3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学过程： 一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3， 且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？ 是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；F 12方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.ab空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律 运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?aλaO PaAOb Ba －b ab ab OABa ＋b(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 解：(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→AOABCabca ＋ba ＋b ＋cb ＋cA /A /又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.例2.如图，在长方体OADB-CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →解：∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AB →－12(AB →＋AC →)．BCDMGAABCDA ’B ’C ’D ’四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业3.1.2 共面向量定理教学目标：1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理；2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 教学重点、难点：空间向量共面定理的证明及其应用． 教学过程： 一.知识回顾复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质． 二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分; 在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 问题: 空间中两个向量是否共面? 空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b 与向量a (a ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .那么，空间的任意一个向量p 与两个不共线向量a ,b 共面时，它们之间存在怎样的关系呢？ 三.数学理论共面向量定理：如果两个向量a ,b 不共线，那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b .证明：（必要性）向量a ,b 不共线，当p 与向量a ,b 共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x ,y )，使得p ＝x a ＋y b ．（充分性）对于空间的三个向量p ,a ,b ，其中a ,b 不共线，如果存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b ，那么在空间任意取一点M ，作MA →＝a , MB →＝b , MA '→＝x a ,过点A ’作A'P →＝y b ,（如图），则MP →＝MA'→＋A'P →＝ x a ＋y b ＝ p ,，于是点P 在平面MAB 内，从而MP →,MA →,MB →共面，即向量p 与向量a ,b 共面．这就是说，向量p 可以由两个不共线的向量a ,b 线性表示．四．数学运用例1．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：MN ∥平面CDE ．分析：要证明MN ∥平面CDE ，只要证明向量NM →可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE →和DC →线性表示．证明：如图，因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →，又CD →＝BA →＝－13AB →，所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝(13DA →＋13AB →)＋BA →＋(13AD →＋13DE →)＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →．又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理，可知MN →,CD →,DE →共面． 由于MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE ．例2．设空间任一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若点P 满足向量关系OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →（其中x ＋y ＋z ＝1），试问：P , A ,B ,C 四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P , A ,B ,C 是否共面，可考察三个共起点的向量AP →，AB →，AC →是否共面．解：由x ＋y ＋z ＝1，可得x ＝1－z －y ．则OP →＝(1－z －y )OA →＋yOB →＋zOC →＝OA →＋y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)， 所以OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，即AP →＝yAB →＋zAC →.由A ,B ,C 三点不共线，可知AB →和AC →不共线， 所以AP →，AB →，AC →共面且具有公共起点A ．从而P , A ,B ,C 四点共面．思考：如果将x ＋y ＋z ＝1整体代入，由(x ＋y ＋z ) OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →出发，你能得到什么结论？例3．从□ABCD 所在平面外一点O 作向量OE →＝kOA →,OF →＝kOB →,OG →＝kOC →,OH →＝kOD →, （1）求证：四点E ,F ,G ,H 共面；（2）平面AC ∥平面EG ． 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∵EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝k (OC →－OA →)＝kAC →＝k (AB →＋AD →) ＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →， ∴EG →,EF →,EH →共面且共起点，∴E ,F ,G ,H 四点共面． （2）∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，∴EF →∥AB →，∴EF →∥平面AC ，同理EG →∥平面AC ，又EF →∩EG →＝E ，∴平面AC ∥平面EG ． 练习：已知两个非零向量e 1, e 2不共线，如果AB →＝e 1＋ e 2, AC →＝2 e 1＋8 e 2, AD →＝3 e 1－3 e 2. 求证：A ,B ,C ,D 四点共面． 五．回顾小结1．共面向量定理的证明； 2．共面向量定理的简单运用． 六．布置作业3.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一 的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量． 教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论． 教学过程： 一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 平面向量基本定理：如果e 1，e 2那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ，使a = x e 1+ y e 2 . 二.问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示．对于空间向量是否有相应的结论呢？ 三.数学理论 空间向量基本定理：如果三个向量 e 1, e 2 , e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个惟一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.证明：（存在性）设e 1, e 2 , e 3不共面过点O 作OA →＝e 1, OB →＝e 2, OC →＝e 3, OP →＝p ,， 过点P 作直线PP’平行于OC ，交平面OAB 于点P’， 在平面OAB 内，过点P’作直线P’A’∥OB , P’B ∥OA , 分别与直线OA ,OB 相交于点A ’,B ’，于是，存在三个实数x ,y ,z ，使OA'→＝xOA →＝x e 1，OB'→＝yOB →＝y e 2，OC'→＝zOC →＝z e 3，∴OP →＝OA'→＋OB'→＋OC'→＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝x e 1＋y e 2＋z e 3．1/ （惟一性）假设还存在x’,y’,z’使p＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3，那么x e1＋y e2＋z e3＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3∴(x－x’)e1＋(y－y’)e2＋(z－z’)e3＝0不妨设x≠x’即x－x’≠0，∴e1＝－y－y’x－x’e2－z－z’x－x’e3,∴e1, e2, e3共面此与已知矛盾，∴有序实数组(x,y,z)是惟一的.空间向量基本定理告诉我们，若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1, e2, e3线性表示，我们把{ e1, e2, e3}叫做空间的一个基底，e1, e2, e3叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.四.数学运用例1如图，在正方体OADB-CA’D’B’中，，点E是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点，试分别用向量OA→,OB→,OC→表示OD'→和OM→.解：∵OD→＝OA→＋OB→,∴OD'→＝OD→＋DD'→＝OA→＋OB→＋OC→.由△OME∽△D’MC,可得OM＝12MD’＝13OD’,∴OM→＝13OD'→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.例2 .如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.解：OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→A＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →, ∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.