实变函数与泛函分析要点

给想学实变函数和泛函分析的一点建议首先，本人学过到目前为止除了最优化理论其它还没用过，但是最大的收获是数学的一些研究方法，下面是正文不知在哪看过，希望对学弟学妹们有用。

有点长~实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。

首先，实变函数是研究L积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。

因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。

L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。

测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。

也使很多概率理论变得更加严格。

比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。

没有测度论就无法分析连续鞅等等。

另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。

所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。

如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。

没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。

再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。

为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。

所以一般都是先学实变，再学泛函。

当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。

从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。

实变函数与泛函分析要点实变函数是指定义在实数集上的函数。

泛函分析是数学领域中的一个分支，研究无穷维的向量空间中的函数，函数可以是函数空间的元素，也可作为泛函作用于其他函数上。

以下是实变函数与泛函分析的一些重要要点：1.实变函数的定义与性质：实变函数是一个定义在实数集上的函数，即其自变量和值都是实数。

实变函数可以分为一元函数和多元函数两种。

一元实变函数常见的类型包括常值函数、线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

多元实变函数一般是一元实变函数的扩展，引入了多个实数自变量。

2.实变函数的极限与连续性：实变函数的极限概念与数列极限类似，但要考虑函数在自变量无穷大时的极限。

连续函数是实变函数中很重要的一类，其定义是指函数在其定义域内的任意点上都有极限，并且极限值等于函数在该点的函数值。

连续函数具有许多重要的性质，如介值定理、最大最小值定理、魏尔斯特拉斯逼近定理等。

3.实变函数的导数与微分：实变函数的导数是研究实变函数变化率的重要工具，通过导数可以求得函数的切线、切平面、切量等。

导数的定义是函数在一点处的极限，有了导数概念之后，可以引入微分的概念，将实变函数局部线性化。

4.实变函数的积分与级数：实变函数的积分是对函数在一定区间上的面积或曲线下面积进行求和的过程。

具体可以分为定积分和不定积分两种，常见的积分方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。

级数是实变函数的另一个重要概念，是无穷多项之和的极限形式，数学分析中常用到的级数包括幂级数、傅里叶级数等。

5.泛函分析的基本概念：泛函是一个将向量空间中的函数映射到实数域的映射，也可以理解为对函数进行描写或度量的方式。

泛函分析是考虑无穷维向量空间上的泛函的性质与运算的数学分支。

泛函分析包括拓扑向量空间、线性算子、度量性等方面的内容。

6.泛函分析中的函数空间：函数空间是泛函分析中一个重要的研究对象，它是一组具有特定性质的函数的集合。

常见的函数空间包括连续函数空间、可测函数空间、Lp 空间等。

实变函数与泛函分析概要第一章集合根本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集根本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开〔闭〕集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、根本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原那么：P0是E的聚点⇔P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 〔n→∞〕2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，那么A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。

T3：〔A∪B〕′=A′∪B′.3、开〔闭〕集性质〔§3中T1、2、3、4、5〕T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。

〔Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此〕T2：〔开集与闭集的对偶性〕设E是开集，那么CE是闭集；设E是闭集，那么CE是开集。

T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：〔Heine-Borel有限覆盖定理〕设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F〔即Fс∪ｉєＩUi〕，那么ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F〔即F⊂ｍ∪Ui〕〔iєI〕4、开〔闭〕集类、完备集类。

《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄泛函知识点期末总结泛函知识点期末总结一、关于有界线性算子，算子范数等1、设[,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。

求证：T 有界，并求||||T 。

2、设0[,],[,]X C a b t a b =∈。

定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。

求证：f 有界，并求||||f 。

3、设 12123[,],,,,[,],,,,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上的线性泛函f : 若1,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。

二、关于共轭空间的定义及其求解三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间四、变分引理极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子七、完全规范正交基及其判定定理八、Banach 空间的基本定理及其应用九、Banach 共轭算子的定义及其求法十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系十二、完备度量空间的定义及其应用十三、压缩映射原理及其应用十四、h ?lder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式十五、稠密，可分，完备，柯西序列十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性空间。

教学大纲_实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是高级数学中的一门重要课程，主要涉及实变函数的性质及其应用，以及泛函分析中的函数空间与算子的概念和性质。

本教学大纲旨在培养学生对实变函数与泛函分析的基本理论和方法的理解与应用能力。

一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解实变函数的定义、性质和基本的分析方法；2.掌握实数的完备性和实变函数的连续性、可微性等基本概念与定理；3.熟悉重要的实变函数序列收敛的理论和方法；4.理解一元多项式空间及其上的内积、范数等概念；5.了解泛函分析的基本概念，如线性算子、单射、满射、闭算子等；6.掌握泛函分析中重要的泛函空间和赋范向量空间的性质与应用。

