【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题14 推理与证明、新定义(含解析)理

一．基础题组1.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011【答案】C考点：1.创新题;2.推理.2.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理7）“指数函数(1)x y a a =>是增函数，(1)y x αα=>是指数函数，所以y x α=(1)α>是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） A ．推理完全正确 B.大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确【答案】C【解析】试题分析：以上推理中，(1)y x αα=>是幂函数，不是指数函数，所以小前提不正确，故选C. 考点：演绎推理. 二．能力题组1.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理8）有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2. 如图，下面的四张卡片的一个面分别写有,,2,3P Q ，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（ ）A.第一张，第三张B.第一张，第四张C.第二张，第四张D.第二张，第三张【答案】B 考点：推理与证明 2.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理16）“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),……,则第50个数对是 .【答案】)6,5(【解析】试题分析：根据题中所给的“整数对”的规律可以发现，和为2的整数对有1个，和为3的有2个，以此类推，和为1n +的整数对有n 个，所以有(1)502n n +≤，解得9n ≤，所以一直到和为10的整数对排完，总共有45个，第50个数对是和为11的第5个，故为)6,5(.考点：数列的有关问题.3.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）理14）已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ．【答案】③④Q P2 3对于{(,)|sin 1}M x y y x ==+，结合sin 1y x =+的图象可知，在图象上任取点A ，图象上总存在点B ，使OA OB ⊥，即对任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，所以，④是“垂直对点集”；综上知，答案为③④.考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.三．拔高题组1.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理14）已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A =1；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为__ __．【答案】6π+【解析】试题分析：根据题意，点P (,)20到线段={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤最短距离为1，如图所示，考点：新定义题.2.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个．③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个．④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线．其中所有正确命题的序号为 ．【答案】①②③考点：1.平面点和直线的位置关系;2.分类讨论思想.3.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理17）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+. （Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质． 【答案】（Ⅰ）证明略； （Ⅱ）椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b+=. 【解析】试题分析：第一问应用分析法证明等式即可，第二个类比着可以得出结果，属于基础题，很简单. 试题解析：（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+， 只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立． ……5分（Ⅱ）圆的性质中，经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用00(,)M x y考点：分析法证明等式，类比推理.：。

【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义（含解析）一．选择题1. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.13782.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的（ ） A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】试题分析：本题考查充分条件和必要条件的基本概念，以及逻辑思维能力、推理能力.定义新运算，是高考命题经常使用的一种手段。

因为c b a ≤≤，则可知max{,,}a b c c b c a a =，min{,,}a b c a b b c a b c =或，所以当倾斜度为1时，即满足11=⨯=⨯c b a c b a a c 或，即b c =或a b =.因此当三角形为等边三角形时，则1===a c c b b a ，满足倾斜度为1，反之，若满足倾斜度为1，则三角形也可为等腰三角形.故选择B.3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x = ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=， 所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题. 5. 【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于②的式子： .○2式可以用语言叙述为： . 【答案】②的式子：32443R R ππ'（）＝； ○2式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于它的表面积函数. 【解析】试题分析：V 球＝343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”.2.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示）3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的 71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.10 6 3 1 ···【答案】(1)3,1,6 (2)79。

