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2.5.1平面几何中的向量方法 2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题一、复习回顾1．向量的概念；2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；3．零向量、单位向量、平行向量的概念；4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1（课本P109例1）（课本P109例1）()2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++ 已知平行四边形的对角线为、求证：()()()22222222222222|||2|||2|2|||?,||||?|||||.|AC AC AB ADAB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB ADAC DB AB AD ===++===+-+++=- 证得明：由变式训练1：证明：直径所对的圆周角为直角。
2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例疱工巧解牛知识•巧学一、平面几何中的向量方法用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了.用向量法(即以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论)证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果，可简单地表述为：〔形到向量〕——〔向量的运算〕——〔向量和数到形〕.学法一得用向量法证明几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在物理中的应用向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量.矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然，物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小，没有作用点.但是，这并不影响向量在物理学中的作用.学法一得向量在物理中的应用，实际上就是先把物理问题转化成数学问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中，一要体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.典题•热题知识点一用向量方法证明几何问题例1 已知AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于同一点.思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量，我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AD与BC垂直即可说明结论成立.图2-5-2证明：如图2-5-2，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H,=a，=b，=h，则=h-a，CH=h-b，=b-a.∵BH ⊥AC ，CH ⊥AB ， ∴(h -a )·b =0，(h -b )·a =0. ∴(h -a )·b =(h -b )·a . 化简得h ·(b -a )=0. ∴AH ⊥BC .∴AH 与AD 重合，即AD 、BE 、CF 交于一点.例2 在△ABC 中，点D 和E 分别在边BC 与AC 上，且BD=31BC ，CE=31CA ，AD 与BE 交于点R ，证明RD=71AD ，RE=74BE.图2-5-3解：设=e 1，=e 2.取{e 1，e 2}为基底，下面我们将用基底表示出来. 设=λ，=μ.由于=+31=e 1+31(e 2-e 1)=32e 1+31e 2， BE =BA +32AC =-e 1+32e 2，∴AR =λAD =32λe 1+31λe 2， ①=μ=-μe 1+32μe 2.=+=(1-μ)e 1+32μe 2， ②根据唯一性，由①和②可得32λ=1-μ，μλ3231=.解得λ=76，μ=73.于是AR=76AD ，RD=71AD ；BR=73BE ，RE=74BE.巧解提示：由A 、D 、R 三点共线，可设=λ+(1-λ)=32λ+(1-λ). ③ 由B 、E 、R 三点共线，又设CR =μCB +(1-μ)CE =μCB +31(1-μ)CA . ④根据唯一性，由③④可得λ=76，μ=74.将之代入③④得CR =76CD +71CA ，CR =74CB +73CE ， 即6176:71==RA DR ，4374:73==RE BR . ∴RD=71AD ，RE=74BE .例 3 如图2-5-4所示，在△ABC 中，设AB =a ，AC=b ，AP =c ，AD =λa (0<λ<1)，AE =μb (0<μ<1)，试用向量a 、b 表示c .图2-5-4思路分析：本题实质是平面向量基本定理的应用，因a 、b 不共线，故c 可用a 、b 表示.鉴于图形中三角形较多，所以需要从中找出相关的三角形，利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解.事实上，若令λ=μ=21的话，则点P 就成为△ABC 的重心. 解：∵与共线，∴=BE m =m(-)=m(μb -a ). ∴AP =AB +BP =a +m(μb -a )=(1-m)a +mμb . ① 又∥，∴=n =n(-)=n(λa -b ).∴=+=b +n(λa -b )=n λa +(1-n)b . ② 由①②，得(1-m)a +m μb =n λa +(1-n)b . ∵a 、b 不共线，∴⎩⎨⎧-==-,1,1n m n m μλ即⎩⎨⎧=-+=-+.01,01m n m n μλ解之,得m=λμλ--11，n=1-λμμλμλμμ--=--111.