二、教学内容1.实变函数的性质与基本分析方法（12学时）1.1实数的完备性与实变函数的极限概念1.2实变函数的连续与可导性质1.3实变函数的积分与微分概念与定理2.实变函数的序列收敛理论与方法（16学时）2.1一致收敛性与收敛级数理论2.2函数项级数的收敛理论与方法2.3 Weierstrass逼近定理的证明与应用2.4傅里叶级数的概念、性质及展开方法3.一元多项式空间与泛函分析基础（14学时）3.1一元多项式空间及其上的内积与范数3.2一元多项式空间中的正交多项式与勒让德多项式3.3泛函分析的基本概念与定理4.泛函空间与线性算子（18学时）4.1泛函空间的定义与性质4.2无穷维度空间的收敛性与紧性4.3线性算子的基本性质与分类4.4线性算子的连续性与有界性5.算子的谱理论与泛函方程（20学时）5.1线性算子的谱理论与应用5.2巴拿赫空间的定义与性质5.3泛函方程的基本理论与应用5.4泛函方程的解的存在唯一性定理三、教学方法1.理论教学：通过讲述与讲解基本概念与定理，引导学生掌握基本原理和方法。

2.解题指导：通过典型例题和习题，引导学生独立思考问题，掌握解题方法和技巧。

3.讨论与交流：鼓励学生参与讨论，提问和回答问题，促进学生之间的交流与合作。

大学数学实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是大学数学中的重要内容。

实变函数研究的是定义在实数域上的函数，而泛函分析则是研究函数的泛函（即对函数的函数）。

这两个领域相辅相成，共同构成了大学数学中的重要组成部分。

本文将从以下几个方面进行探讨：实变函数的基本概念、实变函数的性质、泛函分析的基本概念以及实变函数与泛函分析的应用。

一、实变函数的基本概念在进一步深入实变函数之前，我们首先需要了解实变函数的基本概念。

实变函数是定义在实数域上的函数，通常用f(x)来表示。

在实变函数中，我们常常会遇到连续性、可导性、积分等概念。

例如，连续性是实变函数的重要性质之一，它描述了函数在给定区间上的光滑程度。

另外，我们还需要了解实变函数的极限、导数、微分等概念，并掌握它们的计算方法与性质。

二、实变函数的性质实变函数有许多重要的性质，这些性质在数学推导和证明中起着重要的作用。

其中，实变函数的一致收敛性是一项十分重要的性质。

一致收敛性涉及到了数列与函数之间的关系，在实际应用中具有广泛的应用。

此外，我们还需要探讨实变函数的极值、凸函数、泰勒展开等性质，并了解它们的应用与意义。

三、泛函分析的基本概念泛函分析是实变函数的推广，它研究的是定义在函数空间中的函数。

在泛函分析中，我们需要学习函数空间的结构、度量、拓扑等概念。

函数空间是泛函分析中的核心概念，它描述了不同函数之间的关系与性质。

此外，我们还需要了解泛函的概念与性质，学习泛函的极值、约束条件等问题，并掌握泛函分析的基本定理与方法。

四、实变函数与泛函分析的应用实变函数与泛函分析在科学研究与工程技术中有着广泛的应用。

在数学领域，实变函数与泛函分析的理论为其他分支学科提供了重要的工具与方法。

在物理学中，实变函数的泰勒展开与级数求和等技术被广泛应用于物理问题的建模与求解。

在工程技术中，泛函分析的优化理论与方法为工程问题的优化与设计提供了理论支持。

因此，实变函数与泛函分析的应用在现代科学与技术中具有重要的地位与作用。

实变函数与泛函分析概要
《实变函数》的内容包含五大部分：第一部分为集与点集，包括朴素集合论与点集拓扑的基本知识；第二部分为勒贝格测度，包括勒贝格测度的引人，内测度，外测度，可测集的性质；第三部分为可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；第四部分为勒贝格积分，包括勒贝格积分的引人，积分性质，积分序列的极限，R积分L积分的比较等；第五部分为函数空间。

