半角公式教案

3.2 半角公式-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案课程目标本课主要教授半角公式的求解方法和应用，通过实例演示，使学生理解该知识点并能够熟练运用半角公式解决实际问题。

教学内容1.半角公式的概念和基本式推导2.半角公式三角函数的应用3.实例演示和练习题解答教学重点1.了解半角公式的概念和基本式推导2.掌握半角公式三角函数的应用3.熟练运用半角公式解决实际问题教学难点1.掌握半角公式的推导过程2.熟练掌握半角公式三角函数的应用教学方法板书+讲解+实例演示+学生互动教学步骤第一步：引入通过板书及简要讲解引入半角公式的概念和重要性。

第二步：基本式推导讲解半角公式的基本式及推导过程，并通过板书和示例演示加深学生理解。

第三步：半角公式的应用学习半角公式在三角函数中的应用，通过简单实例演示，提高学生的注意力和掌握能力。

第四步：实例演示通过多个实例演示，加强学生对半角公式应用的理解和掌握。

第五步：练习题解答提供一定量的练习题，让学生通过实践加强半角公式运用的能力，并在课堂上进行解答。

教学方案时间安排本课程需要1小时完成。

授课方法及资源准备板书、讲解、实例演示、练习题教学过程1.引入（5分钟）–通过蝴蝶效应等相关例子引导学生注意半角公式的存在和重要性。

2.基本式推导（20分钟）–在板书上展示半角公式的基本式及导出过程，并通过示例演示加深理解。

3.半角公式的应用（10分钟）–在板书上展示半角公式在三角函数中的应用，让学生掌握该知识点的使用方法。

4.实例演示（15分钟）–在实例中演示半角公式的具体应用及解题方法，让学生了解和掌握实际运用。

5.练习题解答（10分钟）–提供一定量的练习题，并在课堂上讲解解题思路和方法，加强学生对该知识点的掌握。

总结本节课主要讲解了半角公式的概念、基本式的推导、三角函数中的应用以及实例演示和练习题等内容。

学生通过实践加强了对该知识点的熟练掌握和应用能力。

高中数学半角公式教案
一、教学目标：
1. 了解半角公式的概念及应用场景；
2. 能够熟练应用半角公式解决相关数学问题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

二、教学重点：
1. 半角公式的定义及推导过程；
2. 半角公式在实际问题中的应用。

三、教学内容：
1. 半角公式的定义：tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x))；
2. 半角公式的推导过程；
3. 半角公式的应用举例。

四、教学过程：
1. 引入：通过实际问题引入半角公式的概念和应用场景；
2. 讲解：详细介绍半角公式的定义和推导过程；
3. 练习：让学生进行练习，熟练掌握半角公式的应用方法；
4. 拓展：引导学生思考半角公式在其他数学问题中的应用；
5. 总结：总结本节课的内容，并提出问题让学生思考。

