2018年高考数学二轮复习练习(江苏) 预测试题(三)Word版 含答案

3个附加题综合仿真练(一)1.本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD ⊥AB 于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：∠OBP ＝∠CQP .证明：连结OA ，因为OD ⊥AB ，OA ＝OB ， 所以∠BOD ＝∠AOD ＝12∠AOB ，又∠ACB ＝12∠AOB ，所以∠ACB ＝∠DOB ，又因为∠BOP ＝180°－∠DOB ，∠QCP ＝180°－∠ACB ， 所以∠BOP ＝∠QCP ， 所以B ，O ，C ，Q 四点共圆， 所以∠OBP ＝∠CQP . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B . 解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2113＝2×3－1×1＝5,所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35 －15－15 25， 又AC ＝B ，所以C ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3545－15－35. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程． 解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点， 所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ，又因为点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4在圆C 上， 所以32＝a cos π4，解得a ＝6.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4的直角坐标为(3,3)， 因为圆C 过点(0,0)，(3,3)， 所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都是正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到， 所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z. 2．口袋中装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3.第一次从口袋中任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2)求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．解：(1)依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6. 因为P (ξ＝2)＝3×382＝964； P (ξ＝3)＝2×3×382＝932； P (ξ＝4)＝3×3＋2×3×282＝2164；P (ξ＝5)＝2×3×282＝316； P (ξ＝6)＝2×28＝116. 所以当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P (ξ＝4)＝2164.(2)由(1)知E (ξ)＝2×964＋3×932＋4×2164＋5×316＋6×116＝154，所以随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝154. 3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线．解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )． 因为T (3,0)，所以OP ―→＝(x ，y )，ST ―→＝(4，－y )． 因为OP ―→·ST ―→＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x . 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM ―→＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ ―→＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM ―→与NQ ―→共线．3个附加题综合仿真练(二)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E .求证：AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线. 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形， 所以∠DAE ＝∠BCD ，∠FAE ＝∠BAC ＝∠BDC . 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ， 所以∠DAE ＝∠FAE ，所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线． B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值． 解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6， 令f (λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ， 得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ，即x －y ＋m ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0， 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－－＋m |2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64. 证明：因为x 为正数，所以2＋x ≥22x . 同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z .所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz . 因为xyz ＝8，所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64.2.在平面直角坐标系xOy 中，点F (1,0)，直线x ＝－1与动直线y ＝n 的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y ＝n 的交点为P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：∠AMB 的大小为定值．解：(1)因为直线y ＝n 与x ＝－1垂直，所以MP 为点P 到直线x ＝－1的距离． 连结PF (图略)，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点，所以MP ＝PF . 所以点P 的轨迹是抛物线． 焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 所以曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由题意，过点M (－1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y －n ＝k (x ＋1)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4k ＋4n ＝0，所以Δ1＝16－4k (4k ＋4n )＝0，即k 2＋kn －1＝0 (*)，因为Δ2＝n 2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k 1，k 2， 因为k 1·k 2＝－1，所以∠AMB ＝90°，为定值．3．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n .(1)求A 2； (2)设A n ＝n n n －f n2，求f (n )．解：(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈{0,1}，a 1∈{0,1}，a 2＝1， 故满足条件的x 共有4个，分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A 2＝22. (2)由题意得，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法，由分步计数原理可得a 0，a 1，a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n(n －1)， 即满足条件的x 共有n n(n －1)个，当a 0分别取0,1,2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法， 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)＝n n n －22；同理，A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)nn －1(n －1)·n ＝n n n －22·n ； A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n n －22·n 2；A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n n －22·nn －1；当a n 分别取i ＝1,2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法， 故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1n －2·n n.所以A n ＝n n n －22(1＋n ＋n 2＋…＋nn －1)＋n n ＋1n －2·n n＝n n n －22·n n －1n －1＋n n ＋1n －2·n n＝n n n －2(nn ＋1＋n n－1)，故f (n )＝nn ＋1＋n n－1.3个附加题综合仿真练(三)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的中点，过C 作圆O 的割线CED (E 在C ，D 之间)．求证：∠CBE ＝∠BDE .证明：因为CA 为圆O 的切线， 所以CA 2＝CE ·CD ，又CA ＝CB ， 所以CB 2＝CE ·CD ， 即CB CE ＝CD CB， 又∠BCD ＝∠BCD ， 所以△BCE ∽△DCB ， 所以∠CBE ＝∠BDE .B ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R.若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b －a －1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b －a －1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ，由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上， ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0， 即26x ＋by －91＝0， ∵点P 在ax ＋y －7＝0上， ∴26a ＝b 1＝－91－7， 解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ.若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值．解：由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝a ，得32ρcos θ－12ρsin θ＝a ， 故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0，由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，若直线l 与圆C 只有一个公共点，则圆心C 到直线l 的距离等于半径，故d ＝|－2－2a |2＝2，解得a ＝1或a ＝－3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a>a b. 证明：∵b a>0，a b>0，∴要证b a>a b， 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a，构造函数f (x )＝ln xx，x ∈(e ，＋∞)．则f ′(x )＝1－ln xx 2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的， 所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )， 即ln b b >ln a a，故b a >a b得证．2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望． 解：(1)记“X 是奇数”为事件A ， 能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28，所以P (A )＝2848＝712.故X 是奇数的概率为712.(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X ＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成， 所以P (X ＝3)＝448＝112； 当X ＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成， 所以P (X ＝4)＝448＝112； 当X ＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成， 所以P (X ＝5)＝848＝16； 当X ＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成， 所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成， 所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成， 所以P (X ＝8)＝648＝18； 当X ＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成， 所以P (X ＝9)＝648＝18. 