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贝叶斯滤波(五)卡尔曼滤波算法推导贝叶斯滤波和卡尔曼滤波是两种常用的滤波算法，用于对系统状态进行估计和预测。
本文将从理论推导的角度，介绍贝叶斯滤波和卡尔曼滤波的基本原理和推导过程。
贝叶斯滤波是一种基于贝叶斯定理的滤波算法，通过将先验知识和观测数据相结合，对系统状态进行更新和预测。
贝叶斯滤波的基本思想是将系统状态表示为一个概率分布，并通过观测数据来更新这个概率分布。
贝叶斯滤波的核心是贝叶斯定理，即后验概率等于先验概率乘以似然函数除以归一化常数。
卡尔曼滤波是一种线性高斯滤波算法，用于对线性系统进行状态估计。
卡尔曼滤波的基本原理是通过对系统状态和观测数据的线性组合，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波分为两个步骤，即预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，通过系统模型和先验知识对系统状态进行预测；在更新步骤中，通过观测数据对系统状态进行修正。
下面我们将从贝叶斯滤波开始，推导出卡尔曼滤波的基本原理。
考虑一个连续时间的线性动态系统，其状态方程和观测方程可以表示为：状态方程：x(t) = A(t)x(t-1) + w(t)观测方程：z(t) = H(t)x(t) + v(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态，z(t)表示在时刻t的观测数据，A(t)和H(t)分别表示状态转移矩阵和观测矩阵，w(t)和v(t)分别表示过程噪声和观测噪声。
为了简化推导过程，我们假设过程噪声和观测噪声都是高斯分布，并且相互独立。
即w(t)∼N(0,Q(t))，v(t)∼N(0,R(t))。
根据贝叶斯滤波的基本原理，我们需要求解后验概率分布P(x(t)|z(1:t))，即给定观测数据z(1:t)，求解系统状态x(t)的概率分布。
根据贝叶斯定理，后验概率可以表示为：P(x(t)|z(1:t)) = P(z(t)|x(t),z(1:t-1))P(x(t)|z(1:t-1)) / P(z(t)|z(1:t-1))其中，P(z(t)|x(t),z(1:t-1))表示给定状态x(t)和之前观测数据z(1:t-1)的条件下，观测数据z(t)的概率分布；P(x(t)|z(1:t-1))表示给定之前观测数据z(1:t-1)的条件下，状态x(t)的概率分布；P(z(t)|z(1:t-1))表示给定之前观测数据z(1:t-1)的条件下，观测数据z(t)的概率分布。
卡尔曼滤波算法原理卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用来估计系统状态的算法。
它基于对系统的数学模型和测量数据进行分析，通过使用贝叶斯统计推断来计算系统当前的最优状态估计。
卡尔曼滤波算法在控制系统、导航系统、机器人学、图像处理等领域有广泛的应用。
卡尔曼滤波算法的原理可以概括为以下几步：1. 系统建模：首先，需要建立系统的数学模型，包括系统的动态方程和观测方程。
动态方程描述了系统状态的演化规律，而观测方程则描述了系统状态与测量值之间的关系。
这些方程通常以线性高斯模型表示，即系统的状态和测量误差符合高斯分布。
2. 初始化：在开始使用卡尔曼滤波算法之前，需要对系统状态进行初始化。
这包括初始化系统状态的均值和协方差矩阵。
通常情况下，均值可以通过先验知识来估计，而协方差矩阵可以设置为一个较大的值，表示对系统状态的初始不确定性较大。
3. 预测：在每一次测量之前，需要对系统的状态进行预测。
预测过程基于系统的动态方程，将上一时刻的状态估计作为输入，得到当前时刻的状态的先验估计。
预测的结果是一个高斯分布，其均值和协方差矩阵表示了对当前状态估计的不确定性。
4. 测量更新：当获取了新的测量值时，需要将其与预测结果进行比较，以修正对系统状态的估计。
测量更新过程基于系统的观测方程，将预测的状态估计与实际的测量值进行比较，得到对系统状态的最优估计。
