数论综合练习题(2)

第20讲数论综合二兴趣篇1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，请问：这4个数应该分别是多少？答案：1、7、13、19解析：“任意2个数的和都是2的倍数”说明四个数奇偶性相同，“任意3个数的和都是3的倍数”说明四个数除以3的余数相同．若这四个数为奇数，第一个数为1，依次加6可得四个数为1、7、13、19.若这四个数为偶数，第一个数为2，依次加6可得四个数为2、8、14、20.显然第一组更小．2．已知算式（1+2+3+…+n）+ 2007的结果可表示为n（n>l）个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？答案：5个解析：1+2+3+…+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007。

其中1舍去，有5个满足要求的自然数。

3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种，请问：所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？答案：11解析：因为有四种表示方法，至少涉及四个质数，最小的四个质数是2、3、5、7，最小的四个合数是4、6、8、9，恰好有11=7+4=5+6=3+8= 2+9.因此满足条件最小的数是11.4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.请问：满足上述条件的自然数有几组？答案：4组解析：由题目条件得，甲×甲-甲×乙=甲×（甲-乙）2008，将2008写成两个数乘积的形式，有如下几种：2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8．因此满足条件的甲、乙数为(2008，2007)、(1004，1102)、(502，498)、(251，243)，共有4组．5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，请问：它们的和最大可能是多少？答案：170解析(1)两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为81+64=145.(2)两个数均不是平方数，则这两个数为a×m2，a×n2(其中m不等于n).对可能的情况进行讨论：当a=2时，这两个数最大是2×72、2×62，和为98+72=170.当a=3时，这两个数最大是3×25、3×16，和为75+48=123.当a=5时，这两个数最大是5×16、5×9，和为80+45=125.当a=6时，这两个数最大是6×16、6×9，和为96+54=150．……经讨论，和最大为170．6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？答案：502解析：由于2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8，如果这挖个数的和为2008，平均数为1，那么n为2008.如果这n个数的和为1004，平均数为2，那么n为502.知果这n个数的和为502，平均数为4，那么这不可能，如果这n 个数的和为251，平均数为8，那么这不可能，因此n最小是502.7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52-32，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？答案：2680解析：通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为3，5，7，9，11…即除1外，所有的奇数均为“智慧数’’．相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为8，12，16，20，24，28…即除4之外，所有4的倍数的数是“智慧数”，所以1～2000的“智慧数”有2000÷2 +2000÷4-2=1498个．1～2500的“智慧数”有2500÷2+2500÷4-2=1873个．1～2700的“智慧数”有2700÷2+2700÷4-2=2023个．因此第2008个“智慧数”为2680.8．将1001-5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数(余数有可能为0).请问：这99个余数的和是多少？答案：4565解析：100!能够被2，3，4，…，100整除，100!-5除以100的余数为100-5=95，100!-5除以99的余数为99 -5=94，100! -5除以98的余数为98- 5=93，…，100!-5除以6的余数为6-5 =1，除以5余0，除以4余3，除以3余1，除以2余1（判断除以2、3、4的余数，只需用2、3、4的倍数减5即可）．所以余数和为1+1+3+0+1+2+…+94+95=5+(1+95)×95÷2 = 4565.9．卡莉娅、小高和墨莫三人经常去电影院，卡莉娅每隔2天去一次，小高每隔4天去一次，墨莫每隔6天去一次．今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？答案：第6天、第7天和第8天解析：由题意知，卡莉娅将在第4天、第7天、第10天……去电影院．小高将在第6天、第11天、第16天……去电影院．