泛函分析是一门极其重要的基础数学课程。

对绝大多数现代数学研究领域都是必不可少的修养之一，对诸多应用科学也有广泛的影响。

本课程的主要内容包括空间，距离空间，赋范空间，内积空间，及其上的有界线性算子的理论。

结合空间，空间等常用的例子，重点介绍一些前沿科学中的分析方法。

天天上自习，必成高富帅！。

实变函数与泛函分析学习指导学习指导实变函数与泛函分析的目的就是为了应用，这里我们需要注意两点：一是重视概念、定理、公式和结论；二是熟练掌握基本技能。

概念、定理、公式、结论是解题时依据的准则，不熟练掌握就会束手无策。

特别是概念、定理、公式和结论的应用，它决定着解题的方法，使解题正确、迅速。

不要求定理掌握的深刻程度，只要求运用得熟练，记住了就行。

因此，做题时要“言之有物”，答案才有说服力。

要加强概念、定理、公式和结论的训练。

凡是遇到困难就回避，甚至放弃的人，最终是不可能成功的。

一般来讲，要在三个层次上下工夫：1．在教材上下工夫，领会其本质。

1．学好实变函数的必要性（适用范围）：实变函数是数学各个专业都会接触到的一门课程。

通过学习它，可以了解更多的关于自然科学、社会科学等各种学科中函数的应用。

如：生产函数、生活函数、存款利息率、股价指数、一些文字的笔画、符号的变化规律等，函数的变化对自然界和人类社会产生的影响及规律。

函数可以被用来建立数学模型、解决实际问题，还可以帮助人们研究复杂的自然现象。

它与几何的配合起到了很大的作用。

高等数学的另一个重要的内容——微积分也离不开它。

所以学好实变函数是很有必要的。

例1：已知，证明当n=3时，函数f(x)满足：|f(x)|=1+3| x|-|x|=3。

2．熟练掌握基本技能。

首先是熟练地读题，准确地理解题意，然后再根据题意列出基本关系式，最后选择恰当的方法解题。

对于不太熟悉的题，首先要找到突破口，再解题。

4．基础要扎实。

要弄清实变函数的来龙去脉，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，这样才能较好地把握该门课程的基本内容。

5．以课本为主，不要盲目涉猎其他资料，否则不但会分散精力，而且往往达不到应有的效果。

以课本为主是说除了课本外，不要去参考任何一本辅导书，否则将是事倍功半。

对于辅导书，老师也会按照课本的顺序进行辅导，同学们千万不要自己去买一些辅导书看。

2．对应用泛函理论的前提有两个必须加以明确：首先是要把基本初等函数先学好，在此基础上学好分析中的导数概念、差分以及偏导数等内容。

实变函数论与泛函分析实变函数论与泛函分析是以函数论为基础的一门数学分支，它不仅涉及到函数的定义、性质及其变换，还研究函数的结构和局部行为，它是近代数学研究中一个新兴的领域。

它研究多元可积函数、变分和微分方程、变分方程等。

实变函数论与泛函分析在统计学、数值分析、动力系统以及经济学等各个领域得到了广泛的应用。

实变函数论的发展源于传统的泛函分析，它集中研究变分的无穷维函数的性质。

由于它涉及到函数的分析，无穷维函数的构造以及复杂而难懂的定理，它是抽象的数学学科。

随着函数论的发展，实变函数论逐渐从泛函分析研究中分离出来，成为一门独立的理论。

实变函数论与泛函分析的研究内容与传统的泛函分析有很大的不同，主要包括：首先，它研究实变函数之间的关系，而不是复变函数之间的关系；其次，它研究实变函数及其变分的本质特性，而不是实变函数及其狄拉克或拉格朗日变分的表达式。

