因为φ>0，所以φmin ＝π3，此时f (x )＝2cos(2x ＋π3)． 因为x 0∈(0，π2)，所以2x 0＋π3∈(π3，4π3)， 所以－1≤cos(2x 0＋π3)<12， 所以－2≤2cos(2x 0＋π3)<1， 即－2≤f (x 0)<1，因为f (x 0)＝a ，所以－2≤a <1，故选D.9．若f (x )＝2sin ωx (其中0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值为2，则ω＝ 34.依题意有0≤ωx ≤π3ω<π2， 所以f (x )在[0，π3]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (π3)＝2sin π3ω＝2，所以ω＝34. 10．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．(1)f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，因此0≤sin(2x －π6)＋12≤32. 即f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围为[0，32]．。

三角函数复习专题一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数与正切函数的图象及性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R值域[]1,1- []1,1-R最值当()k ∈Z 时，max 1y =；当 ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在()k ∈Z 上是增函数；在()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴对称中心对称轴()x k k π=∈Z 对称中心无对称轴函 数 性 质★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆外接圆半径〕 ⇒ 注意变形应用②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩⇒二、方法总结：1.三角函数恒等变形的根本策略。

〔1〕注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

〔2〕角的配凑。

α＝〔α＋β〕－β，β＝－等。

〔3〕升幂及降幂。

主要用2倍角的余弦。

〔4〕化弦〔切〕法，用正弦定理或余弦定理。

〔5〕引入辅助角。

asin θ＋bcos θ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

〔1〕发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进展所谓的“差异分析〞。

高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。

（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。

2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。

（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。

（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。

1 三角函数专题复习例1：函数22()cos 2cos2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断.例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求cos 2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=，tantan 4tan 41tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭- 123112+==--⨯． （Ⅱ）解一: 22cos 2cos sin θθθ=- 2222cos sin cos sin θθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+143145-==-+ 解二:tan 2θ=，22tan 44tan 21tan 143θθθ∴===--- 又tan 2,θ=可知 ()42k k k Z πππθπ+<<+∈， 从222()2k k k Z ππθππ+<<+∈∴3cos 25θ==- 【解后反思】因此涉及到计算型问题的时候，一定不能在计算上出问题，宁可慢些.错解2是较难发现其错误的，在求角的过程中，不自觉的扩大了角的范围，从而产生增根.可以灵活的选用和使。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

2019高考三角函数专题复习在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。

三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。

一、研究考题，探求规律1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。

偏重化简求值,三角函数的图象和性质。

考查运算和图形变换也成为了一个趋势。

三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。

三角化简、求值、恒等式证明。

图象。

最值。

3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。

②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。

二、典例剖析例1：函数22()cos 2cos2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断.例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求cos 2θ的值．【解析】（Ⅰ）∵tan 2θ=，tan tan 4tan 41tan tan 4πθπθθ+⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭- 123112+==--⨯．（Ⅱ）解一: 22cos 2cos sin θθθ=- 2222cos sin cos sin θθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+143145-==-+ 解二:tan 2θ=，22tan 44tan 21tan 143θθθ∴===--- 又tan 2,θ=可知 ()42k k k Z πππθπ+<<+∈， 从222()2k k k Z ππθππ+<<+∈∴3cos 25θ==- 【解后反思】因此涉及到计算型问题的时候，一定不能在计算上出问题，宁可慢些.错解2是较难发现其错误的，在求角的过程中，不自觉的扩大了角的范围，从而产生增根.可以灵活的选用和使用恰当的公式避开角的讨论，如要展开角的讨论，需要我们对角的范围更精确一些，角的范围不能有效的确定，往往是错误的根源.例3：由函数f (x )=sin2x 的图象得到g(x )=cos(2x －6π)的图象，需要将f (x )的图象 （ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 【解析】g(x ) sin(2)3x π=+=sin 2()6x π+，要得到函数f (x )=sin2x 的图像,将f (x )的图象向左平移6π个单位，答案B【温馨提示】解题中必须仔细和认真，注意函数的名称是不一样的，并且是将f (x )的图象进行平移得到()g x 的图像,认真读题，是解题的第一要求，图象变换的两种情况先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换，这两种.它们所移动的长度单位是不一样的．解答此类题目时应注意将自变量x 的系数提取出来，紧紧抓住谁是变元这个关键——函数图象平移变换是指自变量x 的改变程度.另外应记清：左“＋”右“－”，上“＋”下“－”的规律.三、复习建议由此对于高中数学复习提出如下建议：1、切实抓好“三基”，牢固打好数学基础。

