高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案17 新人教A版必修2

2021年高中数学3.3直线的交点坐标与距离公式教学案新人教A 版必修2一、教学目标：1会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2掌握两点间距离公式并会应用.3学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法.4掌握点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，并能熟练运用公式. 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；点到直线的距离公式教学难点：推导两点间距离公式二、预习导学（一） 知识梳理1、两条直线的交点坐标直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=一般地，将两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的方程组联立，得到方程组若方程组有 ，则两条直线 ，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线 ，此时两条直线 。

2.两点间的距离公式：设是平面直角坐标系中的任意两个点，则=3.点到直线的距离为：4. 已知两条平行线直线 ：，：，则与的距离d=（二）预习交流求经过两条直线2＋－８＝0和－2＋1＝0的交点，且平行于直线４－3-7＝0的直线方程.三、问题引领，知识探究问题1：已知两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，如何求这两直线交点的坐标？练习内化1：判断下列两条直线的位置关系(1) 直线:与直线:(2) 直线:与直线:(3) 直线:与直线:变式1：求满足下列条件的直线方程。

(1) 经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且过点(1,0)的直线(2) 经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直.问题2：已知平面上两点，如何求的距离？练习内化2：已知点P 1(2，-1)和P 2(-3，2)，求｜P 1P 2｜变式2：已知点A(-1,2) 和B(2,) , 在x 轴上求一点P ，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.问题3：已知点，直线,如何求点P 到直线l 的距离？练习内化3：求点到直线的距离变式3：已知点，求的面积.四、目标检测1.求经过两条直线231003420x y x y -+=+-=和的交点且垂直于直线的直线方程。

直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标【教学目标】1.理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想；2.能正确地通过解方程组确定交点坐标；3.通过求交点坐标判断两条直线的位置【教学重点难点】对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标，过定点直线系的定点求法，对含字母参数解的讨论【学前准备】：多媒体，预习例题两点间的距离【教学目标】1．根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；2．会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系。

【教学重难点】两条直线的平行与垂直的判定方法1．根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点；2．会求平面内两点间的距离，及建立恰当的直角坐标系。

【学前准备】：多媒体，预习例题三.巩固练习（20分钟）已知两直0111=++ybxa线和0122=++ybxb的交点为P（2，3），求过两点),(),(2211baBbaA、的直线方程四．小结谈收获五.布置作业完成课后习题1．求两点12(3,5),(1,2)P P-间的距离；2．在X轴上有和原点及点（5，-3）等距离的点，求此点的坐标；3．已知A(5,-8),B(-3,6) 延长AB至点P点使|PB|=21|AB|,求P 点坐标；4．如果点A(x,4)与点B(0,-2)的距离是10个单位，求A的位置；5．求证以A(-6,8)、B(6,-8)、C(8,6)为顶点的三角形是等腰三角形；6．已知点P到两条坐标轴及点（3，6）距离相等，求点P的坐标；7．若)1,1(),3,2(BA--，点)2,(aP是AB的垂直平分线上一点，则=a___________；8．在平行四边形ABCD中，顶点A、B、C的坐标各为（-1，-1），（5，-1），（3，5）。

求顶点D的坐标；9．已知,x y满足221x y+=，求226825x y x y++-+的最大值和最小值；10．已知01,01x y<<<<，求证：,x y()()()()2222 2222111122 x y x y x y x y +++-+-++-+-≥，并求使等式成立的条件.参考答案：1．5，2．17,05⎛⎫⎪⎝⎭，3．解：设P （x,y ），利用P 在直线AB 上得x,y 的一个式子，再利用|PB|=21|AB|得x,y 的另一个式子，联解即可得713x y =-⎧⎨=⎩，即P （-7，13）。

