人教A版高中数学必修四课件：第一章 1.3(二) 三角函数的诱导公式

例题讲解 人教A版数学必修四《三角函数的诱导公式》PPT课件
例1 证明：（1）sin( 3 ) cos
2
（2）cos(3 ) sin
2
（1）证明：左边
sin(
3
2
)
sin
(
2
)
sin( )
cos2
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件
右边
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件
解：sin( 2 ) sin
2
cos( ) cos
cos(
2
)
sin
cos(11
2
)
cos6
(
2
)
cos[(
2
)]
sin
sin(2 - )cos( )cos( )cos(11 - )
2
2
cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( 9 )
2
cos( ) cos
谢谢聆听，祝你进步。 再见！
公式五：
sin( ) cos
2
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件
cos( ) sin
2
公式二：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
2
是否成立？
若成立2 ，你有什么办法证明？
a 2
c
b
α
cos
cos( ) a sin
2
c
人教A版数学必修四《三角函数的诱导 公式》 PPT课 件

讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
第三十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题.
化简:
cos (1) 2 sin( 2 ) cos(2 );
sin 5
2
(2) cos2( ) tan(360o ) . sin( )
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
思考下列问题一： (1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
角的三 或三
角函数
角的三 二或四
角函数
角的三角 函数
0o~90o间 角的三角 函数
第三十二页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负
角的三 角函数
公式一 或三
任意正 公式一或
角的三 二或四
角函数
0o~360o间 角的三角
函数
0o~90o间
角的三角 函数
查表
求值
第三十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角函数
角函数
第三十页，编辑于星期日：十三点 十八分。
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三
角函数
公式一 或三
任意正 公式一或 角的三 二或四 角函数
0o~360o间 角的三角 函数

研一研·问题探究、课堂更高效 (2)诱导公式五的推导：
§1.3（二）
π 问题 1 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎 2 样的对称关系？ 本 课 π 时 答 角 α 的终边与 －α 的终边关于直线 y＝x 对称． 栏 2 目 π 开 问题 2 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)， 则 － 2 关
y.
所以，对任意角 α
sin α .
π 都有：sin2－α＝
cos α
π ，cos2－α＝
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 诱导公式六
π ，cos2＋α＝
§1.3（二）
(1)诱导公式六： π sin2 ＋α＝ cos α
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（二）
2．诱导公式五～六的记忆 π π －α， ＋α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值， 2 2 本
课 时 栏 目 开 关
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号， 记忆口诀 为“函数名改变，符号看象限”.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
α 与单位圆交于点 P′，写出点 P′的坐标．
答 P′(y，x)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3（二）
问题 3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
本 课 时 栏 目 开 关
sin α＝ y ，cos α＝ x ；
π sin2 －α＝
x
π ，cos2－α＝
§1.3（二）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（二）
【学习要求】 1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化 简与证明问题． 本 课 时 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与 栏 目 个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力． 开 关 现问题、解决问题的能力．

sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)

【互动探究】本题1若改为cos21°+cos22°+cos23°+…+
cos288°+cos289°+cos290°，又如何求解呢？
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1进行计算.
【解析】cos21°+cos289°=cos21°+sin21°=1, cos22°+cos288°=cos22°+sin22°=1, 即cos2x°+cos2(90°－x°)=cos2x°+sin2x°=1(1≤x≤44, x∈N), 所以原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+… +(cos244°+cos246°)+cos290°+cos245°
2
式不变名,而后一套公式必须变名.
【变式训练】化简
tan 3－ 3 3 sin － sin( －) sin( )cos 2 2 2
sin 2－ cos(－
7 ) 2 .
【解析】tan(3π－α)=－tan α，sin(π－α)=sin α，
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°-α及
-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
(4)善于发现类似 －与 间的互余关系， －与 2
3 6 3 3
间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题.
【变式训练】(2013²广东高考)已知 sin( 5 ) 1 ， 那么
1.3 三角函数的诱导公式(二)
诱导公式五、六
1.公式的表达形式
cos
sin

1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,

16
备课素材
1．诱导公式的记忆： (1)诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变” 是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“符号看 象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号． (2)诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是 指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看 象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号．
6
新课导入
问题 2：已知 sin 30°＝12，如何求 sin 210°，sin 330°，sin 150°的值？ 教师引导 能否求把 0°～360°之间的角的三角函数问题，化为我们熟悉的求 0°～ 90°之间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的 问题．
7
新课导入
[导入二] 引导学生观察、联想，导入课题，重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫． 提问1：试写出诱导公式一． sin(k·2π＋α)＝sin α，cos(k·2π＋α)＝cos α，tan(k·2π＋α)＝tan α(k∈Z)． 提问2：试说出诱导公式一的结构特征和作用． 结构特征：终边相同的角的同一三角函数值相等． 作用：把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题．
26
预习探究
拓展
已知 cos
α＝15，且
α
是第四象限角，则
π
cos(α＋ 2 )的值为________．
[答案]
26 5
[解析] ∵α 是第四象限角，且 cos α＝15，∴sin α＝－ 1－cos2α＝－
－2
5
6，∴cos(α＋π2 )＝－sinα＝25源自6 .1－215＝

x 2k
sin(x) sin sin sin sin cos(x) cos cos cos cos tan tan tan tan tan
例1.利用公式求下列三角函数值
(1) cos 225 0
(2) sin 11 3