所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×112＋4×12＋5×6＋6×24＋7×24＋8×8＋9×8＝4.3．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knm m ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)m m ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1m m ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1m m ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！n ＋m ！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.3个附加题综合仿真练(四)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB ＝AC ，BC 交圆O于点D ，过D 作圆O 的切线交AC 于点E .求证：DE ⊥AC . 解：如图，连结OD .因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C . 由圆O 知OB ＝OD ， 所以∠B ＝∠BDO .从而∠BDO ＝∠C ，所以OD ∥AC . 又DE 为圆O 的切线，所以DE ⊥OD ， 所以DE ⊥AC .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R. (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y .因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12 0 14 .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ， 即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. D ．[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )>2的解集； (2)若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )>2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x ＋1－x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤2，2x ＋1＋x －2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1＋x －2>2，解得x <－5或x ＞1，所以所求不等式的解集为{x |x <－5或x >1}．(2)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >2，3x －1，－12≤x ≤2，－x －3，x <－12，可得f (x )≥－52，若∀x ∈R ，f (x )≥t 2－112t 恒成立，则t 2－112t ≤－52，即2t 2－11t ＋5≤0，解得12≤t ≤5. 故实数t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5. 2.如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3.D 是线段BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1­A 1D ­C 1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC，AA1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0，3)，C 1(0,4,3)， 因为D 是BC 的中点，所以D (1，2,0)， (1)因为A 1C 1――→＝(0,4,0)，A 1D ―→＝(1,2，－3)， 设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1――→＝0，n 1·A 1D ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝0，z 1＝1，所以平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而DB 1―→＝(1，－2,3)，设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n 1，DB 1―→〉|＝|n 1·DB 1―→||n 1|·|DB 1―→|＝|3＋3|10×14＝33535，所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535.(2) A 1B 1――→＝(2,0,0)，DB 1―→＝(1，－2,3)， 设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B 1――→＝0，n 2·DB 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，所以平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝210×13＝13065，故结合图象知二面角B 1­A 1D ­C 1的余弦值13065. 3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．3个附加题综合仿真练(五)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于点M ，求证：AM ＝DM .证明：连结AD ，因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ， 又DE ⊥AB ，所以∠ABD ＝∠ADE .因为D 是弧AC 的中点， 所以∠DAC ＝∠ABD ， 所以∠ADE ＝∠DAC . 所以AM ＝DM .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.②由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n (n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2. 则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2. 法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫92－122＋－2＝4 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x ) ＝3x ＋6＋14－x＝3×x ＋2＋1×14－x ， 由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在四棱锥O ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小；(2)求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值． 解：作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0， O (0,0,2)，M (0,0,1)．(1)设直线AB 与MD 所成角为θ，由AB ―→＝(1,0,0)，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－1，则cos θ＝|cos 〈AB ―→，BD ―→〉|＝222＝12，故AB 与MD 所成角为60°.(2)OP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2，OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2，设平面OCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP ―→＝0，n ·OD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0,4，2).易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，cos 〈n ，m 〉＝432×1＝223，故平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值为223.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n) ，B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n . (1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0. (2)A n ≥B n ，证明如下： 当n ＝1时，A 1＝B 1； 当n ≥3时，A n ＝1n ＋1·a n ＋1－b n ＋1a －b，B n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n ，令a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，且x >0，y >0，于是A n ＝1n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2n ＋1y＝12n ＋1n ＋y[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]，B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n，因为[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]＝(2C 1n ＋1x ny ＋2C 3n ＋1·xn －2y 3＋…)≥2C 1n ＋1x ny ，所以A n ≥12n ＋1n ＋y·2C 1n ＋1x ny ＝x n 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n＝B n .3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .证明：(1)因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .(2)由(1)知，△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝AC AB， 即AC 2＝AP ·AB .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切， 所以d ＝|2|1＋k2＝1，得到k ＝±3，故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3. D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.2.已知正六棱锥S ­ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )． 解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有C 37＝35种取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ， 这类三角形共有6个． 因此P (X ＝3)＝635.(2)由题意，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个； 其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个； 其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个； 其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个． 因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为：所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835.3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n . (1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．21 ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k k ＋a k ＋12＞2. 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立. (2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)． 两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1， 故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1n －n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n <34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)， 而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34.。

