周练(一) 任意角和弧度制 任意角的三角函数

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。

任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。

2019-2020年高考数学 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法中,正确的是()A.小于的角是锐角B.第一象限的角不可能是负角C.终边相同的两个角的差是360°的整数倍D.若α是第一象限角,则2α是第二象限角【解析】选C.锐角的范围是(0, ),小于的角还有0角和负角,它们都不是锐角,所以A不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以B不正确;与角α终边相同的角都可以写成α+k·360°(k∈Z)的形式,其差显然是360°的整数倍,所以C正确;若α是第一象限的角,则k·360°<α<k·360°+90°,所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),所以2α是第一象限或第二象限或终边在y轴非负半轴上的角,所以D 不正确.【误区警示】本题易因角的范围与象限角的概念不清而致误.锐角、小于的角是从范围而言的,而象限角是从终边的位置来说的,它们的概念不同,应对其正确区分,否则极易出错.2.已知角α的终边落在y轴上,则下列说法正确的是()A.α=90°+k·360°,k∈ZB.α=90°+k·270°,k∈ZC.sinα=1D.cosα=0【解析】选D.终边落在y轴上的角α可表示为α=90°+k·180°,k∈Z,故A,B不正确;当α的终边落在y轴的正半轴上时,sinα=1,cosα=0,当α的终边落在y轴的负半轴上时,sinα=-1,cosα=0,故C不正确,D正确.3.在半径为4的圆中,150°的圆心角所对的弧长为()A.6B.600C.πD.π【解析】选D.150°的弧度数是×150=π,弧长l=4×π=π.4.(xx·成都模拟)已知角α=2kπ-π(k∈Z),则的值是()A.0B.2C.-2D.不存在【解析】选A.因为α=2kπ-π(k∈Z)是第二象限角,所以sinα>0,tanα<0,所以=1-1=0.5.若点P(sinθcosθ,cosθ)位于第二象限,则角θ所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】根据三角函数值的符号判断角θ所在的象限.【解析】选D.由题意,得所以sinθ<0,cosθ>0,故θ是第四象限的角.6.(xx·汉中模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上,所以有即-2<a≤3. 即a的取值范围为-2<a≤3.7.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为()A.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}B.{α|α=k·2π+π,k∈Z}C.{α|α=k·180°+π,k∈Z}D.{α|α=k·π-,k∈Z}【解析】选D.角α的取值集合为{α|α=2nπ+π,n∈Z}∪{α|α=2nπ-,n∈Z}={α|α=(2n+1)π-,n∈Z}∪{α|α=2nπ-,n∈Z}={α|α=kπ-,k∈Z},故选D.【误区警示】解答本题易误选C.出错的原因是忽视了角度数与弧度数是不同的单位,不能加减.二、填空题(每小题5分,共15分)8.-300°角的弧度数是.【解析】-300°角的弧度数是-300×=-π.答案:-π9.(xx·大连模拟)点P是始边与x轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ的终边上的一点,若|OP|=2,θ=60°,则点P的坐标是.【解析】设P(x,y),由三角函数的定义,得sin 60°=,cos 60°=,所以x=2cos 60°=1,y=2sin 60°=,故点P的坐标为(1, ).答案:(1,)10.已知角α的终边经过点(1,-1),始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α的取值集合为. 【解题提示】先由角α的终边经过点(1,-1)在[0,2π)或(-2π,0]内确定一个角,再加上2kπ(k∈Z).【解析】如图,由图易知,在[0,2π)内,α=π,所以角α的取值集合为{α|α=π+2kπ,k∈Z}.答案:{α|α=π+2kπ,k∈Z}【一题多解】你还知道本题的其他解法吗?本题还可进行如下解答:由图易知,在[-2π,0)内,α=-,所以角α的取值集合还可表示为{α|α=-+2kπ,k∈Z}.答案: {α|α=-+2kπ,k∈Z}(20分钟40分)1.(5分)(xx·龙岩模拟)下列各选项中正确的是()A.sin 300°>0B.cos(-305°)<0C.tan>0D.sin 10<0【解析】选D.300°=360°-60°,则300°是第四象限角;-305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角;因为-π=-8π+π,所以-π是第二象限角;因为3π<10<π,所以10是第三象限角.故sin 300°<0,cos(-305°)>0, tan<0,sin 10<0,选D.2.(5分)一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为()A.1B.C.或D.或【解析】选C.弦长等于半径,弦把圆分成两部分,所对的圆心角为或,故弦所对的圆周角为或.3.(5分)(xx·铜陵模拟)已知α=-2 015°,则与角α终边相同的最小正角为,最大负角为. 【解题提示】写出与α终边相同的角的集合,确定最小正角和最大负角.【解析】α可以写成-6×360°+145°的形式,则与α终边相同的角可以写成k·360°+145°(k∈Z)的形式.当k=0时,可得与角α终边相同的最小正角为145°,当k=-1时,可得最大负角为-215°.答案:145°-215°4.(12分)角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求的值.【解析】由题意得P(a,-b),Q(b,a),所以sinα=,cosα=,tanα=,sinβ=,cosβ=,tanβ=,所以22222sin tan1b a b10. cos tan cos sin a a αα+++=--+=ββαβ【加固训练】已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.【解析】因为P(x,- )(x≠0),所以点P到原点的距离r=,又cosα=x,所以cosα=因为x≠0,所以x=±,所以r=.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,有sinα=所以sinα+当x=-时,同理可求得sinα+5.(13分)(能力挑战题)如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.【解析】设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·|-|=2π.所以t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置,则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-.所以C点的坐标为(-2,- ).P点走过的弧长为Q点走过的弧长为.。