测量更新的结果也是一个高斯分布，其均值和协方差矩阵表示了对当前状态估计的不确定性。
5. 迭代：在每一次测量更新之后，会得到对系统状态的最优估计。
然后，可以根据当前估计的状态再次进行预测，并等待下一次的测量更新。
这样，通过不断地迭代，卡尔曼滤波算法可以逐步提高对系统状态的估计精度。
卡尔曼滤波算法的核心思想是将动态方程和观测方程结合起来，使用贝叶斯推断的方法进行状态估计。
通过动态方程对系统进行预测，再通过观测方程修正预测结果，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波算法在估计过程中考虑了对系统状态的不确定性，通过动态预测和测量更新不断修正对系统状态的估计结果，达到更准确的状态估计。
卡尔曼滤波算法的程序实现和推导过程卡尔曼滤波算法的程序实现和推导过程---蒋海林（QQ：280586940）---卡尔曼滤波算法由匈牙利裔美国数学家鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Emil Kalman）创立，这个数学家特么牛逼，1930年出生，现在还能走能跳，吃啥啥麻麻香，但他的卡尔曼滤波算法已经广泛应用在航空航天，导弹发射，卫星在轨运行等很多高大上的应用中。
让我们一边膜拜一边上菜吧，下面就是卡尔曼滤波算法的经典程序，说是经典，因为能正常运行的程序都长得差不多，在此向原作者致敬。
看得懂的，帮我纠正文中的错误；不太懂的，也不要急，让我慢慢道来。
最后希望广大朋友转载时，能够保留我的联系方式，一则方便后续讨论共同进步，二则支持奉献支持正能量。
void Kalman_Filter(float Gyro,float Accel)///角速度，加速度{///陀螺仪积分角度（先验估计）Angle_Final = Angle_Final + (Gyro - Q_bias) * dt;///先验估计误差协方差的微分Pdot[0] = Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0];Pdot[1] = - PP[1][1];Pdot[2] = - PP[1][1];Pdot[3] = Q_gyro;///先验估计误差协方差的积分PP[0][0] += Pdot[0] * dt;PP[0][1] += Pdot[1] * dt;PP[1][0] += Pdot[2] * dt;PP[1][1] += Pdot[3] * dt;///计算角度偏差Angle_err = Accel - Angle_Final;///卡尔曼增益计算PCt_0 = C_0 * PP[0][0];PCt_1 = C_0 * PP[1][0];E = R_angle + C_0 * PCt_0;K_0 = PCt_0 / E;K_1 = PCt_1 / E;///后验估计误差协方差计算t_0 = PCt_0;t_1 = C_0 * PP[0][1];PP[0][0] -= K_0 * t_0;PP[0][1] -= K_0 * t_1;PP[1][0] -= K_1 * t_0;PP[1][1] -= K_1 * t_1;Angle_Final += K_0 * Angle_err; ///后验估计最优角度值Q_bias += K_1 * Angle_err; ///更新最优估计值的偏差Gyro_Final = Gyro - Q_bias; ///更新最优角速度值}我们先把卡尔曼滤波的5个方程贴上来：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……… (1)//先验估计P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A ’+Q ……… (2)//协方差矩阵的预测Kg(k)= P(k|k-1) H ’ / (H P(k|k-1) H ’ + R) ……… (3)//计算卡尔曼增益 X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k) - H X(k|k-1)) ……… (4)通过卡尔曼增益进行修正 P(k|k)=（I-Kg(k) H ）P(k|k-1) ……… (5)//更新协方差阵这5个方程比较抽象，下面我们就来把这5个方程和上面的程序对应起来。