2018 届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1． 已知集合 U1，0 ，1，2 ，3 ，A1，0 ，2，则 e U A ▲ ．2． 已知复数 z 1a i ，z 2 3 4 i ，其中 i 为虚数单位．若z 1为纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ ．z 23． 某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40 ，100 上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于 60 分的人数为▲ ．开始频率S ←1组距i ← 1i ← i???1S ←S × 5i?< 4Y405060 70 80 90100 成绩 /分N输出 S（第 3 题）4． 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值为 ▲ ．结 束（第 4 题）5． 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，以线段 AC ， BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm 2 的概率为▲ ．6． 在 △ ABC 中，已知 AB1，AC2 ，B 45 ，则 BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 2y 2 x 1 有公共的渐近线，且经过3点 P 2 ， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点 A (1 ，2 ) ， B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为 ▲ ．9． 设等比数列a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列，且 a 8 3 ，则 a 5 的值为▲ ．10． 已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( ab ) ，则 a bc 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ， 11． 在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3 ≥ 0 ， 表示的平面x3 y 3 ≥ 0区域内，则面积最大的为▲ ．e x1 ， x0 ，3 个不同的零点，12． 设函数 f (x)2（其中 e 为自然对数的底数）有 x 3 3mx2 ，x ≤ 0则实数 m 的取值范围是▲ ．13． 在平面四边形 ABCD 中，已知 AB1 ，BC4 ，CD 2，DAuuur uuur3 ，则 AC BD 的值为 ▲ ． 14． 已知 a 为常数，函数 f ( x)x的最小值为223 ，则 a 的所有值为 ▲ ．a x 1 x2二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 acos ，sin ， b sin ， cos ，c1， 3．22（1）若 a b c ，求 sin () 的值；（2）设5πa //b c6 ， 0π，且 ，求 的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1 中， AB ??AC ，点 E ， F 分别在棱 BB 1?， CC 1 上（均异 于端点） ，且∠ ABE ?∠ ACF ， AE ⊥ BB 1 1 ．A C， AF ⊥ CC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BB 1C 1C ；B F（2） BCBl 1 yA EB 1A 1l 2C C 1QB 1 Ox（第 18 题）P（第 16 题）22B 2x 2 y 2 1( a b 0 ) y x 3 4 2 QB 1PB 1 ， QB 2PB 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 1 x xa b（第 17 题）q 1 ，d 0 c i a i b ic 1 ，c 2 ，c 3 a 1 1 q2 c 1 ，c 2 ，c3 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c4 f ( x ) x a sin x( a 0 ) yf ( x ) a1，g ( x )f ( x ) b ln x1 ( b R ，b0 )24b 2g ( x ) g ( x ) x 0 ，g ( x )0 x 0 ， g ( x 0 ) 0 g( x 1 ) g( x 2 ) ( x 1x 2 ) x 1 x 2开始B频率S←1A 组距i ←E 1OD（第 22 题）←i???1i C（第 21— A 题）S←S× 5i?< 4Y40 50 60 70 80 90 100 成绩 /分N（第 3 题）输出 S结束（第 4 题）DB DC OD 2OA212 M 1 0N 2 01A( 0，0 ) ，B( 3 ，0 ) ，C( 2 ，2 ) T T0201TT2P2，3l sin32P X600X E Xn(1 x ) 2n 1a0a1 x a2 x2a2 n 1 x2 n 1n N * T n( 2k 1) a n k T2 T n n N* T nk04n 2U 1 ，0，1，2 ，3 ，A1，0 ，2 e U A 1 ，3z1a i ，z2 3 4 i i z1440 ，100S z23△ ABC AB 1 ，AC 2 ，B45BC26 xOy C x y21P 2 ， 3C2234 3， A (1 ，2 ) B (5 ，1)tan()9a n S n S3，S9，S6 a83a567x ≤ 3 ，a ，b ，c abc4( a b )a b c C x3y 3 ≥ 0 ，(x224 1)y1 ，x3y 3 ≥ 0e x0 ，xf ( x)x32 e m1，ABCD AB1，BC4，CD 2 ，DA3uuur uuur3mx 2 ，x ≤ 0a f ( x)x2a 4，12+3C m1m m 1xOyAC BDa x 2234 1xa cos，sinb sin， cosc 1 ，3a b c sin ()225π0π a // b c a cos，sin b sin， cos 6c 1 ，3a b c1 a b cos sin sin cos sin ()22a bca 2 c 21 2sin () 11 sin ()15πb26a3 ，1 b csin1，cos3 a // bc22223 cos3 1 sin 11 sin 3 cos 1 sinπ 1222 2222 32ππ π 2ππ ππ 3 3 33 62a b cos sin sin cos sin ( ) a 2 ??2 a b ??b 2 ??1， 每个 2 分，没有先后 序。

2018年江苏高考预测试题(二)(对应学生用书第133页)(限时：120分钟)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ni ＝1 (x i －x )2，其中x ＝1n ni ＝1x i . 棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝________.{x |－1≤x ≤3} [由x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. ∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B ＝{x |1＜x ≤3}， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3}．]2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．25 [z ＝－3＋4ii－i ＝3i ＋4－i ＝4＋2i ，则|z |＝|4＋2i|＝42＋22＝2 5.]3．表中是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为________.数据 [12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5]频数213419.7 [根据题意，样本容量为10，利用组中值近似计算本组数据的平均数x ， 则x ＝110×(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.]4．若双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________.【导学号：56394121】4 [∵双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)， ∴2＋4m ＝1，即4m ＝－1，m ＝－14，则双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果S 是________．17 [执行程序，有i ＝1； 满足条件i ＜6，i ＝3，S ＝9； 满足条件i ＜6，i ＝5，S ＝13； 满足条件i ＜6，i ＝7，S ＝17， 不满足条件i ＜6，输出S 的值为17.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13[设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12， ∴利用五点作图法可得φ＝π6.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k 7，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B －ACC 1D 的体积为________．图223 [取AC 的中点O ，连接BO ，则BO ⊥AC ， ∴BO ⊥平面ACC 1D ，∵AB ＝2，∴BO ＝3， ∵D 为棱AA 1的中点，AA 1＝4， ∴SACC 1D ＝12(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥B －ACC 1D 的体积为2 3.]9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大， BD 的斜率最小，此时最小值为1， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 此时AD 的斜率k ＝32＋11＝52，即1≤y ＋1x ≤52，故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n＝3n＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n＝3n＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1q b 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1(q ′)2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3， ∴a 3b 3＝a 1q 2b 1(q ′)2＝9.] 11．已知平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°，∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (x,0)，0≤x ≤2，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当x ＝32时，有最小值，最小值为－14. 当x ＝0时，有最大值，最大值为2， 则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363[设椭圆的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF 1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12，|BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即e ＝c a ＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB →取得最大值时，ba 的值为________.【导学号：56394122】2＋3 [∵C ＝π3，∴B ＝2π3－A ， 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝232＝43，∴b ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2cos A ＋23sin A ，∴AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A ＝4cos 2A ＋23sin 2A＝2＋2cos 2A ＋23sin 2A ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2A ＋32cos 2A ＋2＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2，∵A ＋B ＝2π3，∴0＜A ＜2π3，∴当2A ＋π3＝π2即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值， 此时，B ＝2π3－π12＝7π12，∴sin A ＝sin π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝32×22－12×22＝6－24，sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝32×22＋12×22＝6＋24.∴b a ＝sin Bsin A ＝6＋26－2＝2＋ 3.]14．对于实数a ，b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(x －4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4) [由题意得，f (x )＝(x －4) ⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧ 0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)如图4，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.图4(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．[解] (1)在△AOB 中，由余弦定理得：AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB ， 所以，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝12＋12－⎝⎛⎭⎪⎫25522×1×1＝35，即cos β＝35.6分(2)因为cos β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513， 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3365，5665.14分16．