五、回顾总结空间向量基本定理及其证明 六、布置作业§3.1.4 空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； （2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行． 教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算． 教学过程 一.知识回顾复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p ＝x i ＋y j （i ，j 分别是x ，y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(x , y )； （2）若a ＝(a 1, a 2)，b ＝(b 1, b 2)，则加（减）法：a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2)；a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2) 数乘：λa ＝(λa 1, λa 2)（λ∈R ） 数量积：a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2特别地，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2（λ∈R ）；a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0（3）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1)． 二.问题情境在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？ 三．数学理论1．空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x , y , z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x , y , z )叫做向量a 在空间直角坐标O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x , y , z )．2．在空间直角坐标O －xyz 中，对于空间任意一点A (x , y , z )，向量OA →是确定的，容易得到OA →＝x i ＋y j ＋z k ，因此，向量OA →的坐标为OA →＝(x , y , z )．这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标． 3．向量坐标运算法则（类似于平面向量的坐标运算） （1）设a ＝(a 1, a 2, a 3)，b ＝(b 1, b 2, b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2, a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2, a 3－b 3) λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3)（λ∈R ）（2）若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)． 4．空间向量平行的坐标表示a ∥b （a ≠0）⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3（λ∈R ） 说明：即对应的坐标成比例（但没有平面向量平行的等积式）四．数学运用 1．例题：【例1】已知a ＝(1, －3, 8)，b ＝(3, 10, －4)，求a ＋b ，a －b ，3a ． 解：a ＋b ＝(1, －3, 8)＋(3, 10, －4)＝(1＋3, －3＋10, 8－4)＝(4, 7, 4)，a －b ＝(1, －3, 8)－(3, 10, －4)＝(1－3, －3－10, 8＋4)＝(－2, －13, 12)， 3a ＝3×(1, －3, 8)＝(3, －9, 24)【例2】已知空间四点A (－2, 3, 1)，B (2, －5, 3)，C (10, 0, 10)和D (8, 4, 9)，求证：四边形ABCD 是梯形．证：依题意OA →＝(－2, 3, 1)，OB →＝(2, －5, 3)，所以AB →＝OB →－OA →＝(2, －5, 3)－(－2, 3, 1)＝(4, －8, 2)同理DC →＝(2, －4, 1)，AD →＝(10, 1, 8)，BC →＝(8, 5, 7) 由AB →＝2DC →可知，AB →∥CD →，|AB →|≠|DC →|，又AD →与BC →不共线，所以四边形ABCD 是梯形． 说明：与平面向量一样，若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)．这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．【例3】已知a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，c ＝(4, 0, 24)，求证：a ，b ，c 共面． 解：因为a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，所以a 与b 不共线．不妨设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝46x －2y ＝0－3x ＋9y ＝24解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，所以c ＝a ＋3b ，所以a ，b ，c 共面．【例4】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是CC 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面MNP ∥平面A 1BD ．解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则A1(1, 0, 0)，B (1, 1, 1)，D (0, 0, 1)，B 1(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 0)，N (12, 1, 0)，M (0, 1, 12)，D 1(0, 0, 0)，P (0,12, 0)， 于是A 1B →＝(0, 1, 1)，A 1D →＝(－1, 0, 1)，NM →＝(－12, 0, 12)，PM→＝(0, 12, 12)，显然有NM →＝12A 1D →，PM →＝12A 1B →．所以，NM →∥A 1D →，PM →∥A 1B →，因此平面MNP ∥平面A 1BD ．说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系．当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明． 五．回顾小结：1．会正确的确定空间向量及点的坐标；2．向量的坐标判断两个空间向量平行的方法；六．课外作业：§3.1.5 空间向量的数量积第一课时教学目标1.在充分了解平面向量及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量数量积的概念、性质及运算律．2.掌握空间向量夹角和模的概念，学会用向量数量积求两直线所成的角，能判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）；3.了解空间向量数量积的几何意义． 教学重点，难点 空间向量数量积 教学过程一．问题情境 1.知识回顾（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，有a ·b ＝|a ||b |cos θ，（0≤θ≤π），其中θ是向量a ，b 的夹角，并规定a ·b ＝0．（2）平面向量的夹角：将a →与b →平移至同起点处所成的0≤θ≤π 角．（同起点是关键） 2.问题：我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积怎么定义？ 二.数学理论由于任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义． 1.空间向量的夹角及其表示：如图，已知两非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b >；范围：0≤<a ,b >≤π，在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有<a ,b >＝<b ,a >． 若<a ,b >＝0，那么向量a 与b 同向； 若<a ,b >＝π，那么向量a 与b 反向；若<a ,b >＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ．注意：正确使用两个向量夹角的符号<a ,b >．例如：<AB →,AC →>＝∠BAC ． 2.向量的模：设OA →＝a ，则有向线段OA →的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |． 3.向量的数量积：已知a ，b 是空间两个非零向量，则|a ||b |cos<a ,b >叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ,b >．规定：0向量与任何向量的数量积为0．注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cos θ的符号所决定． ②零向量与任意向量的数量积等于零． 4.由空间向量数量积定义可知：空间两个非零向量a ·b 的夹角<a ,b >可以由cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |求得．5.空间向量数量积的性质：（1）cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |；（2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0（a ，b 是两个非零向量）；（3）|a |2＝a ·a ＝a 2．注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据； ②性质（3）是求向量的长度（模）的依据。

