第6章 滤波器原理与结构1

一、巴特沃斯低通滤波器设计方法
巴特沃斯低通滤波器 的幅度平方函数 2
H ( j )
1
2N
1 c
（6-8）
N称为滤波器的阶数，零频率的时候，幅频特性等 于1，截止频率的时候，幅频特性等于0.707，大 于截止频率，幅度迅速下降，下降的速度与阶数N 有关，N愈大，幅度下降的速度愈快，过渡带愈窄。 幅频特性和N的关系如图所示。 H ( j )
2

p , | H a ( j ) | 1 / 1 2
22 1/ 1 1 / 1 通带内：在 1 和 间等波纹起 p p 伏 p p 通带外：迅速单调下降趋向0
3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：
p ：通带截止频率，给定 ：表征通带内波纹波动大小，通带波纹表示 A2 ( ) max 10lg 2 A ( ) min
Butterworth Filter N=2 N=4 N = 10
1
（3）幅频特性的陡峭程度 由阶数N决定。 （4）幅频特性单调下降。
Magnitude
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2
幅频响应

3
N阶巴特沃斯低通滤波器没有零点，是 一个全极点滤波器。可以证明，H(s)H(-s)的 2N个极点为
H( z )
N 1 n 0

h( n )z n
(6-2)
三、数字滤波器技术要求
常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。数字滤波 器的传递函数 H (e j )用下式表示
H (e ) | H (e ) | e
幅频特性， 反映各频率 的衰减情况
j
j
jQ( )
相频特性，反映各频 率成分通过滤波器之 后在时间轴上的延时 情况
sk 1 c e
1 2N
jc
1 2 k 1 j 2 2N
k 1,2,...,2 N
N阶巴特沃斯低通滤波器的H(s)H(-s)的 2N个极点的分布特点： （1）2N个极点在s平面呈象限对称分布，均 匀分布在Buttterworth圆上。 （2）极点间的角度间隔为 (rad ) 。 N （3）极点不在虚轴上。 （4）当N为奇数时，实轴上有极点。 （5）当N为偶数时，实轴上无极点。
滤波器可以用描述线性时不变系统的输入输出关 系的数学函数来表示，如图6-1所示。
x(n) h(n) 线性时不变 y(n)
图6-1
滤波器的时域输入输出关系
一、滤波器基本概念
在时域中输入输出关系用公式表示为
y( n ) x( n )* h( n )
若x(n)，y(n)的傅里叶变换存在，则输入输出的 频域关系为：
相同的幅频特性，相频特性不同，相同的输入其输出波形也不同。
选频滤波器的技术要求一般由幅频特性给出，相频特性一般不作 要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术 指标，例如在语音合成、波形传输、图像信号处理等应用场合。 如果对输出波形有严格要求，则需要设计线性相位数字滤波器。
三、数字滤波器技术要求
一、巴特沃斯低通滤波器设计方法
3）将 H a p 去归一化。将 p s c 代入H a p ，得 到实际的滤波器传递函数 H s 。其中3dB截止频 率 c，如果技术指标没有给出，可以按照式（619）或式（6-20）求出。
一、巴特沃斯低通滤波器设计方法
图6-7 例6-1幅频特性曲线
A ( ) max 1. A ( ) min
2 2
1 1 2
10lg(1 )
2
10
2
0.1
1
由通带衰减决定
滤波器阶数N的确定
设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用 s 表示，在 s 处的 A2 (s ) 为 ：
二、滤波器分类
从实现的网络结构或者从单位冲激响应分类:数字 滤波器可以分成无限脉冲响应（IIR）滤波器和有 限脉冲响应（FIR）滤波器。这两种都是典型线性 时不变离散系统，其系统函数分别为
H( z ) r 0 1
br z
N k 1
M
r
N阶滤波器
akz
k
(6-1)
N-1阶滤波器
设计滤波器：一般有设计指标，求出模平方函数，再求出系统 函数。模平方函数在模拟滤波器的设计中起着重要的作用。不 同的模拟滤波器，其幅度模平方函数有不同的表达式。 但系统函数必须是稳定的，极点落在S平面的左半平面。
主要内容
一
巴特沃斯低通滤波器设计方法
二
切比雪夫滤波器的设计方法
三
模拟滤波器的频率变换－模拟高通、带通 、带阻滤波器的设计
1
x
C5 ( x)
1
图 6-9
N=0，4，5切比雪夫多项式曲线
二、切比雪夫滤波器的设计方法
A2 ( )
N=4 巴特沃斯
1.0 1 1 2 0.50
N＝4 切比雪夫
O
p
c