一．基础题组1.【太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测高三数学(文)】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人【答案】B考点：推理.2.【河东区 2015 年高考一模考试数学试卷（文史类）】在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意 2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣ 【答案】C【解析】试题分析：由题意()2x a x a -⊗≤+，即2)1)((+≤--a x a x ，即2)2(2+-≤-x x x a ，∵对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，所以222-+-≤x x x a ，令22)(2-+-=x x x x f ，则a 小于或等于)(x f 当2x >时的最小值，22)(2-+-=x x x x f 324)2(24)2(3)2(2+-+-=-+-+-=x x x x x 7324)2(=+-⨯-≥x x 当且仅当x=4时取最小值．故选C ． 考点：新定义下对函数恒成立问题.3.【2016届四川省成都市高三零模拟诊文科数学试卷】定义一种运算如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ＝ad －bc ，则复数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+i i 3211的共轭复数是 ． 【答案】i 31--考点：新定义运算，共轭复数．4.【太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测高三数学(文)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 满足322211-=≥=++a n a S S n n n ),(，则=n S 【答案】12n n +-+ 【解析】 试题分析：根据题意有1123S a ==-，22212S a S ++=，因为212S a a =+，所以221221223S S a S S ++=-=+，解得234S =-，同理可以求得3445,56S S =-=-，所以可以才想出12n n S n +=-+，可以通过数学归纳法证明. 考点：不完全归纳法.5.【江西省临川一中2015届高三5月模拟试题文科数学】已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断,若 存在常数()R t t ∈,使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立,则称f (x )是回旋函数,其回旋值为t ．给出下列四 个命题：①函数()2f x =为回旋函数的充要条件是回旋值t ＝－1；②若x y a =(a >0,且a ≠1)为回旋函数,则回旋值t ＞1；③若()sin (0)f x x ωω=≠为回旋函数,则其最小正周期不大于2；④对任意一个回旋值为t (t ≥0)的回旋函数f (x ),方程()0f x =均有实数根．其中为真命题的是_____________(写出所有真命题的序号)．【答案】①③④考点：信息迁移题二．提高题组1.【河东区 2015 年高考一模考试数学试卷（文史类）】若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在 f （x ）的图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”（点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作一个“姊妹点对”。

第十四章推理与证明、新定义一．基础题组1. （甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在（）A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列【答案】D【分析】根据题意确定出第n行有2n﹣1个数字，根据前n行数字个数确定出数字2013所在的行，进而确定出所在的列即可．2. (甘肃省定西市通渭县榜罗中学2016届高三上学期期末数学（理）试题)观察如图等式，照此规律，第n个等式为．【答案】n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【分析】根据前4个式子的规律，利用归纳推理进行归纳即可．【解析】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，观察等式的取值规律，进行归纳是解决归纳推理的基本方法，考查学生的观察和分析能力．3. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)按照从大到小的原则写成如下数表： 第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()6,10A =__________．【考点】本题主要考查数列的通项公式【解析】前5行共有012342222231++++=个，()6,10A 为数列的第41项，41112181n a a n =∴=-4. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++= ．（用数字作答）。

【高中数学】数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.4．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=,故选C.考点：观察和归纳推理能力.6．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．7．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴112121111n n n n n n d c c c c c q c q c q--=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=∴12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅是等比数列故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．8．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++=B ．4227841630x x x +++=C ．2174328610x x ++=D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.11．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.12．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.13．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.14．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义（含解析）一．选择题1. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.13782.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的（ ） A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】试题分析：本题考查充分条件和必要条件的基本概念，以及逻辑思维能力、推理能力.定义新运算，是高考命题经常使用的一种手段。

因为c b a ≤≤，则可知max{,,}a b c c b c a a =，min{,,}a b c a b b c a b c=或，所以当倾斜度为1时，即满足11=⨯=⨯c b a c b a a c 或，即b c =或a b =.因此当三角形为等边三角形时，则1===a c c b b a ，满足倾斜度为1，反之，若满足倾斜度为1，则三角形也可为等腰三角形.故选择B.3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x =； ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227B.258C.15750D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=， 所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题.5. 【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于②的式子： .○2式可以用语言叙述为： . 【答案】②的式子：32443R R ππ'（）＝； ○2式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于它的表面积函数. 【解析】试题分析：V 球＝343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”.2.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示）3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对10 6 3 1 ···应的1N=，4S=，0L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应的N=，18L=，则S=（用数值作答）.71【答案】(1)3,1,6 (2)79。

