2019九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.4 中位线导学案(无答案)(新版)华东师大版

中位线 课题一、学习目标掌握三角形中位线和重心的概念，探索并证明三角形中位线定理和重心定理；初步会用定理进行有关的论证和计算。

二、学习重点 掌握三角形的中位线和重心的定理。

三、自主预习阅读课本77-78面内容。

1.填空：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的。

2．任意画出一个三角形，并画出所有中位线。

3.已知△ABC 中，DE ∥BC ，点D 、E 分别是AB 、AC的中点，DE 与BC 的关系是？四、合作探究 任务一：阅读课本77页78页完成下列任务：1.如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．则DE 与BC 之间存在什么样的位置关系和数量关系呢？写出详细过程证明自己的猜想是正确的。

你猜想的结论是：位置关系是：DE___BC ，数量关系是：DE_____ BC 。

上图中，若已知BC ＝8 cm ，则根据猜想可得DE ＝_______ cm 。

归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。

即 DE ∥BC ， DE ＝BC 任务二：探究三角形重心定理如图，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ．求证： 。

结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的。

五、巩固反馈1.教材课后习题。

2.如左图已知D、E分别是AB、AC的中点．BC＝６ cm，则DE＝______ cm。

3.如右上图G为三角形的重心，ＡD＝3 cm，BF＝６cm，则DG＝___cm， BG＝__ cm。

4.三角形的周长为28 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm。

5.填空：顺次连结矩形、平行四边形、菱形、正方形、等腰梯形的四边的中点所得的四边形分别是_____________。

6.已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

23.4 中位线一、知识回顾：1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，证明：△ADE∽△ABC二、探索新知猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？1、三角形中位线定义：连接三角形的线段,叫做三角形的中位线思考：三角形的中位线有几条?理解三角形的中位线定义的两层含义:(1)如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的(2)如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。

2、三角形的中位线定理：三角形的中位线第三边并且等于它的。

几何语言：练一练:(1)若△ABC三边AB、AC、BC的长分别为8、6、4，它的三条中位线围成的△DEF的周长_____ 。

(2)若△ABC的三条中位线围成的三角形周长为15cm，△ABC的周长是____ 。

(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则△ABC的周长为，面积为。

三、例题赏析例1、已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．（1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证明。

（2）DF与AE有什么关系？变式1：已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形。

B F变式2：已知：等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形。

变式3：已知：矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是。

变式4：已知：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形。

23.4中位线
【学习目标】
1.掌握三角形中位线和重心的概念。

2.会证明三角形中位线定理。

3.体会转化的思想方法。

【重点】证明三角形中位线定理 【难点】三角形中位线定理的应用。

【使用说明与学法指导】 1.认真阅读课本P 77-P 79，会用中位线定理解决生活中的实际问题；并将书本中重要的定理用双色笔画上横线；并完成导学案，完成过程中将疑惑记录在“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑； 预 习 案 一、预习导学： 1.什么是三角形的中线？ 2.什么是三角形的中位线？请指出右图中的中位线和中线。

3. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，猜想
DE 和BC 有怎么的位置关系和数量关系？并证明这种关系。

概括：三角形中位定理：
图1 图2
2
二、我的疑惑
合作探究
探究一：如图3：D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，（1）如果EF=4，求BC 的长
（2）求证，四边形AEDF 是平行四边形。

探究二：如图4：△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ．求证：
31==AD GD CE GE
拓展：如果在图4中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，如图5，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有3
1='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的． 于是，我们有以下结论：
图 3 图 4
图5
我本节课的收获与反思：
3。

相似三角形判定一、学习目标经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形相似”的探索过程，能运用上述两种判定方法判定两个三角形相似。

二、学习重点会用三角形相似判定定理判断两个三角形相似。

三、自主预习1．知识回顾:判断三角形相似的方法是。

2.全等三角形与相似三角形关系是。

3.两个三角形全等有哪些简单的判定方法？四、合作探究任务一：探索两边对应成比例，一夹角相等的两个三角形是否相似。

观察课本67页图24.3.10，图中AD与AB的比是1：3，当AE=AC时，△ADE与△ABC相似，此时=。

由此可以猜想。

探求证明方法．1.如图，在和中，，求证∽证明：2.若相等的角是其中一边的对角，即：一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且其中一边的对角对应相等，这样的两个三角形是否相似？如果不相似，举反例说明。

归纳出三角形相似的判定定理2：任务二：探索三边对应成比例的两个三角形是否相似。

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长是的倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？探求证明方法．如图，在和中，，求证∽证明：归纳三角形相似的判定定理3：五、巩固反馈（当堂检测）★【基础知识练习】1.教材课后习题。