直线的交点坐标与距离公式一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，学会通过直线方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，学会对直线进行代数研究，掌握简单的坐标法思想，学会用代数方法解决简单的几何问题，体会数形结合这种解析几何最核心的思想方法． （二）学习目标1．能用解方程组的方法求两直线交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 2．探索并掌握两点间的距离公式并会简单应用，了解坐标法处理几何问题的基本步骤． （三）学习重点1．利用解方程组的方法求两直线交点坐标，及过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的证明与应用． （四）学习难点1．掌握过两直线交点的直线系方程． 2．两点间距离公式的应用．3．解析几何问题中数形结合思想的应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第102页至第106页，填空：用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后 联立求解 ．联立两直线方程：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，则两条直线 相交 ，此解就是 交点 的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 平行 ；若方程组中两方程可以化为同一个方程，，此时两条直线 重合 ．平面上两点111222(,),(,)P x y P x y平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 平行四边形的四条边的平方和等于 两条对角线的平方和 ．用解析法处理平面几何问题的基本步骤可以概括为：2．预习自测1.直线12:0,:20l x y l x y -=+-=的交点坐标为（ ） A ．(0,1) B ．(1,0) C ． (1,1) D ．(1,1)-- 答案：C ．解析：【知识点】直线交点． 【解题过程】联立求解． 点拨：联立求解．2.直线12:10,:2220l x y l x y --=--=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．平 C ．重合 D ．不确定 答案：C ．解析：【知识点】直线位置关系． 【解题过程】直线方程相同，直线重合． 点拨：直线方程相同．3.两点(1,1),(3,4)-间的距离为（ ） A ．5 B ．C ．3D．答案：A ．解析：【知识点】两点间距离公式．【解题过程】利用两点间距离公式直接求解． 点拨：利用两点间距离公式直接求解． (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合联立直线方程，认清几何与代数间的联系，体验坐标法的思想★ ●活动① 认清二元一次方程组的解及其几何意义看下表，并填空：【设计意图】通过对二元一次方程组的认识，体会直线方程的解为直线上的点（坐标形式），所以两条直线方程所组成的方程组的解即为两条直线的交点坐标．●活动② 分类讨论，理清直线位置关系研究方程组：11122200A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî的解的个数，解的个数不同对应着直线的不同的位置关系．若方程组没有解，说明两条直线没有交点，则这两条直线平行； 若方程组有唯一解，说明两条直线有唯一交点，则这两条直线相交；若方程组无数解，此时两个方程为同一方程，则这两条直线为同一直线，则这两条直线重合． 【设计意图】分类讨论，从方程的角度再次清楚认识直线间关系．●活动③拓展直线交点问题，研究过已知两直线交点的直线系方程判断直线12:3420,:220l x y l x y +-=++=的位置关系． 两条直线相交，交点为(2,2)-．拓展：当l 变化时，方程342(22)0x y x y l +-+++=表示什么图形？该图形有何特点？ 表示直线，且过定点(2,2)-． 该直线有可能恰好是12,l l 吗？ 可以表示1l ，不能表示2l ． 那你可以得到更一般的结论么？结论：若直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=相交，交点为P ，则过点P 的直线系为：111222()0A x B y C A x B y C l +++++=（2l 除外）．【设计意图】由特殊到一般，认识过定点的直线的方程的共有形式． 