墨莫将在第8天、第15天、第22天……去电影院．则最早出现的连续三天是第6天、第7天和第8天．10.有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．请问：这三个数中最小的一个是多少？答案：50解析：三个连续自然数的平方从小到大依次是10、9、8的倍数，则三个连续自然数从小到大依次是10、3、4的倍数．由龀可推断出三个数中最小的数是10的倍数，并且除以3余2，除以4余2.满足上述条件最小的数是50．拓展篇1．有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数．请问：这个正整数是多少？答案：156解析：设这个正整数为n ，则n+100=b 2，n+168=a 2，两式相减得a 2-b 2=68，而a 2-b 2=(a+b)×（a-b ），68=1×68 =2×34=4×17，由此可得⎩⎨⎧==+，，2b -a 34b a 解得⎩⎨⎧==，16b ,18a 所以n 为156．2．如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2 +b 2=c 2，则称这三个数构成一个勾股数组(a ，b ，c)．与5有关的勾股数组有两组：(3，4，5)和(5，12，13)，请问：与13有关的勾股数组有哪些？答案：(5,12.13)、(13, 84, 85)解析：当c= 13时，则很显然(5，12，13)是一组勾股数．当a=13时，则132 +b 2=169+b 2=C 2，即c 2-b 2=(c+b)×(c-b)=169×1，由此可得⎩⎨⎧==+，1b -c ,169b c 解得⎩⎨⎧==84,b ,85c 因此(13, 84, 85)也是一组勾股数．3.小高往一个水池里扔石子．第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子……他准备扔到水池的石子总数是106的倍数，请问：小高最少需要扔多少次？答案：52次解析：小高扔的石子数为n ×(n+1)÷2，而106=2×53，因此，n 或n+1其中有一个应是53或53的倍数，当n=52时，满足石子数是106的倍数，因此小高最少需要扔52次．4．已知两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998.请问：满足上述条件的数一共有多少组？答案：108组解析：设甲、乙两数分别为6a、6b，其中a与b互质，且6a+6b=1998，即a+b=333=32×37，将333分成两数之和，共有166组分法，其中当两数是3或37的倍数时．两数不互质．同时166÷3=55……1，166÷37 =4……18，其中111被算了两次，因此满足条件的组数有166-55-4+1=108组．5．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数，同学们，你们知道这个数可能是多少吗？答案：64或36解析：若约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．若约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一，约数个数为6个的两位数也不唯一，约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26 =64，是唯一的，同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36.约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在，因此这个数可能为64或36.6．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，请问：这样的正整数最小是多少？答案：270解析：若约数的个位数字为0，则这个数应为10的倍数．若约数的个位数字为9，则这个数至少是9的倍数，这样个位数字为0、1、2、3、5、6、8、9都不用再考虑．再考虑个位数字为7，则至少是7的倍数，或者为27的倍数也可以，满足上述条件的数为630或270.两者都含有个位数字为4的约数．因此最小为270．7．甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和是8，乙的数字和是14，那么甲、乙两数之差是多少？答案：30解析：甲的数字和是8，乙的数字和是14，若没有进位，乘积的数字和应为112，除以9余4，若有进位，每进一位，数字和减少9，最终乘积酌数字和仍然除以9余4，因此这个五位数只能为43 456.分解质因数得43456=26×7×97，容易找到满足条件的数为224和194，差为30.8．A 求最小的正整数n ，使得2006+7n 是完全平方数，答案：29解析：452=2025，2025-2006=19不是7的倍数．462=2116，2116-2006=110不是7的倍数．472 =2209, 2209-2006=203是7的倍数，商为29.因此满足条件的最小的正整数n 为29.9．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．答案：16、24、36、54、81解析：容易想到的结果为10、20、40、80，即公比为2．但实际上公比还可以更小，比如23，此时要求第一项应为24 =16的倍数，因此等比数列可以为16、24、36. 54.。

