初三数学培优竞赛精讲精练-第10讲 二次函数与二次方程

九年级数学二次函数与一元二次方程；实际问题与二次函数人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 二次函数与一元二次方程2. 实际问题与二次函数二、重点、难点：二次函数解析式的确定和二次函数的应用【典型例题】抛物线的解析式有三种形式：①一般式：2y ax bx c =++（a ≠0）；②顶点式：()2(0)y a x h k a =-+≠，（h ，k ）是顶点坐标；③交点式：()()12y a x x x x =-- （a ≠0），其中x 1，x 2是方程20ax bx c ++=的两个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。

（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：设二次函数的解析式为：()223y a x =++ 因为二次函数图像过点（1，0） 所以()20123a =++ 所以13a =-所以函数解析式为()21233y x =-++。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x ＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x ＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：设二次函数的解析式为：()()15y a x x =-+， 因为二次函数图像过点（－2，3）()()32125a =---+所以13a =-所以函数解析式为()()21145153333y x x x x =--+=--+。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x 轴的交点时，一般选用交点式。

但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x 轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x 轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。

一、基础知识（一）二次函数和一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：1.当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；2.当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；3.当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.拓展：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线bkx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.二、重难点分析本课教学重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·ac x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）. 本题教学难点：利用二次函数图象解决一元二次方程的解一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.典例精析：例1．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0【答案】D【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程例2.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程三、感悟中考1.（2013年杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程2.（2013年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【答案】102213-<<-a ．【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程四、专项训练。

一、基础知识（一）二次函数和一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：1.当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；2.当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；3.当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.拓展：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线bkx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.二、重难点分析本课教学重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·ac x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）. 本题教学难点：利用二次函数图象解决一元二次方程的解一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.典例精析：例1．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0【答案】D【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程例2.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程三、感悟中考1.（2013年杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程2.（2013年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【答案】102213-<<-a ．【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程四、专项训练。

