2018版高中数学第三章指数函数和对数函数4第1课时对数及其运算学案北师大版必修1

3.4．1 第1课时 对数1. 理解对数的概念．(重点)2. 掌握指数式与对数式的互化．(重点)3. 理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 1 对数的定义阅读教材P 78～P 79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题． 1. 对数的有关概念2. 对数的底数a 的取值范围是a >0，且a ≠1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．22＝4与log 24＝2B ．214＝12与log 412＝－12C ．(－2)3＝－8与log (－2)(－8)＝3 D ．3－2＝19与log 319＝－2【答案】 C教材整理 2 对数的基本性质与对数恒等式 阅读教材P 79“思考交流”的内容，完成下列问题.1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零和负数没有对数．( ) (2)1的对数是1.( ) (3)2log 22－1＝－1.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2. 计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. 【解析】 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.【答案】 －12 3 3教材整理 3 两种常见对数阅读教材P 79“思考交流”下方与“例1”上方之间的内容，完成下列问题.若ln(lg x )＝0，则x ＝________.【解析】 ∵ln(lg x )＝0，∴lg x ＝1，∴x ＝10. 【答案】 10[小组合作型](1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)＝－5；(5)lg 0.001＝－3.【精彩点拨】 利用对数与指数间的互化关系：log a N ＝b ⇔a b＝N . 【尝试解答】 (1)log 21128＝－7；(2)log 327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32；(5)10－3＝0.001.利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.[再练一题]1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①35＝243；②⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝5.73；③＝－4；④ln 10＝2.303.【解】 ①log 3243＝5；②5.73＝m ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；④e 2.303＝10.(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x .【精彩点拨】 本题可以利用对数的基本性质或指数式与对数式的互化求值． 【尝试解答】 (1)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝20＝1， ∴x ＝41＝4.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)∵log (2－1)12＋1＝x ， ∴(2－1)x＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.1. 对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.2. 使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．[再练一题]2. 求下列各式中的x 值：(1)log 2[ln(lg x )]＝0；(2)log x 25＝2； (3)log 5x 2＝2.【解】 (1)∵log 2[ln(lg x )]＝0，∴ln(lg x )＝1， ∴lg x ＝e ，∴x ＝10e. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x >0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52， ∴x ＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0， ∴x ＝5或x ＝－5. [探究共研型]探究【提示】 31＋log 32＝3·3log 32＝3 2. 探究 2 计算：912log 34.【提示】 912log 34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤212log 34＝3log 34＝4.计算：.【精彩点拨】 先利用指数幂的运算性质变形后，再利用对数恒等式求值．对数恒等式在求值中的应用技巧：[再练一题]3. 计算：.1. 有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x＝N 才能化为对数式．故选C.【答案】 C2. 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2<b <5 C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.故选D.【答案】 D3. 若logπ[log3(ln x)]＝0，则x＝________.【解析】由logπ[log3(ln x)]＝0，得log3(ln x)＝1，则ln x＝3，故x＝e3.【答案】e34. 计算下列各式的值．(1)81－log85；(2)22＋log25＋log a1.【解】(1)81－log85＝8·8－log85＝88log85＝85.(2)原式＝22·2log25＋0＝4×5＝20.。

5.1 对数函数的概念一、三维目标：1、 知识与技能（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。

（2）了解指数函数x a y =(a >0, 1≠a )与对数函数x y a log =（a >0, a 1≠）互为反函数。

在解决简单实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型。

能运用现代信息技术学习、探索和解决问题。

3、 情感、态度与价值观通过对对数函数的研究，使学生深刻认识到函数是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型，结合实际问题，感受运用对数函数概念建立模型的过程与方法。

二、学习重点：理解对数函数的概念。

三、学习难点：指数函数x a y =(a >0, 1≠a )与对数函数x y a log =（a >0, a 1≠）互为反函数。

四、知识链接 ：（阅读课本P89页，完成下列问题）1、对数函数的概念我们把函数 叫做对数函数，a 叫做 。

特别地，我们称 为常用对数函数；称 _______________为自然对数函数。

2、指数函数x a y =(a >0, 1≠a )与对数函数x y a log =（a >0, a 1≠）有什么关系？在指数函数x y a =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是 ，值域是 ，在对数函数log y a x =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是 ，值域是 ，像这样的两个函数互为反函数.五、典例分析、变式训练例1计算：（1） 计算对数函数x y 2log =对应于x 取1,2,4时的函数值；（2） 计算常用对数函数x y lg =对应于x 取1,10,100,0.1时的函数值。

变式：(1)计算对数函数x y 21log =对应于x 取0.25,0.5，1,2,4,8，16时的函数值;(2)计算常用对数函数x y lg =对应于x 取0.1，0.001.，1，1000时的函数值。