探究二 初步认识坐标法，探索两点间距离公式 ●活动① 从特殊到一般、分类讨论研究两点间距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离：（1）若12||PP x 轴（即12y y =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？ 1212PP x x =-．（2）若12PP y 轴（即12x x =时），两点12,P P 间的距离为多少呢？1212PP y y =-．（3）那一般情况下，两点12,P P 间的距离为多少呢？过12,P P 两点，分别做x 轴，y 轴的垂线，得到垂线的交点为,A B ，则为矩形12P AP B 的对角线，矩形的边长分别为1212,x x y y --，由勾股定理，所以；（4）点(,)P x y 到原点的距离为d ．【设计意图】通过从特殊到一般，不仅要掌握两点间距离公式的一般形式，还应掌握一些特殊形式．●活动② 温故知新，体会向量方法在解析几何中的应用呢？（讨论） （向量方法）122121(,)PP x x y y =--(PP x =【设计意图】初步体会向量方法在解析几何中的应用．探究三 平面几何问题坐标化，利用数形结合处理平面几何问题★▲ ●活动① 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．为将此问题进行坐标化处理，应该如何建立坐标系呢？又该如何处理各点的坐标呢？建立如图所示的坐标系，利用平行四边形的性质设出各点坐标，则四边平方和为222222222()AB AD a b c +=++，由两点间距离公式，得对角线的平方和为222222()()AC BD a b c a b c +=+++-+，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【设计意图】对两点间距离公式进行简单应用，体会坐标法给证明带来的简洁思路，并让学生体会解析法处理平面几何问题的一般步骤． ●活动② 互动交流、一问多解在向量的学习中，我们学习过平行四边形法则，是否可以用向量方法完成活动①中的证明呢？由平行四边形法则可知AB AD AC +=，平方2222AB AD AB AD AC ++=，AB AD DB -=，平方2222AB AD AB AD DB +-=，将两式相加可得，222222AB AD DB AC +=+，进而命题得证．【设计意图】通过一问多解，拓展学生思维，体会向量方法在平几问题中的强大作用，达到温故而知新的目的． 探究四 师生共研，巩固提升●活动① 巩固基础，检查反馈例1 已知三条直线280,4310,210ax y x y x y ++=+=-=交于一点，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．-2【知识点】联立方程组求直线交点． 【数学思想】【解题过程】联立4310210x y x y ì+=ïí-=ïî得交点为(4,2)-，代入280ax y ++=，解得1a =-．【思路点拨】方程组的解即为交点坐标．【答案】B ．同类训练 对任意的实数l ，直线2(22)0y x y l -+++=恒过定点 ． 【知识点】恒过已知两直线交点的直线系． 【数学思想】方程的观点处理几何问题．【解题过程】联立20220y x y ì-=ïí++=ïî，可得定点(2,2)-．【思路点拨】用方程的观点处理直线过定点问题． 【答案】(2,2)-．例2 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程为（ ） A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=【知识点】直线方程的综合应用． 【数学思想】整体处理．【解题过程】法一、联立直线方程可得交点坐标为(1,6)，所求直线方程可设为20x y m ++=，将(1,6)代入可得8m =-；法二、将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，直线斜率221k λλ+=-=+，可得43λ=-，代入化简直线方程为280x y +-=． 【思路点拨】可先整体处理设直线方程可规避解方程组．【答案】A ．同类训练 求经过直线240,50x y x y -+=-+=的交点，且过原点的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．60x y +=D ．60x y -=【知识点】过两直线交点的直线系方程． 【数学思想】整体处理．【解题过程】将直线方程设为24(5)0x y x y l -++-+=，将原点坐标代入，可得45λ=-，代入化简直线方程为60x y -=． 【思路点拨】整体设置直线方程． 【答案】C ．【设计意图】巩固训练．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知两点(1,1),A B -（2,3），在x 轴上求一点P ，（1）使得PB PA +最小； （2）使得PB PA -最大． 