(本小题满分14分)在平面四边形ABCD (图5①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图5②所示的三棱锥C ′－ABD .① ②图5(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′－ABD 的高．[解] (1)证明：当C ′D ＝2时，取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt △ABC ′，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1，∵C ′D ＝2，∴C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ， 由∠BAC ＝45°得△ABC ′为等腰直角三角形， ∴C ′O ⊥AB ，又AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， ∴C ′O ⊥平面ABD ，∵C ′O ⊂平面ABC ′， ∴平面C ′AB ⊥平面DAB .6分(2)由已知可求得AD ＝3，AC ′＝BC ′＝2，BD ＝1，当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′，得AC ′⊥平面BDC ′，∵C ′D ⊂平面BDC ′，∴AC ′⊥C ′D ，由勾股定理，得C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1， 而△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2， ∴C ′D 2＋BD 2＝BC ′2，∴C ′D ⊥BD . ∴S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′－ABD 的体积V ＝13·S △BDC ′·AC ′＝13×12×2＝26. S △ABD ＝12×1×3＝32，设三棱锥C ′－ABD 的高为h ，则由13×32×h ＝26，解得h ＝63.14分17．(本小题满分14分)如图6，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图7，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C －D －E －F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13＜t ＜2.图6 图7(1)用t 表示线段EF 的长； (2)求修建参观线路的最低费用．[解] (1)设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ ⊥DE ， 以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴， 建立平面直角坐标系xOy .设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH ⊥OF ，垂足为H .∵EH ＝OG ，∠OFG ＝∠EFH ，∠GOF ＝∠HEF ， ∴Rt △EHF ≌Rt △OGF ，∴HF ＝FG ＝EF －12t . ∴EF 2＝1＋HF 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫EF －12t 2， 解得EF ＝t 4＋1t(0＜t ＜2).6分(2)设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当0＜t ≤13，由y ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32t ＋2t .y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2t 2＜0， 可得y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递减，∴t ＝13时，y 取得最小值为32.5.②当13＜t ＜2时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝12t ＋16t －32－2t 2.y ′＝12－16t 2＋4t 3＝4(t －1)(3t 2＋3t －1)t 3.∵13＜t ＜2，∴3t 2＋3t －1＞0.∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，y ′＜0，函数y 此时单调递减；t ∈(1,2)时，y ′＞0，函数y 此时单调递增．∴t ＝1时，函数y 取得最小值24.5.由①②知，t ＝1时，函数y 取得最小值为24.5. 即修建该参观线路的最低费用为24.5万元.14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论.【导学号：56394123】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ab c＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 4分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23， 即k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x .联立⎩⎨⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A ⎝⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0. 10分因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎝⎛⎭⎪⎫3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上. 19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以数列{a n }是等差数列． 设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n .6分(2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2. 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3. 由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列， 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3，当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3. 于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3， a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3， …a 3－a 2＝－2×2＋3， a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)， 所以a n ＝－2×n (n －1)2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f (x )＜－43e x在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )极值点的个数． [解] (1)由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)＝－13(x －2)2，记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0， 所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).6分(2)由题意，可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f (x )只有一个极值点或有三个极值点．令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且仅有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即g (x )为单调递增函数或者g (x )极值同号.10分(ⅰ)当g (x )为单调递增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]，同理，g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0， 化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0， 所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0， 所以0≤a ＜1.所以，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点， 当a ＜0时，f (x )有三个极值点.16分数学Ⅱ(附加题)21．[选做题](本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图8A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图8，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C .若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC . [证明] 连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°，AB ＝2OB .因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO ＝90°. 又因为DA ＝DC ，所以∠A ＝∠C ， 于是△ADB ≌△CDO ，从而AB ＝CO ， 即2OB ＝OB ＋BC ，得OB ＝BC . 故AB ＝2BC .10分B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值． [解] (1)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，这里a ，b ，c ，d ∈R ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，由于矩阵M 对应的变换将点(－1,2)换成(－2,4)． 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故矩阵M 的另一个特征值为2.10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． [解] 将l 转化为直角坐标方程为x ＋3y ＋4＝0.在C 上任取一点A (6cos α，2sin α) ，α∈[0,2π)，则点A 到直线l 的距离为d ＝6cos α＋6sin α＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋42＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋42.当α＝π4时，d 取得最大值，最大值为2＋ 3.10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．[证明] 由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得 (a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得 (a －b )[(a )5－(b )5]＞0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).10分[必做题](第22题、第23题，每题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22．(本小题满分10分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 是边长为2的等边三角形，PC ＝13，M 在PC 上，且P A ∥平面BDM .图9(1)求直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值； (2)求平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小．[解] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为正三角形，作AD 边上的高PO ， ∵平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，由面面垂直的性质定理，得PO ⊥平面ABCD ， 又ABCD 是矩形，同理可得CD ⊥平面P AD ，知CD ⊥PD ， ∵PC ＝13，PD ＝2，∴CD ＝3.以AD 中点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则P (0,0，3)，A (1,0,0)，B (1,3,0)，C (－1,3,0)， D (－1,0,0)，PC →＝(－1,3，－3)，连接AC 交BD 于点N ，由P A ∥平面MBD ，平面APC ∩平面MBD ＝MN ， ∴MN ∥P A ，又N 是AC 的中点，∴M 是PC 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，5分设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， BD →＝(－2，－3,0)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，则⎩⎨⎧－2x －3y ＝0x 2＋3y 2＋32z ＝0，令x ＝1，解得y ＝－23，z ＝13，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－23，33.(1)设PC 与平面BDM 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n |PC →|·|n |＝31313， ∴直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为31313.