专题14 推理与证明、新概念1. 【2006高考北京理第8题】以下图为某三岔道口交通环岛的简化模型，在某顶峰时段，单位时刻进前途口,,A B C 的机动车辆数如下图，图中123,,x x x 别离表示该时段单位时刻通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时刻内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），那么20，30；35，30；55，50 （ ） （A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C2. 【2020高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，假设存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，那么称点P 为“点”，那么以下结论中正确的选项是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A考点：创新题型.3. 【2021高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个品级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.假设学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，那么称“学生甲比学生乙成绩好”.若是一组学生中没有哪位学生比另一名学生成绩好，而且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【答案】B考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .若是在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 【答案】1(3)22n n n + 考点：信息题。

专题14 推理与证明、新定义
1. 【2005高考重庆理第22题】（本小题满分12分）
数列{a n }满足)1(2
1)11(1211≥+++==+n a n n a a n n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；
（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数 e=2.71828….
2. （本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
设m 个不全相等的正数12,,
,(7)m a a a m ≥依次围成一个圆圈． （Ⅰ）若2009m =，且121005,,
,a a a 是公差为d 的等差数列，而1200920081006,,,,a a a a 是公比为q d =的等比数列；数列12,,,m a a a 的前n 项和()n S n m ≤满足：320092007115,12S S S a ==+，求通项()n a n m ≤；
（Ⅱ）若每个数()n a n m ≤是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
2216712m m a a a a ma a a +++++>；
3. 【2013高考重庆理第22题】(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，
n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭
.
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若P n的子集A中任意两个元素之和不是
．．整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并．。

专题14 推理与证明、新定义1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （ ） （A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A考点：创新题型.3. 【2014高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【答案】B考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 【答案】1(3)22n n n + 考点：信息题。

专题14 推理与证明、新定义1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （ ）（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A考点：创新题型.3. 【2018高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 【答案】B考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k =的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k+1（x ）=xP k （x ）+a k+1（k=0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 【答案】1(3)22n n n + 考点：信息题。

【高中数学】《推理与证明》考试知识点一、选择题1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+ 【答案】A【解析】【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-， 1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+，[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知： []'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=【答案】C【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【答案】B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 22m t T ++ 2m+2t+T分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D【解析】【分析】 通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=--()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6 上列乘5 上列乘21 6 30 6012 3 15 3013 2 10 2014 32 152 1515 65 6 1216 1 5 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.6．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =①22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】D【解析】【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④.【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22AB FC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D.【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.7．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D【解析】【分析】 先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.【详解】 奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，故2019位于第45行，从右往左第20列，则45i =，26j =，故19i j -=.故选：D.【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.8．用数学归纳法证明11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ）A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2 【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<， 2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A ．甲和丁B ．乙和丁C ．乙和丙D ．甲和丙【答案】B【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A ．33B ．23C ．6513D ．53【答案】D【解析】【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率.【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =-=-=，所以53c e a ==， 故选：D.【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

