2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测(十九)平面上两点之间的距离 苏教版必修2

课时跟踪检测（十九） 两点间的距离公式一、基本能力达标1．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或5解析：选C 由|AB |＝＝5⇒a ＝1或a ＝－5，故选C.(－2－a )2＋(－1－3)22．已知平面上两点A (x ，－x )，B ，则|AB |的最小值为( )2(22，0)A ．3 B ．13C ．2D ．12解析：选D ∵|AB |＝＝≥，当且仅当x ＝(x －22)2＋(2－x －0)22(x －324)2＋1412时等号成立，∴|AB |min ＝.324123．已知两直线l 1：x ＋y －2＝0，l 2：2x －y －1＝0相交于点P ，则点P 到原点的距离为( )A. B ．55C. D ．22解析：选C 由Error!得Error!两直线的交点坐标为(1,1)，故到原点的距离为＝.(1－0)2＋(1－0)224．已知点M (－1,3)，N (5,1)，P (x ，y )到M ，N 的距离相等，则x ，y 满足的条件是( )A ．x ＋3y －8＝0B ．x －3y ＋8＝0C ．x －3y ＋9＝0D ．3x －y －4＝0解析：选D 由|PM |＝|PN |，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝(x －5)2＋(y －1)2，化简得3x －y －4＝0.5．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x 平行，则|AB |的值为( )A ．6 B.6C. D ．22解析：选C k AB ＝＝b －a .又因为过点A ，B 的直线与y ＝x 平行，所以b －a ＝1，所b －a5－4以|AB |＝＝.(5－4)2＋(b －a )226．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，则当|AB |取得最小值时，实数a 等于________．解析：|AB |2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝22＋，所以当a ＝(a －12)492时，|AB |取得最小值．12答案：127．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )．则Error!当y ＝10时，x ＝2或－10，当y ＝－10时无解．则P (2,10)或P (－10,10)．答案：(2,10)或(－10,10)8．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，x 2y 2∴|AB |＝＝2.42＋225答案：259．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过点A 作直线l 2与直线l 1相交于点B ，且|AB |＝5，求直线l 2的方程．解：∵点B 在直线l 1上，∴设B (x 0,6－2x 0)．∵|AB |＝5，∴ ＝5，(x 0－1)2＋(7－2x 0)2整理，得x －6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.20∴点B 的坐标为(1,4)或(5，－4)．∴直线l 2的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．用解析法证明：四边形ABCD 为矩形，M 是任一点．求证：|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.证明：分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系(如图)，设M (x ，y )，B (a,0)，C (a ，b )，则D (0，b )，又A (0,0)．则|AM |2＋|CM |2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，|BM |2＋|DM |2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2.∴|AM |2＋|CM |2＝|BM |2＋|DM |2.二、综合能力提升1．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．2 B ．3＋233C ．6＋3D ．6＋210解析：选C |AB |＝＝3，|BC |＝＝3，|AC |＝＝3，则△ABC 的周(2＋1)2＋322(2＋1)2＋0(2－2)2＋32长为6＋3.22．已知点A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使|AP |－|BP |取最大值的点P 的坐标是( )A ．(4,0) B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(1,0)解析：选B 点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B并延长交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的方程是y ＋3＝(x －1)，即y ＝x －.令y ＝0，得x ＝13.－2＋35－1141343．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 根据两点间的距离公式，得|AB |＝＝，|AC |＝(5－1)2＋(5－4)217＝，|BC |＝＝3，所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且(5－4)2＋(5－1)217(1－4)2＋(4－1)22|AB |2＋|AC |2≠|BC |2，故△ABC 是等腰非等边三角形．4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10)，则光线从A 走到B 的距离为( )A ．5B ．225C ．5D ．10105解析：选C 如图所示，作点A (－3,5)关于x 轴的对称点A ′(－3，－5)，连接A ′B ，则光线从A 到B 走过的路程等于|A ′B |，即＝5.(2＋3)2＋(10＋5)2105．等腰三角形ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．解析：|BD |＝|BC |＝2，12|AD |＝＝2.(5－3)2＋(4－0)25在Rt△ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝＝2.22＋(25)26答案：266．在△ABC 中，A (1,1)，B (3,1)，若△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标为________．解析：设点C 的坐标为(x ，y )，因为△ABC 为等边三角形，所以|AC |＝|BC |，即＝.①(x －1)2＋(y －1)2(x －3)2＋(y －1)2又|AC |＝|AB |，即＝.②(x －1)2＋(y －1)2(1－3)2＋(1－1)2由①得x ＝2，代入②得y ＝1±.3所以所求点C 的坐标为(2,1＋)或(2,1－)．33答案：(2,1＋)或(2,1－)337．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AB 的中点，DE ，CF 交于点G ，求证：|AG |＝|AD |.证明：建立如图所示的直角坐标系，设正方形边长为2，则B (0,0)，C (2,0)，A (0,2)，E (1,0)，F (0,1)，D (2,2)．直线DE 的方程为y ＝2x －2，直线CF 的方程为y ＝－x ＋1，12联立方程组Error!得Error!即点G.(65，25)从而|AG |＝ ＝2＝|AD |，(65－0)2＋(25－2)2所以|AG |＝|AD |.探究应用题8．求函数y ＝ ＋的最小值．x 2－8x ＋20x 2＋1解：原式可化为y ＝＋.(x －4)2＋(0－2)2(x －0)2＋(0－1)2考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得(4－0)2＋(－2－1)2|A′B|＝＝5，x2－8x＋20x2＋1所以函数y＝＋的最小值为5.。

课时跟踪检测（二十） 两条直线的交点坐标、两点间的距离一、题组对点训练对点练一 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确． 2．若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．6 B ．－24 C ．±6D ．以上都不对解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.对点练二 两点间的距离公式5．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选D ∵|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋()2－x －02＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12. 6．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选 C 根据两点间的距离公式，得|AB |＝(5－1)2＋(5－4)2＝17，|AC |＝(5－4)2＋(5－1)2＝17，|BC |＝(1－4)2＋(4－1)2＝32，所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且|AB |2＋|AC |2≠|BC |2，故△ABC 是等腰非等边三角形．7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 58．过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，则直线l 的方程为________．解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)，显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫3＋1k，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ，∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 答案：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0 对点练三 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0D ．3x －4y －5＝0解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x－4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标； (2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195.即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0. 二、综合过关训练1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0D ．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．