3.2 指数扩充及其运算性质1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材P 64～P 66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝nm a，它就是分数指数幂．2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：nm a＝na m(a >0)．(2)负分数指数幂的意义：nm a＝nm a1(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 322表示23个2相乘．( )(2)nm a＝ma n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )(3) nma-＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理 2 指数运算的性质阅读教材P 66～P 67的有关内容，完成下列问题． 若a >0，b >0，对任意实数m ，n 指数运算有以下性质： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝n m a -；(3)(ab )n ＝a n b n；(4)当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －nm >n ，1m ＝n ，a －n －m m <n ；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)．31064.0-＋160.75＋2125.0-＝________.【解析】 原式＝31-[(0.4)3]＋43[(24)]＋21[(0.5)2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1＋23＋12＝52＋8＋12＝11. 【答案】 11[小组合作型](1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子：nm a＝na m和nm a＝nm a1＝1na m进行转化，注意其中字母a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝31a·41a＝127a；(2)原式＝21a·41a·81a＝87a；(3)原式＝32a·23a＝613a；(4)原式＝(31a)2·21a ·23b＝67a23b.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a >0，m ，n ∈N ＋，且n 技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题]1. 用分数指数幂表示下列各式． (1)3a ·6－a (a <0)； (2)3ab2ab3(a ，b >0)；(3)324)32(b (b <0)； (4)13x5x 22(x ≠0)．【解】 (1)原式＝31a·61)(a -＝31)(a --·61)(a -＝21)(a -- (a <0)；(2)原式＝＝(25a·27b)13＝65a 67b(a ，b >0)；(3)原式＝ (b <0)；(4)原式＝.计算下列各式．【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数； (2)将根式化为分数指数幂．意运算顺序问题.2. 计算或化简．[探究共研型]探究 1 已知21a＋21-a＝3，求a ＋a －1的值．【提示】 (21a＋21-a)2＝9，∴a ＋a －1＝7.探究 2 在探究1的条件下，求a 2＋a －2的值． 【提示】 (a ＋a －1)2＝49，∴a 2＋a －2＝47.已知32a ＋b ＝1，求9a×3b3a 的值． 【精彩点拨】 应先化成同底数幂的形式．解决此类问题的思路步骤如下：[再练一题]3. 若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy的值.【导学号：04100042】【解】 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.1. 下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a【解析】 (47)4＝7，(3a )3＝a ，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |，故选A. 【答案】 A2. 计算51)2431(的结果等于( )A.19B.13 C ．±13D ．－13【解析】51)2431(＝＝13. 【答案】 B3. (1)3a 5＝________. (2)32-a＝________.【解析】 (1)3a 5＝35a.(2) 32-a＝321a＝13a2. 【答案】 (1)35a(2)13a 24. 3227－2116-－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－32)278(-＝________. 【导学号：04100043】【答案】5 25. 化简：．【解】原式＝。

对数的概念一、三维目标 1、知识与技能 〔1〕理解对数的概念(2)能熟练的进行指数式与对数式的互化 2、过程与方法学生经历有指数得到对数的过程，归纳对数的定义并体会定义的合理性。

体会由特殊到一般、转化划归的思想3、情感、态度与价值观学生经历探索、研究、体会、感受对数概念的形成和发展过程，培养学生的探索精神和学习兴趣 二、教学重难点 重点：对数的定义难点：对数定义和对数符号的理解 三、教学过程 1、复习回顾指数函数y=a (0,1)xa a >≠的图像与性质2、新知探究1x2xy =y27log 3x27x ==27log 3x =x28=87由特殊到一般a 0,1)ba N ab =>≠=若（则a Nlog (注意N>0）a O1xy =)1(>a xya xyO1xy =)10(<<a a N log a Nlog NN3、抽象概括对数概念:一般地,如果a(a>0,a ≠1)的b 次幂等于N,即ab=N 那么数b 叫作以a 为底N 的对数,记作logaN=b ，a 叫作对数的底数,N 叫作真数，logaN 读作以a 为底N 的对数。