(2)平面P AD 的法向量为向量CD →＝(0，－3,0)，设平面BDM 与平面P AD 所成的锐二面角为φ，则cos φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →|·|n |＝12， 故平面BDM 与平面P AD 所成锐二面角的大小为π3.10分23．(本小题满分10分)已知F n (x )＝nk ＝0[(－1)k C k n f k (x )](n ∈N *)．(1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值； (2)若f k (x )＝xx ＋k (x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). 【导学号：56394124】[解] (1)F n (x )＝nk ＝0[(－1)k C k n f k (x )]＝nk ＝0[(－x )k C kn ]＝(1－x )n ，∴F 2 015(2)＝－1. 2分(2)证明：①n ＝1时，左边＝1－x x ＋1＝1x ＋1＝右边． ②假设n ＝m 时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )， 有mk ＝0 (－1)k C k mxx ＋k ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )， 那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))，有m ＋1k ＝0 (－1)k C k m ＋1x x ＋k ＝1＋mk ＝1 (－1)k [C k m ＋C k －1m ]x x ＋k ＋(－1)m ＋1x x ＋m ＋1＝mk＝0(－1)k C k mxx＋k＋m＋1k＝1(－1)k C k－1mxx＋k＝mk＝0(－1)k C k m·xx＋k－⎝⎛⎭⎪⎫mk＝0(－1)k C k mx＋1x＋1＋k·xx＋1＝m！(x＋1)(x＋2)…(x＋m)－m！(x＋2)(x＋3)…(x＋1＋m)·xx＋1＝m！[(x＋m＋1)－x](x＋1)(x＋2)…(x＋m)(x＋m＋1)＝(m＋1)！(x＋1)(x＋2)…(x＋m＋1).即n＝m＋1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x≠0，－1，…，－n)，有nk＝0(－1)k C k nxx＋k＝n！(x＋1)(x＋2)…(x＋n). 10分。

江苏六市2018届高三第二次调研测试数学I 参考答案及评分建议一、填空题：1．{}13， 2．43 3．30 4．125 5．13 6 7． 8．97 9．6- 10．811．22(1)4x y -+= 12．()1+∞， 13．10 14．14，二、解答题：15．（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()1=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． …… 3分 因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2 + 2 a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-． …… 6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．故()1sin cos 2ββ+=--，b c ． … 8分因为()//+a b c ，所以)()11cos sin 0ββ---=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=． … 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=． …… 14分16．（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．… 2分 又AE ⊥BB 1，AEAF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ． … 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ，所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ．所以BE = CF ． … 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC // EF ． … 11分 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC // 平面AEF ． … 14分17．设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+． …… 4分 因为10PB x =，所以2269a a=+，解得218a =．所以椭圆的标准方程为221189y x +=． …… 6分 （2）方法一：直线PB 1的斜率为1003PB y k -=，由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033xy x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+． …… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=． … 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以012x x =-． …… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==． …… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．… 8分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-．所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-． …… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+． …… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S x k S x kk ∆∆-+===+． …… 14分 18．（1）设所得圆柱的半径为r dm ， 则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分解得r …… 6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，， ……11分记函数3004()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，，则()p x 在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减， 所以当x =max ()p x =所以当x =a=max V = dm 3． … 14分 方法二： 202ax a≤≤，从而a ……11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a==≤≤．所以当a =x =max V = dm 3． … 14分答：（1dm ；（2）当x 为 …… 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，x =2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤()p x V =≤的最多得5分，其它类似解答参照给分．19．（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+． … 2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列． …… 4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，… 6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．… 8分（3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，， …… 10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥ …… 12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠．由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． … 14分 代入①得10b =． 再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列． …… 16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c ==． …… 10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a ad a a da a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． …… 12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． …… 14分 这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． …… 16分 20．（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤． … 3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x'=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0b b g '-=---<，不合题意，所以0b >． … 5分 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． …… 8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-． … 10分 因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-． ……12分下面证明2121ln ln x x x x --1ln t t ->()ln 0t <*．设()()ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b - 即2124x x b <． ……16分学II 参考答案及评分建议21．A ．延长AO 交⊙O 于点E ， 则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．…… 5分 因为OE OA =， 所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=． …… 10分B ．依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …… 5分 则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=． …… 10分C ．以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()1． …… 2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=． …… 5分所以()1P 到直线l 40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=． …… 8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+． …… 10分D ．因为a ，b ，c 为正实数，=2a c b c +++=2=（当且仅当a b c ==取“=”）． …… 10分22．（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形．则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===． …… 3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：…… 8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． …… 10分23．由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=； …… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+- ()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021n n n k k T k a -==+∑ ()2121Cnn k n k k -+==+∑ ()121021C nn kn k k +++==+∑()()12102121C nn kn k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 212n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除． …… 10分。