若非零实数a ，b 满足3a ＝2b (a ＋1)，且直线2x a ＋y2b ＝1恒过一定点，则定点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 B ．(1,3)C ．(－3，－2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 解析：选A ∵非零实数a ，b 满足3a ＝2b (a ＋1)， ∴12b ＝13＋13a. ∵2x a ＋y 2b ＝1，∴2x a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13a ·y ＝1， ∴6x ＋(a ＋1)y ＝3a ，∴(6x ＋y )＋a (y －3)＝0. 令y －3＝0，且6x ＋y ＝0，得x ＝－12，y ＝3，∴定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. 3．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋2＝0，3x －4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝10，所以两直线的交点坐标为(14,10)． 由题意可得所求直线的斜率为1或－1，所以所求直线的方程为y －10＝x －14或y －10＝－(x －14)， 即x －y －4＝0或x ＋y －24＝0.法二：设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1，解得λ＝－1或λ＝－57，所以所求的直线方程为x －y －4＝0或x ＋y －24＝0.答案：x －y －4＝0或x ＋y －24＝05．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (7,1)，D (4,6)，点M 是边AB 的中点，CM 与BD 交于点P .(1)求直线CM 的方程； (2)求点P 的坐标．解：(1)设点C 的坐标为(x ，y )，因为在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，所以线段AB ，DC 所在直线的斜率相等，线段AD ，BC 所在直线的斜率相等， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－17－1＝y －6x －4，6－14－1＝y －1x －7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝6，即C (10,6)．又点M 是边AB 的中点， 所以M (4,1)，所以直线CM 的方程为y －16－1＝x －410－4，即5x －6y －14＝0.(2)因为B (7,1)，D (4,6)，所以直线BD 的方程为y －16－1＝x －74－7，即5x ＋3y －38＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y －14＝0，5x ＋3y －38＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝83，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，83.6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2.∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0.7．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．解：原式可化为y＝(x－4)2＋(0－2)2＋(x－0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝(4－0)2＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离学习目标：1.理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用．(重点、难点)2.熟练掌握中点坐标公式．3．会求两条平行直线间的距离．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2特别地，当x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|.2．中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.3．点到直线的距离 (1)点到直线的距离公式点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d (2)点P0(x 0，y 0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d (3)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离．(4)两平行线间的距离公式若两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)，则l 1，l 2间的距离d[基础自测]1．思考辨析(1)点(m ，n )到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12. ( ) (2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离． ( ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( )(4)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－1,0)，B (2,1)，C (0,3)，则边AB 的长为________，AB 边的中线CM 的长为________．[解析] 由中点坐标公式得，M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，由两点间的距离公式得AB ＝(－1－2)2＋(0－1)2＝10，CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＝262. [答案]10262 3．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________． [解析] d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|－5|5＝ 5. [答案]54．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________.【导学号：85012089】[解析] d ＝|－7－(－12)|32＋42＝1.[答案] 1[合 作 探 究·攻 重 难]两点间距离公式及其应用如图2-1-13，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．图2-1-13[思路探究] 利用直线AB ，AD 的方程求交点A .利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C .然后利用两点间距离公式求AC .[解] 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23.∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0. 由⎩⎨⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1,1)． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42.而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 2＝5，y 2＝2，∴C (5,2)．即|AC |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17.1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等．[解] 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知|PM |＝|PN |，由两点间距离公式可得[a －(－2)]2＋[a ＋4－(－4)]2 ＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2， 解得a ＝－32，从而a ＋4＝52， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.(1)若点(2，－k )到直线5x ＋12y＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a ＝________.[思路探究] (1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值． (2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值． [解析] (1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122，解得k ＝－3或k ＝173.(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2， 又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋(－2)2， 故c ＝－6或c ＝2.从而c ＋2a ＝1或－1.[答案] (1)－3或173 (2)±12．(1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程． (2)已知直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)，B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解] (1)∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋c ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|c －6|52＋(－12)2＝3，解得c ＝45或c ＝－33.所以所求直线方程为 5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0. (2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在， 又直线l 经过点P (2，－5)， ∴设直线l ：y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d 1＝|k ·3＋2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，B 点到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|－3k －11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||－3k －11|＝12，即k 2＋18k ＋17＝0， 解得k ＝－1或k ＝－17.∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.1．若点P (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？