图 6-10
2 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的 A ( ) 曲线
2） Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：
2 O
p c
s

图6-4
低通滤波器的技术要求
第二节 常用模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法相当成熟，典型的 模拟器滤波器有巴特沃斯、切比雪夫、椭圆、贝 塞尔滤波器等。各种滤波器各有特点，如单调下 降、通带或者阻带内波动、线性相位特性等。 模拟滤波器按幅频特性可分为低通、高通、带通 和带阻滤波器。设计滤波器时，总是先设计低通 滤波器，再通过频带变换将低通滤波器转换成希 望类型的滤波器。下面先介绍模拟低通滤波器的 设计方法，然后再介绍模拟高通、带通、带阻滤 波器的设计方法。
H （e j）
1－1 0.707 1
理想滤波器是不可实现的，实际使用时，用一个 因果可实现的滤波器去逼近，但实用中的通带和 阻带中允许有一定的误差容限，通带不是完全水 平，阻带不一定衰减到零，通带和阻带之间还有 过渡带。
通带和阻带截止频率，通带内的最大衰减、阻带 内的最小衰减，3分贝通带截止频率。
H a ( j )
H a ( j )
1 C 2 2 p 1 CN ( )
2 2 N
1
1
H a ( j )
N为奇数
1
1 1 2

0
N为奇数 N为偶数
p
| H a ( j 0) | 1
O
p
s

| H a ( j 0) | 1 / 1
二、切比雪夫滤波器的设计方法
1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数
A2 ( ) H a ( j )
2
1 1 C p
2 2 N

为小于1的正数，表示通带内波动的幅度，值越大，波动幅度也越大，
H a ( j )
N为奇数
H a ( j )
从功能上分类:滤波器可以分为低通、高通、带通和带阻滤 波器。它们的理想幅频特性如图6-3所示。
H a ( j )
H a ( j )
H a ( j ) 带通

H a ( j )
低通
0
高通
带阻

0
0

0

图6-3
各种理想滤波器的幅频特性
上述滤波器是理想的，实际是不可实现的，原因是其单位冲激响 应是非因果且无限长，实际滤波器只能按照某些设计准则，使特 性尽可能地去逼近。还有数字滤波器是以2PI为周期的，因此低 频位于2PI的整数倍处，高频位于PI的奇数倍处。
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 s 和 s ，用式（6-18） p 、 1）据技术指标 p 、 求出滤波器的阶数N。 2）按照式（6-14），求出归一化极点 pk，pk 将代 入式（6-13），得到归一化传递函数 H a p 。也 可以根据阶数N，直接查表6-1，得到极点 pk 和归 一化传递函数 H a p 。
能迭代下一个
二、切比雪夫滤波器的设计方法
高阶切比雪夫多项式的递推公式为
CN 1 x 2xCN x CN 1 x
C N ( x)
C5 ( x)
（6-23）
C4 ( x)
C4 ( x) C0 ( x)
1
1
O
N的影响： N越大阻带衰减越快;阶数 N影响过渡带的带宽，同 时也影响通带内波动的疏 密，因为N等于通带内最 大值与最小值的总个数.
Y( e j ) X( e j )H( e j )
不同的
H (e jw ) 就可以得到不同的滤波效果。
二、滤波器分类
根据滤波器所处理的信号不同:分为模拟滤波器和 数字滤波器两种形式。模拟滤波器输入输出信号 为模拟信号，数字滤波器输入输出信号为数字信 号。 数字滤波器具有精度高、稳定、体积小、重量轻、 灵活、不要求阻抗匹配以及可以实现模拟滤波器 无法实现的特殊滤波功能。如果是处理的模拟信 号，可以利用A/D、D/A转换，使用数字滤波器对 模拟信号进行滤波。
模拟滤波器的设计指标有： p , p , s , s 分别称为通带最大 衰减系数，通带截止频率，阻带最小衰减系数和阻带截止频率， 衰减系数一般用dB表示。
一般滤波器的单位冲激响应为实数，
* | Ha ( j) |2 Ha (s)Ha (s) |s j Ha ( j)Ha ( j)
第六章 滤波器原理与结构
6.1 滤波器的原理及分类 6.2 常用模拟滤波器的设计 6.3 数字滤波器的基本网络结构及其信号流图
内容提要
离散傅立叶变换和数字滤波器是数字信号处理的 两大基本内容。 数字滤波器属于线性时不变离散时间系统的范畴。 它具有稳定性好、精度高、灵活性大等突出优点。 本章主要介绍滤波器的原理及分类、常用模拟滤 波器的设计方法及数字滤波器的基本结构