将m 、n 代入①式，得c =(1-m)a +mμb =b a λμμμλμμλ--+--1111.知识点二 选择适当的直角坐标系，用坐标法解决有关几何问题例4 已知△ABC 中，∠C 是直角，CA=CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE=2EB ，求证：AD⊥CE.图2-5-5证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系， 设A(a ，0)，则B(0，a)，E(x ，y). ∵D 是BC 的中点，∴D(0，2a ). 又∵AE=2EB，即AE =EB 2，即(x-a ，y)=2(-x ，a-y)， ∴⎩⎨⎧-=-=-.22,2y a y x a x解之,得x=3a ，y=a 32. 要证AD⊥CE，只需证AD 与CE 垂直，即AD ·CE =0.∵AD =(0，2a )-(a ，0)=(-a ，2a )，OE =CE =(a a 32,3)， ∴AD ·CE =03131232322=+-=⨯+⨯-a a a a a a .∴AD ⊥CE ，即AD⊥CE.方法归纳 在未给出点的坐标的题目中，选用坐标法往往要考虑几何图形的特点，如直角三角形、正方形等用坐标法有时比较方便.例5 如图2-5-6，四边形AOBE 是菱形，其对角线OE 在x 轴上.在OB 的延长线上取一点C ，AC 交BE 于点D.若∠AOE=60°，BC=m ，菱形的边长为l ，求点D 的坐标.图2-5-6思路分析：欲求点A 、C 的坐标，必须要用∠EOA=60°，∠EOC=300°.这是解此题的出发点. 解：∵OA =(|OA |cos60°，|OA |sin60°)=(l l 23,2)，OC =(|OC |cos300°，|OC |si n300°)=(2)(3,2m l m l +-+)， ∴AC =OC -OA =()2(23,2m l m +-). 设OD =(x ，y)，∵AD =OD -OA =(x-21，y-l 23)且AC 与AD 共线，∴)2(232322m l l y ml x +--=-，即)2(3322m l ly m l x +--=-. ① 又OA 与DE 共线，DE =(l-x ，-y)，故lyl x l 232-=-，即31y l x =-.将y=3(x-l)代入①，得)(2)2(m l m l l x ++=，)(232m l l y +-=.∴D 点的坐标是()(2)2(m l m l l ++，)(232m l l +-).例6 如图2-5-7，在Rt△ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时，CQ BP •的值最大?并求出这个最大值.图2-5-7思路分析：本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标系的转化及向量的联系. 解：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.图2-5-8设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)、B(c，0)、C(0，b)，且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(-x，-y)，∴BP=(x-c，y)，CQ=(-x，-y-b)，BC=(-c，b)，PQ=(-2x，-2y). ∴BP·CQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=2||||a bycxBCPQ -=，∴cx-by=a2cosθ.∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1，即θ=0°(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ最大，其最大值为0.方法归纳对于平面几何问题，除了用综合法和解析法对其证明外，还可引入向量，通过向量的线性运算或建立坐标系通过坐标运算去求解.知识点三向量在物理中的应用例7 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C 地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移.图2-5-9解：如图2-5-9所示，设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西60°，||=1 000 km；的方向是南偏西60°，|AC|=2 000 km，所以∠BAC=60°.过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1 000 km ，∠CBD=∠BCD=21∠BDA=30°. 所以∠ABC=90°. BC=ACsin60°=2 000×3100023= (km)，|BC |=31000 (km). 所以，飞机从B 地到C 地的位移大小是31000 km ，方向是南偏西30°.例8 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)图2-5-10解：如图2-5-10所示，设木块的位移为s ， 则F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×350023= (J). 将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为 |F 1|=|F |sin30°=50×21=25(N)， 所以，摩擦力f 的大小为|f |=|μ(G -F 1)|=(80-25)×0.02=1.1(N). 因此f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即F 和f 所做的功分别是3500 J 和-22 J.