【知识点】对称点的坐标的求解，三角形的基本性质，两点间距离公式． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,1)A -关于x 轴的对称点为'(1,1)A --，连接'A B ，在三角形'A BP 中，三边基本关系，''PA PB A B +≥,即'PA PB A B +≥，（当三点',,A P B 共线时取等），所以PB PA +的5=，此时P 的坐标为1(,0)4P -；连接BA 并延长x 轴交于点0P ，在三角形ABP 中，三边基本关系，PB PA AB -≤,（当三点,,A P B共线时取等），所以PB PA -的最大值为=，此时P 的坐标为( 2.5,0)P -．【思路点拨】通过对称将距离的最值问题转化为共线问题，再利用两点间距离公式求得最值． 【答案】（1）1(,0)4P -；（2）( 2.5,0)P -．同类训练 已知两点(1,0),(1,3)A B -，在直线y x =上求一点P ，使得PB PA +最小，并求出此时的坐标P ．，11(,)33P ．解析：【知识点】对称点的求解，两点间距离公式，两点间直线距离最短原理． 【数学思想】数形结合．【解题过程】点(1,0)A -关于直线y x =的对称点为'(0,1)A -，，当三点'A PB 共线时取得，此时直线'A B 的方程为41y x =-，联立41y x y x =-⎧⎨=⎩，可得11(,)33P ．点拨：利用对称转化为两点间距离的问题．【设计意图】直线交点与两点间距离公式的综合应用． 3. 课堂总结 知识梳理（1）联立两直线方程：1112220A x B y C A x B y C ì++=ïí++=ïî，若方程组有唯一解，此解就是交点的坐标；（2）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ．（3）平面上点(,)P x y 到原点(0,0) 重难点归纳（1）将平面几何问题坐标化，并能用本课所学处理简单的平几问题． （2）在求解距离和最值的问题上，要注意利用对称变换将问题进行转化．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线3y x =+与直线2y x =的交点坐标为_________. 答案：(3,6)．解析：【知识点】直线的交点坐标． 【数学思想】方程的思想【解题过程】联立方程解方程组得(3,6)． 点拨：联立方程．2．两点(2,3),(1,)a 间距离的最小值为_______. 答案：1．解析：【知识点】两点间距离公式． 【数学思想】函数思想【解题过程】2222(21)(3)(3)1d a a =-+-=-+，所以距离的最小值为1． 点拨：求二次函数的最值．3．点,A B 分别在坐标轴上，若AB 的中点坐标为(1,1)答案：解析：【知识点】中点坐标公式与两点间距离公式． 【数学思想】方程思想．【解题过程】设(,0),(0,)A x B y ，则1,122x y==，所以(2,0),(0,2)A B ，可得AB =． 点拨：利用中点坐标公式求出,A B 坐标，再利用距离公式求解．4．若两条直线2,y x y x m =-=-+的交点在第一象限，则实数m 的取值范围为_______． 答案：2m >．解析：【知识点】直线交点． 【数学思想】方程思想．【解题过程】联立方程，直线的交点坐标为22(,)22m m+-，在第一象限2222mm+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得2m>．点拨：联立方程求交点．5．已知平行四边形ABCD的两组对边分别长1,2，若对角线3AC=，则BD=________．答案：1．解析：【知识点】平行四边形四边长与对角线长关系．【解题过程】有平行四边形性质可得222222112210AC BD+=+++=，所以1BD=．点拨：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．6．已知三条直线2380,10,0x y x y x ky++=--=+=交于一点，则k=________．答案：12k=-．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想．【解题过程】联立238010x yx y++=⎧⎨--=⎩可得交点为(1,2)--，代入0x ky+=，可得12k=-．点拨：联立解方程然后代入求解．能力型师生共研7．()f x=）A．1 B．2C．D．4答案：C．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】数形结合．【解题过程】()f x=，所以()f x的几何意义为(,0)x到点(1,1),(1,1)--的距离之和，由数形结合可得()f x=．点拨：将问题转化为几何问题，利用两点间直线距离最短求得．8．