第1讲三角函数1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．1．常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )2(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋2π(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ()()00ϕϕϕ><−−−−−−−−−−−→向左或向右平移个单位y ＝sin(ωx ＋φ)A −−−−−−−−−−−→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． 4．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin tan cos ααα=． (2)诱导公式：对于“2k απ±，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆： 奇变偶不变，符号看象限．(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=．(4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． (5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan b aϕ=．热点一 三角函数的图象【例1】(1) (2018·清流一中)（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；（2）函数x y cos =图象经过怎样的变换可以得到 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)0,0,2A ωϕπ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)解 (1)列表【注：列表每行1分，该行必须全对才得分；图象五点对得1分，图象趋势错扣1分】（2）把x y cos =的图象向左平移变，横坐标变为原来的2变为原来的2(2)由(1)知()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据图象平移变换，得()5sin 226g x x θπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为y ＝sin x 的对称中心为()π,0k ，k ∈Z ． 令2x ＋2θ－6π＝k π，k ∈Z ，解得212k x θππ=+-，k ∈Z ． 由于函数y ＝g (x )的图象关于点,0125π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，令521212k θπππ+-=，k ∈Z ，解得23k θππ=-，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值6π． (2)解析 (1)由题意知A ＝2，54126T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，ω＝2，因为当512x π=时取得最大值2，所以522sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 所以522122k ϕππ⨯+=π+，k ∈Z ，解得π32k ϕ=-π，k ∈Z ， 因为|φ|<2π，得3ϕ=-π，因此函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．探究提高 1．“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】(1) (2018·孝感期末)已知函数()()1sin 20,022πf x A x A ϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()333xxm g x -⋅=，()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称．若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()()12g x f x ≥，则实数m 的取值范围为______．(2)(2017·贵阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0A >，0ω>，π2ϕ<)的部分图象如图所示．①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值． 解析(1)因为()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称， 所以()10sin 12f A ϕ=-=，sin 21π12ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，又0A >，0π2ϕ<<，所以π3ϕ=，A =所以()π1232f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，6π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2,33ππ3x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23πx ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()min 1f x =， 因为()33333x x x m g x m -⋅==-，[]1,2x ∈-，所以()min13g x m =-， 若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x ≥，则()()12min min g x f x ≥，所以113m -≥，解得23m ≤-，所以实数 的取值范围为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，答案为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．答案2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2)解 ①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ)．由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， 则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． ②根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12．热点二 三角函数的性质【例2】(2018·哈尔滨三中)已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点为(0,，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,2π2x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 解析式及0x 的值； （2）求()f x 的单调增区间；（3）若2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，求实数m 的取值范围．解（1）由题意知，2A =，π22T =，∴πT =，∴2π2Tω==；又∵图象过点(0,，∴2sin ϕ=sin ϕ=； 又∵π2ϕ<，∴3πϕ=-；∴()2sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；又∵()02,x 是()f x 在y 轴右侧的第1个最高点，∴0π2π23x -=，解得05π12x =． （2）由()2π22π23ππ2πk x k k -≤-≤+∈Z ，得()5πππ1212πk x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）∵在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，∴()0g x =有两个实数根，即函数图象有两个交点． ∴π1sin 234m x --⎛⎫-= ⎪⎝⎭在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个根，∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2π2,π33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴结合函数图象，函数()()21g x f x m =++有两个零点的范围是(5,1⎤--⎦．∴(5,1m ⎤∈--⎦．探究提高 1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间． 【训练2】(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝2． (2)f (x )的最小正周期为π．由正弦函数的性质，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ．热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2017·西安调研)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π． (1)求函数f (x )的单调递增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3． 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ． (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1．令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12．探究提高 1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|．应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|．【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数()f x 的性质，并在此基础上填写下表，作出()f x 在区间[]π,2π-上的图象．解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R 上恒成立，∴函数的定义域为R ； ∵()2222cos fx x ==+，∴由|cosx|∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[ ，2]； ∵()()πf x f x +，∴函数的最小正周期为π，∵当2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos 2xf x ，在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin 2xf x ==，在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()f x 在ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在π,π2πk k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上递减()k ∈Z ， ∵()()f x f x -=，且2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线π2k x =对称， 因此，可得如下表格：热点四 三角恒等变换及应用【例4】(1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3．答案C ．探究提高1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围， 求出角的大小．【训练4】 (1) (2018·泰安一中)平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=， 若5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为_________．(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．解析(1)∵点()00,P x y 在单位圆O 上，且xOP α∠=，∴cos ＝ 0，sin ＝ 0， 又5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4cos 5π6α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ 0＝cosα＝cos[（α）]＝cos （α）cossin （α）sin431655π2=-+⨯=． (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314．因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17．所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12．因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3．答案(1)－79；(2)π3．1．(2018·全国I 卷)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为42．(2018·全国II 卷)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．(2018·全国III 卷)函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．(2018·全国III 卷)函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为________．5．(2018·全国II 卷)已知，则 __________．1．(2018·余江一中)时有极大值，且()f x β-为奇函数，则α，β的一组 可能值依次为（） （A ）π6，π12-（B ）π6，π12（C ）π3，π6-（D ）π3，π62．(2018·湖师附中)若函数 ＝ ＋ ( ， )的图象的一条对称轴方程是， 函数 的图象的一个对称中心是， ，则 的最小正周期是（） A ．B ．C ．D ．3．