第十四章 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(6)】若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2 (x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________． 【答案】{2}考点：新定义，不等式恒成立，导数与单调性.2. 【】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ． 【答案】62n + 【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n 项为62n + 考点：等差数列3. 【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = .【答案】122n +- 【解析】试题分析：由题意得：12nn n a a +-=，所以1122(12)22222212n n n n n a ----=++++=+=-，所以n S 122n +=-考点：等比数列求和，累加法求通项4. 【淮安市2014－2015学年度第二学期高二调查测试】已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：① ()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ．【答案】3考点：函数性质5. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(5)】一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )． （1）求f (1)，f (2)的值；（2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n (4n －1)3+2n－1．试题解析：(1)易得f(1)=3；当n=2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2, 3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f(2)＝1+(2+5)×2+8＝23．(2)首先考虑f(n+1)与f(n)的关系．集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3．故f(n+1)的组成有以下几部分：①原有的f(n)个集合；②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+,3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}． 所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1． 两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ， 即f (n )＝2n (4n －1)3+2n－1． 考点：新定义，子集，归纳推理.6. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(2)】汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k =8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围． 【答案】（1）6752210米；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k .（2）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解又21511215t k t t t+==+，115t t +≥Q，当且仅当115,t t t ==Q []1,2t =，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k . 考点：导数的物理意义，方程有解问题.7. 【2015年高考模拟试卷南通市数学学科基地命题(3) 】若数列{}n C1n c +≤，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”； （2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32=532(22n n --+4223222n -≤+141322n n S +-=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列”.（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立;当1q >，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a aq M q q ->-- 因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.考点：充要关系，新定义8．【江苏省南京一中等五校2015届高三联考（四模）数学】已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，2214n n b b +=，且111,1a b ==-．（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦r 数列”；设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ， ① 若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；② 若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩（2）①22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②max 6m =试题解析：（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *++=-=∈，∴21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩； ………4分（2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5r ，使得1r r a a +<，且12n n a a +-=，∴数列{}n a 必为1,3,5,7,9,7,9,11,⋅⋅⋅，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩； ………8分②∵2214n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴= ………9分 而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数． ………10分首先证明：6m ≤．若7m >，数列{}n a 中()()21max 1321(1)m S m m +=++⋅⋅⋅++=+，而数列{}n b 中，m b 必然为正，否则()()1121212122230m m m m T b ---=-++⋅⋅⋅+-≤-++⋅⋅⋅++-=-<，显然矛盾；（※） ∴()()()13211min 12+22223m m m m m T ----=-++⋅⋅⋅++-+=-， 设122(1)3m m c m -=-+-，易得11223,m m m m d c c m -+=-=-- 而11220m m m d d -+-=->，()7m >，∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >，即6m ≤． ………14分 当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--⋅⋅⋅ 此时12r =，24r =所以max 6m =，对应的12r =，24r = ………16分 考点：1.等差数列；2等比数列；3.新定义；4.递增数列；9. 【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测数学试题】（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ; （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.【答案】（1）37b =；（2）22m m +；（3）121,[,]333p q =∈--. 【解析】试题分析：(1)已知说明1123n a n =-，要求3b ，只要求得不等式11323n -≥的最小整数解即可；（2）同样21n a n =-，为了求m b ，我们要解不等式21n m -≥，即12m n +≥，因此按m的奇偶分类讨论：当21m k =-时，()m b k k N *=∈，当2m k =时，1()m b k k N *=+∈，这样在求数列{}m b 的前2m 项和2m S 时也要分组求和，奇数项一起，偶数项一起分别求和；（3）存在性命题，都是假设存在，然后计算，本题假设存在的意思就是说不等式pn q m +≥的最小整数解为32m +，由于0p >，因此m q n p ->，则3132m qm m p-+<≤+，即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立.于是有310p -=，13p =，代入上式又得2133q -≤<-.故结论为存在.考点：不等式的整数解，分类讨论，分组求和，存在性命题.二．能力题组1. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”． 记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )． （1）求f (1)，f (2)的值； （2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1．试题解析：(1)易得f (1)=3；当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}， {1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23． (2)首先考虑f (n +1)与f (n )的关系．集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3n +3．故f (n +1)的组成有以下几部分：①原有的f (n )个集合；②含有元素3n +1的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +,3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n ；③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}．所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n +1．两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n ＝4n +12n +1，所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n －13+1－12n ，即f (n )＝2n (4n －1)3+2n －1． 考点：新定义，子集，归纳推理.2. 【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】 设集合{1,0,1}M =-,集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，, 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n mS ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时,求证：n m S 111322n m n +++<+-．【答案】⑴228S =,4232S =；⑵见试题解析.试题解析：⑴228S =,4232S =；因为当0k n ≤≤时,1k n C ≥,故10k n C -≥所以1122222n m m m n n n S C C C =+++ 001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++ 11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． 考点：1.集合；2.排列组合；3.推理证明。

专题14 推理与证明、新定义1. 【2006高考北京理第8题】下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （ ） （A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 【答案】C2. 【2009高考北京理第8题】点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A考点：创新题型.3. 【20xx高考北京理第8题】学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【答案】B考点：合情推理，中等题.4. 【2005高考北京理第14题】已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 【答案】1(3)22n n n + 考点：信息题。