三角函数1：弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度制是（ ）（A ）3π （B ）6π (C)- 3π (D) -6π ⒉已知cos tan θθ⋅＜0，那么角θ是（A ）．第一或第二象限角 (B).第二或第三象限角 （C ）.第三或第四象限角 (D).第一或第四象限角3.已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）（A ）1 （B ）4 (C)1或4 （D ）2或44．tan(-3000)＋tan450的值为 （ ）（A ）1＋3 （B ）1-3 （C ）-1＋3 (D) -1-3二、填空题5.如图，终边落在阴影部分的角的集合是 .6.已知角α的终边过点P （-4a,3a ）(a ＜0)，则2sinα+cos α的 值是 .2：诱导公式一、选择题1.若cos(-1000)＝k,则tan800等于 （ ）（A ）k k 21- （B ）-k k 21- （C ）k k 21+ （D ）-kk 21+2.已知函数f(x)=a sin(απ+x )＋bcos(βπ+x ),且f(2009)=3,则f(2010)的值是( ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-3 （D ）1 3.已知sin(απ+)＝53,且α是第四象限角，那么cos(πα2-)的值是 （ ） （A ）54（B ）-54 （C ）±54 （D ）534.若3sin 5m m θ-=+且42cos 5m m θ-=+，其中2πθπ＜＜，则m 的取值范围是（ ）（Ａ）{}39， （Ｂ）{}59-， （Ｃ）{}08， （Ｄ）{}8二、填空题5.已知tan(5)m π+=α，则sin(cos()sin cos()πππ+---+α-3）α（α）α= .6.若)2cos(sin x x +=π,则x 的取值范围是_________________。

三、解答题 7.求sin )322(ππ+n ·cos ))(34(Z n n ∈+ππ的值。

高中数学练习：任意角和弧度制及任意角的三角函数基础巩固(时间：30分钟)1。

给出下列四个命题：①-75°是第四象限角，②225°是第三象限角，③475°是第二象限角，④-315°是第一象限角，其中正确的命题有( D )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析：由象限角易知①，②正确;因475°=360°+115°，所以③正确;因-315°=-360°+45°，所以④正确。

2。

已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( C )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析：设扇形所在圆的半径为R，则2=×4×R2，所以R2=1，所以R=1，扇形的弧长为4×1=4，扇形的周长为2+4=6。

3。

若角α终边上一点的坐标为(1，-1)，则cos α等于( C )(A)1 (B)-1 (C)(D)-解析：由题意知，x=1，y=-1，r==，所以cos α===。