对数的规X 书写：4、思考交流〔1〕 ab=N 和logaN=b (a>0,a ≠1，N>0)有什么关系？〔2〕对数loga1，logaa 〔a>0,a ≠1)有什么特点？a 1a a110(0,1)a 1(0,1)a a a a a a =⇒=>≠=⇒=>≠log loga 3a 0,1),NaN a =>≠log 、（为什么a a a (0,1)......1......................a 0,211)2bNN a N N b aa a =>≠=>∴=≠log log 解：由式式把式代（入式得：〔4〕零和负数没有对数 5、两个常用的对数(1)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫作常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN例如： log 105 简记作lg5；log 10 简记作lg3.5(2)自然对数：在科学技术中常常使用以无理e=2.718 28……为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数. 为了简便，N 的自然对数 logeN 简记作lnN 例如： loge3简记作ln3； loge10简记作ln10 6例题讲解例1.使对数loga(-2a+1)有意义的a 的取值X 围为( B ) A.a> 1/2 且a ≠1 B.0<a<1/2 C.a>0且a ≠1 D.a<1/2 例2: 将以下指数式写成对数式：（1）（2）（3）（4）45625=⇒5log 6254=31327-=⇒3271log 3-=43816=⇒3416log 8=515a =⇒a =15log 5例3:将下列对数式写成指数式：（1）（2）（3）（4）12log 164=-⇒3log 2435=⇒131log 327=⇒lg 0.11=-⇒1100.1311()3275324341()162例4.求下列各式的值（1）5log 25（2）12log 320（4）10（3）3log 103（5） 2.5log 2.5125ln1例5.计算：()()32log32-+（1）7log 4log 5552+）（解析：（1）方法一：设()()32log 32-=+x ()(),3232321-+=-=+x1-=⇒x 则方法二：()()=-+32log 32()()132log 132-=+-+(2)=+7log 4log 555554755⨯=log log 47⨯28=7、课堂小结8、作业课本80页1、2、3题 9、板书设计word对数概念....................... 例1................................. 例4................ ..................................... ....................................... ......................................... ....................................... ....................................... ..........................................常用对数....................... 例 2................................ 例5..................................... ...................................... ........................................ ............................................ .................................... ........................................ ............................................自然对数....................... 例3............................... ....................................... .............................................................................. ........................................10、课后反思。

§3.4.1《对数及其运算》教学设计一、教学内容分析：本节课是北师大版高中数学必修1中第三章指数函数和对数函数第四节对数及其运算第一课时，是对数函数的入门内容。

对数对于学生来说是一个全新的概念，比较难理解和接受。

而对数函数是本章的重要内容，它以前面学过的指数函数为基础，对函数概念进行进一步的拓宽。

通过本节课的学习，学生理解和掌握对数的概念，为进一步学习对数函数打好基础。

同时，通过对数概念的学习，培养学生类比、分析、归纳的能力及探究的意识，通过小组合作探究、展示等环节让学生体会到成功的快乐，增强学生学习对数函数的自信心。

二、学生学习情况分析：高一学生学生学习主动性较差，学习数学的信心不足，依赖性较强，动手能力较差。

学生对容易理解和掌握的内容学习积极性较高，尤其是对能够解决生活中的实际问题的内容兴趣大，而且愿意展示自己，对枯燥的理论性内容反感。

通过前面对指数函数的学习，学生掌握了指数函数的概念及指数函数的性质，在这个基础上学习对数的概念，联系指数的概念引入，学生好理解和掌握。

在学习的过程中，学生体会到了对立统一、相互联系、相互转化的数学思想，而且归纳探究能力、小组合作学习能力等得到了一定的提高，所以，应通过教师的指导，进一步引导学生进行独立思考、大胆探究，不断提高学生的学习主动性，增强学生学习数学的自信心和参与意识。

三、设计思想：学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。

本节课前我先布置学生预习完成导学案，课堂上利用课件进行多媒体辅助教学，提高学生学习的兴趣。

在教学中通过引导学生从实例出发，提出问题，让学生从中体会到引入对数的必要性，从而激发学生的学习激情。

在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过小组合作学习、探究活动、课堂练习、学生点评等方式来加深学生对知识的理解和掌握。

在教师的指导下，学生通过自主学习、主动探究等途径，充分调动学生的积极性和参与意识，真正体现了学生的主体地位。

3.4.1 对数及其运算
本节教材分析
我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.
三维目标
1.理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的
性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推倒对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并
推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学知识.
3.学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比，分析归纳
能力；在运算中让学生感受对数运算性质的重要性，增强学习的积极性.
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．
教学难点：对数概念的理解，对数性质的推导及应用．
教学建议：
1.可多找些实例，让学生明白，现实生活中，常有一类问题：在
幂N
a b 中，已知底数a和幂值N，求指数b.这类问题恰是指
数问题的逆问题.
2.在经历由指数得到对数的过程中，可先复习数学中常见的逆运
算，由指数概念得到对数概念.
3.可以列表对照字母没有变化而位置与名称发生了改变.
4.注意对应性质的渗透与分析理解.
新课导入设计
导入一:通过生活实例，以指数问题，引出如何求指数，从引出课题.
导入二：复习旧知识，教师直接点题.。