3个附加题综合仿真练(三)1、本题包括A 、B 、C 、D 四个小题,请任选二个作答 A 、[选修4－1：几何证明选讲]如图,AB 为圆O 的切线,A 为切点,C 为线段AB 的中点,过C 作圆O的割线CED (E 在C ,D 之间)、求证：∠CBE ＝∠BDE 、 证明：因为CA 为圆O 的切线, 所以CA 2＝CE ·CD ,又CA ＝CB , 所以CB 2＝CE ·CD , 即CB CE ＝CD CB , 又∠BCD ＝∠BCD , 所以△BCE ∽△DCB , 所以∠CBE ＝∠BDE 、 B 、[选修4－2：矩阵与变换]设a ,b ∈R 、若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下,得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0、求实数a ,b 的值、解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7),N (1,7－a ),由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ,⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1,可知点M (0,7),N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b ),N ′(3,b (7－a )－1),由题意可知：M ′,N ′在直线9x ＋y －91＝0上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13，∴实数a ,b 的值分别为2,13、法二：设直线l 上任意一点P (x ,y ),点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′,y ′),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ， 由Q (x ′,y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上, ∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0, 即26x ＋by －91＝0, ∵点P 在ax ＋y －7＝0上, ∴26a ＝b 1＝－91－7,解得a ＝2,b ＝13、∴实数a ,b 的值分别为2,13、 C 、[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中,直线l 和圆C 的极坐标方程分别为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a (a ∈R)和ρ＝4sin θ、若直线l 与圆C 有且只有一个公共点,求a 的值、解：由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝a ,得32ρcos θ－12ρsin θ＝a , 故化为直角坐标方程为3x －y －2a ＝0, 由圆C 的极坐标方程ρ＝4sin θ,得ρ2＝4ρsin θ, 化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4,若直线l 与圆C 只有一个公共点,则圆心C 到直线l 的距离等于半径,故d ＝|－2－2a |2＝2,解得a ＝1或a ＝－3、 D 、[选修4－5：不等式选讲]已知a ,b ∈R,a >b >e(其中e 是自然对数的底数),求证：b a >a b 、 证明：∵b a >0,a b >0,∴要证b a >a b , 只要证a ln b >b ln a, 只要证ln b b >ln a a ,构造函数f (x )＝ln xx ,x ∈(e,＋∞)、则f ′(x )＝1－ln xx 2,x ∈(e,＋∞),f ′(x )<0在区间(e,＋∞)上恒成立,所以函数f (x )在x ∈(e,＋∞)上是单调递减的, 所以当a >b >e 时,有f (b )>f (a ), 即ln b b >ln aa ,故b a >a b 得证、2、从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记X 为所组成三位数的各位数字之和、(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望、 解：(1)记“X 是奇数”为事件A , 能组成的三位数的个数是4×4×3＝48、X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28,所以P (A )＝2848＝712、故X 是奇数的概率为712、(2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9、当X ＝3时,组成的三位数是由0,1,2三个数字组成, 所以P (X ＝3)＝448＝112；当X ＝4时,组成的三位数是由0,1,3三个数字组成, 所以P (X ＝4)＝448＝112；当X ＝5时,组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成, 所以P (X ＝5)＝848＝16；当X ＝6时,组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成, 所以P (X ＝6)＝1048＝524；当X ＝7时,组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成, 所以P (X ＝7)＝1048＝524；当X ＝8时,组成的三位数是由1,3,4三个数字组成, 所以P (X ＝8)＝648＝18；当X ＝9时,组成的三位数是由2,3,4三个数字组成, 所以P (X ＝9)＝648＝18、所以X 的概率分布为：故E (X )＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254、 3、设P (n ,m )＝∑k ＝0n(－1)k C knm m ＋k,Q (n ,m )＝C n n ＋m ,其中m ,n ∈N *、 (1)当m ＝1时,求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *,证明：P (n ,m )·Q (n ,m )恒为定值、 解：(1)当m ＝1时,P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)kC k n11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1, 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1,显然P (n,1)·Q (n,1)＝1、 (2)证明：P (n ,m )＝∑k ＝0n(－1)k C k nmm ＋k ＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)m m ＋k ＋(－1)n m m ＋n ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)kC k n －1m m ＋k ＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1m m ＋k＝P (n －1,m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1,m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k nmm ＋k＝P(n－1,m)－mn P(n,m)即P(n,m)＝nm＋nP(n－1,m),由累乘,易求得P(n,m)＝n！m！(n＋m)！P(0,m)＝1C n n＋m,又Q(n,m)＝C n n＋m,所以P(n,m)·Q(n,m)＝1、。

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。

6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)． 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求AB DF的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． ①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以AB DF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k2， 所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2. 因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k2，所以AB DF＝4.综上，得AB DF的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则AB DF＝4； ②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以x 1－x 2x 04＋y 1－y 2y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1.因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)， 同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以AB DF＝4. 综上，得AB DF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12m －x 1－12mx 2＋m m －x 1－x 2＝14x 1x 2－12m x 1＋x 2＋12x 1＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12m －x 2＋m m －x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 0＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝k 2＋2k 2＋k 2＋.令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)， 故S ＝t 2t －t ＋＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0， 所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1my 2－y 2my 1＋＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3， 同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ] ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝1＋k216k 2－483＋4k 2＋2k 2－tk －s －16k23＋4k2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k＋s 2＋t 2＋4s －5. ∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1．矩阵与变换1．(2017²常州期末)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，列向量X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤47，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X . 解 由A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，得到A －1＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2⎣⎡⎦⎤47＝⎣⎡⎦⎤12.也可由AX ＝B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤47，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以X ＝⎣⎡⎦⎤12.2．(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 123．(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. 4．已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y. 2．坐标系与参数方程1．(2017²南通一模)在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解 方法一 在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.2．(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2.3．(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，(其中θ为参数)．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值． 解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4．(2017²常州期末)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解 圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx(x ≥0，k ＞0)．圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－(k －3)21＋k 2＝23，解得k ＝33. 即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.3．曲线与方程、抛物线1．(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.2．(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．3．(2017²江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P 满足AP →²AF →＝2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N.问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2,0)， 由AP →²AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0， 由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)， 又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017²江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1，y 1)(y 1＞0)，B(x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →²TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l ⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA →²TB →＝0，与TA →²TB →＝1矛盾， 所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，② 因为TA →²TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.4．