卡尔曼滤波推导过程卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于估计比实际观测更加精确的状态值的算法。
它由卡尔曼提出并在20世纪60年代的航天任务中得到广泛应用。
卡尔曼滤波的基本思想是将实际观测值和先验估计值加权平均，得到更加准确的状态估计值。
假设我们有一个系统，其状态在每个时刻t都可以用一个向量表示，记为x(t)。
该系统的状态在每个时刻会根据一个线性动态模型进行变化，而且可能受到一些噪声的影响。
我们通过一些观测来获得系统状态的估计。
预测步骤：在预测步骤中，我们需要使用系统的动态模型来预测下一个时刻的状态估计值。
假设动态模型可以表示为：x(t)=F(t)x(t-1)+B(t)u(t-1)+w(t-1)其中，F(t)是状态转移矩阵，描述系统状态如何从t-1时刻过渡到t时刻；B(t)是输入控制矩阵，描述控制量对状态变化的影响；u(t-1)是输入控制向量；w(t-1)是状态转移噪声，假设为零均值的高斯白噪声。
系统的状态估计误差可以用协方差矩阵P(t)表示。
卡尔曼滤波假设这个误差也是根据系统模型的动态演化规律进行更新。
假设误差协方差满足以下方程：P(t)=F(t)P(t-1)F(t)T+Q(t-1)其中，Q(t-1)是过程噪声协方差矩阵，也是零均值的高斯白噪声。
更新步骤：在更新步骤中，我们需要使用观测量来重新调整状态估计值和协方差矩阵。
假设我们在时刻t观测到一个向量z(t)，其与系统的状态有线性关系：z(t)=H(t)x(t)+v(t)其中，H(t)是观测矩阵，描述观测量和系统状态的关系；v(t)是观测噪声，假设为零均值的高斯白噪声。
通过比较观测值z(t)和状态估计值的预测值，我们可以计算误差的协方差矩阵S(t)：S(t)=H(t)P(t)H(t)T+R(t)其中，R(t)是观测噪声协方差矩阵，也是零均值的高斯白噪声。
卡尔曼增益K(t)可以用于权衡观测值和状态估计值的权重。
它的计算公式为：K(t)=P(t)H(t)T(S(t))^(-1)通过观测值和卡尔曼增益，我们可以更新状态估计值和协方差矩阵。
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于估计、预测和控制的最优滤波方法，由美国籍匈牙利裔数学家卡尔曼（Rudolf E. Kalman）在1960年提出。
卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，通过对测量数据和系统模型的融合，可以得到更准确、更可靠的估计结果。
在各种应用领域，如导航、机器人、航空航天、金融等，卡尔曼滤波都被广泛应用。
1. 卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波的基本原理是基于状态空间模型，将系统的状态用随机变量来表示。
它假设系统的状态满足线性高斯模型，并通过线性动态方程和线性测量方程描述系统的演化过程和测量过程。
具体而言，卡尔曼滤波算法基于以下两个基本步骤进行：1.1 预测步骤：通过系统的动态方程预测当前时刻的状态，并计算预测的状态协方差矩阵。
预测步骤主要是利用前一时刻的状态和控制输入来预测当前时刻的状态。
1.2 更新步骤：通过系统的测量方程，将预测的状态与实际测量值进行融合，得到最优估计的状态和状态协方差矩阵。
更新步骤主要是利用当前时刻的测量值来修正预测的状态。
通过不断迭代进行预测和更新，可以得到连续时间上的状态估计值，并获得最优的估计结果。
2. 卡尔曼滤波的优势卡尔曼滤波具有以下几个优势：2.1 适用于线性系统与高斯噪声：卡尔曼滤波是一种基于线性高斯模型的滤波方法，对于满足这些条件的系统，卡尔曼滤波能够给出最优的估计结果。
2.2 递归计算：卡尔曼滤波是一种递归滤波算法，可以在每个时刻根据当前的测量值和先前的估计结果进行迭代计算，不需要保存过多的历史数据。
2.3 最优性：卡尔曼滤波可以通过最小均方误差准则，给出能够最优估计系统状态的解。