★【提高拓展练习】1．如图，△PCD是等边三角形，且C、D在线段AB上，（1）当AC、CD、DB满足什么条件时，△ACP∽△PDB？（2）当以上两三角形相似时，求∠APB的度数。

2.如图，中，点分别是的中点，求证：。

3.如图，P为正方形AB CD边BC上的点，且BP=3PC，Q为DC的中点，求证：。

A BA B23.4 三角形的中位线【学习目标】重点: 三角形中位线的性质定理及重心性质定理内容的形成过程及其证明。

难点：三角形中位线的性质定理的应用。

【学习流程】【学习导航】（一）新课探究：（知识点一：中位线）1、温故知新：（1）、填一填：如右图，在△ABC 中，若DE//BC,则有△ ∽△（2）、想一想：在（1）的前提下，若D 是AB 的中点，则有=AB AD （填比值）， =ACAE由此可得点E 是 ，BCDE= 。

（3）、议一议： 如上图，在△ABC 中，若D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，那么DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？猜想： （4）、证一证：（和大家分享）如右图，已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点。

求证：DE ∥BC 且DE=21BC（5）概括：①、三角形的中位线的定义： 。

②、三角形的中位线的性质： 。

如上图：几何语言：∵∴勇闯第一关：如右图，已知：在△ABC中，F、D、E分别是AB、BC、AC的中点，AB=8, AC=6，回答下列问题：（1）求DF、DE的长？（2）四边形AFDE是什么形状的四边形？（二）例题解析：（知识点二：重心）如右图所示在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交与G，求证：概括：（1）重心的定义（2）重心的性质如上图：几何语言：∵G是△ABC的重心∴勇闯第二关：【课内检测】（10分）如右图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是CD的中点，N是AB的中点，求证：∠PMN=∠PNM。

【拓展延伸】（知识点三：中点四边形）（1）顺次连结平行四边形的中点四边形是。

（2）顺次连结正方形的中点四边形是。

（3）顺次连结矩形的中点四边形是。

（4）顺次连结菱形的中点四边形是。

（5）顺次连结任意四边形的中点四边形是。

31==ADDGCEGE。

2019版九年级数学上册 23.4 中位线导学案（新版）华东师大版学习内容中位线学习目标1、掌握三角形的中位线和梯形中位线的概念和定理，2、了解三角形的重心及三角形重心的性质。

学习重点三角形中位线定理和梯形中位线定理的理解与应用。

学习难点三角形中位线定理和梯形中位线定理的证明，以及如何恰当地添加中位线辅助解题。

导学过程复备栏【温故互查】什么是三角形的中线？【设问导读】1、阅读课本57-58页，自己总结并在小组内交流：（1）总结不同的证明方法，主要用了哪些知识点？（2）用符号及文字表达三角形中位线定理的内容。

2、思考：（1）、三角形的中线与中位线的区别与联系？（2）、三角形的中线有何性质？（3）、三角形的三个顶点、三个三边中点，这六个点中，任选四个点最多可以构成多少个平行四边形？作图说明：3、自己剪一个密度均匀的纸板三角形（或者一个厚度大些的纸张也可以）结合学习课本69页拓展部分内容以及上述环节的学习，验证三角形的重心及其定义和性质。

4、自学课本59页关于梯形中位线的知识，完成下列问题：（1）梯形中位线的内容（文字与符号语言）及作用是什么？（2）自己写出梯形中位线性质的证明，并总结辅助线的作法。

(3)梯形中位线定理与三角形中位线定理有何关系？(4)梯形面积公式的求法？【自学检测】1、已知三角形的三条中位线分别为3厘米、4厘米、6厘米，则这个三角形的周长为。

2、已知等腰梯形的腰长与中位线相等，周长为32厘米，则腰长为3、在梯形ABCD中，AB∥CD。

CD<AB,中位线EF与对角线AC、BD交与M、N两点，若EF=18cm,MN=8cm，则AB的长为（）4、梯形的高是6cm，面积是24cm2，那么这个梯形的中位线长______cm.5、在△ABC中，∠A=∠B=450，AB=12，则△ABC的重心到AB的距离是（）6、已知，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=4,BC=8,E、F分别是对角线BD、AC的中点。