点(cos ,sin ),(1,2)θθ之间距离的最小值为_______．1-．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】函数思想．【解题过程】d ===所以d 的最小值为1d ==-．点拨：将问题转化为三角函数的最值问题．探究型 多维突破9．求过直线20,60x y x y -=+-=的交点且与直线3x y =垂直的直线方程．答案：310y x =-+．解析：【知识点】直线交点．【数学思想】方程思想，待定系数．【解题过程】由于直线与直线3x y =垂直，所以它的斜率为3-，法一，直线20,60x y x y -=+-=的交点为(2,4)，由点斜式可得43(2)y x -=--，即310y x =-+；法二，设所求直线方程为2(6)0x y x y λ-++-=，它的斜率为231k λλ+==--，解得52λ=，代入化简得310y x =-+．点拨：可考虑整体设置方程，待定系数求解． 10．已知平行四边形的两条边所在直线方程为10,340x y x y +-=-+=，且它的对角线的交点是(3,3)M ，求这个平行四边形的其他两边所在直线的方程．答案：:3160BC x y --=，:110CD x y +-=．解析：【知识点】直线交点，直线方程．【数学思想】方程思想．【解题过程】如图，联立10,340x y x y +-=-+=，求得37(,)44A -，又由M 为AC 中点，由中点坐标公式解得2717(,)44C ，由平行关系可得1727:3()44BC y x -=-，化简得:3160BC x y --=，同理，可解得:110CD x y +-=．点拨：结合平行关系，利用斜率相等和交点求解．自助餐1．已知点(,5),(0,10)A a B -间的距离为17，则a 的值为_______．答案：8a =．解析：【知识点】两点间距离公式．17=，解得8a =．点拨：列式求解．2．经过两条直线30,230x y x y -+=+-=的交点，且过原点的直线方程为________． 答案：20x y +=．解析：【知识点】过两直线交点的直线系．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程3(23)0x y x y λ-+++-=，将原点坐标代入得1λ=，所求直线方程为20x y +=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．3.经过两条直线23100,3420x y x y -+=+-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为________．答案：2320x y +-=．解析：【知识点】直线间位置关系，直线交点．【数学思想】待定系数．【解题过程】设所求直线方程2310(342)0x y x y λ-+++-=，化简(23)(43)+10x λλ++- 20λ-=，由垂直关系可得3(23)2(43)0x λλ+--=，解得12λ=-，代入整理得直线2320x y +-=．点拨：整体设置直线，求解待定系数．4．点(1,1)P --到曲线1(0)xy x =>上任意一点距离的最小值为________．答案：解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】不等式思想．【解题过程】在曲线上任意取点1(,)x x ，则d ==≥1x =时取得．点拨：列式，利用均值不等式求最值．5．已知,a b 为单位向量，则a b a b -++的最大值为__________．答案：解析：【知识点】平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和．【数学思想】不等式．【解题过程】由向量的平行四边形法则和平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和可知224a b a b -++=，由不等式,2a b a b +>≥，可得a b a b -++的最大值为． 点拨：由平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和得到定值条件，再利用均值不等式求解．6．已知(0,1),(0,1)x y ∈∈，求证：≥． 答案：见解题过程．解析：【知识点】两点间距离公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】如图所示，(,)P x y 为正方形内任意一点，由根式的几何意义可知，，所以问题转化为求证2PO PA PC PB +++≥，在三角形POB OB上取得，同理，在三角形PAC AC 上取得，所以当P 在,OB AC 交点处11(,)22时，PO PA PC PB +++取得最小值，所以≥． 点拨：利用根式的几何意义将问题转化为几何最值求解．。