，那么C．
年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷
究数。

比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
意给定的等比数列
保等比数列函数
7.【2012
曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，求其直径
上的一组正交函数，给出三组函数：①x
7850113
到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出
=
111111111
3..【
13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整
个：11
n
个数的表达式：
【解析】
试题分析：观察。

"（北京版第01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题14推理与证明、新定义 理（无答案） "拔高题组1.【北京市朝阳区2013年高三二模试卷（理科）】定义运算a b ⎡⎢⎣ c d ⎤⎥⎦x ax cy y bx dy +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣ 1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y kx =上的各点映到这点本身，而把直线y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,,,k m p q 的值依次是( )A.1,2,3,3k m p q ==-==B. 1,3,3,2k m p q ====-C.2,3,3,1k m p q =-===D. 2,1,3,3k m p q =-===2.【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0=λ；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .3.【北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）】设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.（1）数表A 如表1所示，若经过两“操”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1（2）数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；表2（3）对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由. 4.【北京市西城区2013年高三二模试卷（理科）】已知集合1212{(,,,)|,,,n n nS x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．5.【北京市昌平区2013届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++(其中k 、b 、p 是常数) ．（I ）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a ++++；（II ）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列” {}n a ，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．6.【北京市朝阳区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】已知实数12,,,nx x x （2n ≥）满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤=，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.7.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考（二）数学试题（理科）】已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ； (3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列． 8.【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ．（Ⅰ）若5m =，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由．9.【北京市丰台区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈{},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式，并写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和.nS10.【北京市海淀区2013届高三5月模拟】设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值； (Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a a a a a ------。

专题14 推理与证明、新定义一．基础题组1. 【2011上海,理14】已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足(|OQ 1|－2)(|OR 1|－2)＜0，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足(|OQ 2|－2)(|OR 2|－2)＜0，依次下去，得到P 1，P 2，…，P n ，…，则0lim n n Q P →∞=______.2. (2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【答案】（3，3）3. 【2007上海,理9】若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =。

则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。

4. 【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．【答案】36二．能力题组1. 【2010上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2 （3）已知函数()f x 的定义域|,,24k D x x k Z x R ππ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭.任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.【答案】（1）（2）（3）【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.2. 【2006上海,理16】如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．1l 2lOM （p ，q ）【答案】D3. 【2005上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．（1） 求向量02A A 的坐标；（2） 当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标【答案】（1）（2，4）；（2）()lg(1)4g x x =--；（3）4(21)(,)3n n -三．拔高题组1. 【2014上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【答案】(1)证明见解析；（2）11(,][,)22k∈-∞-+∞；（3）证明见解析.【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.2. 【2011上海,理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．(1)求点P(1,1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)【答案】(1) (2) 4＋π;(3)参考解析。

【备战2016】（湖北版）高考数学分项汇编 专题13 推理与证明、新定义（含解析）一．选择题1. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.13782.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b c t b c a b c a=∙则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的（ ） A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析】试题分析：本题考查充分条件和必要条件的基本概念，以及逻辑思维能力、推理能力.定义新运算，是高考命题经常使用的一种手段。

因为c b a ≤≤，则可知max{,,}a b c c b c a a =，min{,,}a b c a b b c a b c=或，所以当倾斜度为1时，即满足11=⨯=⨯c b a c b a a c 或，即b c =或a b =.因此当三角形为等边三角形时，则1===a c c b b a ，满足倾斜度为1，反之，若满足倾斜度为1，则三角形也可为等腰三角形.故选择B.3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④4.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A.227B.258C.15750D.355113 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，r L π2=，h r h r 22)2(75231ππ=， 所以275831ππ=，即π的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中π的近似计算，容易题.5. 【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1， ○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于②的式子： .○2式可以用语言叙述为： . 【答案】②的式子：32443R R ππ'（）＝； ○2式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于它的表面积函数. 【解析】试题分析：V 球＝343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”.2.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示）3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对10 6 3 1 ···应的1N=，4S=，0L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应的N=，18L=，则S=（用数值作答）.71【答案】(1)3,1,6 (2)79。