2.4 实时性：由于卡尔曼滤波的递归计算特性，它可以实时地处理数据，并及时根据新的测量值进行估计。
3. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在多个领域都有广泛的应用，以下是一些典型的应用例子：3.1 导航系统：卡尔曼滤波可以用于导航系统中的位置和速度估计，可以结合地面测量值和惯性测量传感器的数据，提供精确的导航信息。
卡尔曼滤波器公式推导卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的优秀方法，它结合了系统的动力学模型和测量数据，能够提供精确的状态估计。
本文将以卡尔曼滤波器公式为基础，探讨其推导过程和应用。
我们需要明确卡尔曼滤波器的基本原理。
卡尔曼滤波器是一种递归算法，通过对系统状态进行预测和更新，不断修正估计值，从而实现对系统状态的精确估计。
其核心思想是将系统的动力学模型与测量数据进行融合，以获得更准确的状态估计。
卡尔曼滤波器的推导过程基于贝叶斯滤波理论，其中最重要的两个步骤是预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动力学模型，利用当前的状态估计和控制输入，推导出下一时刻状态的预测值。
而在更新步骤中，根据测量数据和预测值的差异，修正状态估计值，以获得更准确的状态估计。
卡尔曼滤波器的公式可以总结如下：1. 状态预测方程：x(k) = F * x(k-1) + B * u(k-1)其中，x(k)表示时刻k的状态向量，F表示状态转移矩阵，B表示控制输入矩阵，u(k-1)表示时刻k-1的控制输入。
2. 协方差预测方程：P(k) = F * P(k-1) * F' + Q其中，P(k)表示时刻k的状态协方差矩阵，Q表示过程噪声协方差矩阵。
3. 测量预测方程：y(k) = H * x(k)其中，y(k)表示时刻k的测量向量，H表示测量矩阵。
4. 卡尔曼增益方程：K(k) = P(k) * H' * (H * P(k) * H' + R)^(-1)其中，K(k)表示时刻k的卡尔曼增益矩阵，R表示测量噪声协方差矩阵。
5. 状态更新方程：x(k) = x(k) + K(k) * (y(k) - H * x(k))其中，x(k)表示时刻k的状态向量，y(k)表示时刻k的测量向量。
6. 协方差更新方程：P(k) = (I - K(k) * H) * P(k)其中，P(k)表示时刻k的状态协方差矩阵，I表示单位矩阵。
通过以上公式，我们可以看出卡尔曼滤波器的推导过程是基于系统的动力学模型和测量数据进行的。
卡尔曼滤波详细推导《卡尔曼滤波详细推导》引言卡尔曼滤波是一种用于估计动态系统状态的强大方法。
它基于贝叶斯定理和最小均方差原则，能够精确估计系统的状态，并优化其预测性能。
本文将详细推导卡尔曼滤波的过程和数学原理。
一、基本假设在卡尔曼滤波中，我们做出以下假设：1. 系统是线性的：状态转移方程和观测方程都是线性的。
2. 噪声是高斯且互相独立的：过程噪声和观测噪声都是高斯分布的，并且彼此之间互相独立。
二、状态空间模型状态空间模型是卡尔曼滤波的基本框架，它由状态转移方程和观测方程组成。
假设我们的系统有n个状态变量和m个观测变量，则状态转移方程和观测方程可以分别表示为：状态转移方程：x_k = A_k-1 * x_k-1 + B_k-1 * u_k-1 + w_k-1观测方程：z_k = H_k * x_k + v_k其中，x_k表示系统在时刻k的状态向量，A_k-1是状态转移矩阵，B_k-1是输入矩阵，u_k-1是外部输入向量，w_k-1是过程噪声向量。
z_k表示时刻k的观测向量，H_k是观测矩阵，v_k是观测噪声向量。
三、卡尔曼滤波的递推步骤卡尔曼滤波主要包含两个步骤：预测步骤和更新步骤。
