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测度论的思想与起源测度论的思想与起源在一维情况下，我们常常研究一个线段的长度，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积，四维还要研究什么？19世纪下半叶，不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成了测度论。
所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。
就是需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的一个子集，我们都能够最终得到一个数字作为其“长度”。
然而这，种方法总要满足一些必要的约束。
第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度，空集的测度是零。
第二，两个线段如果不相交，那么他们的总长度应该等于两者长度之和。
两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各自面积之和，诸如此类。
既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测度，并且这个测度应该等于两者之和。
更进一步，可数无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。
为什么是可数无穷个呢？假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和，那么，既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度，那线段也应该没有长度才对，这与事实矛盾，故强调是可数无穷个。
保证空集的测度是零，并且测度满足可数无穷个集合的可加性，这两个约束条件看似宽松，实则很是苛刻。
于是数学家门另辟蹊径，不是放松这两条限制，而是放松它们的适用范围：不去强求测度能对每个子集都有定义，也就是说，只挑出一些子集来定义测度，便产生了可测集。
在可测集上定义满足上述两个约束条件的测度，那么这样的测度存在并且唯一，数学上称为勒贝格测度。
其次，纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要素。
第一，一个基本空间（即n维欧几里得空间R）以及这个空间的某些子集构成的集类（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。
第二，一个与这个集类有关的函数（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。
测度论与概率论基础pdf
1 概率论与测度论
概率论与测度论是科学统计学研究中最基础的理论，构成数据分
析理论的基础。
概率论是一门探讨现实中诸种概率事件发生的概率分布规律的学科，是数学中一门分支，它以数学分析法研究概率，是研究随机性出
现的理论基础，其核心思想是将不可预言的机率性随机事件，用概率
的概念表示出来，以及用数学的方法分析事件发生的概率。
测度论是管理统计学中的一个专门领域，研究经济变量之间的焦点，总体分布特征，以及多维数据分析，刻画出复杂的统计变量之间
的关系，是当今统计数据分析技术的重要组成部分，在数据分析中起
重要作用。
测度论的核心是如何定义历史数据及其关联性，以及用统
计学方法进行测量，发现数据之间的联系。
概率论与测度论是统计学研究的两个重要领域，其研究方法和应
用及其重要性都被科学工作者广泛认可，应用于实际中计算数据之间
的关系和多维统计变量分析，可以更好地根据数据特征提出发现性结论，发现更多有价值的信息，为后绥研究及应用奠定坚实的基础。
概率论与测度论的基础pdf资料可以在网络上搜索，例如国家统
计局的官网和学术网站上可以下载到很多免费的学术论文和专题资料，这些资料内容涵盖了测度论及其概率论基础方面的内容，可以为研究
者提供较为详细的理论介绍。
此外，还可以在图书馆或学校里查阅专业书籍来加深对概率论和测度论方面的理论探索和应用研究。
总之，概率论和测度论是具有极高学术价值的研究领域，是统计学研究的两个重要分支，为开展数据分析提供了重要的理论基础。
充分认识其重要性，科学研究者们应当认真学习，深入探索，以加快统计学研究领域的发展，最终发现更多有价值的内容，解决实际问题。
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。
中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合。
空集：没有任何元素的集合。