第一课时 3. 3-1两直线的交点坐标一、教学目标（一）知能目标：1。

直线和直线的交点2．二元一次方程组的解（二）情感目标：1。

通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

二、教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

三、教学过程：（一）课题导入用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？（二）探研新知分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。

（2）若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。

（3）若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？1．例题讲解，规范表示，解决问题例题1：求下列两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。

3。

1。

642-2-4-55yx教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。

同类练习：书本114页第1，2题。

例2 判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标。

（1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0 （2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0（3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

点到直线的距离公式一、教学目标(一)知识教学点点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．(二)能力训练点培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．(三)知识渗透点由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．二、教材分析1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．三、活动设计启发、思考，逐步推进，讲练结合．四、教学过程(一)提出问题已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．学生可能寻求到下面三种解法：方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离．方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法：方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS|方法5 过P作x轴的垂线交L于S∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)．思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．思考题4 求点P(2，1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36)．过P作直线的垂线，垂足为Q，过P作x轴的平行线交直线于R，(三)推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于R(x1，x1)(图1-37)．∵PR∥Ox，∴y1=y．代入直线l的方程可得：当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．∵α＜90°，∴|PQ|=|PR|sinα1这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．(四)例题例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．例3 正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程．解：正方形的边心距设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到C1=-5(舍去0)或C1=7．∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0．设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这解之有C2=-3或C2=9．∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．(五)课后小结(1)点到直线的距离公式及其证明方法．(2)两平行直线间的距离公式．五、布置作业1．(1．10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离：2．(1．10练习第2题)求下列点到直线的距离：3．(1．10练习第3题)求下列两条平行线的距离：(1)2x+3y-8=0， 2x+3y+18=0．(2)3x+4y=10， 3x+4y=0．解：x-y-6=0或x-y+2=0．5．正方形中心在C(-1，0)，一条边所在直线方程是3x-y二0，求其它三边所在的直线方程．解：此题是例3交换条件与结论后的题：x+3y-5=0， x+3y+7=0， 3x-y+9=0．六、板书设计。

直线的交点坐标与距离公式(第一课时)两条直线的交点坐标教学要求：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，会求两条相交直线的交点坐标.教学重点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.教学难点：理解两直线的交点与方程组的解之间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解?2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？二、讲授新课：1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系：① 讨论：直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？② 练习：完成书上P109的填表.③ 直线L 上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。

反之直线L 的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。

2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标① 讨论：点A （-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？点A （-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？② A 在L1上，所以A 点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A 在L2上，所以A 点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。

即A 的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组 3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解.③ 讨论：点A 和直线L1与L2有什么关系？为什么？④ 出示例1：求下列两条直线的交点坐标L1：3X+4Y-2=0L2：2X+Y+2=03．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？① 如何利用方程判断两直线的位置关系？② 两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。

因此，只要将两条直线L1和L2的方程联立，得方程组 111222A X+B Y+C =0A X+B Y+C =01．若方程组无解，则L1//L22.若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交3.若方程组有无数解，则L1与L2重合③ 出示例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。

直线的交点坐标与距离公式教案教案：直线的交点坐标与距离公式一、教学目标：1.理解直线的交点坐标与距离公式的概念和含义；2.掌握利用直线的方程求交点坐标的方法；3.掌握利用直线的方程求点到直线的距离的方法；4.运用所学知识解决实际问题。

二、教学准备：1.教师准备相应的教学材料和习题；2.准备黑板和白板。

三、教学过程：步骤一：导入新知1.引入直线的概念，并复习直线的方程；2.提出问题：两条直线的交点坐标和点到直线的距离可以通过什么公式来求解？步骤二：学习直线的交点坐标公式1.引导学生思考两直线相交时，交点坐标存在哪些特点；2.引入直线的方程，并通过示意图说明两直线相交时，所对应的方程组；3.讲解如何通过解方程组，求解两直线的交点坐标；4.指导学生进行练习，加深对交点坐标公式的理解。

步骤三：学习点到直线的距离公式1.引导学生思考点到直线的距离与直线的方程之间的关系；2.引入点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，则点到直线的距离公式为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)；3.通过示意图和具体例子，讲解点到直线的距离公式的意义和应用；4.指导学生进行练习，加深对点到直线的距离公式的理解。

步骤四：综合练习与解决实际问题1.设计一些综合性的问题，要求学生综合运用直线的交点坐标公式和点到直线的距离公式；2.指导学生通过已知条件，列出方程组或距离公式，并解答问题；3.分组或个人展示解题过程和结果，互相交流。

四、教学评价：1.教师观察学生对于直线的交点坐标与距离公式的理解程度和运用能力；2.学生完成的作业和解答实际问题的能力；3.学生对于教学内容的理解与反馈。

五、教学拓展：1.强化练习：提供更多的题目，让学生进行反复练习；2.拓展教学：引入向量的概念，讲解向量表示直线的交点坐标和点到直线的距离。

点到直线的距离教学目标：掌握点到直线的距离公式的推导和应用 教学重点：掌握点到直线的距离公式的推导和应用 教学过程：一、 复习：平面内两条直线的平行、相交、重合、垂直的判定？二、推导：（以下材料谨供参考）已知点 ),,(00y x P 直线 ),0,0(,0:≠≠=++B A C By Ax l 求点P 到直线 l 的距离。