(3) sin( 16) 3
1.3 三角函数的诱导公式(1)
一、复习 请你说说三角函数的定义（用单位圆）
请你说说关于x轴、y轴、坐标原点对称的点的 坐标之间有何关系？
请你说说三角函数的诱导公式一
公式一： sin(2k ) sin cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
y P(x,y)
o Q(-x,-y)
x
公式二：
sin sin cos cos tan tan
公式三：
sin sin cos cos tan tan
P(-x,y)
y P(x,y)
O
x
公式四：
sin sin cos cos
tan( ) tan
函数名不变,符号看象限
Y=x
y Q(y,x)
P(x,y)
o
x
公式五： 公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
cos(
) sin
2
奇变偶不变,符号看象限
y o
x
例3.证明： (1).sin 3 cos 2
(2).cos 3 sin
例4.化简
2
sin2
cos
c os
2
c
os
11
2
cos sin3 sin sin 9

π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求

2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x

解
∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－
3 5
，∴cos
α＝
3 5
，
∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos＝α－) －45＋35＝15.
综上，原式＝－1.
1234
1234
2sinα＋nπcosα－nπ
3.证明：
＝(－1)ncos α，n∈Z.
sinα＋nπ＋sinα－nπ
证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
2sinα＋2kπcosα－2kπ 左边＝
sinα＋2kπ＋sinα－2kπ
＝ 2sin αcos sin α＋sin
αα＝2si2nsαincoαs
tan(π＋α)＝－－yx＝yx.
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
思考3 公式二有何作用？ 答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：
sin 76π＝－sin π6＝－12，cos 54π＝－ 22， tan 240°＝ 3.
是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三 角函数，或先将负角转化为正角后再转化到0，π2 范围内 的角的三角函数值.
跟踪训练1 求下列三角函数值. (1)sin－463π； 解 sin－463π＝－sin 463π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12；
第一章 三角函数

3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函 数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函 数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数 来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决 问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3

【多维探究】 (1)本例条件不变，如何求 cos56π－α的值？
(2)本例条件若变为“已知 sin23π＋α＝12”，其他不变，则 结果又如何？
(3)本例条件若不变，如何求 cos23π＋α的值？ (4)本例条件若不变，如何求 tanπ3－α的值？
解：(1)cos56π－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12. (2)cosπ6＋α＝cos23π＋α－π2＝cosπ2－23π＋α ＝sin23π＋α＝12.
提示：因为
tanπ2＋α
＝
csoinsπ2π2＋＋αα＝－cossinαα＝－cs1oins
α α
＝
－
1 tan
α，所以
tanπ2＋α＝－tan1
α，即它们互为负倒数．
1．对诱导公式五、六的理解 (1)公式五、六中的角 α 是任意角． (2)公式五、六可以概括如下：π2±α 的正弦(余弦)函数值， 分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把 α 看成锐角 时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名改变，符号看象 限”．
高中数学 第一章 三角函数 三角 的诱导公式（第 课时）教学课件
教 版必修
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休
睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对
哦~
1．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A．sin 5°
B．cos 5°
C．0
D．2sin 5°
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°
证明：∵左边＝－2sin321π－－2θsin－2 θsin θ－1
＝－2sinπ＋1－π2－2sθin2－θ sin θ－1＝2sinπ2－1－θ2s－ins2inθ θ－1

第二十五页，共43页。
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
第二十一页，共43页。
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化

3
3
3
3 2
.
(3)
sin(136)
sin
16 3
sin(53)
sin(3)
sin
3
3 2
.Hale Waihona Puke (4)cos(2040)cos2040co s(6 3 6 0 1 2 0)
2020/12/11
cos120cos(18060)cos60
8
1 2
.
思考：你对诱导公式一～四的作用有什么进一步的认识？ 你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤吗？
(3)tan(- )4.
3
2020/12/11
7
例 1.利用公式求数 下值 列： 三角函
(1)co2s2； 5 (2)si1n1； (3)sin 1(6)； (4)cos2(04).0
3
3
解：(1)cos225cos(18045)cos45
2. 2
(2) sin11 sin(4 ) sin
2020/12/11
3
公式(二)
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
y
练习1、求值: (1)cos210º;
(2)sin ; 4
3
(3)tan 1.3
4
2020/12/11
O
x
4
公式(三) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
练习2、求值: (1)cos(-1200º);
(2)sin(-
(3)tan(-
2020/12/11
);7

【例 2】
化简
cos 52π-������ cos(-������) sin 32π+������ cos 212π-������
=
.
解析:原式
cos
=
-sin
π 2
=
sin
cos 2π+ π2-������ cos������ π+ π2+������ cos 10π+ π2-������
π2 -������ cos������
六都叫做诱导公式
归纳总结诱导公式五和六可用口诀“函数名改变,符号看象限”记 忆,“函数名改变”是指正弦变余弦,余弦变正弦.“符号看象限”是把α 看成锐角时原三角函数值的符号.
【做一做1】 已知sin 25.7°=m,则cos 64.3°等于( )
A.m
B.-m
C.m2
D. 1-������2
答案:A
+ ������
cos
π 2
-������
sin������cos������ = -cos������sin������ = −1.
答案:-1
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】
化简
cos(π+������) cos������[cos(π-������)-1]
+
sin
������-32π
2
公式六 sin ������ + α = cos ������
2
cos ������ + α = −sin ������
2
公式五和公式六可以概括为:
������ 2±
������的正弦
余弦
函数值, 分别等于������的余弦