2020-2021学年选修2-1《3.1 空间向量及其运算》一．选择题（共36小题）1．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．【点评】本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．2．空间四边形ABCD中，若向量＝（﹣3，5，2），＝（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【分析】点E，F分别为线段BC，AD的中点，可得＝，，＝．代入计算即可得出．【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴＝，，＝．∴＝﹣＝＝[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]＝＝（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量坐标运算，属于基础题．3．给出下列命题：①若空间向量②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有⑤向量＝（1，1，0）的模为；其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】在①中，向量与方向不一定相同；在②中，空间任意两个单位向量的方向不一定相同；在③中，若空间向量，则向量与不一定相等；在④中，由向量相等的定义得必有；在⑤中，由模式的定义得向量＝（1，1，0）的模为．【解答】解：在①中，若空间向量，向量与方向不一定相同，故①是假命题；在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量，则向量与不一定相等，故③是假命题；在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有，故④是真命题；在⑤中，由模式的定义得向量＝（1，1，0）的模为，故⑤是真命题．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间空间向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣+D．﹣﹣+【分析】由空间向量加法法则得＝+＝＝+，由此能求出结果．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．＝，＝，＝，∴＝+＝＝+＝．故选：B．【点评】本题考查向量的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．5．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A．B．C．D．或【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合+＝（+）+（﹣）＝2，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的共面定理的应用问题，是基础题目．6．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．﹣+【分析】向量＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．＝，＝，＝，∴向量＝＝＝﹣+．故选：A．【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．【解答】解：∵＝＝＝＝∴故选：C．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．8．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP＝2PN，设向量＝，＝，＝，则＝（）A．++B．++C．++D．++【分析】利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可．【解答】解：如图所示，＝+，＝（+），＝，＝﹣，＝．∴＝+＝+＝+（﹣）＝+＝×（+）+×＝++＝++．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性运算问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论．【解答】解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（+）+＝+＝．故选：D．【点评】本题考查了空间向量加法运算的几何意义问题，是基础题目．10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若＝z+x+y，则x+y+z的值为（）A．1B．C．2D．【分析】利用向量的三角形法则、空间向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，∵＝+＝+＝++＝z+x+y，∴z＝，x＝1，y＝，∴x+y+z＝2，故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM ＝2MA，点N为BC的中点，则＝（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝，＝，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用空间向量加法法则求解．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，＝，＝，＝，∴＝（）＝﹣+（）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：C．【点评】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．13．已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C是线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为（）A．（，，）B．（，﹣3，2）C．（，﹣1，）D．（，，）【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：∵，∴，∴＝＝＝．故选：C．【点评】熟练掌握向量的线性运算是解题的关键．14．已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC 中点，则＝（）A．﹣﹣﹣B．++C．﹣++D．﹣﹣【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出即可．【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，＝，＝，＝，点M在棱DA上，且＝3，∴＝，又N为BC中点，∴＝（+）；∴＝+＝﹣+（+）＝﹣++．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，是基础题目．15．已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C 的坐标是（）A．B．C．D．【分析】C为线段AB上一点，且3||＝|||，可得，利用向量的坐标运算即可得出．【解答】解：∵C为线段AB上一点，且3||＝|||，∴，∴＝（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），＝．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体的性质以及向量垂直的性质解答．线段不垂直，对应的向量的数量积一定不为0．【解答】解：对于A，如果长方体为正方体，则线段AD1⊥B1C，此时成立；对于C，因为长方体中AB⊥侧面AD1，所以，所以成立；对于D，如果长方体的底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，由三垂线定理可得AC⊥BD1，所以此时；故选：B．【点评】本题考查了长方体的性质以及向量垂直的性质．比较基础．17．已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15C．x＝，y＝D．x＝6，y＝【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得＝k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得＝k，∴，解得x＝6，y＝．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知直线l的方向向量，平面α的法向量，且l∥α，则m＝（）A．8B．﹣8C．1D．﹣1【分析】l∥α，可得•＝0．基础即可得出．【解答】解：∵l∥α，∴•＝2+m+2＝0．∴m＝﹣8．故选：B．【点评】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）＝λ（2，m，﹣m）＝（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．20．下列命题正确的是（）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量共面就是它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若，则存在唯一的实数λ使得【分析】从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D．推出正确命题选项．【解答】解：若与共线，与共线，则与共线，如果，与不共线，A不正确．向量共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线．零向量没有确定的方向，满足零向量的定义．若，则存在唯一的实数λ使得，不正确，因为，存在这一条件．故选：C．【点评】本题考查共线向量与共面向量，考查学生基本知识掌握运算的能力．21．已知在空间四边形ABCD中，，，，则＝（）A．B．C．D．【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得＝＝（）﹣，由此能求出结果．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴＝＝（）﹣＝（）﹣＝．故选：B．【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．22．若向量＝（1，1，x），＝（1，2，1），＝（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）＝﹣2，则x的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据空间向量的坐标运算，结合题意，求出x的值．【解答】解：∵向量＝（1，1，x），＝（1，2，1），＝（1，1，1），且（﹣）•（2）＝﹣2，∴（1﹣1）×2+（1﹣1）×4+（1﹣x）×2＝﹣2，解得x＝2，∴x的值为2．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算以及数量积的应用问题，是基础题目．23．已知空间向量＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．【分析】利用向量垂直关系，2﹣与垂直，则（2﹣）•＝0，即可得出．【解答】解：∵＝（1，n，2），＝（﹣2，1，2），∴2﹣＝（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•＝0，∴﹣8+2n﹣1+4＝0，解得，n＝，∴∴．故选：D．【点评】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为0．24．已知＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且•＝2，则x的值是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由题意可得•＝﹣3×1+2x+5×（﹣1）＝2，解方程可得．【解答】解：∵＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），∴•＝﹣3×1+2x+5×（﹣1）＝2，解得x＝5故选：B．【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属基础题．25．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为60°，则λ的值为（）A．B．C．D．±【分析】求出+λ与的坐标，利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：A（1，0，0），B（0，﹣1，1），＝+λ＝（1，﹣λ，λ），＝＝（0，﹣1，1）．＝0+λ+λ＝2λ，＝，＝．∴＝＝．解得λ＝．故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积运算、向量夹角公式．属于基础题．26．向量，若，则x的值为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．