专题10二次函数与一元二次方程考点1：分析方程的根；考点2：分析坐标轴交点。

1．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m ＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=32．又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．答案：B．2．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，如图：由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，答案：B．题型01方程的根3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=23x的图象如图所示，则方程ax2+（b−23）x+c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴−＞0．设方程ax2+（b−23）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=−K23=−+23，∵a＞0，∴23＞0，∴m+n＞0．答案：A．4．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11．答案：A．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣n的交点的横坐标在﹣5与﹣3之间和1与3之间，∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是﹣4和2，答案：B．6．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是x1＝﹣2，x2＝5．解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．答案：x1＝﹣2，x2＝5．7．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，则m的取值范围是0＜m＜4．解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有四个交点，因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），观察图象可知，两个函数图象有四交点时，0＜m＜4．答案：0＜m＜4．8．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是−94＜a＜﹣2．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞−94设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1＜−−32＜0，∴a＜−32，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴−94＜a＜﹣2，答案：−94＜a＜﹣2．9．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=−2=32．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m=52．10．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n 的值．（1）证明：由题意可得：Δ＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）＝1+25m 2﹣10m +20m＝25m 2+10m +1＝（5m +1）2≥0，故无论m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx 2+（1﹣5m ）x ﹣5＝0，（x ﹣5）（mx +1）＝0，解得：x 1=−1，x 2＝5，由|x 1﹣x 2|＝6，得|−1−5|＝6，解得：m ＝1或m =−111；（3）解：由（2）得，当m ＞0时，m ＝1，此时抛物线为y ＝x 2﹣4x ﹣5，其对称轴为：x ＝2，由题已知，P ，Q 关于x ＝2对称，∴rr 2=2，即2a ＝4﹣n ，∴4a 2﹣n 2+8n ＝（4﹣n ）2﹣n 2+8n ＝16．11．已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 与x 轴有两个交点A （﹣1，0），B （3，0），抛物线y ＝a （x ﹣h ﹣m ）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（）A ．5B ．﹣1C ．5或1D ．﹣5或﹣1解：∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 的对称轴为直线x ＝h ，抛物线y ＝a （x ﹣h ﹣m ）2+k 的对称轴为直线x ＝h +m ，∴当点A （﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m ＝4﹣（﹣1）＝5；当点B （3，0）平移后的对应点为（4，0），则m ＝4﹣3＝1，即m 的值为5或1．答案：C ．题型02坐标轴交点12．已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．154B．92C．132D．152解：令y＝0，则−16x2+32x+6＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∵C（0，6）∴OD＝4.5，OC＝6，当x＝0时，y＝6，∴OC＝6，∴CD==152．答案：D．13．经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（）A．10B．12C．13D．15解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，∴2−3r4rK12=−2×(−12)，Δ＝b2﹣4×（−12）×（﹣b2+2c）≥0，∴b＝c+1，b2≤4c，∴（c+1）2≤4c，∴（c﹣1）2≤0，∴c﹣1＝0，解得c＝1，∴b＝c+1＝2，∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|＝|4b+c﹣1﹣2+3b|＝|7b+c﹣3|＝|7×2+1﹣3||14+1﹣3|＝12，答案：B．14．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足△A1=△A2=△A3=m，则m的值是（）A．1B．32C．2D．4解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足△A1=△A2=△A3=m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m=12×2×2=2．答案：C．15．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0B．a＞0C．b2﹣4ac≥0D．x1＜x0＜x2解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．答案：A．16．抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．解：把点（1，0）代入抛物线y＝x2﹣4x+m中，得m＝3，所以，原方程为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．答案：（3，0）．17．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为1或−45．解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0（舍去）或m=−45，综上所述：m的值为1或−45．18．抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是﹣3．解：∵△ABC中AB边上的高正好为C点的纵坐标的绝对值，=12×1×|c|＝1，∴S△ABC解得|c|＝2．设方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，∵AB＝|x1﹣x2|=(1+2)2−412=(−p2−4=1，∴b2﹣4c＝1，∵c＝﹣2无意义，∴b2＝9，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，∴b的值是﹣3．19．已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？（1）证明：当y＝0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝m+3．当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴0=3+3=，解得：=−1=3，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．。