[提示] 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和k PP ′＝BA ，列方程组求解．2．已知直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2，如何由l 1，l 的方程求出l 2的方程？[提示] 法一：先由l 1，l 的方程求出交点，交点在l 2上，再在l 1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l 2上，由两点式即可求出l 2的方程．法二：设l 2上任意一点坐标为(x ，y )，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l 1上，利用对称性质求出⎩⎨⎧x ′＝f (x ，y )，y ′＝g (x ，y )代入l 1的方程即得l 2的方程．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．[思路探究] 点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)法一：由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l 1的交点A (2,0)，在l 1上任取一点B (0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 02＋2×y 0－22－2＝0，即⎩⎨⎧2x 0－y 0－2＝0，x 0＋2y 0－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝125，y 0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l 2的斜率为k AB ′＝145125－2＝7.∴l 2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0.法二：直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85，把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理， 得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)法一：取l ：x ＋2y －2＝0上一点M (2,0)，则M 关于点A (1,1)的对称点M ′的坐标为(0,2)，且M ′在l 关于A (1,1)对称的直线上，又所求直线与l 平行， ∴设所求直线为x ＋2y ＋C ＝0. 又过点M ′(0,2)， ∴C ＝－4，∴所求直线方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y . 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0， ∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.3．已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4,1)，B (0,4)，C (2,0)． (1)试在l 上求一点P ，使AP ＋CP 最小； (2)试在l 上求一点Q ，使|AQ －BQ |最大．[解] (1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1,1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎨⎧y ＝1，3x －y －1＝0，得l 与直线AC ′的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，此时AP ＋CP 取最小值为5.① ②(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3,3)．所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得AB ′与l 的交点为Q (2,5)，此时|AQ －BQ |取最大值为 5. [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且AB ＝5，则a 的值为________．[解析] |AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.[答案] 1或－52．已知△ABC 的三个顶点为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，则△ABC 的形状为__________．[解析] 由两点间距离公式得AB ＝52，BC ＝104，AC ＝52易知AB ＝AC 且AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是等腰直角三角形．[答案] 等腰直角三角形3．夹在两条平行线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积为________．[解析] 因两条平行线间的距离为d ＝|0－20|5＝4，则圆的最大面积为π·22＝4π.[答案] 4π4．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条.【导学号：85012090】[解析] 由题可知，所求直线显然不与y 轴平行，∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，解得⎩⎨⎧ b ＝3k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝53k ＝43，∴所求直线有2条．[答案] 25．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．[解] 设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0，解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二2.1.5 平面上两点间的距离【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P 1、P 2的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1、P 2两点间的距离公式为P 1P 2＝______________．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离为OP ＝____________．3．平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝ ，y 0＝ .一、填空题1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且AB ＝5，则b ＝________．2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为__________三角形．3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________．4．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________．5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB最短，则点M的坐标是________．6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x －y＋1＝0，则直线PB的方程为____________．7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．9．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．二、解答题10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且AB＝5，求直线l1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．2．1．5 平面上两点间的距离 答案知识梳理1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 23．x 1＋x 22 y 1＋y 22作业设计1．0或8解析 由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8．2．等腰3．2 5 解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2＝－1，解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝25．4．4x －2y ＝5 解析 设到A 、B 距离相等的点P (x ，y )，则由PA ＝PB 得，4x －2y ＝5．5．(1,0)解析 (如图)A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 坐标为(1,0)．6．x ＋y －5＝0解析 由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．7．17解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1. ∴d ＝42＋12＝17． 8．(2,10)或(－10,10)解析 设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.9．2 6 解析 BD ＝12BC ＝2， AD ＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长AB ＝22＋(25)2＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5． 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则AB ＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以DE ＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以DE ＝12AB ． 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2 ＋(x －0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示， 令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)， 使得PA ＋PB 最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)， 由图可直观得出PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A ′B ，故PA ＋PB 的最小值为A ′B 的长度． 由两点间的距离公式可得A ′B ＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5．13．证明 如图所示，设点O (0,0)，A (x ，y )，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则原不等式左边＝OA＋AD＋AB＋AC，∵OA＋AC≥OC＝2，AB＋AD≥BD＝2，∴OA＋AD＋AB＋AC≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。