4。

sin 2·cos 3·tan 4的值( A )(A)小于0 (B)大于0(C)等于0 (D)不存在解析：因为<2<3<π<4<，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cos 3·tan 4<0，所以选A。

5。

(太原一中周测)集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( C )解析：当k=2n时，2nπ+≤α≤2nπ+;当k=2n+1时，2nπ+π+≤α≤2nπ+π+。

6。

(舟山中学月考)已知α的终边过点P(-a，-3a)，a≠0，则sin α等于( D )(A)或(B)(C)或-(D)或-解析：当a>0时，r==a，利用三角函数的定义可得sin α=-;当a<0时，r==-a，利用三角函数的定义可得sin α=。

任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.3.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.4.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角5.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．6.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．7.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．8.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算9.一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______.【答案】【解析】设该扇形的半径、弧长分别为，则依题意有，从中解得，从而.【考点】1.扇形的弧长公式；2.扇形的面积公式.10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点,则【答案】-.【解析】由题意可得 x=-1，y=，r2=x2+y2=4,r=2,故cosa==-.【考点】任意角的三角函数的定义．11.已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A．B．C．D．2【答案】D【解析】根据题意，由于设圆的半径为r，则可知，圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，可知圆心到三角形不边长的距离为r，利用30得三角函数知可知，正三角形得边长得的长度为2r,那么利用弧长公式可知，弧度数等于弧长除以半径即为2，故选D.【考点】弧度数的问题点评：解决的关键是根据弧长公式，利用圆的半径来得到弧度数，属于基础题。

高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.已知角的终边经过点，则．【答案】【解析】由题意可得：,所以.【考点】任意角三角函数的定义.2.半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）m．A．B．C．60D．1【答案】B【解析】因为60°=又根据弧长计算公式L=故选B.【考点】扇形的弧长计算公式.3.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.4.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.5. sin480°等于（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以选D.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.6.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（）.A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】，，则扇形的面积.【考点】扇形的弧长与面积公式.7.半径为3，中心角为120o的扇形面积为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】扇形面积公式.8.如图，在直角坐标系中，射线OP交单位圆O于点P，若∠XOP ＝θ，则点P的坐标是().A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【答案】A【解析】设，则，由任意角的三角函数定义得：，即.【考点】任意角的三角函数定义.9.如果有意义，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴．【考点】三角函数的取值范围．10. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.11.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．12.已知点是角终边上一点，且，则的值为（）A．5B．C．4D．【答案】D【解析】由两点间距离公式知点P到原点的距离=，有三角函数定义知==＜0，故＜0，平方解得=4（舍）或=4.由题知=,∴==＜0，∴＜0，解得=-4，故选D.【考点】任意角的三角函数定义13.设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可知，所以，选A.【考点】任意角的三角函数.14.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由角的终边经过点与，可得，解得或，而是第二象限角，所以，故，所以，故选答案D.【考点】任意角的三角函数.15.是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.【考点】象限角的概念.16.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．17.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。