预测步骤：1. 预测状态：根据上一时刻的状态估计和状态转移方程，计算当前时刻的状态的预测值：x_k|k-1 = A_k-1 * x_k-1|k-1 + B_k-1 * u_k-12. 预测误差协方差：根据上一时刻的状态估计的误差协方差和系统噪声，计算当前时刻状态的预测误差协方差：P_k|k-1 = A_k-1 * P_k-1|k-1 * A_k-1^T + Q_k-1更新步骤：1. 计算观测残差：根据观测方程和当前时刻的观测值，计算观测向量的预测值与观测向量之间的残差：y_k = z_k - H_k * x_k|k-12. 计算预测残差协方差：根据预测误差协方差和观测噪声，计算预测残差的协方差矩阵：S_k = H_k * P_k|k-1 * H_k^T + R_k3. 计算卡尔曼增益：根据预测残差协方差和观测残差，计算卡尔曼增益的矩阵形式：K_k = P_k|k-1 * H_k^T * S_k^-14. 更新状态估计：根据预测状态和卡尔曼增益，计算更新的状态估计：x_k|k = x_k|k-1 + K_k * y_k5. 更新误差协方差：根据卡尔曼增益，计算更新的误差协方差矩阵：P_k|k = (I - K_k * H_k) * P_k|k-1四、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波广泛应用于各种需要状态估计的领域。
Kalman Filter(卡尔曼滤波)的推导基本动态系统模型卡尔曼滤波建立在线性代数和隐马尔可夫模型(hidden Markov model)上。
其基本动态系统可以用一个马尔可夫链表示，该马尔可夫链建立在一个被高斯噪声(即正态分布的噪声)干扰的线性算子上的。
系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。
随着离散时间的每一个增加,这个线性算子就会作用在当前状态上，产生一个新的状态,并也会带入一些噪声,同时系统的一些已知的控制器的控制信息也会被加入。
同时，另一个受噪声干扰的线性算子产生出这些隐含状态的可见输出。
为了从一系列有噪声的观察数据中用卡尔曼滤波器估计出被观察过程的内部状态，我们必须把这个过程在卡尔曼滤波的框架下建立模型。
也就是说对于每一步k，定义矩阵Fk, Hk, Qk, Rk，有时也需要定义Bk，如下。
卡尔曼滤波器的模型。
圆圈代表向量，方块代表矩阵，星号代表高斯噪声，其协方差矩阵在右下方标出。
卡尔曼滤波模型假设k时刻的真实状态是从(k ? 1)时刻的状态演化而来，符合下式：其中● Fk是作用在xk?1上的状态变换模型（/矩阵/矢量）。
● Bk是作用在控制器向量uk上的输入－控制模型。
● wk是过程噪声，并假定其符合均值为零，协方差矩阵为Qk的多元正态分布。
时刻k，对真实状态 xk的一个测量zk满足下式:其中Hk是观测模型,它把真实状态空间映射成观测空间，vk 是观测噪声，其均值为零，协方差矩阵为Rk,且服从正态分布。
初始状态以及每一时刻的噪声{x0, w1, ..., wk, v1 ... vk} 都认为是互相独立的.实际上，很多真实世界的动态系统都并不确切的符合这个模型；但是由于卡尔曼滤波器被设计在有噪声的情况下工作,一个近似的符合已经可以使这个滤波器非常有用了。
更多其它更复杂的卡尔曼滤波器的变种，在下边讨论中有描述。
卡尔曼滤波器卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计的历史信息。
基于高斯随机向量统计特性的卡尔曼滤波器推导方法作者：唐子奇谢岚张玉萍来源：《软件导刊》2019年第05期摘要：为帮助需要深入了解卡尔曼滤波器的研究人员或使用卡尔曼滤波器的工程人员深入学习这一非常有用的工具，利用高斯随机向量及其统计学特性，尤其是概率密度函数对卡尔曼滤波递归方程进行推导。
在推导过程中，给出了卡尔曼滤波器推导所需的相关理论依据及数学工具。
该推导方法简单、直观，更便于人们理解卡尔曼滤波器工作机理，并根据实际应用过程进一步开展更深层次的研究。