(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是() 高频易错题经典常规题（45分钟）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．(2017·长沙一中调研)已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π45．(2018·潍坊期中)已知 ， 为第二象限的角，，，则 的值为（）A ．B ．C ．D ．1．(2018·长春外国语)定义行列式运算，已知函数，满足： ， ，且 的最小值为，则 的值为（） A ．B ．C ．D ．2．(2018·滨州期末)已知函数 ，的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把 上所有的点（）A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移 个单位长度D ．向左平移个单位长度3．(2017·池州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________．精准预测题4．(2018·烟台期中)已知函数 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数f （x ）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）的图象，当x ∈（ ，）时，求函数g （x ）的值域．5．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32． (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．参考答案1．【解题思路】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+， 之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项． 【答案】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B ． 2．【解题思路】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值， 【答案】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()π02ππ2π,4k x k k +≤+≤+∈Z ，得()3ππ2π2π,44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此 ， π，3π， π，3ππ，从而 的最大值为π4，故选A ．点睛：函数 ， 的性质： (1) + ， ． (2)周期．(3)由 ππ 求对称轴，经典常规题(4)由 ππ ππ 求增区间；由ππ3ππ 求减区间．3．【解题思路】将函数()2tan 1tan xf x x=+进行化简即可【答案】由已知得()22sin tan 1cos sin cos sin 21tan 2sin 1cos xx x f x x x x x x x ====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故选C ． 4．【解题思路】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【答案】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知 ， ，或 ，解得，，或，故有3个零点．5．【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得． 【答案】，解方程得．1．【解题思路】由极值点的导数为0确定α，由奇函数确定β． 【答案】()()2cos 2f x x α'=+，因为当，k ∈Z ，当0k =k ∈Z ，当0k =D ． 2．【解题思路】根据题意得到，得 ，得出， 即可求解函数的最小正周期，得到答案．【答案】由题设，有，即，得 ，又，所以，从而，所以， ，即 ， ， 又由 ，所以 ，于是，故 的最小正周期是 ．故选B ．3．【解题思路】先把y ＝cos x 用诱导公式化为正弦形式，再根据平移伸缩原则确定答案．高频易错题【答案】易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确．故选D ． 4．【解题思路】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，可得x ＝π4是其对称轴，再根据特殊值确定a ，b 的关系． 【答案】 在f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 中，令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ， ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，因此直线的倾斜角为34π．故选D ．5．【解题思路】先利用同角三角函数的基本关系求得4πsin α⎛-⎫ ⎪⎝⎭和πcos 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式求得()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值．【答案】∵α，β为第二象限的角，cos （ ）= ，sin （β+ ）=， ∴sin （）==，cos （β+）=﹣=﹣，则()πππππ41235sin sin sin cos cos cos 444444513513παβαβαβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-++--=⋅-+-⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6365=-，故选B ．1．【解题思路】先求出函数 的解析式，然后由 的最小值为可以求出周期 ，进而求出 ． 【答案】由题意得， （）， ，因为 的最小值为，所以 ，则由得 ．2．【解题思路】由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 的解析式， 再利用 的图象变換规律，得出结论．【答案】由函数 (其中 ，的部分图象可得 ，，求得 ，再根据五点法作图可得，，， 故把的图象向右平移个长度单位，精准预测题可得的图象，故选A ．3．【解题思路】已知角度与所求角度互余．【答案】∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223．故填223． 4．【解题思路】（1）根据题意得到=，从而得到ω 1，f （x ）=sin （2x+）+，令2x+kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g （x ）=sin （4x ﹣）+，当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域．【答案】（1）∵函数sin2ωx+ =sin （2ωx+ ）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，∴ω 1，f （x ）=sin （2x+ ）+． 令2x+kπ+，求得x= +， 故函数f （x ）的对称轴方程为得ππ26k x =+，k ∈Z ． （2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后， 可得y=sin （2x ﹣ +）+=sin （2x ﹣）+的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）=sin （4x ﹣）+的图象．当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），∴sin （4x ﹣）∈（﹣1，1]，故函数()g x 的值域为13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦．5．【解题思路】利用二倍角公式，辅助角公式把f (x )化为()sin y A x ωϕ=+形式．【答案】解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1．(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为5=+122kx ππ，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π，1112π．又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2．结合图象可知，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23．。

第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过三角函数的有关概念1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cos α＝24x，则x＝()A. 3 B．±3 C．－ 2 D．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2 C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D 2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±15三角变换公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223， 则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质[过双基]正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R 单调性递增区间：⎣⎡2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2(k ∈Z) 递减递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k∈Z )递增区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π 解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1. 4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：2 法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A. 2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( ) A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|. 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． 1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12B.23C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B.8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角， 所以cos α2＝1＋cos α2＝313， sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：图象如图所示：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12， 故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 三角函数的定义 5年2考 用三角函数的定义求值同角三角函数基本关系式5年2考 求值 诱导公式5年1考变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________． (2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． [即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. [解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250° ＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－9161．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________. 解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57.答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]． 6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， 原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析]三角函数的定义域、值域[典例] (1)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________． (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z. (2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3. (3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________．解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.三角函数的单调性[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解； (2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解 图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间2．子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解[1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2， 则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( ) A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误． 7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]，。