（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、（定义法）根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线 l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 l l ⊥'可知 'l 的斜率为B'l ∴的方程： )(00x x A By y -=-与 l 联立方程组解得交点Q ),(2200222002B A BCABx y A B A AC ABy x B +--+--=2||PQ 20220022022002)()(y B A BC ABx y A x B A AC ABy x B -+--+-+--＝ 222002222002)()(B A BC ABx y B B A AC ABy x A +---++---＝ 22220022002)()()(B A C By Ax B C By Ax A ++++++＝ 22200)(B A C By Ax +++2200||||B A C By Ax PQ +++=∴二、（函数法）点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 l 的距离。

在 l 上取任意点 ),,(y x Q 用两点的距离公式有 20202)()(||y y x x PQ -+-=为了利用条件 0=++C By Ax 上式变形一下，配凑系数处理得：])())[((202022y y x x B A -+-+＝ 2022********)()()()(x x B y y A y y B x x A -+-+-+-＝ 200200)]()([)]()([x x B y y A y y B x x A ---+-+-200)]()([y y B x x A -+-≥＝200)(C By Ax ++ )0(=++C By Ax22002020||)()(B A C By Ax y y x x +++≥-+-∴当且仅当 0)()(00=---x x B y y A 时取等号所以最小值就是2200||B A C By Ax d +++=三、（转化法）设直线 l 的倾斜角为 ,α过点Py l 于),(y x 显然 01xx =所以B C Ax y +-=01||||||0000B CBy Ax B C Ax y PM ++=++=∴易得∠MPQ ＝ α（图2）或∠MPQ ＝ α-︒180（图3）在两种情况下都有 2222B A tg MPQ tg ==∠α所以 222||11cos B A B tg MPQ +=+=∠α22002200||||||cos ||||B A C By Ax B A B B C By Ax MPQ PM PQ +++=+⋅++=∠=∴四、（三角形法）过点P 作PM ∥ y 轴，交 l 于M 轴，交 l 于N （图4）由解法三知||||00B C By Ax PM ++=同理得 ||||00A C By Ax PN ++=在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高220022||||||||||||B A C By Ax PN PM PN PM PQ +++=+⋅=∴五、（参数方程法）过点P ),(00y x 作直线 ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos :'00t y y t x x l 交直线 l 于点Q 。

3.3直线的交点坐标与距离公式【知识要点】1. a. 两直线的交点：11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩,求解这个方程组。

b. 两点间距离公式：22122121||()()PP x x y y =-+- 2. a. 点到直线的距离公式：点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）的距离d=0022||Ax By C A B +++b. 平行线间的距离：两条平行线112212:0,:0()l Ax by C l Ax By C C C ++=++=≠，则两平行线间的距离d=1222||C C A B -+3. 对称问题：a. 已知点关于点的对称点：(,)P x y ''关于点Q 00(,)x y 的对称点为00(2,2)x x y y ''--b. 点关于直线的对称点：设P 00(,)x y ，:0l Ax By C ++=22(0)A B +≠,若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则Q 的坐标 0000()1022y y A x x B x x y y A B C -⎧∙-=-⎪-⎪⎨++⎪∙+∙+=⎪⎩ c. 直线关于点的对称直线：设l 的方程为：0Ax By C ++=22(0)A B +≠和点P 00(,)x y ，则l 关于点P 的对称直线为：0Ax By C '''++=d. 直线关于直线的对称的直线：求直线a 关于直线l 的对称直线b ，由平面几何知，若直线a ，b 关于直线l 对称，它有以下性质：若点A 在直线a 上，那么点A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这是AB l ⊥，且AB 中点D 在l 上4. 对称问题的应用（求最大值和最小值）【知识应用】1. 方法：a. 求两直线交点坐标，就是求解方程组，若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无穷个解，则两直线重合；当有交点时，方程组的解就是交点坐标。