九年级数学竞赛题：二次方程与二次函数二次函数的一般形式是)0(2=/++=a c bx ax y ，令y =0，则得02=++c bx ax ，这是一个关于x 的二次方程．二次方程与二次函数有深刻的内在联系．这种联系表现在： “ 1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．2．抛物线与x 轴交点的个数由根的判别式△确定．（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为)0,(),0,(21x B x A ，则||4,,22121a ac b AB a c x x a b x x -==-=+． （2）当A=0时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点．（3）当△<0时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．3．较复杂的二次方程实根分布问题常转化为二次函数问题解决．例1（1）方程xx x 2252=-+-的正根的个数为______________． （2）已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为_____________．例2设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根x 1、x 2且x 1<1< x 2，那么a 的取值范围是（ ）．A 、5272<<-a B 、52>a C 、72-<a D 、0112<<-a例3已知抛物线3)1(22++++-=m x m x y 与x 轴有两个交点A 、B ，且点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上，设OA 的长为a ，OB 的长为b ．（1）求m 的取值范围；（2）如果a ：b =3：l ，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3）设由（2）所得的抛物线与y 轴交于点C ，问在抛物线上是否存在一点P ，使△P AC ≌△OAC ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．例4 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M （x 0、y 0）位于x 轴下方．（1） 求证：此抛物线与x 轴交于两点；（2） 设此抛物线与x 轴的交点为A （x 1、0），B （x 2、0），且x 1<y 2，求证：x 1<x 0<x 2． 例5 已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点P （0，2）任作一条与抛物线y =ax 2（a >0）交于两点的直线，设交点分别为A 、B ，若∠AOB =90°．（1）判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；（2）确定抛物线y =ax 2（a >0）的解析式；（3）当△AOB 的面积为24，求直线AB 的解析式．1．已知二次函数772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是___________． 2．抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 的图象如图所示：（1）判断ac b abc 42-及的符号;0________4,0________2ac b abc -（2）当c b a OB OA 、、时，||||=满足的关系式为___________．3．已知二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象，由图象可知关于x 轴的一元二次方程02=++c bx ax 的两个根分别是x 1=1.3和x 2= ___________．4．抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．以上答案都不对5．根据右表格中二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，判断方程 c bx ax y ++=2（a ≠0）的一个解的范围是（ ）．A ．17.66<<xB ．18.617.6<<xC ．19.618.6<<xD ．20.619.6<<x6．方程xx x 222=-的正根的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知抛物线())0(2122≠+-+=a a x a x y 与x 轴交于两点A （x 1，0）、B （x 2，0）（x 1≠x 2）．（1）求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB =OC -2，求a 的值．8．利用图象解一元二次方程0122=--x x 时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y =2x 和直线y=2x +1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）请再给出一种利用图象求方程0122=--x x 解的方法．（2）已知函数y =3x 的图象（如图），求方程023=--x x 的解（结果保留两位有效数字）．9．已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （1，32），其顶点E 的横坐标为2，此抛物线与x 轴分别交于B （x 1，0），C （x 2，0）两点（x 1< x 2），且x 12+ x 22=16．（1）求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；（2）若D 是y 轴上一点，且△CDE 为等腰三角形，求点D 的坐标．10．设二次函数)0(2222<++=a a ax x y 的图象顶点为A ，与x 轴交点为B 、C ，当△ABC 为等边三角形时，a 的值为_____________．11．抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若△ABC 是直角三角形，则ac =______________．12．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于95-而小于37，则m =___________． 13．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（4，一11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中正数（ ）．A ．只有aB ．只有bC ．只有cD ．只有a 和b14．若对所有的实数a ax x x ++2,恒为正，则（ ）．A ．a >0B ．a >4C ．a <0或a >4D ．0< a <415．已知m 、n 均为正整数，若关于x 的方程0242=+-n mx x 于1，且小于2，求m 、n 的值．16．已知抛物线y =x 2+px +q 上有一点M （x 0，y 0）位于x 轴的下方．（1）求证：已知抛物线必与x 轴有两个交点A （x 1，0）、B （x 2，0），其中x 1< x 2； （2）求证：x 1< x 0< x 2；（3）当点M 为（1，-2）时，求整数x 1、x 2．17．已知抛物线2)1(22++-+-=k x k x y 与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在x 轴 的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上．（1）求实数k 的取值范围；（2）设OA 、OB 的长分别为a 、b ，且a ：b =l ：5，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，以AB 为直径的⊙D 与y 轴的正半轴交于P 点：过P 点作⊙D 的切线交x 轴于E 点，求点E 的坐标．一元二次方程根的判别式运用配方法解一元二次方程过程中得到)1(44)2(222aac b a b x -=+ 显然，只有当042≥-ac b 时，才能直接开平方得：±-=+a b a b x 4422． 也就是说，一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 只有当系数a 、b 、c 满足条件： 042≥-=∆ac b 时才有实数根．这里的ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式． 观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-=∆ac b 时，方程没有实数根．根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实根的个数；（2）利用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．例1 已知一元二次方程04)24(22=+--k x k x 有两个不相等的实数根．则k 的最大整数值为____________．例2 如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B =90°，那么，关于x 的方程 0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定例3已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a =1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．例4 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根． 例5 已知函数)0(12=/+==k kx y xy 和 （1）若这两个函数的图象都经过点（1，a ），求a 和k 的值；（2）当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点？1．不解方程，判断方程0952=+-x x 的根的情况是____________．2．关于x 的方程022=--m x x 有两个实数根，则m 的取值范围是____________． 3．已知关于x 的方程02)2(2=-++-b a x a x 的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a +b 的值为____________．4．如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）．A ．1<kB ．0=/kC ．01=/<k k 且D ．1>k5．关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（ ）·A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．根的情况无法判断6．已知关于x 的方程0)12(22=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是（ ）．A ．-2B ．-1C ．0D ．17．关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx 其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根．8．已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x（1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a =6，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．9．已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么是的取值范围是____________．10．如果两个一元二次方程01022=++=++x x m m x x 与分别有两个不相同的实根，但其中有一个公共的实根a ，那么，实数a 的值是____________．11．已知关于x 的方程02)1(223=+--+a ax x a x 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________．12．使得关于x 的一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根的最小整数k 为（ ）． A ．-1 B ．2 C ．3 D ．413．若x 0是一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式 20)2(Fb ax M -=的大小关系是（ ）．A ．M >∆B ．M =∆C ．M <∆D ．不能确定14．关于x 的方程a x x =-|1|2仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．0>a B ．4≥a C ．42<<a D ．40<<a15．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ．试求所有这样的实数a 的和．16．已知c a b a +>>,0．判断关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况，并给出必要的说明．17．如图，在△ABC 中,3,2,90===∠BC AC ACB o D 是BC 边上一点，直线D BC DE 于⊥，交AB 于E ，AB CF //交直线DE 于F ．设CD =x ．（1）当x 取何值时、，四边形EACF 是菱形？请说明理由；（2）当x 取何值时，四边形EACD 的面积等于2？。