3【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量，，∴＝﹣4+4x﹣8＝0，解得x＝3．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．27．若＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，2），则||＝（）A．B．C．D．【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出，再由向量的模能求出||．【解答】解：∵＝（2，﹣3，5），＝（﹣3，1，2），∴＝（8，﹣5，1），∴||＝＝3．故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．28．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞＝可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||＝，所以cos＜，＞＝＝，∴的夹角为60°故选：C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题29．若向量＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3【分析】设向量，的夹角为θ，可得cosθ＝＝，解这个关于λ的方程即可．【解答】解：设向量，的夹角为θ，则∵向量＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），∴cosθ＝＝＝，解得λ＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题．30．设M（5，﹣1，2），A（4，2，﹣1），O（0，0，0），若＝，则点B的坐标应为（）A．（﹣1，3，﹣3）B．（1，﹣3，3）C．（9，1，1）D．（﹣9，﹣1，﹣1）【分析】设点B的坐标为（x，y，z）；表示出，，由＝解出B的坐标．【解答】解：设点B的坐标为（x，y，z）；则＝（5，﹣1，2）＝（x﹣4，y﹣2，z+1），则由＝，得x﹣4＝5，y﹣2＝﹣1，z+1＝2，解得，x＝9，y＝1，z＝1，故选：C．【点评】本题考查了空间中向量的应用，属于基础题．31．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D﹣xyz，且MN是AB1与BC1的公垂线，M在AB1上，N在BC1上，则等于（）A．B．C．D．【分析】如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．可得，．由于点M在AB1上，N在BC1上．可设＝，．于是点M，N的坐标可用λ，μ表示．由公垂线可得，．再利用数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．∴＝（0，1，1），＝（﹣1，0，1）．∵点M在AB1上，N在BC1上．∴可设＝，．∴＝（1，λ，λ）．＝（1﹣μ，1，μ）．∴＝（﹣μ，1﹣λ，μ﹣λ）．∵，．∴，解得，．∴．故选：C．【点评】熟练掌握向量共线定理、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．32．已知点A在基底{，，}下的坐标为（8，6，4），其中＝+，＝+，＝+，则点A在基底{，，}下的坐标为（）A．（12，14，10）B．（10，12，14）C．（14，10，12）D．（4，2，3）【分析】利用空间向量的坐标运算即可得出．【解答】解：∵8+6+4＝8（+）+6（+）+4（+）＝12+14+10，∴点A在{，，}下的坐标为（12，14，10）．故选：A．【点评】熟练掌握空间向量的坐标运算是解题的关键．33．结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点〇代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O﹣xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（）A．（，，1）B．（0，0，1）C．（1，，1）D．（1，，）【分析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD﹣OEFG，分别找出点B在x轴、y轴和z轴上射影点及其坐标，即可得出点B 的坐标．【解答】解：设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD﹣OEFG，如图所示：∵平面BFGD经过点B与x轴垂直，∴点B在x轴上的射影为G点，结合G（，0，0）得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E（0，，0）得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D（0，0，1）得B的竖坐标为1；由此可得点B的坐标为（，，1）．故选：A．【点评】本题考查了空间坐标系的定义和点的坐标表示法的应用问题，是基础题目．34．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|＝（）A．B．C．D．4【分析】利用对称性质先求出B点坐标和C点坐标，再由两点间距离公式求出|BC|．【解答】解：∵点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，∴C（1，2，1），∵点B与点A关于x轴对称，∴B（1，﹣2，1），∴|BC|＝＝4．故选：D．【点评】本题考查两点间距离的求法，考查对称、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．35．若向量＝（1，2，0），＝（﹣2，0，1），则（）A．cos＜，＞＝120°B．⊥C．∥D．||＝||【分析】求出||＝，||＝，cos＜＞＝＝﹣．由此能求出结果．【解答】解：∵向量＝（1，2，0），＝（﹣2，0，1），∴||＝，||＝，cos＜＞＝＝＝﹣．故排除A、B、C，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量运算法则的合理运用．36．已知，，则＝（）A．﹣5B．﹣7C．3D．【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解．【解答】解：∵，，∴＝﹣1﹣6+0＝﹣7．故选：B．【点评】本题考查空间向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量空间向量坐标运算法则的合理运用．二．解答题（共4小题）37．已知空间三点A（﹣1，2，1），B（0，1，﹣2），C（﹣3，0，2）（1）求向量的夹角的余弦值，（2）若向量垂直，求实数k的值．【分析】（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），计算可得＝．（2）∵向量垂直，可得•＝3+（3k ﹣1）﹣k＝0，即可得出．【解答】解：（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），||＝＝，＝3．＝﹣2+2﹣3＝﹣3．∴＝＝＝﹣．（2）∵向量垂直，∴•＝3+（3k﹣1）﹣k＝0，3×11+（3k﹣1）×（﹣3）﹣9k＝0，解得k＝2．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．38．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直．（1）求向量的坐标；（2）若向量与向量＝共线，求向量与夹角的余弦值．【分析】（1）设，则由题可知，解出即可得出．（2）由向量与向量共线，可得．再利用向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）设，则由题可知解得或所以或．（2）因为向量与向量共线，所以．又，，所以，，所以，且，，所以与夹角的余弦值为．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．39．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量k与k互相垂直，求实数k的值；（3）若向量与共线，求实数λ的值．【分析】（1）求出＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），利用空间向量夹角余弦值计算公式能求出与的夹角的余弦值．（2）推导出k＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k ﹣1，k，2），k＝（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4），由向量k与k互相垂直，能求出实数k的值．（3）推导出＝（λ，λ，0）﹣（﹣1，0，2）＝（λ+1，λ，﹣2），＝（1，1，0）﹣（﹣λ，0，2λ）＝（1+λ，1，﹣2λ），由向量与共线，能求出实数λ的值．【解答】解：（1）∵空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），＝，＝．∴＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．（2）∵＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴k＝（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），k＝（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4），∵向量k与k互相垂直，∴（k）•（k）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，整理，得2k2+k﹣10＝0，解得实数k的值为﹣或2．（3）∵＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴＝（λ，λ，0）﹣（﹣1，0，2）＝（λ+1，λ，﹣2），＝（1，1，0）﹣（﹣λ，0，2λ）＝（1+λ，1，﹣2λ），∵向量与共线，∴，解得实数λ的值为﹣1或1．【点评】本题考查向量的夹角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量夹角余弦值计算公式、向量垂直、向理共线的性质的合理运用．40．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求cos＜＞；（2）求以AB，AC为边的平行四边形的面积．【分析】（1）求出两向量的坐标，模长，数量积，代入夹角公式计算；（2）求出sin∠BAC，则平行四边形的面积S＝2S△ABC．【解答】解：（1）＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），∴＝﹣2+3+6＝7，||＝＝，||＝＝，∴cos＜＞＝＝＝．（2）由（1）知sin∠BAC＝＝，∴S△ABC＝＝＝，∴以AB，AC为边的平行四边形的面积S＝2S△ABC＝7．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．。

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27． Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