第讲任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲.了解任意角的概念；.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理．角的概念的推广()定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．()分类(\\(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.)) ()终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}．．弧度制的定义和公式()定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度记作.()公式角α的弧度数公α＝(弧长用表示)式角度与弧度的换①°＝②＝°算弧长公式弧长＝α扇形面积公式＝＝α.三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(，)，那么叫做α的正弦，记作α叫做α的余弦，记作α叫做α的正切，记作α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线诊断自测．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)()小于°的角是锐角．(×)()锐角是第一象限角，反之亦然．(×)()将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是°.(×)()若α∈，则α＞α＞α.(√)()相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()．π＋°(∈) ．·°＋π(∈)．·°－°(∈) ．π＋(∈)解析与的终边相同的角可以写成π＋(∈)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案正确．答案．(·新课标全国Ⅰ卷)若α＞，则()．α＞．α＞．α＞．α＞解析由α＞可得α的终边在第一象限或第三象限，此时α与α同号，故α＝αα＞，故选.答案．(·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－)，则α＝()．－．－解析由三角函数的定义知α＝＝－ .故选.答案．(人教必修10A改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案考点一象限角与三角函数值的符号【例】 ()若角α是第二象限角，则是()．第一象限角．第二象限角．第一或第三象限角．第二或第四象限角()若α·α＜，且αα )＜，则角α是()．第一象限角．第二象限角．第三象限角．第四象限角深度思考象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角的判断结论为：解析()∵α是第二象限角，∴＋π＜α＜π＋π，∈，∴＋π＜＜＋π，∈.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．()由α·α＜可知α，α异号，从而α为第二或第三象限的角，由αα)＜，可知α，α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案()()规律方法()已知θ所在的象限，求或θ(∈*)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有)表示，然后两边同除以或乘以，再对进行讨论，得到或θ(∈*)所在的象限．()象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为·°＋α(°≤α＜°，∈)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．()由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．【训练】 ()设θ是第三象限角，且(θ)))＝－，则是()．第一象限角．第二象限角．第三象限角．第四象限角() · ·的值()．小于．大于．等于．不存在解析()由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵(θ)))＝－，∴≤，综上知为第二象限角．()∵＞，＜，＞，∴ · ·＜.答案()()考点二三角函数的定义【例】()(·宁波高三考试)已知角θ的终边经过点(－，)(≠)且θ＝，试判断角θ所在的象限，并求θ和θ的值．()已知角α的终边过点(－8m，－ °)，且α＝－，试求的值．解()由题意得，＝，∴θ＝＝.∵≠，∴＝±.故角θ是第二或第三象限角．当＝时，＝，点的坐标为(－，)，∴θ＝＝＝－，θ＝＝＝－.当＝－时，＝，点的坐标为(－，－)．∴θ＝＝＝－，θ＝＝＝.综上可知，θ＝－，θ＝－或θ＝－，θ＝.()∵＝，∴α＝＝－，∴>，∴＝，即＝.规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标，纵坐标，该点到原点的距离.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练】已知角α的终边在直线＋＝上，求α，α，α的值．解∵角α的终边在直线＋＝上，∴在角α的终边上任取一点(，－)(≠)，则＝，＝－，＝＝＝，当>时，＝，α＝＝＝－，α＝＝＝，α＝＝＝－；当<时，＝－，α＝＝＝，α＝＝＝－，α＝＝＝－.综上可知，α＝－，α＝，α＝－或α＝，α＝－，α＝－.考点三扇形弧长、面积公式的应用【例】 (·象山中学检测)已知一扇形的圆心角为α (α>)，所在圆的半径为. ()若α＝°，＝，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；()若扇形的周长是一定值 (>)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解()设弧长为，弓形面积为弓，则α＝°＝，＝，＝×＝ ()，弓＝扇－△＝××－××＝π－＝ ()．()扇形周长＝＋＝＋α，∴＝，∴扇＝α·＝α·＝α·＝·≤.当且仅当α＝，即α＝时，扇形面积有最大值.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：＝α，＝α.【训练】已知扇形的周长为，当它的半径为和圆心角为弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是 .解析设扇形圆心角为α，半径为，则＋α＝，∴α＝－.∴扇形＝α·＝－＝－(－)＋，∴当＝时，(扇形)＝，此时α＝.答案微型专题三角函数线的应用在解简单的三角不等式或比较函数值大小时，可利用数形结合的思想，借助单位圆及三角函数线解题是一种方式．【例】 ()求函数＝(－)的定义域；()设θ是第二象限角，试比较，，的大小．点拨()求定义域，就是求使－>的的范围．用三角函数线求解．