初三数学知识点归纳二次函数与二次方程二次函数与二次方程是初三数学中重要的知识点之一。

二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

而二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程。

本文将对二次函数与二次方程的定义、特征、图像及解法进行归纳，帮助初三学生更好地理解和掌握这两个知识点。

一、二次函数二次函数是以x的平方为最高次幂的函数，它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的定义域是一切实数，值域根据二次函数的开口方向和y轴的截距情况而定。

1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

2. 零点与顶点二次函数的零点（又称根）是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。

二次函数的顶点是函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时），顶点的坐标可以通过求解二次函数的轴对称线与x轴的交点得到。

3. 对称轴与对称性二次函数的对称轴是通过顶点与y轴垂直的直线。

由于二次函数的图像关于对称轴对称，所以具有对称性。

二、二次方程二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

二次方程的解可以通过配方法、因式分解、求根公式等方法求得。

1. 完全平方式当二次方程的解为两个相等的实数根时，我们可以通过完全平方式求解。

完全平方式的关键是将二次方程转化为一个平方的形式。

2. 因式分解当二次方程的根可以因式分解为两个一次方程时，我们可以通过因式分解的方法求解。

因式分解方法将二次方程转化为两个一次方程的乘积形式。

3. 求根公式一般情况下，我们可以通过求根公式来求解二次方程。

二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3 ），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使P A ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________. （昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，cba++，cba+-，ba+2，ba-2中，其值为正的式子个数为 ( )A.2个B.3个C.4个D.4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线cbxaxy++=2（a≠0）的对称轴是2=x，且经过点P(3,0)则cba++的值为（）A.－1B.0C.1D.28.已知二次函数cbxaxy++=2（0>a）的对称轴是2=x，且当0,,2321===xxxπ时，二次函数y的值分别时321,,yyy，那么321,,yyy的大小关系是（）A.321yyy>>B.321yyy<<C.312yyy<<D.312yyy>>9.已知抛物线4)343(2++-=xmmxy与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题）10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线241xy=上的一个动点. （1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1-=y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线241xy=的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM.（全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当P A ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得P A ＝AB 成立；（3）如图3，设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标. （武汉市中考试题）图1 图2 图3专题08 二次函数例1 C ．提示：③④⑤成立．对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a-＝1，则a ＝2b-代入上式，得2c＜3b ；对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ．提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝2251063x x -+． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5，故此次试跳会出现失误．例4 （1）y 24)x -；（2）P （0，；（3）由点点A （l ，0），C （4，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°．①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2，；②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去．例5 由NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21(5)12.52x --+（2≤x ≤4）．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21(45)12.52-⨯-+＝12．例6 （l ）y 2（2）①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴A （1m --，0），B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝13AE 时，如图1，(1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝12．