23.4 中位线1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)一、情境导入如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点：三角形的中位线【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为( )A.32B ．3C ．6D ．9 解析：∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．【类型二】 利用三角形中位线定理求角如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD .∵∠1＝110°，∠E ＝30°，∴∠ECD ＝80°，故选A.方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点N 为BC 的中点，AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，垂足为点M ，延长CM 交AB 于点D ，求MN 的长．解析：为证MN 为△BCD 的中位线，应根据三线合一，得到DM ＝MC ，即可解决问题． 解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴AD ＝AC ＝3，DM ＝CM .∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD 的中位线，∴MN ＝12(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．【类型四】 中位线定理的综合应用如图，E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解析：本题可先证明△ABF ≌△ECF ，从而得出BF ＝CF ，这样就得出了OF 是△ABC 的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系．解：AB ＝2OF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，OA ＝OC .∴∠BAF ＝∠CEF ，∠ABF ＝∠ECF .∵CE ＝DC ，在平行四边形ABCD 中，CD ＝AB ，∴AB ＝CE .∴在△ABF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CEF ，AB ＝CE ，∠ABF ＝∠BCE ，∴△ABF ≌△ECF (ASA)，∴BF ＝CF .∵OA ＝OC ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OF ，AB ∥OF .方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF 是△ABC 的中位线．三、板书设计1．三角形的中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。

23.4 中位线【学习目标】1、掌握三角形中位线的概念；2、掌握三角形中位线的性质定理及其证明方法；3、学会运用三角形中位线的性质定理。

【学习重难点】掌握三角形中位线的性质定理及其证明方法【学习过程】一、课前准备1、三角形的中线的定义2、一个三角形有______条中线二、学习新知自主学习：知识点一：三角形中位线1、三角形中位线定义：________________________________一个三角形共有条中位线，在图右图上画画看。

（2）知识点二：三角形中位线的定理：1）如图1，D、E分别是AB、AC的中点，通过度量你发现DE与 BC有怎样的数量关系？2）如图1，用量角器量一量∠A DE 与∠B 的度数，你发现DE 与BC 有怎样的位置关系?你能不能用语言叙述你发现的性质：__________________________________________3）能证明你的发现吗？已知：在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线求证：由此得到三角形中位线定理：______________________________________________________。

几何语言：∵∴实例分析：例1、求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC ．求证： AE 、DF 互相平分．F E DB A例2 如图，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G ．求证： 13GE GD CE AD ==【随堂训练】1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．5．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．【中考连线】如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．【参考答案】随堂练习1．两边中点 2．平行，第三边的一半 3．3 4．4 5．7中考连线提示：证△AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线，即得结论。

华东师大版九年级数学上册 第23章 23.4 中位线 导学案【学习目标】１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。

２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。

３、进一步训练说理的能力。

４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。

【重、难点预测】因本节课知识点比较多，学生的说理能力又还比较薄弱，所以经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握这两个定理，并能利用它们灵活解决问题既是本节课的重点也是难点。

【教学过程】一、情境导入如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点：三角形的中位线【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为( )A.32B ．3C ．6D ．9 解析：∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．【类型二】 利用三角形中位线定理求角如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD .∵∠1＝110°，∠E ＝30°，∴∠ECD ＝80°，故选A.方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点N 为BC 的中点，AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，垂足为点M ，延长CM 交AB 于点D ，求MN 的长．解析：为证MN 为△BCD 的中位线，应根据三线合一，得到DM ＝MC ，即可解决问题．解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴AD ＝AC ＝3，DM ＝CM .∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD 的中位线，∴MN ＝12(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．【类型四】 中位线定理的综合应用如图，E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解析：本题可先证明△ABF ≌△ECF ，从而得出BF ＝CF ，这样就得出了OF 是△ABC 的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系．解：AB ＝2OF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，OA ＝OC .∴∠BAF ＝∠CEF ，∠ABF ＝∠ECF .∵CE ＝DC ，在平行四边形ABCD 中，CD ＝AB ，∴AB ＝CE .∴在△ABF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CEF ，AB ＝CE ，∠ABF ＝∠BCE ，∴△ABF ≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．三、板书设计1．三角形的中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．【教学反思】本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。

九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.4 相似三角形的应用导学案（无答案）（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第23章图形的相似23.3 相似三角形23.3.4 相似三角形的应用导学案（无答案）（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.5 相似三角形的应用【学习目标】能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．【学习重难点】1、相似三角形的实际运用2、测量无法到达物体的宽度和高度【学习过程】 一、课前准备 测量旗杆的高度操作:在旗杆影子的顶部立一根标杆,借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB 的影长BD a =米,标杆高FD m =米,其影长DE b =米，求AB ：分析：∵太阳光线是平行的∴∠____________＝∠____________又∵∠____________＝∠____________＝90° ∴△____________∽△____________ ∴__________________，即AB=__________ 二、学习新知 自主学习:探究一：据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m,求金字塔的高度BO．探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离（即河宽），你有什么方法？方案一:先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处,使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？实例分析：例6 为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知高度的竹竿DE，比较竹竿的影长CD与金字塔的影长AB，却可近似地算出金字塔的高度OB，如果DE=1米,CD=2米，AB =274米,求金字塔的高度OB 。