对数的运算性质【教学目标】 1,知识与技能通过实例推导对数的运算性质，并能准确运用对数运算性质进行化简、求值。

让学生经历推导对数的运算性质的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力。

3,情感、态度与价值观通过对对数的运算性质的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养探究的意识，感受对数的运算性质的重要性，增强学习的积极性 【教学重点和难点】教学重点：对数的运算性质教学难点：正确应用对数的运算性质 【教法和教学用具】教法：教师引导，学生自主学习. 教学用具：多媒体 【教学过程】 复习回顾对数的定义及对数恒等式1log 0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>（）（且设计意图：简单回忆，为新知识作准备 问题提出猜想对数运算性质：log log 1(0,a 1)100,a 1)(0,1,0)a a a N a a a a N a a N =>≠=>≠=>≠>(2)对数恒等式log 且（且 且a>0,a 1,M>0,N>0(1)log ()log log (2)log ()log log (3)log log ()a a a a a a n aa MN M N MM N NM n M n R ≠=+=-=∈如果，则 思考证明猜想的公式 以性质（1）为例 证明：其余两个性质证明让学生自己独立完成，师生点评设计意图：让学生体会“归纳-猜想-证明”的一种思想方法 例1 判断下列各式是否成立2222(1)log [(3(3)log (5)(2)lg(10)2lg(10)(3)lg()lg lg lg 4lglg (5)lg()lg lg lg (6)lg lg lg MN M N M M NNM N M N M M N N-⨯-+--=-=∙=+=+-=）(-5)]=log （）设计意图：让学生发现错误并及时矫正 例2 计算151lg100（）7718log 8log +（2） 253(93)log ⨯（3） 5510log 0.025+(4)3log+log ,log ,a ,.=a ,log ()log log ()log log a a p q p q p q p q a a a a a M p N q M a N MN a a MN a p q MN M N+=======+=+设则由对数定义，得 因为所以即变式训练 已知lg2=a,lg3=b,试用a,b 表示下列各式：(1)lg6 (2)lg15x2lg(2)lg lg 14x y x y y-=+例4 若则的值是 （ ）A.1 B.4 C.1或4 D.归纳小结： 对数的运算性质 作业：课本87页 习题5、习题622,log ,log 1log ();a a a a ax y z x yz y z例3 用log 表示下列各式：（） (2)log。

课题：§4.1 对数及其运算（必修1）教学设计一、教材及学情分析§4.1 对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四节第一课时，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念、性质及其运算性质,本教学设计以数学实验为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。

常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。

再由学生的“动手实践”，分析教材中给出的一系列数据中的等量关系，总结猜想出规律，再进行证明，并把在学习过程中，由于对公式辨认不清而常发生的错误，作为“思考交流”，是为了让学生经历数学发现的过程。

因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。

经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。

二、教学目标：1.知识与技能（1）理解对数的概念；（2）通过实例推到对数的运算性质，准确地运用对数的运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能；（3）能熟练地进行对数式与指数式的转化，掌握对数的运算性质.2.过程与方法经历由指数得到对数的过程，并引出对数运算性质的研究，在这个过程中进行猜想得出规律，再进行证明，体现了化归的思想.3.情感、态度与价值观让学生探索、研究、体会，感受对数概念的形成和发展的过程.三、重点与难点1．重点：对数的定义，对数的运算性质及应用.2．难点：对数符号的理解.四、教法选择根据教材及学情特点，本课利用“导学案”，以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之于合作学习和自主学习。