选修2-1《3.1空间向量及其运算》说课稿北京师范大学附属中学罗德建各位专家，各位老师：大家好！我是来自北京师范大学附属中学的罗德建，今天我说课的内容是《空间向量的线性运算》，选自普通高中课程标准实验教科书人教B版选修2-1第三章.下面我就从：教学内容和学生情况分析，教学目标设定，重难点设置，教学方式，教学过程以及教学反思等方面对这节课进行说明.一.教学内容和学生情况分析本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算.新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算.这节课的授课班级是高二的一个理科普通班，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将这节课的教学目标设定为：二.教学目标1.知识与技能：理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.2.过程与方法：学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程.3.情感，态度与价值观：培养学生的空间观念和系统学习概念的意识.三.教学重点与教学难点这节课的教学重点是空间向量的概念及线性运算.在由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，所以我将这节课的教学难点设置为体会类比的数学方法的应用.四.教学方式我采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点.五.教学过程本节课分为6个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结和布置作业.其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟1.引入概念在引入概念环节中，我首先通过提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.接着我以一个生活实例（学生从操场上完操回到教室的过程）引出空间向量的问题，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向.这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用.2.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念.师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点.3.概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处.4．应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解.同时通过（Ⅱ）让学生进一步猜想空间中任意一个向量是不是都能用这三个向量来表示？是不是空间中任意三个向量都能去表示别的向量？对这三个向量有什么要求？这样为下一节的内容做铺垫.例2的设计意图是帮助学生熟悉多边形法则，进一步巩固空间向量的线性运算.5．归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先提问让学生自己总结，接着我根据学生的回答补充完善小结，总结空间向量的概念内容和研究过程，尤其强调在整个研究过程中都使用到的类比的推理方法，进一步突破这节课的教学难点.6．布置作业练习A和练习B的第1，2题可帮助学生巩固基础知识；练习B的第3题是为下一节《空间向量的基本定理》做准备.六.教学反思通过这节课的备课与教学我自己主要获得了以下几方面的收获：1.在概念课教学中教师作用的体现这节课的知识本身是很容易的，对于学习程度好的学生自学应该也没有问题，那么教师在这节课中的作用是什么？我想作为教师，需要帮助学生从整体上把握知识脉络，关注这部分内容在整个数学知识体系中的地位和作用。

3.1 空间向量及其运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等． 2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b +a ；②结合律，即(a ()()+=+a +b c a b+c ；③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）． 3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使λa =b ．（２）共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a +b+c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是cos <>，a b =a b a b ，数量积有如下性质： ①cos <> ，a e =a a e （e 为单位向量）；②0⇔ a b a b =⊥；③2a a =a ；④ ab a b ≤． 数量积运算满足运算律：①交换律，即 a b =b a ；②与数乘的结合律，即()()λλ a b =a b ；③分配律，即() a +b c =a c +b c ．5．空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{}，，i j k 表示；在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}，，i j k ，可建立一个空间直角坐标系O xyz -，作空间直角坐标系O xyz -时，一般使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）． 6．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O －xyz 和向量a ，存在惟一的有序实数组使123a a a a =i +j +k ，则123()a a a ，，叫作向量a 在空间的坐标，记作123()a a a ，，a =．对空间任一点A ，存在惟一的OA x y z =i +j +k ，点Ａ的坐标，记作()A x y z x y z ，，，，，分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．7．空间向量的直角坐标运算律（1）若123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =，则a +b 112233()a b a b a b =+++，，，-a b 112233()a b a b a b =---，，，123()a a a λλλλ=，，a ，112233()a b a b a b ，，a b =，112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，a b ∥，1122330a b a b a b ⇔++=a b ⊥．（2）若111222()()A x y z B x y z ，，，，，，则212121()AB x x y y z z =---，，．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．8．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量OA =a ，则点A 在空间的位置被a 所惟一确定，a 称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A为起点作向量AP t =a ，则此向量方程称为动点P 对应直线l 的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量．当堂训练一、选择题(每小题6分，共36分)1.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD的交点，若AB＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )(A)－12a ＋12b ＋c (B)12a ＋12b ＋c(C)12a －12b ＋c (D)－12a －12b ＋c 2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin〈CM ，1D N〉的值为( )(A)19 (B)49 5 (C)29 5 (D)233.有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四个点，且满足AB ²AC ＝0，AD ²AC ＝0，AD ²AB＝0，则△BCD 的形状是( ) (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)无法确定5.已知ABCD 为四面体，O 为△BCD 内一点(如图)，则AO ＝13(AB ＋AC＋AD)是O 为△BCD 重心的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分又不必要条件6.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在1AC 上且AM ＝121MC，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( ) (A)216 (B)66 (C)156 (D)153二、填空题(每小题6分，共18分)7.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝ .8.已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA ＝2x BO ＋3y CO ＋4z DO，则2x ＋3y ＋4z ＝ .9.空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2). (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE⊥b ？(O 为原点)11.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN的模；(2)求cos 〈1BA ，1CB〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【探究创新】(16分)在棱长为1的正四面体OABC 中，若P 是底面ABC 上的一点，求|OP|的最小值. 同步提升一、选择题1．下列命题正确的有( )(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA →3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →4．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A .AD →B .BD →C .AC →D ．05．点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－cB.12(c ＋a )－bC.12(b ＋c )－a D ．a ＋12(b ＋c ) 6．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF → 等于( )A.PO → B ．3PO → C ．6PO →D ．07．设a 表示向东3 m ，b 表示向北4 m ，c 表示向上5 m ，则( )A ．a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 mB ．a ＋b －c 表示向东3 m ，向北4 m ，向上5 mC ．2a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 mD ．2(a ＋b ＋c )表示向东6 m ，向北8 m ，向上5 m8．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0 C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0 D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝09、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，A A 1 =c ，则下列式子中与M B 1相等的是1A.