()比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定．②，，不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．解()∵－>，∴<，∴－< <.利用三角函数线画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴∈(∈)．()∵θ是第二象限角，∴＋π<θ<π＋π，∈，∴＋π<<＋π，∈，∴是第一或第三象限的角．(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当是第一象限角时，＝，＝，＝，从而得， < < ；②当是第三象限角时，＝，＝，＝，得 < < .综上可得，当在第一象限时， < < ；当在第三象限时， < < .点评()第()小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线．但用三角函数线更方便．()第()小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示．()本题易错点：①不能确定所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活.[思想方法]．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点的位置无关．若角α已经给出，则无论点选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．如有可能则取终边与单位圆的交点．其中＝一定是正值．．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[易错防范]．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．．角度制与弧度制可利用°＝π 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题．若α＜且α＞，则α是()．第一象限角．第二象限角．第三象限角．第四象限角解析∵α＜，则α的终边落在第三、四象限或轴的负半轴；又α＞，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(，π)的弧度数为()．解析设圆半径为，则其内接正三角形的边长为，所以＝α·，∴α＝.答案．(·南阳一模)已知锐角α的终边上一点( °，＋ °)，则锐角α＝() ．°．°．°．°解析根据三角函数定义知，α＝° °)＝° °)＝° °)＝° °)＝ °，故锐角α＝°.答案．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是()．α＋α＜．α－α＜．α－α＜．αα＜解析α是第三象限角，α＜，α＜，α＞，则可排除，，，故选.答案．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若α＝β，则α与β的终边相同；⑤若θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()．．．．解析由于第一象限角°不小于第二象限角°，故①错；当三角形的内角为°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于＝，但与的终边不相同，故④错；当θ＝－，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案二、填空题．已知α是第二象限的角，则°－α是第象限的角．解析由α是第二象限的角可得°＋·°＜α＜°＋·°(∈)，则°－(°＋·°)＜°－α＜°－(°＋·°)，即－·°＜°－α＜°－·°(∈)，所以°－α是第一象限的角．答案一．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若(，)是角θ终边上一点，且θ＝－，则＝.解析因为θ＝＝－，所以＜，且＝，所以＝－.答案－．(·金华联考)函数＝( －)＋)的定义域为．解析要使原函数有意义，必须有：(\\( －＞，－≥，))即(\\( ＞()，≤().))如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(∈)．答案(∈)三、解答题．已知角α的终边上有一点的坐标是(3a,4a)，其中≠，求α，α，α.解＝＝.当＞时，＝5a，∴α＝＝＝，α＝＝＝，α＝＝＝；当＜时，＝－5a，∴α＝－，α＝－，α＝.．一个扇形的面积是，它的周长是，求圆心角的弧度数和弦长.解设圆的半径为，弧长为，则(\\(()＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝.))∴圆心角α＝＝弧度．如图，过作⊥于，则∠＝弧度．∴＝·＝ ()，∴＝ ()．能力提升题组(建议用时：分钟)．已知角α的终边经过点(3a－，＋)，且α≤，α＞，则实数的取值范围是() ．(－] ．(－)．[－) ．[－]解析由α≤，α＞可知，角α的终边落在第二象限或轴的正半轴上，所以有(\\(－≤，＋＞，))解得－＜≤.答案．已知圆：＋＝与轴正半轴的交点为，点沿圆顺时针运动弧长到达点，以为终边的角记为α，则α＝()．－．．－．解析圆的半径为，的弧长对应的圆心角为，故以为终边的角为，故α＝.答案.如图在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在()，此时圆上一点的位置在()，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()时，的坐标为．解析如图，作∥轴，⊥, 为垂足．根据题意得劣弧＝，故∠＝，则在△中，∠＝－，＝＝，＝＝－，所以点的横坐标为－＝－，点的纵坐标为＋＝－，所以点的坐标为(－－)，故＝(－－ )．答案(－－ )．已知α＜，α＞.()求α角的集合；()求终边所在的象限；()试判断的符号．解()由α＜，知α的终边在第三、四象限或轴的负半轴上；由α＞，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为.()由(＋)π＜α＜π＋，得π＋＜＜π＋，∈，故终边在第二、四象限．()当在第二象限时，＜，＞，＜，所以取正号；当在第四象限时，＜，＜，＞，所以也取正号．因此，取正号．．已知扇形的周长为.()若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；()求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长. 解设扇形的半径为，弧长为，圆心角为α，()由题意可得(\\(＋＝，,()＝，))解得(\\(＝＝))或(\\(＝，＝，))∴α＝＝或α＝＝.()∵＋＝，＝＝·∴扇≤＝×＝，当且仅当＝，即α＝＝时，扇形面积取得最大值.∴＝，∴弦长＝×＝ .更多辅导资源关注微信号：。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。