第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解正整数指数函数模型的实际背景．(2)了解正整数指数函数的概念．(3)理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性．2．过程与方法让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，进一步认识到数学的应用价值，用数学的眼光观察世界．●重点难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征．难点：正整数指数函数概念的理解．通过实例，利用计算器画出两个正整数指数函数图像，加深对概念的理解，突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．对于问题1和问题2的学习，必须通过列表、描点、作图、计算器操作等步骤让学生体验数学研究的过程，体验数学实验、数学实践．2．通过问题1的学习，还要让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义．3．计算器的应用是新课标的一个特色，教材中出现“使用科学计算器可算得……”，学习中应适当地加以整合．4．通过本节课的学习，让学生感受数学的应用以及对正整数指数函数背景的理解，归纳概括出正整数指数函数的定义．从具体问题中归纳出一种重要的数学模型，这种模型化的处理也是学生研究的一个特色．●教学流程创设情景，导入新课，通过生活实例激发学生的学习动机⇒启发诱导探求新知，让学生动手作简单的图像对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，并完成例1及变式训练⇒巩固新知，反馈回授，引导学生在同一坐标系下画出指数函数的图像⇒归纳正整数指数函数的性质，完成例2及其变式训练⇒进一步深化学习目标，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第35页)课标解读1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点) 4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)正整数指数函数的概念【问题导思】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？【提示】分裂次数12345678细胞个数2481632641282562．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？【提示】3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．1．正整数指数函数一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2．正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3．指数型函数把形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数.(见学生用书第35页)正整数指数函数的定义下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x(x ∈N ＋) B ．y ＝(13)x (x ∈N ＋)C ．y ＝2×3x (x ∈N ＋)D ．y ＝x 3(x ∈N ＋)【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．【自主解答】 y ＝(－4)x 的底数－4<0，不是正整数指数函数；y ＝2×3x 中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y ＝(13)x是正整数指数函数．【答案】 B1．正整数指数函数解析式的基本特征：a x前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2．要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a的区别．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，则实数a 的值为________．【解析】 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 为正整数指数函数，则a x 的系数a 2－3a ＋3＝1，且底数a >0，a ≠1.由此可知，实数a 的值为2.【答案】 2正整数指数函数的图像与性质(1)画出函数y ＝(3)x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【自主解答】 (1)函数y ＝(13)x(x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y ＝(13)x(x ∈N ＋)是单调递减的；(2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y ＝3x(x ∈N ＋)是单调递增的．(1) (2)1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2．当0<a <1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数．当a >1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数．(1)函数y ＝(23)x，x ∈N ＋的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点 (2)函数y ＝7x，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋C ．[0，＋∞) D．不存在【解析】 (1)因为正整数指数函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的底数23大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．(2)虽然正整数指数函数y ＝7x，x ∈N ＋在定义域N ＋上单调递增，但是N ＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．【答案】 (1)D (2)D正整数指数函数的应用(1)写出本利和y (单位：元)关于存期x 的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．【思路探究】 列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．【自主解答】 (1)已知本金为a 元，每期利率为r ，则1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，3期后的本利和为a(1＋r)3元，……x期后的本利和为a(1＋r)x元，所以本利和y关于存期x的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)已知a＝1 000，r＝2.25%，x＝5，所以y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)．所以5期后的本利和约为1 117.68元．1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)【解】由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：100年后镭的质量为20×95.76%克；200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．∴y与x之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967 95(克)．(见学生用书第36页)忽略实际问题中函数的定义域致误一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%.(1)试写出年产量y(万台)随年数x(年)变化的关系式，并写出其定义域；(2)画出其函数图像．【错解】(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是[0，＋∞)．(2)【错因分析】本题错误的原因是没有注意自变量x的实际意义，错误地将定义域写成[0，＋∞)．【防范措施】解决此类问题首先应认真阅读题意，弄清自变量x的实际意义，再根据实际意义确定函数的定义域．【正解】(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是{x|x≤10，x∈N＋}．(2)1．一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫正整数指数函数，其中x是自变量，定义域为正整数集，图像是一些孤立的点，当a>1时，函数是递增的，当0<a<1时函数是递减的．2．