空间向量与立体几何1．(2017²苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →²PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z)是平面PCB 的法向量，则m ²PC →＝0，m ²CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ²PC →＝0，n ²CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m||n|＝523³22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017²常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求ha的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B(a ，a,0)，C(－a ，a,0)，D(－a ，－a,0)，V(0,0，h)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549， 解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)． 设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →＝0，n 1²CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1||n 2|＝0³(－3)＋3³0＋2³213³13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017²南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ， 不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)． 因为E 是PC 的中点，所以E(0,1,1)， 所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)， 所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →²BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)． 设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)， 从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →＝0，m ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量， 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →＝0，n ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量． 因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63， 即|cos 〈m ，n 〉|＝|m²n ||m||n|＝|4λ－1|3²(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017²苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)． 又因为M 为PC 的中点，所以M(1,1,2)． 所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)， 所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →²BM →|AP →||BM →|＝0³(－1)＋0³1＋4³24³6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →＝0，m ²PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →²m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2²5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.5．离散型随机变量的概率分布1．(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33³3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)＝5³13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望． 解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝34³23³12＋34³13³12＋14³23³12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34³23³12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝P(A B C )＝14³13³12＝124，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)＝0³124＋1³14＋2³1124＋3³14＝2312.3．(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥． 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25，P(A 2)＝35³13³25＝225，P(A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X ＝1)＝25＋35³23＝45，P(X ＝2)＝225＋35³13³35³23＝425，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)＝1³45＋2³425＋3³125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24个基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 13³3243＝2764，P(X ＝2)＝C 23³343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以E(X)＝0³2764＋1³2764＋2³964＋3³164＝34.方法二 甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3，所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)＝3³14＝34.6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1. (1)解 (1＋x)2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x)n －1(1＋x)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x)n －1(1＋x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明 当k ∈N *时，kC kn ＝k²n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n²(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝nC k －1n －1，所以(C 1n)2＋2(C 2n)2＋…＋n(C n n)2＝∑k ＝1n[k(C k n )2]＝k ＝1n (kC k n C kn )＝k ＝1n (nC k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1，即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.2．(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A(0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． (1)解 因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明 方法一 设k 1＝2p(p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p.所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1. 因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n. 同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m(m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1x n ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2.设命题p(n)：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p(n)是真命题；②假设当n ＝m(m ∈N *)时，p(n)是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p(n)均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n²n！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3³2n －2＝cos 2π3³2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12， 又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2， 当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3， 猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立， 即a k ＜1－2k²k！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k²k！2＝1－1k²k！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)²(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k²k！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1－1k²k！＜1－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1k²k！－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，即证明(k －1)2k (k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2， 当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x)＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k)n ＋…＋(－1)n C n n (x －n)n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1)试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论． 解 (1)f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2)猜测f n (x)＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x)＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即 f m (x)＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k)m＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1²(x－k)m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，kC k m ＋1＝(m ＋1)²C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m －k ＝0m ＋1(－1)k kC km ＋1(x －k)m＝x k ＝0m (－1)k C k m(x －k)m＋x ∑k ＝1m ＋1²(－1)k Ck －1m(x －k)m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1²(－1)k C k －1m (x －k)m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ²[(x－1)－k]m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)²m!＝(m＋1)²m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有f n(x)＝n！.。