问题•探究 方案设计探究问题 向量的运算是用向量解决问题的重要途径，特别是数量积，它涉及平行、垂直等重要的位置关系.我们通过学习平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，提出怎样用向量坐标表示向量数量积的问题，那么这些问题具体如何解决，该怎样应用？ 探究思路:将数量积的坐标形式用于表示距离、角、垂直、平行等关系.探究结论:对于平面向量的数量积，我们有结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，将其进一步推广就有：①设a =(x ，y)，a 2=|a |2=x 2+y 2或|a |=22y x +；②设A 、B 两点的坐标分别为(x A ，y A )、(x B ，y B )，|AB|=22)()(B A B A y y x x -+-,这就是平面内两点间的距离公式；③设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，向量a 、b 的夹角为θ，cosθ=222122212121yy x x y y x x +•++；④设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ⊥b 的充要条件是a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 在学习时，一方面要注意与前面的知识进行联系，要熟悉向量的数量积的定义以及它的有关性质；另一方面，坐标运算是向量运算的一种重要的形式，因此要熟练掌握向量的数量积的坐标表示，注意有关的结论，并能熟练地应用它们解决有关的问题.在学习过程中，注重养成独立思考钻研的习惯和能力，初步了解对立统一的辩证思想，灵活处理向量与三角函数、不等式、解析几何、立体几何相结合的题目. 思维发散探究问题 已知a 、b 是两个非零向量，且满足|a |=|b |=|a -b |，试探究求a 与a +b 夹角的方法. 探究过程:基于向量表示上的差异，也就是表示方法上的不同，解本题常见的有三种方法.一是利用向量加减法的几何意义，用数形结合的方法求夹角；二是利用已知条件，找出a 的长度与a ·b 及a 的长度与a +b 长度间的关系.再利用夹角公式求解；三是设出向量a 、b 后再利用夹角公式求解.探究结论:方法一：根据向量加法的几何意义作图，如右图所示.图2-5-11在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以，为邻边作平行四边形OACB. 由于|a |=|b |=|a -b |，所以OACB 为菱形，CO 平分∠AOB，且∠AOB=60°. 所以∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.方法二：由|a |=|b |，得|a |2=|b |2，又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2.所以2a ·b =|a |2.而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2，所以|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则有23||3||||21||||||)(cos 22=•+=++•=a a a a b a a b a a θ，所以θ=30°. 方法三：设向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2).由于|a |=|b |，则有x 12+y 12=x 22+y 22. 由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 则|a +b |2=2(x 12+y 12)+(x 12+y 12)=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则有233)(21)(||||)(cos 2121212121212121=+⨯⨯++++=++•=y x y x y x y x b a a b a a θ，所以θ=30°.。
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
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2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例（建议用时:45分钟)［学业达标］一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1）与l平行,则实数m的值为（）A．－1 B．1C．2 D．－1或2【解析】向量(1－m，1)是直线的方向向量，所以斜率为错误!，则错误!＝－错误!，解得m＝－1或m＝2。
【答案】D2．已知点A（2,3)，B(－2，6)，C(6,6)，D(10,3)，则以ABCD为顶点的四边形是( ) A．梯形B．邻边不相等的平行四边形C．菱形D．两组对边均不平行的四边形【解析】因为错误!＝(8，0），错误!＝(8,0），所以错误!＝错误!，因为错误!＝(4，－3），所以｜错误!|＝5，而|错误!｜＝8，故为邻边不相等的平行四边形．【答案】B3．在△ABC中,点O是△ABC外任一点，若错误!(错误!＋错误!＋错误!)＝错误!，则点G是△ABC的( ）【导学号：00680062】A．内心B．外心C．垂心D．重心【解析】因为13(错误!＋错误!＋错误!）＝错误!，所以错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝3错误!，化简得错误!＋错误!＋错误!＝0,故点G为三角形ABC的重心．【答案】D4．在△ABC中,D为BC边的中点，已知错误!＝a，错误!＝b，则下列向量中与错误!同方向的是( )A．错误!B．错误!＋错误!C．a－b｜a－b|D．错误!－错误!【解析】因为D为BC边的中点，则有错误!＋错误!＝2错误!，所以a＋b与错误!共线，又因为错误!与a＋b共线，所以选项A正确．【答案】A5.如图2。