表达方法：{x（集合元素x）|x应该有的性质}·元素与集合的关系：x∈A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x∈A，x∈B则A包含于B（证明就用这个方法），A是B的子集（A≠B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A≠B·集合的运算①单个元素的幂集2X对于一个集合X，它的幂集2X表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合，也叫集合族。
②两个集合的运算交：A∩B={x| x∈A且x∈B}并：A∪B={x| x∈A或x∈B}差：A\B（或写成A-B）={x| x∈A且x∉B}补：A C=U\A（U是问题要研究的全集）于是有等式A\B=A∩B C积：（直积）A ×B={(x,y)| x ∈A 且y ∈B }（把A 、B 中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交⋃A λλ∈I 表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ∈I ，A n x| x>1nA={x| x>0}，则A=⋃A n ∞n=1 ·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{A n }，定义上限集为⋂⋃A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{A n }，定义下限集为⋃⋂A k ∞k=n ∞n=1。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。
④单调集合列：若始终有A n 包含于A n+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有A n+1包含于A n ，则为递减列。
若A n 为递增列，则有极限lim n→∞A n =⋃A n ∞n=1；若为递减列，则有lim n→∞A n =⋂A n ∞n=1。
测度论前置课程1. 引言测度论是数学的一个分支，主要研究如何对集合进行测度的定义和性质。
在实际应用中，测度论被广泛运用于各个领域，如概率论、积分理论、几何学等。
为了更好地理解和应用测度论，掌握一些前置课程是必要的。
本文将介绍一些重要的前置课程，并讨论其与测度论的关系。
2. 集合论基础在学习测度论之前，我们需要对集合论有一定的了解。
集合是数学中最基本的概念之一，在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
我们需要掌握集合的基本运算、集合之间的关系以及集合上的代数结构等内容。
3. 实数与实数空间实数是测度论中一个重要的概念，因为它是定义测度的基础。
我们需要熟悉实数集及其性质，掌握实数序列和实数列极限等概念。
此外，还需要了解实数空间及其性质，如完备性、紧致性等。
4. 测度的基本概念测度是测度论的核心内容，它用来衡量集合的大小。
我们需要了解测度的基本概念，如可测集、测度空间等。
此外，还需要研究测度的一些性质，如非负性、有限可加性等。
5. 测度空间上的积分积分是测度论中另一个重要的概念，它与测度有密切的关系。
我们需要了解积分的定义和性质，包括可积函数、积分域上的积分等内容。
此外，还需要掌握一些重要的积分定理，如Fubini定理、Lebesgue控制收敛定理等。
6. 流形与微分几何流形和微分几何是测度论在几何学领域中的应用。
我们需要了解流形的定义和性质，熟悉流形上的切空间、切向量场等概念。
此外，还需要学习微分形式、黎曼曲率张量等内容，并了解它们与测度论之间的联系。
7. 概率论基础概率论是应用最广泛的数学分支之一，在统计学、金融学、工程学等领域都有重要的应用。
我们需要学习概率论的基本概念，如随机变量、概率分布、期望等。
此外，还需要了解一些重要的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
8. 应用领域测度论在实际应用中有广泛的应用。
我们可以将测度论应用于概率论中的积分理论，从而得到更强大的工具。
此外，测度论还可以应用于几何学中的曲线长度和曲面积分等问题。
数学及物理中的测度理论测度理论是研究如何给集合分配大小的一种数学理论。
在数学和物理学中，我们经常需要对对象进行大小或者数量的描述，而测度理论就是提供了一种系统的方式去描述这些概念。
本文将主要从测度的概念、应用和测度扩张这三个方面来探讨数学及物理中的测度理论。
一、测度的概念在测度理论中，测度指的是一种函数，它将某个集合映射到一个实数或者扩充实数。
在测度理论中，可以将一个集合称为可测集，如果我们可以对该集合进行测度运算。
测度函数遵循的基本规则是：对于任意可测集A、B以及实数C，它们满足以下性质：1. 非负性：对于任意集合A，测度函数返回的结果不会是负数。
2. 集合可数加性：对于可数的A1、A2、...、An，它们满足两两不交，测度函数返回的结果等于它们分别测度的和，即m(A1∪A2∪...∪An)=m(A1)+m(A2)+...+m(An)。
3. 单调性：如果A包含在B中，则m(A)≤m(B)。
4. 正则性：对于任意可测集A，以及任意实数C>0，都存在紧致子集K，使得m(A-K)<C。
5. 完全性：每一个空集的测度是0。