五、作业布置：
1. 完成相关练习题目；
2. 思考半角公式在解决其他数学问题中的应用。

六、教学反馈：
1. 收集学生作业，检查答题情况；
2. 总结学生表现，及时给予反馈；
3. 鼓励学生继续学习，拓展数学知识。

七、教学资源：
1. 课本资料；
2. 练习题目和解答。

八、教学评价：
1. 学生掌握半角公式的程度；
2. 学生对半角公式的应用能力。

希望以上教案能够帮助您顺利开展高中数学半角公式的教学工作。

祝您教学顺利！。

3.1.4 降幂公式、半角公式一、教学目标 （一）核心素养通过让学生自己动手由二倍角公式的变形推导出降幂公式以及半角公式，并会运用公式进行灵活变形计算，在数学运算、逻辑推理中体会转化与化归、降元与换元的数学思想方法. （二）学习目标1．通过二倍角公式的变形推导出降幂公式，加深理解降元、三角恒等变换的基本思想方法． 2．经历二倍角变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，并明确“±”号的选取，进一步体会化归、换元的数学思想．3．能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力． （三）学习重点 1．降幂公式的推导．2．半角的正弦、余弦和正切公式以及公式的正用、逆用、变形应用． （四）学习难点1．降幂公式、半角公式与倍角公式之间的内在联系． 2．运用半角公式时正负号的选取． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）“倍角”的含义是什么？“倍角”是描述两个角之间的关系，具有相对性.例如：2α是α的倍角，4α是2α的倍角，2α是4α的倍角．（2）二倍角公式22cos 22cos 112sin ααα=-=-可以怎样进行变形？ 移项变形得到：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=若已知二倍角函数值，开根号可得到单角函数值：sin α=、cos α=若已知单角函数值，换元后可得到半角函数值：sin2α=cos 2α=2．预习自测1.下列说法中正确的个数是（ ）①当α是第一象限角时,sin 2α=②对任意角α, 21cos tan 21cos ααα-=+都成立；③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. A.0 B.2 C.1 D.3 答案：C解析：【知识点】降幂公式、半角公式概念辨析． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】当α是第一象限角时，222k k ππαπ<<+，∴24k k απππ<<+，∴2α在第一、三象限，故sin 2α=tan 2α有意义且1+cos α≠0,即：2,(21)()22k k k k Z αππαππαπ≠+≠+≠+∈且即②错；由半角公式推导过程可知③正确．点拨：明确“±”号的选取以及公式适用条件． （2）求2cos 22.5︒的值．答案：12解析：【知识点】降幂公式的运用． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21+cos 451cos 22.5=22︒︒=+． 点拨：降元化为特殊角的三角函数进行求值． （3）求sin15,cos15,tan15值．2． 解析：【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】1-cos302sin15====;1+2cos15====sin156tan15=2cos156== 点拨：利用半角公式化为特殊角的三角函数进行求值． （4）已知532x ππ<<，则sin 2x=（ ）A ．B ．CD ．答案：D ．解析：【知识点】半角公式中“±”号的选取． 【数学思想】化归思想．【解题过程】5533sin 24222x x x ππππ<<∴<<∴=，，． 点拨：明确“±”号选取的原则． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：2S :sin 22sin cos αααα=22222C :cos 2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-222tan T :tan 21tan αααα=- （2）二倍角公式的使用条件：①公式22S C αα、中的α∈R. ②公式2T α中的()42k k k Z ππαπαπ≠+≠+∈且（3）运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是2α、4α的二倍角等等．2．问题探究 探究一 降幂公式●活动① 二倍角公式的变形思考1:如何用cos2α表示2sin α、2cos α？利用二倍角公式进行移项变形，由22cos 212sin 2cos 1ααα=-=-得：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=思考2: 21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=这两个式子有什么共同特点？ 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的) 我们称①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+=为降幂公式．【设计意图】教师与学生一起总结出降幂公式的特点,并告诉学生倍角公式和降幂公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明．探究二 半角公式★▲ ●活动① 半角公式的推导 思考1：⑴α与2α有什么关系?⑵如何建立cos α与2α的三角函数之间的关系？解析：α是2α的两倍角；利用降幂公式，将公式中的α用2α代替即可得cos α与2α的三角函数之间的关系．在降幂公式21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=以及ααααα2cos 12cos 1cos sin tan 222+-==中，以α代替2α以2α代替α即得：∴21cos sin =22αα-① cos 22α=1+cos 2α② 21cos tan 21cos ααα-=+③ 思考2：上面①②③式还可以怎样变形处理？ 结果还可以变形为:2sin)2αα=2cos)2αα=2tan)2αα=2T α中：(21)()k k Z απ≠+∈并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定．观察上面的①②③式，总结：用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数． 思考3：半角正切公式还有其他的表示式吗？2sin 2sincossin 222tan21cos cos 2cos 22αααααααα===+① 2sin 2sin 1cos 22tan2sin cos2sincos222αααααααα-===② 该表达式中tan2α的符号由sin α确定，避免了符号的讨论，使用起来非常方便．【设计意图】通过进一步的三角恒等变形，培养学生推导能力，同时使学生认识到新公式产生的根源．●活动② 符号的确定思考1：若给出的角α是某一象限的角时，怎么确定半角三角函数表示式前的符号？ 