课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确，③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则( )A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m，m⊂α，所以Q∈α.因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知，两个平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外，则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α，故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a，b，c，d，则这四条直线中每两条都确定一个平面，因此，a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d都分别确定一个平面，共6个平面．答案：67．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断，经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)由点A，O，C可以确定一个平面；(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．3.如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF 交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交，它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定一个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交，则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线，则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点，则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行，则将空间分成7个部分；所以，三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC，BD交于T, 连结ST，∵T∈AC，AC⊂平面SAC，∴T∈平面SAC.同理，可证T∈平面SBD.∴点T在平面SBD和平面SAC的交线上，∴直线ST是平面SBD和平面SAC的交线．8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线．。

课时跟踪检测（十九） 平面上两点之间的距离层级一 学业水平达标1．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6B ．2C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a 1＝1，∴b －a ＝1. ∴AB ＝ (5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 解析：选A AC ＝(－9－1)2＋(－9－5)2＝274， BC ＝(－9－5)2＋(－9－1)2＝274， AB ＝(1－5)2＋(5－1)2＝4 2故BC ＝AC ，△ABC 为等腰三角形．3．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．2B ．4C ．5D ．17解析：选D 根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17. 4．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝⎛⎭⎫22，0，则AB 的最小值为( ) A ．3B ．13C ．2D ．12 解析：选D ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫x －222＋()2－x －02＝2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12. 5．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点是(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－23B ．23C ．32D ．－32解析：选A 设P (a,1)，Q (x 0，y 0)，由于P Q 中点是(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 0＝2，1＋y 0＝－2，∴Q (2－a ，－3)，将其代入x －y －7＝0. 得a ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，∴k l ＝－3－14＋2＝－23. 6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________.解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝2 5.答案：2 57．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为________．解析：由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝08．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.答案：(2,10)或(－10,10)9．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 1的方程．解：由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 层级二 应试能力达标1．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．3＋2 3C ．6＋3 2D ．6＋10 解析：选C AB ＝(2＋1)2＋32＝32，BC ＝(2＋1)2＋0＝3，AC ＝(2－2)2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.2．已知点A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最大值的点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(1,0)解析：选B 点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B并延长交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的方程是y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13. 3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB 的值为( )A.895B.175C.135D.115 解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得AB ＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求一点P ，使点P 到A (2,3)的距离为13，则点P 的坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)解析：选C 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由PA ＝13，得(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋53－32＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1，1)或(5,5)．5．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得MA ＋MB 最短，则点M 的坐标是________．解析：如图：A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 的坐标为(1,0)．答案：(1,0)6．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．解析：点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－(－2)＝－1，整理得m ＋n ＝13. 答案：137．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．解：设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0.解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.8．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x ，0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得PA ＋PB 最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A ′B ，故PA ＋PB 的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得A ′B ＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二2.1.6 点到直线的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂 线段的长度夹在两条平行直 线间__________的长图示公式 (或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝__________ 两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝________一、填空题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为________． 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是________．3．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则OP 的最小值是________． 4．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则PQ 的最小值为________． 5．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是__________． 6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是__________．