通过这些性质，测度理论可以挖掘出集合的性质以及其内部的规律，奠定数学及物理学的基础。
二、测度的应用测度理论的应用非常广泛，尤其在数学和物理学中。
下面分别从测度在概率统计、物理学和几何学的应用进行介绍。
1. 概率统计在概率统计中，无论是离散分布还是连续分布，都需要对它们进行测度。
例如在连续分布中，我们需要对其进行积分才能获得概率密度函数的大小；而对于离散分布，则可以通过求和来得到测度。
因此，测度在概率统计中起着重要的作用，为我们提供了一种量化概率大小的手段。
2. 物理学在物理学中，例如量子力学和相对论中，测度理论也是重要的基础。
例如，物理学中的波函数如果符合某些基本要求，则被称为可测函数。
此时，我们可以对它进行测度运算，得到物理系统在不同状态下的概率分布。
这为我们提供了处理物理系统概率分布的一种数学工具。
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
一般地，对于任意非空参数集T ，定义交集为},:{T t A A tTt t∈∀∈=∈ωω （1.1.2）（2）和与直和。
集A 和B 的和定义为A B A ∈=ωω:{ ，或者}B ∈ω （1.1.3）如果φ= B A ，则称 B A 为A 与B 的直和，记为A+B 。
ωω:{=∈ Tt tA 至少属于一个},T t A t∈ （1.1.4）并且，如果对任意T t s ∈,，φ= t s A A ，此时将 Tt t A ∈记为∑∈Tt t A 。
（3）差与余。
集A 与B 的差定义为},:{B A B A ∉∈=-ωωω （1.1.5）特别地，当Ω=A 时，B -Ω称为集B 的余集，记为c B 。
（4）上极限。
集合列}1:{≥n A n 的上极限定义为ωω:{lim =∞→n n A 属于无穷多个)}1(≥n A n （1.1.5）可以验证：∞=∞=→∞=1lim n nk k n n A A （1.1.6）（5）下极限。
集合列}1:{≥n A n 的下极限定义为ωω:{lim =∞→n n A 至多不属于有限多个)}1(≥n A n （1.1.7）可以验证：∞=∞=→∞=1lim n n k k n n A A （1.1.8）并且n n n n A A →∞→∞⊂lim （1.1.9）（6）极限。
如果n n n n A A →∞→∞=lim lim （1.1.10）则称集合列}1:{≥n A n 的极限存在，记为n n A ∞→lim 。
定义1.1.1 如果集合列}1:{≥n A n 具有性质：对每个)1(≥n n ，1+⊂n n A A （或n n A A ⊂+1），则称}1:{≥n A n 是单调不减的（或者，单调不增的），简记为↑n A （或者↓n A ）。
不减或者不增的集合列，称为单调集合列。
定理1.1.1 单调集合列的集合列存在，并且 （ⅰ）如果↑n A ，则 ∞=∞→=1lim n n n n A A ；（ⅱ）如果↓n A ，则 ∞=→∞=1lim n n n n A A 。
证明：（ⅰ）如果↑n A ，则⊂⊂⊂⊂n A A A 21 （1.1.11）因此，n nk k A A =∞= ，从而n n n nk k n n n nk k n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞→=⊃==lim 111 （1.1.12）也就是n n n n A A ∞→∞→⊂lim lim ，但是n n n n A A →∞→∞⊂lim lim ，所以n n A ∞→lim 存在，并且等于∞=∞→=1lim n n n n A A （1.1.13）类似地，可以证明（ⅱ）成立。
定义1.1.2（环、域） 假设F 是非空集类，满足条件（1）对“差”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈-B A ； （2）对“和”运算封闭：若F ∈B A ,，则F ∈ B A ； 则称F 是环。
进一步，如果F 是环，并且∈ΩF ，则称F 是域。
定义1.1.3（σ域）假设F 是非空集类，满足条件 （1）F ∈Ω；（2）对“余”运算封闭：若F ∈A ，则F ∈c A ； （3）对“可数和”运算封闭：若F ⊂≥}1:{n A n ，则F ∈∞= 1n nA（1.1.14）则称F 是σ域（或者σ代数）。
例1.1.1 },{Ω⊂=A A F （Ω的一切子集的全体）是σ域，它是Ω为空间的最大的σ域。
例1.1.2 },{φΩ=F 是σ域，它是Ω为空间的最小的σ域。
定义1.1.4（可测空间、可测集、波莱尔可测空间）对于给定的空间Ω及其σ域A 所构成的),(A Ω称为可测空间，A 中的元素称为可测集。
特别地，如果),(∞-∞==ΩR ，B A =是以R 为空间、开集类所构成的σ域，则称),(),(B A R =Ω为波莱尔可测空间1.2 测度定义1.2.1（测度）假设m 是定义在环C 上的集函数，如果满足条件： （1）0)(=φP ；（2）非负性：∞≤≤)(0A P ，对任意∈A C ；（3）σ可加性（或可数可加性）。