关键词：高斯随机向量；概率密度函数；卡尔曼滤波器DOI：10. 11907/rjdk. 191361中图分类号：TP3-0 文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2019）005-0058-04Abstract：To help researchers to have in-depth study of Kalman filter or engineers using Kalman filters to learn this very useful tool， the Gaussian random vector and its statistical properties，especially the probability density function， the recursive equation of Kalman filter was derived. In the process of derivation， all the mathematical tools needed for the Kalman filter derivation and the corresponding literature are given. The working mechanism of the Kalman filter can be understood without additional query of other data. In addition， specific references are given for the extension part of the Kalman filter for researchers to conduct further research.Key Words： Gaussian random vector； probability density function； Kalman filter0 引言为了克服维纳滤波器工程实现较为困难的缺点，1960年匈牙利数学家Rudolf Emil Kalman 提出了卡尔曼滤波器[1-2]。
卡尔曼滤波器提出至今已将近60年，并被广泛应用于各个领域[3-9]，但其依然是目标跟踪与数据融合等领域最有效且常用的工具之一。
因此，有必要对其递推方程进行推导，从基本数学公式深入理解卡尔曼滤波器的每条方程，以便能更加灵活地加以应用，或根据具体应用情况对其性能进行改进完善。
卡尔曼滤波是离散时间状态空间线性模型下的最小均方误差估计[10-11]，而在卡尔曼滤波递归过程中传递的是目标状态估计均值与误差协方差矩阵。
因此，典型的卡尔曼滤波器推导方法是利用线性最小均方误差估计准则寻找使误差最小的目标状态估计[12-13]。
该方法中涉及许多向量与矩阵的数学计算，计算过程较为复杂。
因此，该推导方式适合数学功底（特别是随机过程相关知识）比较深厚的研究人员。
文献[14]从一列火车沿铁路运动这一简单跟踪问题出发，利用两个高斯概率密度函数乘积依然服从高斯分布的性质推导了卡尔曼滤波。
为了寻求一种简单、直观且系统的卡尔曼滤波推导方法，使仅有基本代数运算能力的研究者也能较为容易地理解卡尔曼滤波器，本文从卡尔曼滤波器估计对象（目标状态）在统计学中的表示（高斯随机向量）出发，利用高斯随机向量的概率密度函数及其性质对卡尔曼滤波器进行推导，推导过程中给出所有用到的理论依据和数学工具，并且对卡尔曼滤波器每个公式的推导都尽量在两三步之内完成，使得推导过程自成体系。
1 高斯随机向量凡是卡尔曼滤波器所应用的动态系统，其在任意离散时刻的输入与输出必然为高斯随机向量，即其概率密度函数为高斯分布。
卡尔曼滤波采用高斯随机向量的原因是：高斯密度用其前两阶矩即可完整表示。
因此，对于高斯过程而言，前两阶矩的递归传播估计是最优估计方法。
3 结语为了实现一种系统且简单易懂的卡尔曼滤波器推导方法，从卡尔曼滤波器估计对象（目标状态）在统计学中的表示（高斯随机向量）出发，首先给出了高斯随机变量定义及其概率密度函数，并且给出了高斯分布引理，其中两个引理在卡尔曼滤波器推导过程中起到了关键性作用；其次，给出卡尔曼滤波器需要满足的假设条件，只有在这些条件下，卡尔曼滤波器才是最优的；接下来进一步介绍了推导过程中两个必要的统计学工具；最后对卡尔曼滤波器进行推导，推导过程中介绍了所有用到的数学工具，使整篇文章自成体系，并且对每一处关键理论都给出了参考文献，以便研究人员对卡尔曼滤波算法开展更深入的研究。
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