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.3．正整数指数函数y＝a x(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比：x a(α)形式指数函数y＝a x指数底数幂幂函数y＝xα底数指数幂(见学生用书第37页)1．函数y＝5x，x∈N＋的值域是( )A．R B．N＋C．N D．{5,52,53,54，…}【解析】 因为函数y ＝5x，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋，所以当自变量x 取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y 依次是5,52,53,54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5,52,53,54，…}．【答案】 D2．函数y ＝(43)x，x ∈N ＋是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数【解析】 由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C 、D ；因为函数y ＝(43)x，x ∈N ＋的底数43大于1，所以此函数是增函数．【答案】 A3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )【解析】 y ＝f (x )的解析式为y ＝(1＋10.4%)x(x ≥)．可知函数的图像大致为D 选项． 【答案】 D4．据国务院发展研究中心2 000年发表的《未来20年我国发展前景思路》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么，到2 020年，我国的GDP 可望为2 000年的________倍．【解析】 如果把我国2 000年的GDP 看成是1个单位，2 001年为第1年，那么1年后，即2001年的GDP 为2 000年的(1＋7.3%)1倍．同理，2 002年的GDP 为2 000年的(1＋7.3%)2倍，依此类推，2 020年的GDP 为2 000年的(1＋7.3%)20倍．【答案】 (1＋7.3%)20(见学生用书第101页)一、选择题1．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3×2x(x ∈N ＋)，其中正整数指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数． 【答案】 B2．函数f (x )＝(14)x，x ∈N ＋，则f (2)等于( )A ．2B ．8C ．16 D.116【解析】 ∵f (x )＝(14x)x ∈N ＋，∴f (2)＝(14)2＝116.【答案】 D3．(2013·阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为( ) A ．y ＝(－2)x B ．y ＝2xC ．y ＝(12)xD ．y ＝(－12)x【解析】 设y ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 由4＝a 2得a ＝2. 【答案】 B4．正整数指数函数f (x )＝(a ＋1)x是N ＋上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a <0 B ．－1<a <0 C ．0<a <1 D ．a <－1【解析】 ∵函数f (x )＝(a ＋1)x 是正整数指数函数，且f (x )为减函数， ∴0<a ＋1<1， ∴－1<a <0. 【答案】 B5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．2 700元C ．3 000元D ．3 600元 【解析】 1年后价格为8 100×(1－13)＝8 100×23＝5 400(元)，2年后价格为5 400×(1－13)＝5 400×23＝3 600(元)，3年后价格为3 600×(1－13)＝3 600×23＝2 400(元)．【答案】 A 二、填空题6．已知正整数指数函数y ＝(m 2＋m ＋1)(15)x (x ∈N ＋)，则m ＝______.【解析】 由题意得m 2＋m ＋1＝1， 解得m ＝0或m ＝－1， 所以m 的值是0或－1. 【答案】 0或－1 7．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5； (2)(23)2________(23)4.【解析】 由正整数指数函数的单调性知， (2)3<(2)5，(23)2>(23)4.【答案】 (1)< (2)>8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．【解析】 由题意知，下一年的垃圾量为a ×(1＋b )，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a ×(1＋b )8.【答案】 a ×(1＋b ) a ×(1＋b )8 三、解答题9．已知正整数指数函数f (x )＝(3m 2－7m ＋3)m x，x ∈N ＋是减函数，求实数m 的值． 【解】 由题意，得3m 2－7m ＋3＝1，解得m ＝13或m ＝2，又f (x )是减函数，则0<m <1，所以m ＝13.10．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)，(1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．【解】 (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增， ∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y ＝f (t )．(1)写出函数y ＝f (t )的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y ＝f (t )(0≤t <6)的图像；(3)写出研究进行到n 小时(n ≥0，n ∈Z)时，细菌的总个数(用关于n 的式子表示)． 【解】 (1)y ＝f (t )的定义域为{t |t ≥0}，值域为{y |y ＝2m，m ∈N ＋)}；(2)0≤t <6时，f (t )为一分段函数， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤t <2，4，2≤t <4，8，4≤t <6.图像如图所示．(3)n 为偶数且n ≥0时，y ＝2n2＋1；n 为奇数且n ≥0时，y ＝2n －12＋1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2＋1n 为偶数，n ≥02n －12＋1n 为奇数，n ≥0(教师用书独具)已知正整数指数函数y ＝(1－m )x，x ∈N ＋是增函数，则实数m 的取值范围是________． 【思路探究】 正整数指数函数的单调性由底数1－m 来确定．【自主解答】 根据函数的单调性可得到底数1－m 大于1，即1－m >1，所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)若正整数指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)是增函数，则必有a >1；若是减函数，则必有0<a <1.由此可确定解析式中参数的取值范围．(1)若正整数指数函数f (x )＝(a －1)x在定义域N ＋上是减函数，则a 的取值范围是________．(2)比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空)． ①1.5819________1.5820；②0.52 009________0.52 010.【解析】 (1)因为正整数指数函数f (x )＝(a －1)x在定义域N ＋上是减函数，所以其底数满足0<a －1<1，即1<a <2.(2)由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小．①考虑正整数指数函数y ＝1.58x，x ∈N ＋. ∵1.58>1，∴y ＝1.58x在N ＋上是增函数．又∵19<20，∴1.5819<1.5820.②考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.∵0<0.5<1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．又∵2 009<2 010，∴0.52 009>0.52 010.【答案】(1)(1,2) (2)①< ②>§2指数扩充及其运算性质2．1 指数概念的扩充2．2 指数运算的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2．过程与方法(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3．情感、态度与价值观使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．●重点难点重点：分数指数幂的运算性质．