当AB ＝13AE时，如图2，(1)(1)m m ----＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝12或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．②存在．连结AN 、NE 、EM 、MA ，依题意可得M （m -，N （m，，即M 、N 关于原点O 对称，∴OM ＝ON ．∵A （1m --，0），E （1m +，0）．∴A 、E 关于原点O 对称，∴OA ＝OE ．∴四边形ANEM 为平行四边形．要使平行四边形ANEM 为矩形，必须满足OM ＝OA ，即22m +＝[]2(1)m ---，∴m ＝1．∴当m ＝1时，以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形．A 级1．－2，4或－8． 2．－43．（l ）22x x -；（2〉3或－1；（3）x ＜0或x ＞2． 4．y ＝2x x +或y ＝21133x x -+．提示：另一交点为（－1，0）或（1，0）． 5．D ． 6．B ． 7．D ． 8．B ．图1图29．（1）y ＝212123x x -++ ()()()()()()()()222159127,,.10.126346906.,,,281311.14,2,23.,221113,2,=,=022220BDE ABCABD CDEABP C y x x x S S S B y x x AB x P AB d S AB d OB AO d P x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭<<=--==-==∴=∴-⇒=在抛物线上故导弹能击中目标略当x=3时BE=y 最短其值为此时S 由题意知轴设到距离为则的纵坐标只能是0或4令y 0得()()212, 3.0,0,3,0.,=4,x P y x =∴=符合条件的点为P 同理当的时候()()()()()()()()()()12342222233:0,0,3,0,,4,42212.13,232,3,,230339393233,,24241273332822ABMP P P y x y x x P t t M t t t t PM t t t t t t t PM SPM OA ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-----<<⎛⎫=----=-+=-+∴= ⎪⎝⎭-=⨯=综上符合条件的点有4个P 设则则当时有最大值此时点P 的坐标为()22212:,,1239. 4.28 5. 6.7.8.9.0644,4;340,0,3,,33B O y AB x y x x x x x B A B B x y mx m x m x x y m π=-+≤≤<->=⎛⎫=-++=≠== ⎪⎝⎭级 1.13或5 2.ｌ＝-2m +8m+12 3.636提示设半径为长为则或当时当时解得即抛物线与轴的交点()()40,4,23,0,0.3x A B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 与轴的个交点为①,94－=m －3,=34,=得由若m BC AC 244;9y x ∴=-+②()222122*********,35,,,443636633488443,3,437721.AC AB m m x y x x y x x m AC BC m y x x m =-===-∴=-+=-++=-==-∴=--+若由得或若由得故所求抛物线的解析式有上述三个()()()()2200022001110.1,, 1.441111=1,,441.2,,1,,.1,,,,1,P x x PM x P y x x P PM y P Q y H R PH PM QM QR PH MN QR y ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=---+∴=-=-===-∴设点的坐标为则又点到直线的距离为以点为圆心为半径的圆与直线相切如图分别过点作直线的垂线垂足分别为由知同理可得都垂直于直线()()()()()()()22,,,:4,0,4,0,44116,,0,4,0,4.4PH MNQM MP QR PHQR RN NH RN HNA B y ax bx c a x x a x APB P a =∴=∠∠∠∠-=++=+-=--=-于是因此Rt PHN Rt QRN,于是HNP=RNQ,从而PNM=QNM 11.提示是等腰直角三角形故点的坐标为分别求得()12221313120,412.1,,,22914x x y x b c y y y x ⎧⎧=-⎪==-+⎧⎪⎪==-∴⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎪⎩依题意得解得()()()()()()()()()()()()()1222222222239,,1,1.211,1,3,9.2:,24,,22,,.,2,222.,24220.=16822=81616818A B A A P B A a a A m m PA PB PAG BAH AG AH PG BH B m a m a B y x m am a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭--=∴≅∴==∴-++=-+--=---++=++证明过点分别作过点且平行于x 轴的直线的垂线垂足分别为G,H. 设P 将点代入抛物线得0,,.a m P A >∴无论为何值时关于的方程总有两个不相等的实数解即对于任意给定的点抛物线上总能找到两个满足条件的点()()()()()222223:0,,,,.,.,,.,90, 1.=0,=010,13.,2m y kx b k m m B n n A B AG BH x G HAOB AB AOB y kx b AG OHAGOOHB mn x kx b OG BH y xm n x kx b mn b b D BPC OCP DP DC P a a =+≠∴∠==+⎧=∴=---⎨=⎩--∴=-∴=∠=∠∴==--设直线交y 轴于点D 设A 过点两点分别作垂直于轴于的外心在上由得联立得依题意得是方程的两根即设()()()222222122,,121214,22130.555P PQ y Q Rt PDQ PQ DQ PD a a a a P ⊥+=⎛⎫+---=∴==-∴- ⎪⎝⎭过点作轴于在中即舍去。