1．5【解析】分析：利用集合的包含关系，推出m是A的元素，求解即可.解析：集合，，若，可得，.故答案为：5点睛：对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．点睛：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．3．22【解析】分析：由频率分布直方图先求出用电量落在区间内的频率，由此能求出用电量落在区间内的户数.解析：由频率分布直方图得：用电量落在区间内的频率为：1-（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）50=0.22，用电量落在区间内的户数为：1000.22=22.故答案为：22.点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.4．【解析】试题分析：从四个数中任取两个数共有六种可能,其中一个数是另一个的两倍的可能只有一种,所以其概率为,即概率是.考点：列举法、古典型概率公式及运用.5．7【解析】分析：直接利用程序框图的循环结构求出结果.解析：在执行循环前：k=1，S=1.执行第一次循环时： S=1，k=3.执行第二次循环时： S=3，k=5.执行第三次循环时：S=15，k=7.由于S>10，输出k=7.故答案为：7.点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．6．【解析】分析：离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程.渐近线方程为.故答案为：.点睛：区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中，而在双曲线中.7．【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可.解析：画出可行域，如图所示：点睛：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．8．-81【解析】分析：利用与的关系式求出的通项公式即可得到答案.解析：，当时，，当时，，即，是以首项为-3，公比为3的等比数列...故答案为：-81.点睛：强调与的关系.9．【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．10．120°【解析】分析：先设与的夹角为，根据题意，易得，将其代入中易得，进而由数量积的运算，可得的值，从而可得答案.解析：设与的夹角为，，则，，.，。

年江苏高考预测试题(二)(对应学生用书第页)(限时：分钟)参考公式样本数据，，…，的方差＝(－)，其中＝.棱柱的体积＝，其中是棱柱的底面积，是高．棱锥的体积＝，其中是棱锥的底面积，是高．数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．请把答案填写在题中横线上) ．已知集合＝{－－≤}，集合＝{＜≤}，则∪＝.{－≤≤}[由－－≤，解得－≤≤.∴＝{－≤≤}，又集合＝{＜≤}，∴∪＝{－≤≤}．]．设复数满足(＋)＝－＋(为虚数单位)，则的模为．[＝－＝＋－＝＋，则＝＋＝＝.]．表中是一个容量为的样本数据分组后的频率分布，若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为.[则＝×(×＋×＋×＋×)＝.]．若双曲线＋＝过点(－，)，则该双曲线的虚轴长为.【导学号：】[∵双曲线＋＝过点(－，)，∴＋＝，即＝－，＝－，则双曲线的标准方程为－＝，则＝，即双曲线的虚轴长＝.]．根据如下所示的伪代码，可知输出的结果是．[执行程序，有＝；满足条件＜，＝，＝；满足条件＜，＝，＝；满足条件＜，＝，＝，不满足条件＜，输出的值为.]．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为．[设一、二等奖各用，表示，另张无奖用表示，甲、乙两人各抽取张的基本事件有，，，，，共个，其中两人都中奖的有，，共个，故所求的概率＝＝.]．已知函数＝(ω＋φ)(＞，ω＞，φ＜π)的图象如图所示，则该函数的解析式是．图＝[由图知＝，＝(ω＋φ)，∵点()在函数的图象上，∴φ＝，解得φ＝，∴利用五点作图法可得φ＝.∵点在函数的图象上，∴＝，∴－ω＋＝π，∈，解得ω＝－，∈.∵ω＞，∴当＝时，ω＝，∴＝.]．如图，在正三棱柱－中，为棱的中点．若＝，＝，则四棱锥－的体积为．图[取的中点，连接，则⊥，∴⊥平面，∵＝，∴＝，∵为棱的中点，＝，∴＝(＋)×＝，∴四棱锥－的体积为.]．已知实数，满足(\\(＋－≤，－－≤，≥，))则的取值范围是．[作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点(，－)的斜率，由图象知，的斜率最大，的斜率最小，此时最小值为，由(\\(＝，＋－＝，))得(\\(＝，＝()，))即，此时的斜率＝＝，即≤≤，故的取值范围是.]．已知{}，{}均为等比数列，其前项和分别为，，若对任意的∈*，总有＝，则＝.[设{}，{}的公比分别为，′，∵＝，∴＝时，＝.＝时，＝.＝时，＝.∴－′＝′＋′－－＋＝，解得＝，′＝，∴＝＝.]．已知平行四边形中，∠＝°，＝，＝，点是线段上的一个动点，则·的取值范围是．[以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，作⊥，垂足为，∵∠＝°，＝，＝，∴∠＝°，∴＝，＝，∴，.∵点是线段上的一个动点，设点()，≤≤，∴＝，＝，∴·＝＋＝－，∴当＝时，有最小值，最小值为－.当＝时，有最大值，最大值为，则·的取值范围为.]．如图，已知椭圆＋＝(＞＞)上有一个点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足⊥，当∠＝时，椭圆的离心率为．图[设椭圆的左焦点为，连接，，由对称性及⊥可知，四边形是矩形，所以＝＝，所以在△中，＝，＝，由椭圆定义得＝，即＝＝＝＝.]．已知△三个内角，，的对应边分别为，，，且＝，＝.当·取得最大值时，的值为.【导学号：】＋[∵＝，∴＝－，由正弦定理得)＝)＝＝，∴＝＝＋，∴·＝＝＝＋＝＋＋＝＋(()) ))＋＝＋，∵＋＝，∴＜＜，∴当＋＝即＝时，·取得最大值，此时，＝－＝，∴＝＝＝×－×＝，＝＝×＋×＝.∴＝)＝＝＋.]．对于实数，，定义运算“”：＝(\\(－，≤，－，＞.))设()＝(－)，若关于的方程()－＝(∈)恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是．(－)∪()[由题意得，()＝(－)＝(\\(－()＋，≥，,()－，＜，))画出函数()的大致图象如图所示．因为关于的方程()－＝(∈)，即()＝±(∈)恰有四个互不相等的实数根，所以两直线＝±(∈)与曲线＝()共有四个不同的交点，则(\\(＋＞，＜－＜))或(\\(＜＋＜，－＜))或(\\(＋＝，－＝，))得＜＜或－＜＜.]二、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) ．(本小题满分分)如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点.以为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点，＝.图()求β的值；()若点的横坐标为，求点的坐标．[解]()在△中，由余弦定理得：＝＋－·∠，所以，∠＝＝＝，即β＝.分()因为β＝，β∈，∴β＝＝＝.因为点的横坐标为，由三角函数定义可得，α＝，因为α为锐角，所以α＝＝＝.所以(α＋β)＝αβ－αβ＝×－×＝－，(α＋β)＝αβ＋αβ＝×＋×＝，即点.分．(本小题满分分)在平面四边形(图①)中，△与△均为直角三角形且有公共斜边，设＝，∠＝°，∠＝°，将△沿折起，构成如图②所示的三棱锥′－.①②图()当′＝时，求证：平面′⊥平面；()当′⊥时，求三棱锥′－的高．[解]()证明：当′＝时，取的中点，连接′，，在△′，△中，＝，则′＝＝，∵′＝，∴′＋＝′，即′⊥，由∠＝°得△′为等腰直角三角形，∴′⊥，又∩＝，，⊂平面，∴′⊥平面，∵′⊂平面′，∴平面′⊥平面分()由已知可求得＝，′＝′＝，＝，当′⊥时，由已知′⊥′，得′⊥平面′，∵′⊂平面′，∴′⊥′，由勾股定理，得′＝＝＝，而△′中，＝，′＝，∴′＋＝′，∴′⊥.＝××＝.∴△′·′＝××＝.三棱锥′－的体积＝·△′＝××＝，△设三棱锥′－的高为，则由××＝，解得＝.分．(本小题满分分)如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米．为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路－－－，且，，均与半圆相切，四边形是等腰梯形，设＝百米，记修建每百米参观线路的费用为()万元，经测算()＝(\\(，＜≤()，－()，()＜＜.))图图()用表示线段的长；()求修建参观线路的最低费用．[解]()设与半圆相切于点，则由四边形是等腰梯形知，⊥，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设与圆切于点，连接，过点作⊥，垂足为.∵＝，∠＝∠，∠＝∠，∴△≌△，∴＝＝－.∴＝＋＝＋，解得＝＋(＜＜)分()设修建该参观线路的费用为万元．①当＜≤，由＝＝′＝＜，可得在上单调递减，∴＝时，取得最小值为.②当＜＜时，＝＝＋－－.′＝－＋＝.∵＜＜，∴＋－＞.∴∈时，′＜，函数此时单调递减；∈()时，′＞，函数此时单调递增．∴＝时，函数取得最小值.由①②知，＝时，函数取得最小值为.即修建该参观线路的最低费用为万元分．(本小题满分分)在平面直角坐标系中，设椭圆＋＝(＞＞)的离心率是，定义直线＝±为椭圆的“类准线”，已知椭圆的“类准线”方程为＝±，长轴长为.()求椭圆的方程；()点在椭圆的“类准线”上(但不在轴上)，过点作圆：＋＝的切线，过点且垂直于的直线与交于点，问点是否在椭圆上？证明你的结论.【导学号：】[解]()由题意知(\\(()＝()，＝，))又＝＋，解得＝，＝，所以椭圆的方程为＋＝分()点在椭圆上．证明如下：设切点为(，)，≠，则＋＝，切线的方程为＋－＝，当＝时，＝，即，即＝＝，所以＝，直线的方程为＝.联立(\\(＝(－())，＋－＝，))解得错误!即分因为＋＝＝＝，所以点的坐标满足椭圆的方程．当＝－时，同理可得点的坐标满足椭圆的方程，所以点在椭圆上分．(本小题满分分)已知数列{}满足＋＝＋＋＋(∈*，∈)，且＝，＋＝－.()若＝，求数列{}的前项和；()若＝－，求数列{}的通项公式.[解]()当＝时，＋＝＋＋，即＋－＋＝＋－，所以数列{}是等差数列．设数列{}的公差为，则(\\(＝，＋＝－，))解得(\\(＝，＝－()，))所以＝＋＝＋×＝－＋分()由题意，＝＋＋，即－＝－＋，所以＝.又＝－－＝－－，所以＝.由＋＝＋＋＋，得(＋－＋)－(＋－)＝－，所以，数列{＋－}是以－＝为首项，－为公差的等差数列，所以＋－＝－＋，当≥时，有－－＝－(－)＋.于是，－－－＝－(－)＋，－－－＝－(－)＋，…－＝－×＋，－＝－×＋，叠加得，－＝－(＋＋…＋(－))＋(－)(≥)，所以＝－×＋(－)＋＝－＋－(≥)．又当＝时，＝也适合．所以数列{}的通项公式为＝－＋－，∈*.分．(本小题满分分)已知函数()＝，其中∈，为自然对数的底数．()关于的不等式()＜－在(－∞，)上恒成立，求的取值范围；()讨论函数()极值点的个数．[解]()由()＜－，得＜－，即－＋(＋)－－＜对任意∈(－∞，)恒成立，即(－)＞－＋－对任意∈(－∞，)恒成立，因为＜，所以＞＝－(－)，记()＝－(－)，因为()在(－∞，)上单调递增，且()＝，所以≥，即的取值范围为[，＋∞)分()由题意，可得′()＝，可知()只有一个极值点或有三个极值点．令()＝－＋－，①若()有且仅有一个极值点，则函数()的图象必穿过轴且只穿过一次，即()为单调递增函数或者()极值同号分(ⅰ)当()为单调递增函数时，′()＝－＋≥在上恒成立，得≥.(ⅱ)当()极值同号时，设，为极值点，则()·()≥，由′()＝－＋＝有解，得＜，且－＋＝，－＋＝，所以＋＝，＝，所以()＝－＋－＝(－)－＋－＝－(－)－＋－＝[(－)－]，同理，()＝[(－)－]，所以()()＝[(－)－]·[(－)－]≥，化简得(－)－(－)(＋)＋≥，所以(－)－(－)＋≥，即≥，所以≤＜.所以，当≥时，()有且仅有一个极值点；②若()有三个极值点，则函数()的图象必穿过轴且穿过三次，同理可得＜.综上，当≥时，()有且仅有一个极值点，当＜时，()有三个极值点分数学Ⅱ(附加题)．[选做题](本题包括、、、四小题，请选定其中两小题．．相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．，并在答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图．[选修－：几何证明选讲](本小题满分分)如图，是圆的直径，为圆上一点，过作圆的切线交的延长线于点.若＝，求证：＝.[证明]连接，.因为是圆的直径，所以∠＝°，＝.因为是圆的切线，所以∠＝°.又因为＝，所以∠＝∠，于是△≌△，从而＝，即＝＋，得＝.故＝分．[选修－：矩阵与变换](本小题满分分)已知二阶矩阵有特征值λ＝及对应的一个特征向量＝，并且矩阵对应的变换将点(－)变换成(－)．()求矩阵；()求矩阵的另一个特征值．[解]()设矩阵＝，这里，，，∈，则＝＝，故(\\(＋＝，＋＝，))由于矩阵对应的变换将点(－)换成(－)．则))＝，故(\\(－＋＝－，,－＋＝，))联立以上两方程组解得＝，＝，＝，＝，故＝)).()由()知，矩阵的特征多项式为(λ)＝(λ－)(λ－)－＝λ－λ＋，故矩阵的另一个特征值为.分．[选修－：坐标系与参数方程](本小题满分分)在平面直角坐标系中，曲线：(\\(＝() α，＝() α))(α为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ( θ＋θ)＋＝，求曲线上的点到直线的最大距离．[解]将转化为直角坐标方程为＋＋＝.在上任取一点( α，α) ，α∈[π)，则点到直线的距离为＝α＋() α＋)＝＝.当α＝时，取得最大值，最大值为＋分．[选修－：不等式选讲](本小题满分分)已知实数，是非负实数，求证：＋≥(＋)．[证明]由，是非负实数，作差得＋－(＋)＝(－)＋(－)＝(－)[()－()]．当≥时，≥，从而()≥()，得(－)[()－()]≥；当＜时，＜，从而()＜()，得(－)[()－()]＞.所以＋≥(＋)分[必做题](第题、第题，每题分，共分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(本小题满分分)如图，在四棱锥－中，底面是矩形，面⊥底面，且△是边长为的等边三角形，＝，在上，且∥平面.图()求直线与平面所成角的正弦值；()求平面与平面所成锐二面角的大小．[解]∵平面⊥平面，△为正三角形，作边上的高，∵平面∩平面＝，由面面垂直的性质定理，得⊥平面，又是矩形，同理可得⊥平面，知⊥，∵＝，＝，∴＝.以中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系，则(，)，()，()，(－)，(－)，＝(－，－)，连接交于点，由∥平面，平面∩平面＝，∴∥，又是的中点，∴是的中点，则，分设平面的法向量为＝(，，)，＝(－，－)，＝，则错误!，令＝，解得＝－，＝，得＝.()设与平面所成的角为θ，则θ＝＝，∴直线与平面所成角的正弦值为.()平面的法向量为向量＝(，－)，设平面与平面所成的锐二面角为φ，则φ＝＝，故平面与平面所成锐二面角的大小为分．(本小题满分分)已知()＝[(－)()](∈*)．()若()＝，求()的值；()若()＝(∉{，－，…，－})，求证：()＝.【导学号：】[解]()()＝[(－)()]＝[(－)]＝(－)，∴()＝－分()证明：①＝时，左边＝－＝＝右边．②假设＝时，对一切实数(≠，－，…，－)，有(－)＝，那么，当＝＋时，对一切实数(≠，－，…，－(＋))，有(－)＝＋(－)[＋]＋(－)＋＝(－)＋(－)＝(－)·－(－(\()(＋＋＋)))·＝－·＝＝.即＝＋时，等式成立．故对一切正整数及一切实数(≠，－，…，－)，有(－)＝分。