第3章_测量误差及数据处理(不讲不确定度)

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（1）置信概率与置信区间： 很多时候，我们可以将系统误差减小到可以忽略不计的程 度（不能完全消除），为什么呢，因为系统误差是关系到系统 准确性的问题，假设系统误差我们最终只能降低到±1%，那么 想将最终测量结果做到± 0.5%是不可能的。所以仪器给出的结 果能够满足我们的要求时(系统误差小于我们要求的1/4或 1/6），我们先考虑随机误差，再考虑系统误差。 随机误差处理的基本方法是概率统计方法。处理的前提是 系统误差可以忽略不计，或者其影响事先已被排除或事后肯定 可予排除。 那么这时候我们要估计真值的存在情况，或者说要估计真 值落在某一数学区间的“肯定程度”，即估计值以多大概率落 在某一数值区间。这个区间就是置信区间。 该置信区间包含真值的概率为置信概率，也称置信水平。
算术平均值：
1 x n
x
i 1
n
i
残差：
i xi x
标准偏差的估计值，贝塞尔公式：
s( x ) 1 n1

i 1
n
i2
1 n1

i 1
n
( xi x ) 2
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算术平均值标准偏差的估计值 ：
s( x )
s( x ) n
在一定测量条件下（真值未知），对同一被测 几何量进行多组测量(每组皆测量N 次)，则对应每 组N 次测量都有一个算术平均值，各组的算术平均 值不相同。不过，它们的分散程度要比单次测量值 的分散程度小得多。描述它们的分散程度同样可以 用标准偏差作为评定指标。
随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏 差相同，只是横坐标相差
p( )
p( x)
0
(a)随机误差

0
(b) 测量数据
x
图3－1 随机误差和测量数据的正态分布曲线
随机误差具有：①对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④抵偿性
14
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）
标准偏差意义
标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离 散程度的特征数。 标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数 据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平 坦，说明数据越分散。 p( )

1 2 3
0

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(2)有限次测量的数学期望和标准偏差的 估计值
有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值 规定：使用算术平均值为数学期望的估计值，并 作为最后的测量结果。


理论依据：算术平均值是数学期望的无偏估计值、 一致估计值和最大似然估计值。
16
(2)有限次测量的数学期望和标准偏差的 估计值
5
3.1.1 测量误差的分类（续）
4.系差和随差的表达式
在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差
i x A xi x xi A xi
各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数 和。 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同 时存在的。

可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随 机误差对测量结果的影响。
9
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）
1. 随机误差的分布规律
（1）随机变量的数字特征 ① 数学期望:反映其平均特性。其定义如下： X为离散型随机变量：
μ E(X) xi pi i 1

X为连续型随机变量：
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(1) 随机误差的分布规律


随机变量的正态分布
测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造 成的许多微小误差的总和。 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示 为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变 量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变 量服从正态分布。
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(1) 随机误差的分布规律
i
（2）变化的系统误差
①
i
0
i
0
i
存在线性变化的系统误差
无明显系统误差
28
3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）
②马利科夫判据： 若有累进性系统误差，D 值应明显异于零。
当n为偶数时， 当n为奇数时，
D

24
3.2.1随机误差的统计特性及减 少方法(续）
25
3.2.1随机误差的统计特性及减 少方法(续）
26
3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）
1. 系统误差的特征 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符 号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。 多次测量求平均不能减少系差。
第3章．测量误差及数据处理
3.1
测量误差的分类和测量结果的表 测量误差的估计和处理
征
3.2 3.3 3.4
测量不确定度
测量数据处理
1
3.1测量误差的分类和测量结果的表征
3.1.1 测量误差的分类 根据测量误差的来源，测量误差可分为随机误差、系统 误差、粗大误差三类。 1.随机误差 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量 同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和 符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或 偶然误差，简称随差。 随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量 因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、 零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、 测量人员感官的无规律变化等

a b
d c
0
t
图 3－7 多种系统误差的特征 其中：a----不变系差 c-----周期性系差 b-----线性变化系差 d-----复杂规律变化系差
27
3.2.2 系统误差的判断及消除方法（续）
2. 系统误差的发现方法

（1）不变的系统误差：

校准、修正和实验比对。 残差观察法，适用于系统误差比随机误差大 的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图， 观察各数据的残差重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
i xi x
( n )
3
3.1.1 测量误差的分类（续） 2.系统误差 定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测 量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变 时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的 刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确， 环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使 用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。 系差越小，测量就越准确。 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值 之差。即
2
3.1.1 测量误差的分类（续）



例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得 到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V， 1.237V。 单次测量的随差没有规律， 但多次测量的总体却服从统计规律。 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
x1 x2 xn 1 n x xi n n i 1
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区间越宽， 置信概率越大
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）
（3） t分布的置信限
t分布与测量次数有关。当n>20以后，t分布 趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分 布。 当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度 较大，即对于相同的概率，t分布比正态分 布有更大的置信区间。 给定置信概率和测量次数n，查表得置信因 子kt。 自由度：v=n-1



我们知道绝对误差是由系统误差，随机误差，粗大误差构 成，其中粗大误差可以剔除，故真正意义上的绝对误差是 由系统误差加随机误差构成。 我们知道系统误差主要取决于测量仪器的测量原理，以及 测试方法（比如交换法)决定的。而一旦测量原理，方法 定下来，系统误差就基本决定下来。你不能指望具有1%系 统误差的装置（及方法）最终测量误差只有0.5%。 当测量仪器，方法都定下来之后，我们后期能做的只有改 进数据处理方法，以减小随机误差。 但由于测量的次数在实际上总是有限次的，我们只能将随 机误差压缩到一定程度（用平均值的标准偏差来衡量）， 但对于随机误差到底真正意义上偏离真值的大小也无法确 切给出，随机误差对于真值是正偏还是负偏，无法给出 。 为了最终给出随机误差的大小，我们引入置信概率和置信 区间两个概念。
P[ x E ( x ) k ] P[ k ]

k
k
p( )d

正态分布,当k=3时
P ( 3 )

3
3
p( )d

3
3
2 exp( )d 0.997 2 2 2
1
置信因子k 1 2 3
置信概率Pc 0.683 0.955 0.997
E( X )



xp( x )dx
10
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）
② 方差和标准偏差
方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散 程度。 设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义 为：
D(X)= E(X－E(X))2
标准偏差定义为：

D( X )
11
标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散 程度，并且与随机变量具有相同量纲。
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3. 测量结果的置信问题
（1）置信概率与置信区间： 置信区间 x E( x ) k 内包含真值的概率称为置信概 率。 k 置信概率是图中 置信限：k——置信系数（或置信因子） 阴影部分面积
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续）