九年级数学二次函数与一元二次方程知识精讲珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数和一元二次方程都是初中代数的重要内容，两者相结合的题目在近年中考中经常有出现，解决此类问题关键是搞清楚二次函数图象与一元二次方程的两根之间的关系。

一、二次函数图象与一元二次方程根的关系1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 的判别式为：△＝b 2－4ac 。

二次函数的解析式为：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）（1）当△＞0时，二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当△＝0时，二次函数的图象与x 轴有一个交点；（3）当△＜0时，二次函数的图象与x 轴有无交点。

2、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点为A （x 1，0）、B （x 2，0），且两个交点之间的距离为： |AB|＝| x 1－x 2|。

3、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0） 有两根为x 1、x 2，则二次函数：y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）的对称轴为：x ＝221x x +。

二、考点例析1、用根的判别式判断二次函数图象与x 轴的交点例1、(2005温州市)若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝_________.(只要求写出一个)解：令y ＝0，得一元二次方程：x 2－4x ＋c ＝0，方程的判别式为：△ ＝（－4）2－4c ＝16－4c ，因为二次函数图象与x 轴没有交点，所以，有16－4c ＜0，解得：c ＞4，c 可取5、6、7……中的任一个，只写一个即可。

例2、（2005湖北荆州）若y 关于x 的函数()()2221y a x a x a =---+的图像与坐标轴有两个交点，则a 可取的值为 ．解：令y ＝0，得一元二次方程：（a －2）x 2－（2a －1）x ＋a ＝0，方程的判别式为：△ ＝（2a －1）2－4（a －2）a ＝4a ＋1，因为二次函数图象与x 轴有两个交点，所以，有4a ＋1＞0，解得：a ＞－41。

1. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、根式方程、二元一次方程、选择题）方程x2+y2+22=x+y+2的整数解有 ( )A. 1组 B . 3组 C . 6组 D . 无穷多组分析：由题意知χ+y≧0，方程化简得xy+2x+y=0,x+2y+2=4. 因为χy≦0，所以上式就分成2×2,1×4，两种情况，对应的整数解有3组.答案:B技巧：将方程化简，在进行因式分解，最后根据整数解来进行情况讨论.易错点：容易将题中一些隐含性的条件忽视，从而造成错解.2.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、等腰梯形计算、勾股定理、一元二次方程、选择题）如果某个等腰梯形的下底与对角线长都是10，梯形的上底与高相等，则上底的长是 ( ) A . 5 2 B .6 2 C .5 D .6+x)2+x2=100，整理得x2+4x−60=0.解得分析：设上底长为x，由勾股定理得(10−x2x1=6,x2=−10（舍去）.答案：D .技巧：根据图形用勾股定理.易错点：注意方程两根的取舍.3. （2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、选择题）关于x的一元二次方程4x2+4mx+m2+m−10=0(m为正整数）有整数根时，m的值可以取 ( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个分析：因为χ=−4m±16(10−m), 要使根为整数，则需对m=1,9,6,10.分别进行讨论.8.当m=1时，对应的χ为1、-2成立；当m=9时，对应的χ为4、由求根公式得χ=−m±10−m2-5成立；当=6时，对应的χ为-4、-2成立；当m=10时，对应的χ为-2.所以m的值有4个. 答案：D技巧：先用求根公式表示出根，再根据题目条件进行讨论.易错点：容易漏掉讨论情况.4.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题）二次多项式x2+2kx−3k2能被x-l整除，k=_______.分析：由题意知该二次多项式对应的关于χ的一元二次方程的根为1，将根代入得到关于k 的一元二次方程，求解即得.详解：方程x2+2kx−3k2=0的一根为1，所以有1+2k−3k2=0.解得：k=1;k=−13⋅技巧：像这种类型的题需要将多项式对应成方程来解.易错点：连续两次对应方程和解得时候要注意，容易出错.5. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题）若关于x的一元二次方程x2+2kx+14−k=0有两个实根，则k的取值范_______分析：因为有两实根，所以只需保证Δ≥0.详解：由题意知Δ=4k2−4(14−k)=4k2+4k−1=(2k+1)2−2≥0.解得 |2k+1|≥2.由此得2k+1≥2或2k+1≤− 2.所以k≥2−12，k≤−2+12.技巧：利用根与系数的判别式来处理.易错点：在开根号、去绝对值时要注意.6. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、填空题）设x1,x2,x3,⋯,x2007为实数，且满足x1x2x3.⋯⋅x2007=x1−x2x3.⋯⋅x2007=x1x2−x3.⋯⋅x2007=⋯=x1x2x3.⋯⋅x2006−x2007=1,则x2000=_______.分析：易知x2000=1符合.因为x1x2x3.⋯.x2000−1x1x2x3.⋯⋅x2000=1,x1x2.x3⋯⋅x1999−1x1x2x3.⋯.x1999=1，解得x1x2x3....⋅x2000=1±52,x1x2′x3.⋯.x1999=1+52，所以x2000=1或x2000=−3±52⋅答案：1或−3±52⋅技巧：将每一个乘积看成一个整体，然后采用一元二次方程思想来解决.易错点：讨论时易遗漏某种情况.7.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、解答题）设−a2−2a+1=0,b4−2b2−1=0且1−ab2≠0，求代数式(ab2+b2+1a)2006的值.分析：本题要先观察，发现a、b之间的次数差为2，而且所求为2006次方，所以本题不适合直接去解方程代入.观察发现，条件中的两个方程有相同之处.最后通过根与系数关系求解.详解：因为−a2−2a+1=0，所以(1a )2−2(1a)−1=0.又因为b4−2b2−1=0且1−ab2≠0，所以把1a ,b2看做是方程x2−2x−1=0的两根，由根与系数关系得1a+b2=2,1a⋅b2=−1.所以原式=[(1a+b2)+a1⋅b2]2006=[2+(−1)]2006=12006=1.技巧：通过观察，利用根与系数关系解题 .易错点：公式使用要注意根与系数关系的对应.8. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、应用题、解答题）某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次的产品，每件获利润8元；每提高一个档次，每件产品利润增加2元.最低档次的产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果使一天获利润858元，则应生产哪个档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量增加而提高）?分析：由题意知，如果设应生产第χ档次的产品，那么由每提升一个档次，减少3件所获的总利润来列方程.详解：设应生产第x档次的产品，由题意得[60−3(x−1)][8+2(x−1)]=858.整理得x2−18x+80=0.解得x1=8,x2=10.答：生产第8档次或第10档次的产品可获利润858元.技巧：找出售出的件数及此时对应的每件的利润.易错点：售出的件数与每件的利润不对应.9. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、一元二次方程、应用题、解答题）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两个农妇一共带了100个鸡蛋上市，两人所带蛋数不同，但卖得的钱数一样，于是，第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板.”第二农妇答道：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖203个铜板，”试问两个农妇各有多少鸡蛋？分析：由两个农妇的话，可求她们卖每个鸡蛋的单价，再根据卖的钱数一样来列方程.详解：设第一个农妇有x个鸡蛋，则第二个农妇有100 -x个鸡蛋，根据题意可列方程15x 100−x =20(100−x)3x,即x2+160x−8000=0，所以x=40或x=−200（舍去）.答：第一个农妇有40个鸡蛋.第二个农妇有60个鸡蛋. 技巧:找等量列方程.易错点:计算要细致，避免出错.。