原则：公式相等的前提条件是左右两边符号一致，即左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号，根据下表决定符号：思考2：如果没有给出限定符号的条件，怎么办？ 在根号前保留正负两个符号．【设计意图】通过让学生自己探究发现问题的过程，明确利用半角公式求三角函数值易错的地方．探究三 降幂公式、半角公式的应用★▲ ●活动① 归纳梳理，理解提升 （1）降幂公式： ①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+= （2）半角公式：2sin)2αα= 2cos )2αα= 2tan )2αα= 2T α中：(21)()k k Z απ≠+∈sin 1cos tan=21cos sin ααααα-=+ （3）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号．【设计意图】培养学生归类整理意识，并能熟练运用这些变形公式． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1. 若sin80°=m ,则用含m 的式子表示cos5°=________．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】由题意得：sin80°=cos10°=m,∴cos5︒===【思路点拨】利用半角公式求值，并准确判断符号．同类训练cos x=79,且322xππ<<,则cos2x=______．答案：解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵322xππ<<,∴342xππ<<,2x是第二象限角，∴cos2x===．点拨：利用半角公式求值，并准确判断符号．例2. 求22cos18π-的值．．解析：【知识点】降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】22cos1=cos11cos844πππ-+-==．点拨：降幂化为特殊角的三角函数进行求值．同类训练21+2cos cos2=θθ-_________．答案：2．解析：【知识点】倍角公式的灵活运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21+2cos cos 2=1+1+cos2cos 2=2θθθθ--． 点拨：二倍角公式灵活化简．【设计意图】巩固降幂公式、半角公式，并熟练应用． ●活动③ 强化提升，灵活应用例3 已知43sin ,,52παπα=-<<求sin cos ,tan 222ααα，．【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】∵3,2ππα<<∴3,224παπ<<又∵4sin 5α=-，∴3cos 5α=-．∴sin 2α==cos = 2α==sin 2tan= 22cos2ααα=-． 【思路点拨】利用半角公式时注意符号取值．；2． 同类训练 化简：1tan+8tan12ππ．答案：1+解析：【知识点】半角公式1cos tan 2sin ααα-=的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】原式=1+cos 1-cos641sinsin46ππππ+=+=+点拨：利用半角公式1cos tan2sin ααα-=，可避免“±”的讨论． 【设计意图】巩固半角公式，注意灵活选取半角的正切公式．3．课堂总结 知识梳理 （1）降幂公式： ①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+= （2）半角公式：2sin)2αα=2cos )2αα=2tan )2αα= 2T α中： )(,)12(Z ∈+≠k k a πsin 1cos tan=21cos sin ααααα-=+ 重难点归纳（1）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号．（2）运用半角的正切公式sin 1cos tan =21cos sin ααααα-=+，为避免符号的选择，最好选用后面的两个公式．（三）课后作业 基础型 自主突破1．下列各式恒成立的是（ ）221cos 1cos 2A tanB cos 2sin 22tan2C tan D tan21tan 2ααααααααα-+==±=-.= .. . 答案：B ．解析：【知识点】降幂公式、半角公式以及适用条件． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】A 选项中，要求除)(,)12(Z ∈+≠k k πα外，还必须有)(,Z ∈≠k k πα；B 选项中，α可以取一切实数；C 选项中,要求)(,2Z ∈+≠k k ππα且)(,)12(Z ∈+≠k k πα；D 选项中，要求)(,)12(Z ∈+≠k k πα．点拨：明确角α的限制条件．2．设532ππα-<<- ）A ．sin 2αB ．cos2αC ．cos 2α- D ．sin2α-答案：C ．解析：【知识点】利用半角公式进行化简． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵532ππα-<<-，则35224παπ-<<-，cos 22αα=-．点拨：注意“±”的选取． 3．设56,cos ,sin24a θθπθπ<<=求．答案：． 解析：【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】若56πθπ<<，则5322πθπ<<，∴53442πθπ<<，则sin =4θ=点拨：利用半角公式．4．已知4sin 02)sin cos tan 5222αααααπ=-<<（，求、和的值．答案：见解题过程．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归、分类讨论思想．【解题过程】①当α在第三象限时，此时3cos5α=-，2α在第二象限，sin2sin cos tan2222cos2ααααα===-②当α在第四象限时，此时3cos5α=，2α在第二象限，sin12sin cos tan2222cos2ααααα===-点拨：注意对角α的范围进行分类讨论．5．利用半角公式，求sin cos1212ππ-的值．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】sin cos1212ππ-==．点拨：利用半角公式转化为特殊角的三角函数求解．6．函数21sin2sin2y x x=+，R∈x的值域是（）A．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．1122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦答案：C．解析：【知识点】降幂公式、两角差的正弦公式逆用． 【数学思想】降元、化归思想． 【解题过程】21111sin 2sin =sin 2+(1cos 2)22)22221).42y x x x x x x x π=+-=+=-+∵R ∈x ，∴sin(2)[1,1]4x π-∈-，∴函数的值域为1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点拨：灵活利用公式进行变形化简． 