实变函数的特性与变分的表达式有很大的不同，需要引入新的概念和思想来研究它们。

实变函数论与泛函分析的应用领域也很广泛，对于统计、机器学习和数值分析有着重要的意义。

它可以用来解决各种复杂的数据模型中出现的复杂的优化问题，如机器学习中的支持向量机问题，可以用实变函数论来分析数据，从而获得更准确的结果。

另外，实变函数论也可以用来研究微分方程、动力系统和经济学中的经典模型。

比如Rogosin的模型就是基于实变函数论的理论研究，它可以用来评估经济影响的结果。

实变函数论与泛函分析是一门新兴的领域，它和传统的泛函分析有很大的不同。

它研究实变函数之间的关系，以及实变函数及其变分的本质特性，应用领域也很广泛，对于统计学、机器学习、数值分析以及动力系统、经济学等都有重要的意义。

它不仅可以评估经济影响的结果，还可以用来解决复杂的数据模型中出现的优化问题，从而取得更准确的结果。

实变函数论与泛函分析是多学科数学研究的新兴领域，具有广阔的发展前景。

实变函数与泛函分析概要1本文以《实变函数与泛函分析概要1》为标题，主要探讨实变函数和泛函分析的概念、特点、应用等内容。

实变函数是一种重要的数学函数。

它概括了几何、算术、数论以及空间几何学等概念，在解析几何学中用于表示各种几何图形，在复分析学中用于表示曲线和曲面，在变分微积分中用于表示特殊函数。

它通过对实数的操作，可以用来解决很多数学问题。

泛函分析是一种广泛使用的数学理论。

它的理论体系由具体的数学方法和表达式学所组成，可以用来研究实变函数、动力系统、微分方程等问题。

它运用假设，建立抽象的概念，从而提出逻辑和数学问题，最终形成一个理论体系，这些理论可以帮助我们解决实际问题。

实变函数与泛函分析有着千丝万缕的联系，两者结合可以更好地推动理论研究和实际应用。

首先，实变函数用来解决数学问题，而泛函分析则用来研究实变函数。

实变函数可以用来表示几何图形，而泛函分析可以用来证明这些几何图形的存在性以及它们在数学中的正确性。

此外，泛函分析可以为实变函数提供更为全面的研究，从而解决更多的问题，它也可以帮助我们了解动力系统、微分方程等问题。

另外，实变函数与泛函分析在工程领域也有重要的应用。

在机械设计的过程中，需要使用实变函数来描述几何形状，可以使用泛函分析来求解这些几何形状的参数，使机械设计更完善。

在自动控制系统中，需要使用泛函分析来分析系统的性能，并利用实变函数来描述系统的状态，使系统更可靠。

从上面的分析可以看出，实变函数与泛函分析在理论研究和实际应用上都有着十分重要的作用。

他们结合可以更好地解决实际问题，使得数学研究取得更大进展。

综上所述，实变函数与泛函分析是一种重要的数学方法，它们可以帮助我们解决数学问题，也可以在工程领域发挥重要作用。

这两种方法结合可以有效提高我们的研究工作，为社会发展做出积极贡献。

主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点.1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点.尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用.2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了.3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理， 然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理2.2.5），聚点存在定理（定理2.1.5）以及直线上开集的结构定理（定理2.3.1）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用.4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数 ，下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.复习题一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。

（× ）2、设P ，nQ R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。

实变及泛函分析初步自学考试大纲第一章 集合（一）重点集合的概念, 集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；单射, 满射, 一一映射, 映射基本性质, 集合的势, 对等, 对等基本性质, 基数, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质, 不存在基数最大的无限集；nR 中的距离, 邻域, 区间, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；收敛点列, 聚点, 聚点的等价定义, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质；δG 集合, σF 集合, δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。

识记：集合的概念, 集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；单射, 满射, 一一映射, 集合的势, 对等, 对等基本性质, 基数, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质, 不存在基数最大的无限集；nR 中的距离, 邻域, 区间, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；收敛点列, 聚点, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质, δG 集合, σF 集合, δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。

理解：集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；一一映射, 映射基本性质, 集合对等的基本性质, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质；nR 中的距离, 邻域, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；聚点, 聚点的等价定义, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质；δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。

第一章是关于集合及其操作的概念。

所谓“集合”（或“集合”）是指可以在一定范围内彼此区分的事物的集合。

构成集合的每个事物都称为集合的元素或点。

如果x是组成集合的事物之一，则说a包含x，或者X属于a。

相反，如果x不是组成集合a的事物，则a不包含x，或者X不属于a，表示为X闻到A。

对于物质X和集合a，“x∈a”和“x 臭味a”之间只有一个关系。

为方便起见，我们引入了不包含任何元素的所谓集合，称为空集合，并表示为碬注意，集合中的每个元素必须彼此不同。

同一元素在集合的表示中仅出现一次。

1. 1. 1. 2.集合A的相等性和包含性。

如果集合a的所有元素都是集合B 的元素，即X∈A和X∈B，则a称为B的子集，而a为表示包含B，或B包含a，记录为油炸B或B汽车a如果油炸B和≠B，则a称为B的适当子集。

指定空集为B的子集任何一组。

关系“油炸”满足：（I）油炸的；（II）如果将B炸成B而将B炸成a，则a = B; （III）如果将B炸成B，则将C炸成C，那么将由集合B中的所有元素和集合B中的所有元素组成的集合称为a和B的并集，称为∪B，即，则设置为B {xxa或x B}。

由a 和B的所有公共元素组成的集合称为a和B的交集，称为a∩B，即a∩B∩x∈a和X∈B}。

特别地，如果a = B，即a和B没有共同的元素，则a和B被说成是不相交的。

由属于a 但不属于B的所有元素组成的集合称为a和B的差集，这称为＼B {x x A和x B}。

∈如果炒x，则x ＼A称为与x的a的互补集（或补码），表示为ca关于“联合”，“交集”和“余数”的以下操作属性如下：（I）交换律a B = B a，a B B = B B B = B B = B B B B = B B B = B B B B B B B B B B B ∪B∪C∩B∩B“和“余数”具有以下操作特性：（I）交换律a∪B∪B = B∪a，a，a，B∪b）∩C =（a∩C）（B∩C），（a∩C），（a）b）∪（aB∩C∩ccccc（IV）对偶定律（De Morgan公式）（a∪b）（a∪b））=a∩B，（a）b）= CC cca∪B.1 Chang 1光滑4个集合族如果集合a的元素是集合X的子集，则将a称为集合x上的集合x的集合族。