第10讲二次函数与一元二次方程、不等式【知识点梳理】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤(其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.知识点三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案．知识点六一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩恒成立20(0)ax bx c a ++<≠00.a <⎧⇔⎨∆<⎩(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”，或者利用数轴标根法【典型例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式【例1】不等式()()220x x +->的解集是（）A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【例2】记集合{}24M x x =>，{}240N x x x =-≤，则M N = （）A ．{}24x x <≤B ．{0x x ≥或}2x <-C ．{}02x x ≤<D ．{}24x x -<≤【例3】设x ∈R ，则“12x <<”是“2230x x --<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例4】不等式2230x x -+->的解集是（）A ．RB ．φC ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|31}x x -<<-【例5】不等式22150x x -++≤的解集为（）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【题型专练】1.集合{}32A x x =∈-<<Z ，{}2340B x x x =+-<，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}2,1,0--C ．{}32x x -<<D ．{}21x x -<<2.解下列不等式：(1)2430x x ++>；(2)294604x x -+-<.3．不等式2340x x --<的解集为（）A ．(,1)(4,)-∝-+∝U B ．（－4，1）C ．（－1，4）D ．(,4)(1,)-∝-+∝U 4．不等式240x -≤的解集是（）A ．(,5)-∞-B ．[)5,2--C ．[]22-,D ．()2,+∞5.不等式2210x x +->的解集是（）A ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭6.（多选）下列不等式的解集为R 的有（）A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇【例1】若不等式220ax bx +-<的解集为{21}xx -<<∣，则a b +=（）A ．2-B ．0C ．1D ．2【例2】已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是（）AB．CD．【例3】若不等式220ax x c ++<的解集是11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a -+≤的解集是（）A ．11,23⎡⎤-⎢⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3-D ．[]3,2-【例4】已知函数f （x ）＝x 2+ax +（a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（）A ．4B ．3C ．9D ．94【题型专练】1.已知不等式20x x a -+<的解集为{}23x x -<<，则=a （）A ．6-B ．16-C ．6D ．162.若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______.3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是（）A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣4.二次不等式20ax bx c ++<的解集是()2,3，则cb 的值为（）A ．65B ．65-C ．56D ．56-5.若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --<的解集是________.题型三：含有参数的一元二次不等式的解法【例1】若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有4个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)3,2--C ．[)(]3,26,7--D ．[]3,7-【例2】解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【例3】已知条件p ：2780x x --<，条件q ：22210x x m -+-≤（其中0m >），若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()0,8B ．()0,∞+C ．()0,2D ．[]28,【例4】设2(1)2y ax a x a =+-+-.(1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【例5】解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【例6】解关于x 的不等式：220ax x a -+<.【题型专练】1.若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-2.已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．(1)写出a 和b 满足的关系；(2)解关于x 的不等式()()()222120a b x a b x a ---->++．3.设函数()()211f x ax a x =-++.(1)若2a =，解不等式0y >；(2)若0a >，解关于x 的不等式0y <。