7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点：(1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P在直线上时，公式仍成立，点P到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x，y的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．2．1．6 点到直线的距离 答案知识梳理点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂 线段的长度夹在两条平行直 线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计 1．2解析 画图可得；也可用点到直线的距离公式． 2．2653．22解析 OP 最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．4．3解析 PQ 的最小值即为两平行线间的距离， d ＝|3＋12|5＝3．5．y ＝1或2x ＋y －1＝0 解析 ①所求直线平行于AB ， ∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1， 即2x ＋y －1＝0．②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)， ∴所求直线方程为y ＝1． 6．(0,5]解析 当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大， 此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0， ∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得， y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ， 由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0． (2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又BC ＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·BC ·d＝12×42×22＝8．12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴AD ＝2，BC ＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32， 得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。

课时跟踪检测（十九） 平面向量的坐标一、基本能力达标1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，则2a ＋b ＝ ( ) A ．(7,8) B ．(3,5) C ．(9,8)D ．(7,4)解析：选A 2a ＋b ＝2(4,3)＋(－1,2)＝(8－1,6＋2)＝(7,8)．2．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是 ( ) A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线解析：选C ∵b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，∴b －c ＝(3,3)，∴b －c ＝12a ，∴a 与b －c 共线．3．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则a ＝ ( ) A ．(－3,4) B ．(5，－12) C ．(1，－4)D ．(－4,8)解析：选A 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16). ②①＋②得2a ＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)， ∴a ＝(－3,4)．4．已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )．则m ＝ ( ) A ．2 B ．－2 C ．－3D ．3解析：选C 因为a ＋b ＝(2，m ＋1)， 所以－(m ＋1)＝2， 解得m ＝－3.5．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2) 解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，⎩⎪x ＋2y ＝4，⎩⎪y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．6．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则uuu rAB ＋2uuu r BC ＝________.解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，∴uuu rAB ＝(2,3)，uuu r BC ＝(－3,3)．∴uuu rAB ＋2uuu r BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，(a ＋λb )∥c ， ∴1＋λ3＝24，∴λ＝12. 答案：128．已知uuu r AB ＝(6,1)，uuu r BC ＝(x ，y )，uu u r CD ＝(－2，－3)，uuu r BC ∥uuu rDA ，则x ＋2y 的值为________．解析：∵uuu r AD ＝uuu r AB ＋uuur BC ＋uu u r CD ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3) ＝(x ＋4，y －2)， ∴uuu r DA ＝－uuu rAD ＝－(x ＋4，y －2) ＝(－x －4，－y ＋2)． ∵uuu r BC ∥uuu r DA ，∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0， 即x ＋2y ＝0. 答案：09．已知a ＝uuu rAB ，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝uuu rAB .又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )， 则uuu rAB ＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，⎩⎪0－y ＝10⎩⎪y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 为何值时，(ka ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向是相同还是相反？解：∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，∴ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)． 由题意得(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，(ka ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反．二、综合能力提升1．已知向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(0,2)，则12BC ―→＝( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D12BC ―→＝12(AC ―→－AB ―→)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥uuu rAB ，则实数λ的值为 ( ) A ．－23B. 32C. 23D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得uuu rAB ＝(3,1)，∵a ∥uuu r AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且uuu r PN ＝－2uuu rPM ，则P 点的坐标为 ( ) A ．(－14,16) B ．(22，－11) C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )，则uuu rPN ＝(10－x ，－2－y )，uuu rPM ＝(－2－x,7－y )，由uuu r PN ＝－2uuu r PM 得⎩⎪⎨⎪⎧10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．15°解析：选A 由a ∥b ，得－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，得sin θ＝±22，又θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，故选A. 5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1. 答案：－16．在△ABC 中，点P 在BC 上，且uu u r BP ＝2uuu r PC ，点Q 是AC 的中点，若uurPA ＝(4,3)，uuu r PQ ＝(1,5)，则uuu rBC ＝________.解析：uuu r PQ －uur PA ＝uuu r AQ ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q 是AC 的中点，所以uuu r AQ ＝uuu r QC ，所以uuu r PC ＝uuu r PQ ＋uuu r QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，因为uu u r BP ＝2uuu r PC ，所以uuu r BC ＝uu u r BP ＋uuu r PC ＝3uuu rPC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2) ＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)． (2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知向量uuu r AB ＝(4,3)，uuu rAD ＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )满足uu u r PB ＝λuuu rBD (λ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为uuu rAB ＝(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由uu u rPB ＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， uuu rBD ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)， 又uu u r PB ＝λuuu rBD (λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.。