能力型 师生共研74)παπ<<等于（ ） A ．sin16αB ．2sin16αC ．2cos 16αD ．cos16α答案：B ．解析：【知识点】半角公式的逆用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】=2sin2sin.1616αα===原式点拨：使根号下不含三角函数8．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒的值． 答案：34． 解析：【知识点】利用降幂公式、两角差的余弦公式化简．【数学思想】降元、化归思想． 【解题过程】22221cos 401cos100=cos 70cos502211[cos(7030)cos(7030)]cos(6010)cos(6010)21sin 70sin 30cos 60cos 10sin 60sin 101131cos 20(1cos 20)(1cos 20)28834-︒+︒++︒︒=+︒+︒-︒-︒+︒+︒︒-︒=-︒︒+︒︒-︒︒=-︒++︒--︒=原式 点拨：统一角、统一三角函数名称，化为特殊角的三角函数求值． 探究型 多维突破9．化简ααααα2cos 2)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，其中(,2)αππ∈答案：cos α．解析：【知识点】三角函数式化简．【数学思想】化归思想．【解题过程】222cos (cos sin )(sin cos )222222cos 22cos (cos sin )2coscos 2222(,2),,cos0,=cos 2222cos2cos22αααααααααααπαααπππααα+-=---==∈∴<<∴<∴原式，原式点拨：式中有角α及2α，可用半角公式把α化为2α的三角函数．10．证明：(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22αααααα+--+=．【知识点】三角函数式化简． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】22[sin (1cos )][sin (1cos )]2sin cos sin 1cos 2cos 1cos tan2sin cos sin 2αααααααααααααα--+-=--+-===证明：左边 点拨：弦化切，统一三角函数名，利用半角正切公式化简． 答案：见解题过程． 自助餐1．已知α是第三象限角，且24sin 25α=-，则tan 2α等于（ ） A ．34-B ．34C ．43D ．43-【知识点】半角的正切公式． 【数学思想】化归思想．【解题过程】由α是第三象限角及24sin 25α=-知7cos 25α=-, ∴24sin 425tan =721cos 3125ααα-==-+-.【思路点拨】利用半角的正切公式，切化弦． 【答案】D ．2．等腰三角形顶角的余弦是13，则底角的正弦是_______，正切是_______．【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】设底角为α，则顶角为-2πα，而1cos(-2)3πα=，即1cos 23α=-，∴sin α==，cos α==sin tan cos ααα==【思路点拨】利用半角公式求解．． 3．函数2()sin cos f x x x x =在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是（ ）A ．1 B．C ．32D．【知识点】降幂公式、辅助角公式． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】由已知得1-cos 21()2sin(2)226x f x x x π==+-，当42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，1sin(2),162x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 的最大值等于131=22+．【思路点拨】利用降幂公式、辅助角公式化简． 【答案】C ．4．已知tan 2α=-，且满足42ππα<<的值为（ ）．A ．B． C．- D．3-【知识点】二倍角公式、降幂公式的运用． 【数学思想】降元、化归思想．cos sin 1tan cos sin 1tan αααααα--=++.又∵22tan tan 21tan ααα==--22tan 0αα⇒--=，解得tan =α.又42ππα<<，∴tan α∴3=-+原式 【思路点拨】遇弦化切． 【答案】C ．5．已知sin 222cos 2αα-=，则2sin +sin 2αα= ．【知识点】倍角公式、升幂公式的运用． 【数学思想】化归思想、分类讨论思想．【解题过程】2sin 22=2cos 2,2sin cos 22(2cos 1)ααααα-∴-=-,即2sin cos 2cos ααα=,cos 0tan 2αα∴==或.① 当cos 0α=时,sin 1α=±,22sin +sin 2sin +2sin cos 101ααααα==+=;② 当tan 2α=时, 222222sin +2sin cos tan +2tan 4+48sin +sin 2sin +cos tan +14+15αααααααααα==== 【思路点拨】利用二倍角公式求解值时注意分类讨论．【答案】1或85.6．已知函数 )(,1cos 2cos sin 32)(2R ∈-+=x x x x x f（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）若006()=542f x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos 2x 的值．【知识点】二倍角公式逆用，降幂公式的综合运用． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】（1）由题意得：2()cos 2cos 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-+=+∴函数()f x 的最小正周期为π．因为()2sin(2)6f x x π=+在区间06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间62ππ⎛⎤⎥⎝⎦，上为减函数，又∵(0)=1,()2,()162f f f ππ==-所以函数()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为－1．（2）由(1)可知00()2sin(2)6f x x π=+．又∵06()=5f x ，所以03sin(2)=65x π+，由042x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，．∴04cos(2)65x π+==-,∴0000cos 2cos[(2)]cos(2)cos +sin(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=++=【思路点拨】配凑角：002=2)66x x ππ+-（，将其化为已知角的三角函数值求解．【答案】见解题过程．。