难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．(教师用书独具)●教学建议本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．●教学流程新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂⇒新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式⇒能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练⇒将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂⇒类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质⇒根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第37页)课标解读1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)分数指数幂【问题导思】1．判断下列运算是否正确． (1)3312＝3343＝34＝3123；(2)5215＝5235＝23＝2155.【提示】 正确．2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？ 【答案】 能． 1．定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a mn，它就是分数指数幂．2．几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：a mn＝na m(a >0)． (2)负分数指数幂的意义：a －m n＝1a m n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．指数幂的运算性质1．整数指数幂的运算性质有哪些？ 【提示】 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(a ·b )m＝a m·b m ；(4)a m an ＝a m －n.2．计算(22)12和22×12，它们之间有什么关系？【提示】 (22)12＝412＝2,22×12＝21＝2，相等．若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(ab )m＝a m ·b m .(见学生用书第38页)根式与分数指数幂的互化(1)332可化为( )A. 2B.33C.327 D.27 (2)5a －2可化为( )A ．a －25B ．a 52C ．a 25D ．－a 52【思路探究】 熟练应用na m＝a m n是解决该类问题的关键． 【自主解答】 (1)332＝(33)12＝27.(2) 5a －2＝(a －2)15＝a －25.【答案】 (1)D (2)A根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子na m＝a m n的两点说明； (1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子；2．通常规定分数指数幂的底数a >0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0.将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a ；(2)4a－b3.【解】(1)13a＝1a13＝a－13.(2)4a－b3＝(a－b)34.求指数幂amn的值求下列各式的值：(1)6423；(2)81－14.【思路探究】结合分数指数幂的定义，即满足b n＝a m时，amn＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．【自主解答】(1)设6423＝x，则x3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴6423＝16.(2)设81－14＝x, 则x4＝81－1＝181，又∵(13)4＝181，∴81－14＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．求下列各式的值：(1)12513；(2)128－17.【解】(1)设12513＝x，则x3＝125，又∵53＝125，∴x＝5.(2)设128－17＝x，则x7＝128－1＝1128，又∵(12)7＝1128，∴128－17＝12.分数指数幂的运算计算下列各式：(1)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3a92a －3÷ 3a －7 3a 13(a >0)．【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数． (2)将根式化为分数指数幂．【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (2)原式＝[a 13·92·a 13·(－32)]÷[a 12·(－73)·a 12·133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1.1．化简的顺序与要求：(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的； (2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．计算：(1)(0.0081)－14÷(338)－13－10×0.02713；(2)(247)0＋2－2×(2.25)－12－(1100)0.5.【解】 (1)原式＝(0.34)－14÷(278)－13－10×(0.33)13＝0.3－1÷23－3＝103×32－3＝2.(2)原式＝1＋14×(94)－12－(1100)12＝1＋14×[(32)2]－12－[(110)2]12＝1＋16－110＝1615.(见学生用书第39页)忽略a 1n成立的条件致误化简(1－a )[(a －1)－2(－a )12]12.【错解】 原式＝(1－a )(a －1)－2×12(－a )12×12＝(1－a )(a －1)－1(－a )14＝－(－a )14.【错因分析】 错解中忽略了条件(－a )12成立的条件，若(－a )12成立，则－a ≥0，故a ≤0，这样[(a －1)－2]12＝(1－a )－1.【防范措施】 1.化简指数式时，应该先讨论其中字母的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方数是任意实数来求出其中字母的取值范围．2．(a m )n＝a nm只有在a >0时一定成立，若a <0，且m 为偶数，则需转化为(a m )n＝[(－a )m ]n＝(－a )mn .【正解】 由式子(－a )12知，－a ≥0，即a ≤0，所以a －1<0，所以(1－a )[(a －1)－2(－a )12]12＝(1－a )(1－a )－1(－a )14＝(－a )14.1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算． 2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.(见学生用书第39页)1．计算24315等于( )A ．9B ．3C ．±3D ．－3 【解析】 由35＝243，得24315＝3.【答案】 B2．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18【解析】 对C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6≠a 6b 6. 【答案】 C 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A．1 B ．a C ．a 15 D ．a 1710【解析】 原式＝a 3a 12·a45＝a 3a 12＋45＝a 3a 1310＝a 3－1310＝a 1710.【答案】 D4．计算0.064－13－(－78)0＋160.75＋0.2512的值．【解】 原式＝(0.43)－13－1＋(24)34＋(0.52)12＝0.4－1－1＋8＋12＝52＋7＋12＝10.(见学生用书第103页)一、选择题 1．若b－3n＝5m(m ，n ∈N ＋)，则b ＝( )A ．5－3n mB ．5－m 3nC ．53n mD ．53n m【解析】 若b n ＝a m(m ，n ∈N ＋，a >0，b >0)，则b ＝a m n .所以b ＝5－m3n .【答案】 B2．23×53＝( )A ．103B ．10 3C ．310D ．7 3【解析】 由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n知，23×53＝(2×5)3＝10 3. 【答案】 B3．将3－22化为分数指数幂为( ) A ．212 B ．－212 C ．2－12 D ．－2－12【解析】3－22＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212.