对于任意的C ⊂≥}1:{n A n ，)(j i A A j i ≠=φ ，C ∈∑∞=1n nA，均有)()(11∑∑∞=∞==n n n n A P A P （1.2.1）则称P 是C 上的一个测度。
备注：如果P 是C 上的一个测度，C ∈B A ,，φ= B A ，则)()()(B P A P B A P +=+ （1.2.2）从而)()(11∑∑===nk k nk k A P A P （1.2.3）例1.2.1 假设),(∞-∞==ΩR ，∑=∞<≤<-∞=ni i i i i b a b a 1:],({C 且),,2,1](,(n i b a i i =互不相交，1≥n } （1.2.4）在C 上定义集函数∑∑==-=ni i i n i i i a b b a P 11)(]),(( （1.2.5）容易验证：P 是C 上的测度。
例1.2.1 假设},,,,{21 n ωωω=Ω，)(Ω=S C 是Ω的一切子集类 （1.2.6）在C 上定义集函数i i p P =})({ω，∑∑=iii i p P A P ωωω})({)(，0)(=φP （1.2.7）此处)1(≥i p i 是非负实数。
容易验证：P 是C 上的测度。
特别地，如果A A P =)(中点的个数 （1.2.8）则0)(,1})({==φωm m i 。
性质1.2.1（单调性）如果C ∈B A ,，并且B A ⊂，则)()(B P A P ≤证明：因为B A ⊂可得)(A B A B -+=；因为C 是环，以及C ∈B A ,，因此C ∈-A B ；根据测度的可加性，有)()()(A B P A P B P -+= （1.2.9）由于测度的非负性，知0)(≥-A B P ，因此)()(B P A P ≤ （1.2.10）性质1.2.2（减性）如果C ∈B A ,，B A ⊂，并且∞<)(A P ，则)()()(A P B P A B P -=- （1.2.11）证明：在性质1.2.1的证明过程中，有)()()(A B P A P B P -+=由于∞<)(A P ，在上式两边同时减去)(A P ，即可获得所需结论。
性质1.2.3（半σ可加性）如果C ⊂≥}1,{n A n ，C ∈A ，并且 ∞=⊂1n n A A ，则)()(1∑∞=≤n n A P A P （1.2.12）特别地，如果C ∈∞= 1n n A ，则)()(11∑∞=∞=≤n n n n A P A P （1.2.13）性质1.2.4（下连续性）假设C ⊂≥}1,{n A n ，C ∈A ，如果)(∞→↑n A A n ，则)()(A P A P n ↑，也就是)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞→∞→ （1.2.14）证明：由于C ⊂≥}1,{n A n 是单调不减列，因此φ=-==-∞=∞=∑0111),(A A A A A n n n n n （1.2.15）根据测度的σ可加性，可得))((lim )(lim )()()(1111111-=∞→-=∞→-∞=∞=-=-=-==∑∑∑k nk k n k nk k n n n n n n A A P A A P A A P A P A P))(lim n n A P →∞= （1.2.16）即)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞→∞→。
■性质1.2.5（上连续性）假设C ⊂≥}1,{n A n ，C ∈A ，如果)(∞→↓n A A n ，并且存在一个0n A ，使得∞<)(0n A P ，则)()(A P A P n ↓，也就是)()lim ()(lim A P A P A P n n n n ==∞→∞→ （1.2.17）证明：因为)(∞→↓n A A n ，故)(000n n A A A A n n n ≥-↑-，根据性质1.2.4和1.2.2可知：当0n n >时，)()()()()()(0000A P A P A A P A A P A P A P n n n n n n -=-↑-=- （1.2.18）由于∞<)(0n A P ，因此)()(A P A P n ↓，结论成立。
■备注：如果性质1.2.5中条件“∞<)(0n A P ”去掉，则结论不一定成立。
例1.2.2 假设},3,2,1{ =Ω，)(Ω=S C （Ω的一切子集构成的集合），A A P =)(中点的个数已知P 是测度，取1},,2,1,{≥++=n n n n A n （1.2.19）显然，φ↓n A ，且∞=)(n A P ，因此)(0)(lim φP A P n n =≠∞=∞→ （1.2.20）● Lebesgue 测度若I 是一个有界区间，则I 的长度定义为它的两个端点之间的距离，记为)(I l ；若I 是一个无界区间，则定义I 的长度为∞，也记成)(I l ，例如1])1,0([=l ，∞=-∞))0,((l （1.2.1）我们希望将上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集合上去，例如，我们把它推广一个由实数子集构成的集类A ，并且对A 中的每一个元A ，我们用)(A m 表示A 的长度。