－21a + 21b +cB.21a + 21b +c C. 21a － 21b +cD.－ 21a － 21b +c10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ) (1)1CC )BC AB (++ (2)C D )D A AA (1111++ (3)111C B )BB AB (++ (4)11111C B )B A AA (++ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．已知点G是正方形ABCD 的中心，P 是正方形ABCD 所在平面外的一点，则A 1PD PC PB PA +++等于( )A ．4PGB ．3PGC ．2PGD ．PG12．在空间四边形OABC 中， OA →＋AB →－CB →等于( )A ．OA →B ．AB →C ． OC →D ．AC →二、填空题1、在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,5,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为_______.2、已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =3、已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ．4、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.选做：已知在四面体ABCD 中，= a ，= b ，PC = c ，G ∈平面ABC ． 若G 为△ABC 的重心，试证明31=PG (a +b +c )；ABCDGP三、解答题1.已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求: (1)线段AB 的中点坐标和长度;(2)到A 、B 两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.2． 已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简'1223AA BC AB ++，并在图形中标出其结果；(2)设M 是底面A B C D 的中心，N 是侧面''BCC B 的对角线'BC 上的点，且':3:1BN NC =，设'MN AB AD AA αβγ=++，试求,,αβγ之值。

3.1 空间向量及其运算教材知识检索考点知识清单1．在 ① ，我们把 ② 叫做空间向量，③一叫 做向量的长度或模．2．与平面向量一样，空间向量也用 ④表示，此表示法为空间向量的 ⑤ ，空间向量也可用 ⑥ 表示，此表示法为空间向量的 ⑦ ，如图3 -1 -1，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作c ⑧ ，也可记作 ⑨ ，其模记为 ⑩ 或 ⑩3． 叫做零向量，记为，零向量的方向是 当有向线段的起点A 与终点B时，.0=AB4. 的向量称为单位向量．5．与向量a的向量，称为a 的反向量，记为-a ．6．如图 3 -1 -2，已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点0作,,b a ==则 叫做向量a 、b 的 记作7．向量a 、b 的夹角<a,b>的范围是 ．当2,π>=<b a 时，则称 ，并记作 ；当<a ，b>=0或π 时，则称 并记作8．的向量称为相等的向量，因此在空间， 的有向线段表示 或 ．空间任意向量都可以用 的三个向量表示．9．如果表示空间向量的有向线段所在直线 或 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．10.L 是空间任意一条直线，A 、B 是直线L 上任意两点，则称为直线L 的11．如果直线L 垂直于平面α，那么把直线L 的方向向量a 叫做平面α的12.空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量 我们把平行于同一个平面的一组向量称作 ，不平行于同一个平面的一组向量称为13.空间向量的加法满足 法则．14.实数αλ与的积仍然是一个向量，记作 称为向量的数乘，长度与方向规定为：(1)长度是(2)方向：当0>λ时，；当0<λ时， ；当0=λ时， 15.空间向量的加法运算满足： (1)交换律： ；(2)结合律： 16.空间向量的数乘运算满足：(1)交换律： ；(2)分配律：；(3)结合律： 17.空间向量的数量积满足：(1)交换律： ；(2)分配律： ；(3)结合律： 18.利用空间向量的数量积，可得结论： (1) ；(2) ； (3)要点核心解读一、空间向量的概念我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模，如图3 -1-3所示，正方体中三棱所表示的三个向量都是空间向量，||OA 表示向量OA 的模.与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示．有向线段的长度就是向量的模，如图3 -1-4，a 的起点是A ，终点是B ，向量,a =长度记作.||||a 或规定长度为O 的向量叫做零向量，记作O ，它的方向是任意的．规定0与任何向量平行，长度为l 的向量叫做单位向量与a 长度相等而方向相反的向量叫做a 的反向量，记为-a ，方向相同且模相等的向量称为相等的向量，因此在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．例如，如图3 -1-5所示，在正方体////D C B A ABCD -中B C A D -====,,////.,//B B DD -=[注意] (1)向量可记作,也可记作a ，注意印刷体用a ，而手写体为,要区分开，还要与向量的模||区分开．(2)注意零向量这一概念，向量的长度为零，记作0，要与0区别开，特别是运算过程中容易混淆，如,0=++CA BC AB 而不是0．(3)单位向量是指长度为1的向量，如,1||=AB 则为单位向量，但如果,0||1||=/=/AB AB 且虽然||AB 却是单位向量，这一点要清楚，二、空间向量的加减法 1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如图3 -1-6、图3-1-7）．2．运算律交换律：a+b=b+a ； 结合律：（a+b+c=a+(b+c)．[注意] (1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，也满足平行四边形法则和三角形法则．(2)在解决立体几何问题时，其中的某个向量经常利用多次使用三角形法则的方法转化为其他向量来表示，首尾顺次相接的向量如果能够围成封闭图形，那么和向量为零向量，如图3 -1-8．EA DE CD BC AB ++++.;0DE CD BC AB AE +++==三、空间向量的数乘运算1．定义：实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当0>λ时，a a 与λ方向相同；当0<λ时，a a 与λ方向相反；当0=λ时，a a λλ.0=的长度是a 的长度的｜λ｜倍．如图3-1-9所示．2．运算律 .分配律：;)(b a b a λλλ+=+ 结合律：.)()(a a λμμλ=[注意] (1)实数λ与空间向量a 的乘积)(R a ∈λλ为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当10<<λ时，向量缩短；当1>λ时，向量伸长；当0<λ时，改为反方向的向量．(2)注意实数与向量的积的特殊情况，当0=λ时，;0=a λ当0=/λ时，若a ≠0时，有.0=/a λ (3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：a a -+λλ,无意义．四、共线定理与共面定理 1．共线向量的定义．与平面向量—样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a//b.[注意] 0与任意向量是共线向量． 2．共线向量定理，对于空间任意两个向量b a b b a //),0(,=/的充要条件是存在实数λ，使.b a ⋅=λ此定理可分解为以下两个命题：① ⇒=/)0(//b b a 存在唯一实数λ，使得②⋅=;b a λ存在唯一实数λ，使得),0(=/=b b a λ则.//b a[注意] b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一． 3．共线向量的推论．如果L 为经过已知点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点0，点P 在直线L 上的充要条件是存在实数t ，满足等式ta OA OP +=,①其中a 叫直线L 的方向向量，如图3 -1 -10.若在L 上取,a AB =则①式可以化为=OP OB t OA t AB t OA ⋅+⋅-=+)1( .②②式是三点P 、A 、B 共线的充要条件，例如：当点P 满足3231+=时，点P 在直线AB 上，即P 、A 、B 三点共线，在②式中令,21=t 则有)(21+= ,③P 是AB 中点．其中①②都是空间直线的向量参数表达式，③是线段AB 的中点公式．同时①与②也是证明点共线的依据．4．共面向量的定义．通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．[注意] 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了． 5．共面向量定理． 如图3 -1 -11，如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对（x ，y ），使+=xa p .yb ①若①中的向量a 、b 、p 均用有向线段表示可得以下推论．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x ，y ），使.y x += ② 或对空间一点0来说，有.0yM MA x OM P ++= ③ [注意] (1)①中的（x ，y ）是唯一的．(2)①②③三式是等价的，即实质一样，只是形式不同． (3)此推论是证明点在面内（或点共面．）的理论依据， 如点P 满足,2121OM ++=则由推论可知点P 在面MAB 内． 五、空间向量的数量积1．空间两个向量的夹角，已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点0，作==a 、,b 则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作<a ，b>，如图3-1-12．[注意] (1)规定;,0π>≤≤<b a);,(,)2(a b b a >=< ,2,)3(π>=<b a 若则称a 与b 互相垂直，并记作a ⊥b ．2．两个向量的数量积．已知两个非零向量a 、b ，则><b a b a ,co s ||.||叫做向量a 与b 的数量积，记作 a.b ，即.,co s ||||><⋅=⋅b a b a b a[注意] (1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取使范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由走角的余弦值决定．(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．3．空间向量的数量积满足如下运算律：);())(1(b a b a ⋅=⋅λλa b b a ⋅=⋅)2( （交换律）； c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)()3(（分配律）． [注意] (1)对于三个不为0的实数a 、b 、c ，若.a b a =⋅,c 则,.C b =对于三个不为O 的向量，若c a b a .=⋅不能得出,c b =即向量不能约分．