第2课时半角的正弦、余弦和正切学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)[自主预习·探新知]半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝＝1－cos αsin α.思考：利用tan α＝sin αcos α和倍角公式能得到tan α2与sin α，cos α有怎样的关系？提示：tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cos αsin α.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．()(3)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.( ) (4)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为( ) A ．－33 B ．33 C ．63 D ．－63B3．已知cos α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos α2的值为( )A ．66 B ．306 C ．－66 D ．－306 B4．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D.3－1 B [由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cosα2、tanα2.[解]sin α2＝±1－cos α2＝±1－132＝±33，cos α2＝±1＋cos α2＝±1＋132＝±63，tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角． 当α2为第二象限角时，sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22； 当α2为第四象限角时，sin α2＝－33，cos α2＝63，tan α2＝－22.已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2. [解] ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2 θ2－1 得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2(1＋cos α＋sin α)2＋2cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<α<2π. [思路探究] 利用半角公式将角进一步统一为α2，注意角的取值范围． [解] ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α24cos 2 α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2－2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.1．半角公式适用的条件是什么？ 提示：cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2，α∈R .tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？ 提示：例如α可以看成α2的倍角，也可以看成2α的半角． 3．怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？ 提示：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值.[思路探究] 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质．[解] f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取最大值，最大值为2.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( ) A ．63B ．－63C ．±63D ．±33A [由题意知α2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63.]2．函数f (x )＝2sin x 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A ．12 B ．32 C ．1D ．2A [∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2＝32sin x ＋12cos x －12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－12.∴f (x )max ＝12.]3．计算：tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.[解析] 原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.[答案] －44．设5π<θ<6π，cos θ2＝13，则sin θ4＝________. [解析] ∵5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. ∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－1－132＝－33.[答案] －33 5．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.。