【答案】 B 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32【解析】a 2a ·3a2＝a 2a ·a23＝a 2a 53＝a 2a5312＝a 2a 56＝a 2－56＝a 76. 【答案】 C5．(2013·大连高一检测)计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)，得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73【解析】 原式＝[2×(－3)÷4]×a －3－1＋4·b －23＋1＋53＝－32a 0b 2＝－32b 2.【答案】 A 二、填空题6．用分数指数幂表示下列各式(式中a >0)， (1)a 3＝________；(2)13a 5＝________.【解析】 (1)a 3＝a 32.(2)13a 5＝1a 53＝a －53. 【答案】 (1)a 32 (2)a －537．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12＝________.【解析】 原式＝14×16－4－4＝－4.【答案】 －48．已知10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β＝________.【解析】 ∵100β＝3，即102β＝3， ∴10β＝312.∴1 0002α－13β＝106α－β＝10α610β＝26312＝6433. 【答案】6433三、解答题 9．计算：(1)32－35－(21027)－23＋0.5－2；(2)1.5－13×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6－－2323. 【解】 (1)原式＝(25)－35－(6427)－23＋(12)－2＝2－3－[(34)3]23＋22＝18－916＋4＝5716.(2)原式＝(23)13×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[(23)23]12＝(23)13＋(23×2)14＋22×33－(23)13＝2＋4×27＝110. 10．化简(式中各字母均为正数)： (1)(2x 12＋3y －14)(2x 12－3y －14)；(2)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)．【解】 (1)原式＝(2x 12)2－(3y －14)2＝4x －9y －12＝4x －9yy.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a1·b0＝4a.11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求a－b a＋b的值．【解】∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴⎩⎨⎧a＋b＝6，ab＝4.∵a>b>0，∴a>b>0.∴a－ba＋b>0.(a－ba＋b)2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝210＝15，∴a－ba＋b＝15＝55.(教师用书独具)已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a－a－1a12－a－12.【思路探究】(1)已知条件两边平方即可．(2)利用(1)的结果再平方即可．(3)先运用平方差公式化简，再整体代入．【自主解答】(1)∵a12＋a－12＝3，∴(a12＋a－12)2＝9，即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.(2)由(1)知，a ＋a －1＝7， ∴(a ＋a －1)2＝49， 即a 2＋2＋a －2＝49， ∴a 2＋a －2＝47.(3)由于a －a －1＝(a 12＋a －12)(a 12－a －12)所以原式＝a 12＋a －12＝3.1．对于条件求值问题，需要充分利用已知条件和分数指数幂的运算性质进行化简、求值．2．此类问题通常不直接代入求值，而应整体上把握已知式和所求式的特点，用整体代入法求解．(1)已知2m ＋2－m ＝5，则4m ＋4－m的值为________． (2)已知x 12＋x －12＝5，则x 2＋1x 的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 【解析】 (1)∵2m ＋2－m＝5， ∴(2m ＋2－m )2＝25， 即4m ＋2＋4－m＝25， ∴4m ＋4－m＝23.(2)∵x 12＋x －12＝5，∴x ＋2＋x －1＝25，∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.【答案】 (1)23 (2)B指数的历史n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·a ·…·a n 个a ，记作a n ，叫做a 的n 次幂，这时n 叫做指数．本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展．正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密相联系的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了．我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列11，14，19，…的指数是－2，立方指数倒数的数列11，18，127，…的指数是－3，两者逐项相乘，就得到‘五次幂倒数’的数列11，132，1243，…的指数显然是(－2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列11，12，13，…的指数是－12，…”．这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用2－2,2－3,2－12的指数符号，只是说14，18，12，…的指数是－2，－3和－12. 分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号并不简洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在1676年6月13日写信给莱布尼茨，里面说到“因为代数学家将aa ，aaa ，aaaa 等写成a 2，a 3，a 4等，所以我将Va ，Va 3写成a 12，a 13；又将1a ，1aa ，1aaa ，…写成a －1，a －2，a －3，…”．他信中的“Va ”与“Va 3”就是现在的a 与3a .牛顿还首先使用任意实数指数的概念．§3指数函数3．1 指数函数的概念3．2 指数函数y ＝2x和y ＝(12)x 的图像和性质3．3 指数函数的图像和性质第1课时 指数函数的图像与性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．●重点难点重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用． 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x和y ＝(12)x 两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．(教师用书独具)●教学建议为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．●教学流程从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y ＝2x和y ＝(12)x 的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a 取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第40页)课标解读1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点)指数函数的定义已知函数y ＝2x，y ＝(13)x .1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是．2．这两个函数形式上有什么共同点？ 【提示】 底数为常数，指数为自变量．函数y ＝a x叫作指数函数，自变量x 在指数位置上，底数a 是一个大于0且不等1的常量．指数函数的图像与性质1．试作出函数y ＝2x(x ∈R)和y ＝(12)x (x ∈R)的图像【提示】2．两函数图像有无交点？【提示】有交点，其坐标为(0,1)．3．两函数图像与x轴有交点吗？【提示】没有交点，图像在x轴上方．4．两函数的定义域是什么，值域是什么？【提示】定义域是R，值域是(0，＋∞)．5．两函数的单调性如何？【提示】y＝2x是增函数，y ＝(12)x是减函数．a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1是R上的增函数是R上的减函数(见学生用书第40页)。