(2)若,k b a =⋅不能得出),(/akkb b k a =⋅=就是说，向量不能进行除法运算． (3)对于三个不为O 的实数，a 、b 、c 有),()(bc a c ab =对于三个不为0的向量a 、b 、c ，有),()(c b a c b a ⋅=/⋅向量的数量积不满足结合律，六、夹角与长度根据空间两个向量数量积的定义：.||.||b a b a =⋅,,cos ><b a 那么空间两个向量a 、b 的夹角的余弦>=<b a ,cos ,||||b a ba ⋅⋅这个公式在今后的求解及证明中应用很广泛，在空间两个向量的数量积中，特别地=⋅=⋅ 0cos ||||a a a a ,||2a 所以向量a 的模,||2a a =将其推广：;2)(||222b b a a b a b a +⋅+=+=± 2)(||c b a c b a ++=++.222222a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=典例分类刮析考点1 空间向量的线性运算 命题规律1．用空间向量加法、减法、数乘运算的法则和定律化简向量式． 2．用某些已知向量表示指定向量．[例1] 如图3 -1 -13，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列各式中运算结果为向量1BD 的是( )．-+--)(;)(1111BB A D A ②①;11C D ;)(1DD --③-11(D B ④.)11DD A +①②.A ②③.B ③④.C ①④.D[解析]在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．;)(1111111BD AA D A A D A =++=--①;)(1111111111BD D C BC D C BB BC C D BB BC =+=++=-+②-+=-=+=--1111)(DD BD DD BD D D BD DD AB AD ③;221111BD DD BD DD =/-= ++=++=+-11111111111)(BB D B DD AA D B A D B ④.1111BD DD BD DD =/+= 因此，①②两式的运算结果为向量,1BD 而③④两式运算的结果不为向量.1BD 故选A ．[答案] A[点拨] 在对向量进行加减法运算时，一定要运用其运算法则及运算定律来化简，特别要注意将某些向量进行平移，将其转化到同一平面中去求解．另外，本题是一个选择题，因此，在计算出①②两式结果后，就已得到选项，敌③④两式不必计算，这样可提高解题速度，体现“小题”小解或巧解的特点，母体迁移1．如图3 -1 - 14所示，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：;)1(1BA CB +;21)2(1AA ++ .)3(1CB AC AA --[例2] 已知平行六面体M D C B A ABCD ,////-是/AA 的中点，点G 在对角线C A /上且,1:2:/=GA CG 设,,b a ==,/c CC =试用a 、b 、c 表示./CA 、、、[答案] 要想用a 、b 、c 表示所给出的向量，只需结合图形充分利用空间向量 的线性运算律即可．[答案] 如图3 -1 -15所示．.b a +=+=.//c b a CC CA AA CA CA ++=+⋅=+=.2121/c b a CC ++=++=+=⋅++==)(3232/c b a CA CG[点拨]在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换，例如，在求时，利用了,//CC AA =把/AA 转化为./CC 把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解，这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础．母体迁移 2．已知////D C B A ABCD - 是平行六面体． (1)化简,3221//BC AA ++并在图中标出其结果； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 在侧面B B C C /对角线BC 上，且,3/NC BN =设,/AA y AB MN ++=βα试求γβα、、的值．考点2共线向量与共面向量 命题归律1．判定若干空间向量共线． 2．判定若干空间向量共面．3．利用空间向量的共线定理、共面定理证明直线与直线、直线与平面、平面与平面平行． [例3] 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心）[解析] 如图3 -1 -16.在四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别是所在棱的中点，要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点0．且0为它们的中点．[答案] ∵ E 、G 分别为AB 、AC 的中点，,21//.BC EG 同理,21//BC HF .//HF EG ∴从而四边形ECFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且D 为它们的中点，连接OP 、OQ. 只要能证明向量.,-=就可以说明P 、0、p 三点共线，且0为PQ 的中点，事实上，.,.,HQ OH Q O GP OG OP +=+=而0为GH 的中点，.21//,21//,00CD QH CD GP OH C =+∴21.,21==∴.02121000=-+=+++=+∴OH Q..-=∴∴ PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点.即证得EF 、GH 、Q 相交于点0，且O 为它们的中点，故原命题得证．[点拨] 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线， 证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形，直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．母体迁移 3．如图3 -1 - 17所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD ..32,32==求证：四边形EFGH 是梯形．[例4] 如图3-1 -18，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA 、PB 、PD.点E 、F 、G 、H分别为△PAB、△PB C 、△PCD、△PDA 的重心，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)平面EFGH//平面ABCD.[解析] 由共面向量定理可知，要证明E 、F 、G 、H 四点共面，只要证明存在有序实数对（x ，y ）使y x +⋅=即可；要证明平面EFGH//平面ABCD ，只要证明平面EG 内两条直线平行于平面ABCD内的两条相交直线即可．[答案] (1)连接PE 、PF 、PG 、PH ，分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R ．∵ E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴ M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连接MNQR 所得四边形为平行四边形，且有32.,32,32,32PR ⋅====∵ 四边形MNQR 为平行四边形，则.3232.32MQ PM P PE PG EG =-=-= )(32MN +=)(32)(32PM PM -+-= )2323(32)2323(32PE -+-= .EH EF +=∴ 由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面． (2)由(1)知23=,//EG MQ ∴从而.//AC EG 面又,232323EF PE PF PM PN MN =-=-= .//,//AC EF EF MN 面∴∴又 ∴=,E EF EG平面//EFGH 平面.ABCD[点拨】 (1)利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．(2)利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面，母体迁移 4．如图3 -1 -19，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且.31,31AE AN BD BM ==求证：//MN 平面.CDE考点3 空间向量的数量积 命题规律1．求空间两个向量的数量积．2．已知空间两个向量的数量积求有关参数的值． 3．利用空间向量的数量积求两点间的距离． 4．利用空间向量的数量积求两向量的夹角．[例5] 如图．3 -1 - 20，已知空间四边形ABCD_的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，求下列向量的数量积．;)1(⋅ ;.)2(⋅ ;)3(⋅ .)4(⋅[答案] 在空间四边形ABCD 中，,60,,||||)1(o a >=<== .a AB =⋅∴.2160cos 2a a o = ,60,,||,||)2(o a BD a AD >=<==.2160cos 22a a ==⋅∴ ,|,|21||)3(a AC a GF == 又.,(,//π=∴AC AC .21cos 2122a a -==⋅∴π ,//,||,21||)4(a a ==,60,, >=>=<∴<.4160cos 21.22a a BC EF ==∴[点拨] 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：=⋅b a ><b a b a ,cos ||||即可顺利计算．母题迁移 5．已知在长方体1111D C B A ABCD -中，=AB E AD AA ,4,21==为侧面B B AA 11的中心，F 为11D A 的中点，求下列向量的数量积：;11ED BC ⋅）（ ;)2(1AB ⋅ 1)3(FC ⋅[例6] 如图3 -1 - 21所示，在四面体ABCD 中，,7=AB ,13,4,3,2====CD AD AC BC.BC AD ⊥求B 、D 间的距离．[答案] 在△ABC 中，由余弦定理得BC AC AB BC AC ACB ⋅⋅-+=∠2cos 222,21322749=⨯⨯-+= .60o ACB =∠∴即.120),(o CA BC =同理可求得,120),( =AD CA又.90,, >=∴<⊥BC AD.2||||||)(||22222+++=++=∴⋅+⋅+22,cos ||2,cos ||||21694+><+><⋅+++=><AD BC ,cos |⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=22120cos 432120cos 32229 .1190cos 4=.11=∴BD 故B 、D 间的距离为.11[点拨] 空间向量运算的代数化、程序化，可使有些立体几何问题得到简捷的解法．本例利用空间向量方法快速地求出B 、D 两点间的距离，因此我们应熟练掌握空间向量，并利用它来解决有关问题. 像平面向量一样，空间向量运算律和运算性质，可使向量的运算类似实数运算那样地进行.由本例可知，运用空间．向量方法来分析解决问题的关键在于选择恰当的向量来表示有关向量，如本例由AD CA BC BD ++=母体迁移 6．如图3 -1- 22所示，在平行四边形ABCD 中，,90,1 =∠==ACD AC AB 沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成o60角，求此时B 、D 间的距离．[例7] 如图3-1 - 23所示，已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且,1===SC SB SA M 、N 分别是AB 、SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．[解析] 要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值可以转化为求与所成的角的余弦值，因此就要求.以及|,|.||然后再用向量夹角公式求解．[答案]设 ,,,c b a ===则,1||||||===c b a 且a 、b 、c 三个向量两两夹角均为,60⋅=⋅=⋅=⋅∴21c a c b b a )()(21-⋅+=⋅ )21).((21b c b a -+=)2121(212b c b b a c a -⋅+⋅-⋅= ⋅-=-⨯+-⨯=21)12121212121(21 ⋅-=⋅-=>=<∴32232321||.||,cos BN SM所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为⋅32[感悟] 利用空间向量的数量积，即利用公式>=<b a ,cos ,||||b a ba ⋅可以求异面直线所成的角，但应注意以下几点：(1)选择较小并且易求其数量积和模且关联较多的向量来表示异面直线的方向向量；(2)注意区别异面直线所成角的范围与空间两个向量夹角的范围，一般地，异面直线所成的角的范围为),2,0(π而向量的夹角的范围为[0，π]．母体迁移7．如图3 -1 - 24所示，在棱长为a 的正方体-ABCD 1111D C B A 中，求：异面直线1BA与 AC 所成的角．优化分层测训学业水平测试1．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，向量BD AD AB ,,11是 ( )。