高一数学必修4《半角公式》学案（公开课）§3.2.2《半角的正弦、余弦和正切》学案【学习目标】1、学会利用二倍角公式，推导出半角的正弦、余弦和正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程。

2、能记住半角公式及相关变形。

3、能用半角公式进行化简，求值。

【重难点】重点：掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式；方程思想，分类讨论思想，和化归思想的运用。

难点：公式前符号的确定；变换中三统一原则的运用； "倍与半"的相对性思考方法。

半角与倍角公式之间的内在联系。

【学法指导】自主探究公式的内在联系【知识链接】复习二倍角的正弦、余弦、正切的公式cos()===sin()=tan()=【学习过程】知识点1.半角公式的推导及理解问题1：已知，求的值。

问题2：若，且为锐角，则=，=，=。

1?在中，以?代2?，代?即得2?在中，以?代2?，代?即得3?以上结果相除得半角公式：=（1）=（2）===（3）特点：1?左式中的角是右式中的角的一半。

2?公式的"本质"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。

3?根号前均有""它由角""所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，""应保留。

注意：公式（3）成立的条件,公式（1）、（2）、（3）叫做半角公式，实际是二倍角公式的推论。

用于三角函数的求值、化简和证明。

基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？1、求值：（1）（2）（3）例题分析：例1：求证：（1），（2）（三角变换选择公式的依据是：使角统一；名统一；结构统一）练习：已知，求的值。

例2：已知,求，，的值。

变式练习：变式1：将条件中的"" 改为"是第三象限角"，结论如何？变式2：将条件中的""去掉，结论如何？变式3：将结论改为求""的值。

《半角公式》导学案一、学习目标1、理解半角公式的推导过程。

2、熟练掌握半角公式，并能灵活运用它们进行三角函数的化简、求值和证明。

3、通过对半角公式的学习，提高逻辑推理和数学运算能力。

二、学习重难点1、重点（1）半角公式的推导和记忆。

（2）半角公式在三角函数化简、求值和证明中的应用。

2、难点（1）半角公式的灵活运用，尤其是符号的确定。

（2）半角公式与其他三角函数公式的综合运用。

三、知识回顾1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：＼（＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1\）（2）商数关系：＼（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼）2、二倍角公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）四、新课导入在三角函数的运算中，我们经常会遇到形如\（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＼）、＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＼）、＼（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＼）的半角形式。

那么，如何用已知的角\（＼alpha\）的三角函数值来表示这些半角的三角函数值呢？这就需要我们来推导半角公式。

五、半角公式的推导1、由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 1 2\sin^2\alpha\），可得：＼＼begin{align}2\sin^2\alpha&＝1 ＼cos 2\alpha\＼＼sin^2\alpha&＝＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼sin\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}｝＼所以，＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2} ＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝＼）2、同理，由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 2\cos^2\alpha 1\），可得：＼＼begin{align}2\cos^2\alpha&＝1 ＋＼cos 2\alpha\＼＼cos^2\alpha&＝＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼cos\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2} ＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝＼）3、对于\（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＼），我们可以利用\（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼）来推导：＼＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{＼sin\frac{＼alpha}｛2}｝｛＼cos\frac{＼alpha}｛2}｝＼＼＆＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}｝＼＼＆＝＼frac{＼sin\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}＼＼＆＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛＼sin\alpha}＼end{align}＼六、半角公式的符号确定在半角公式中，＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＼）和\（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＼）的符号取决于\（＼frac{＼alpha}｛2}＼）所在的象限。

《半角公式》导学案一、学习目标1、理解半角公式的推导过程。

2、掌握半角公式的内容及其应用。

3、能够熟练运用半角公式进行三角函数的求值、化简和证明。

二、知识回顾1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1（2）商数关系：tanα ＝sinα ／cosα2、二倍角公式（1）sin2α ＝2sinαcosα（2）cos2α ＝cos²α sin²α ＝2cos²α 1 ＝1 2sin²α（3）tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α)三、新课导入在三角函数的运算中，我们经常会遇到形如求半角的三角函数值的问题。

为了方便解决这类问题，我们引入半角公式。

四、半角公式的推导1、由二倍角公式cos2α ＝1 2sin²α 可得：sin²α ＝（1 cos2α) ／ 2所以sinα ＝±√（1 cos2α) ／ 2同理，由二倍角公式cos2α ＝2cos²α 1 可得：cos²α ＝（1 ＋cos2α) ／ 2所以cosα ＝±√（1 ＋cos2α) ／ 22、对于 ta nα，由tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α) 可得：tanα ＝±√（1 cos2α) ／（1 ＋cos2α)五、半角公式的内容1、正弦半角公式：sin(α/2) ＝±√（1 cosα) ／ 22、余弦半角公式：cos(α/2) ＝±√（1 ＋cosα) ／ 23、正切半角公式：tan(α/2) ＝±√（1 cosα) ／（1 ＋cosα) ＝sinα／（1 ＋cosα) ＝（1 cosα) ／sinα六、半角公式的符号确定1、当α/2 在第一、二象限时，sin(α/2)、cos(α/2)、tan(α/2)均取正值。

2、当α/2 在第三、四象限时，sin(α/2)取负值，cos(α/2)取负值，tan(α/2)取正值。