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

3. 1.1空間向量及其運算（一）教學目標：㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律；㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．㈢德育目標：學會用發展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發展、進化的，會用聯繫的觀點看待事物．教學重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律．教學難點：應用向量解決立體幾何問題．教學方法：討論式．教學過程：Ⅰ.複習引入［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學習了有關平面向量的一些知識，什麼叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點與終點字母：AB．［師］數學上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學們回憶一下．［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量.［師］學習了向量的有關概念以後，我們學習了向量的加減以及數乘向量運算：⒈向量的加法：⒉向量的減法：⒊實數與向量的積：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)當λ＞0時，λa 與a 同向； 當λ＜0時，λa 與a 反向； 當λ＝0時，λa ＝0.［師］關於向量的以上幾種運算，請同學們回憶一下，有哪些運算律呢？ ［生］向量加法和數乘向量滿足以下運算律 加法交換律：a ＋b ＝b ＋a加法結合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 數乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關係、空間向量的加法、減法、數乘以及這三種運算的運算率，並進行一些簡單的應用．請同學們閱讀課本Ⅱ.新課講授［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個平移就是一個向量．那麼我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，並且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個向量都可以用同一平面內的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個向量是共面的．［師］空間向量的加法、減法、數乘向量各是怎樣定義的呢？［生］空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與平面向量的運算一樣：AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被減向量）， =OP λa )(R ∈λ［師］空間向量的加法與數乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律．［生］空間向量加法與數乘向量有如下運算律： ⑴加法交換律：a + b = b + a ；⑵加法結合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（課件驗證） ⑶數乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［師］空間向量加法的運算律要注意以下幾點：⑴首尾相接的若干向量之和，等於由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體''''D C B A ABCD -（如圖），化簡下列向量運算式，並標出化簡結果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 說明：平行四邊形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD —A’B’C’D’．平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱．說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等於以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣．例2、如圖中，已知點O 是平行六面體ABCD －A 1B 1C 1D 1體對角線的交點，點P 是任意一點，則．分析：將要證明等式的左邊分解成兩部分：與，第一組向量和中各向量的終點構成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點構成平行四邊形A1B1C1D1，於是我們就想到了應該先證明：將以上所述結合起來就產生了本例的證明思路．解答：設E，E1分別是平行六面體的面ABCD與A1B1C1D1的中心，於是有點評：在平面向量中，我們證明過以下命題：已知點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，點P是平行四邊形ABCD所在平面上任一點，則，本例題就是將平面向量的命題推廣到空間來．Ⅲ.鞏固練習Ⅳ.教學反思平面向量僅限於研究平面圖形在它所在的平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移．關於向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法．Ⅴ.課後作業⒈課本1、2、⒉預習下一節：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個向量共線的充要條件是什麼？⑶空間中點在直線上的充要條件是什麼？⑷什麼叫做空間直線的向量參數表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什麼？⑺空間一點P在平面MAB內的充要條件是什麼？3.1.1空間向量及其運算（一）課前預習學案預習目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律；預習內容：1.———————————————叫空間向量．空間向量的表示方法有： -------------------2． --------------------------叫相等向量3.空間向量的運算法則：—————————————————— 提出疑惑：同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點 疑惑內容課內探究學案 學習目標：㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律； ㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法；⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律； ⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題．學習重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律． 學習難點：應用向量解決立體幾何問題． 學習過程：例１已知平行六面體''''D C B A ABCD -（如圖），化簡下列向量運算式，並標出化簡結果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 例2、如圖中，已知點O 是平行六面體ABCD －A 1B 1C 1D 1體對角線的交點，點P 是任意一點，則．當堂檢測：1、下列說法中正確的是（ ）A ．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B ．若非零向量與是共線向量，則A 、B 、C 、D 四點共線C ．若D ．四邊形ABCD 是平行四邊形的充要條件是=2、已知空間四邊形ABCD ，連AC ，BD ，設M 、G 分別是BC 、CD 中點，則（ ）A ．B ．C ．D ．3、如圖：在平行六面體1111D C B A ABCD -中，M 為11C A 與11D B 的交點。

3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1] 下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一 空间向量的数乘运算【例1】 设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】 将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式． 【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二 空间向量的共线问题【例2】 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】 因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三 空间向量的共面问题【例3】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ­ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。

空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教学重点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。

由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。

条有向线段来表示。

思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。

其中向量a 叫做直线l 的方向向量。