5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。

另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【例 2】173□是个四位数字。

第20讲数论综合二兴趣篇1.有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，请问：这4个数应该分别是多少？答案：1、7、13、19解析：”任意2个数的和都是2的倍数”说明四个数奇偶性相同，”任意3个数的和都是3的倍数”说明四个数除以3的余数相同.若这四个数为奇数，第一个数为1,依次加6可得四个数为1、7、13、19.若这四个数为偶数，第一个数为2,依次加6可得四个数为2、8、14、20.显然第一组更小.2.已知算式(1+2+3+ - +n) + 2007的结果可表示为n (n>l)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n?答案：5个解析：1+2+3+ - +n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n 份，加到每一项上即可.2007=3 2>223,有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007。

其中1舍去，有5个满足要求的自然数。

3.有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种，请问：所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？答案：11解析：因为有四种表示方法，至少涉及四个质数，最小的四个质数是2、3、5、7,最小的四个合数是4、6、8、9,恰好有11=7+4=5+6=3+8= 2+9.因此满足条件最小的数是11.4.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008请问：满足上述条件的自然数有几组？答案：4组解析：由题目条件得，甲X甲-甲X乙=甲X (型乙)2008,将2008写成两个数乘积的形式，有如下几种：2008=2008 >1=1004 >2=502 ^=251 >8,因此满足条件的甲、乙数为(2008, 2007)、(1004, 1102)、(502, 498)、(251, 243), 共有4组.5.两个不同两位数的乘积为完全平方数，请问：它们的和最大可能是多少？答案：170解析(1)两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为81+64=145.(2)两个数均不是平方数，则这两个数为a>m2, axn2(其中m不等于n).对可能的情况进行讨论：当a=2时，这两个数最大是2X72、2>62,和为98+72=170.当a=3 时，这两个数最大是3>25、3X16,和为75+48=123.当a=5 时，这两个数最大是5X16、5X9,和为80+45=125.当a=6时，这两个数最大是6X16、6X9,和为96+54=150 .……经讨论，和最大为170.6. n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？答案：502解析：由于2008=2008 X1=1004 >2=502 >4=251刈，如果这挖个数的和为2008,平均数为1,那么n为2008.如果这n个数的和为1004,平均数为2, 那么n为502.知果这n个数的和为502,平均数为4,那么这不可能，如果这n 个数的和为251,平均数为8,那么这不可能，因此n最小是502.7. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数” ，比如16=52-32, 16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008 个“智慧数”是多少？答案：2680解析：通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为3, 5, 7, 9, 11…即除1外，所有的奇数均为“智慧数相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为8, 12, 16, 20, 24, 28…即除4之外，所有4的倍数的数是“智慧数；所以1〜2000的“智慧数”伽00攵+2000 ^4-2=1498个.1〜2500的“智慧数”律500攵+2500 W-2=1873个.1〜2700的“智慧数”有2700攵+2700 W-2=2023个.因此第2008个“智慧数”龙680.8.将1001-5分别除以2, 3, 4,…,100,可以得到99个余数（余数有可能为0）请问：这99个余数的和是多少？答案：4565解析：100!能够被2,3,4」,100整除，100!-5除以100的余数为100-5=95 , 100!-5除以99的余数为99 -5=94 , 100! -5除以98的余数为98- 5=93,…，100!-5除以6的余数为6-5 =1 ,除以5余0,除以4余3,除以3余1,除以2余1 （判断除以2、3、4的余数，只需用2、3、4的倍数减5即可）.所以余数和为1+1+3+0+1+2+ …+94+95=5+（1+95） >95 攵=4565.9.卡莉娅、小高和墨莫三人经常去电影院，卡莉娅每隔2天去一次，小高每隔4天去一次，墨莫每隔6天去一次.今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院.如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？答案：第6天、第7天和第8天解析：由题意知，卡莉娅将在第4天、第7天、第10天……去电影院.小高将在第6天、第11天、第16天……去电影院.墨莫将在第8天、第15天、第22天……去电影院.则最早出现的连续三天是第6天、第7天和第8天.10.有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数.请问：这三个数中最小的一个是多少？答案：50解析：三个连续自然数的平方从小到大依次是10、9、8的倍数，则三个连续自然数从小到大依次是10、3、4的倍数.由靛可推断出三个数中最小的数是 10的倍数，并且除以3余2,除以4余2.满足上述条件最小的数是50.拓展篇1 .有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个 完全平方数.请问：这个正整数是多少？答案：156解析：设这个正整数为n,则n+100=b 2, n+168=a 2,两式相减得a 2-b 2=68 ,而 a 2-b 2=(a+b) x (a-b), 68=1 >68 =2 >34=4X17,由此可得2 .如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2 +b 2=c 2,则称这三个数构成一个勾股数 组(a, b, c),与5有关的勾股数组有两组：(3, 4, 5)和(5 , 12, 13),请问： 与13有关的勾股数组有哪些？答案:(5,12.13)、(13, 84, 85)解析：当c= 13时，则很显然(5, 12, 13)是一组勾股数.当a=13时，则 132 +b 2=169+b 2=C 2,即 c 2-b 2=(c+b) >(c-b)=169 X1,由此可得 3c ,解得、c-b = 1,'c=85 ........... 」 ,因此(13, 84, 85)也是一组勾股数.、b=84,3 .小高往一个水池里扔石子.第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三 次扔3颗石子，第四次扔4颗石子……他准备扔到水池的石子总数是 106的倍数, 请问：小高最少需要扔多少次？答案：52次解析：小高扔的石子数为nXn+1)2 而106=2 X53,因此，n 或n+1其中有一个应是53或53的倍数，当n=52时，满足石子数是106的倍数，因此小 高最少需要扔52次.4 .已知两个自然数的最大公约数是 6,两数之和为1998.请问：满足上述条 件的数一共有多少组？a+b =34,a-b =2, a=18,b =16,答案：108组解析：设甲、乙两数分别为6a、6b,其中a与b互质，且6a+6b=1998 , 即a+b=333=3 2刈7,将333分成两数之和，共有166组分法，其中当两数是3 或37的倍数时.两数不互质.同时1663=55……1, 16637 =4……18,其中111被算了两次，因此满足条件的组数有166-55-4+1=108组.5.数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数，同学们，你们知道这个数可能是多少吗？答案：64或36解析：若约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多.若约数个数为3 个，可以用a2来表示，也有很多.约数个数为4个的两位数也有很多.约数个数为5个的数可以表示为a4,有16和81,不唯一，约数个数为6个的两位数也不唯一，约数个数为7个的两位数表示为a6,只有26 =64,是唯一的，同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36.约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在，因此这个数可能为64或36.6.在一个正整数的所有约数中，个位数字为0, 1, 2,…，9的数都出现过，请问：这样的正整数最小是多少？答案：270解析：若约数白个位数字为0,则这个数应为10的倍数.若约数的个位数字为9,则这个数至少是9的倍数，这样个位数字为0、1、2、3、5、6、8、9 都不用再考虑.再考虑个位数字为7,则至少是7的倍数，或者为27的倍数也可以，满足上述条件的数为630或270.两者都含有个位数字为4的约数.因此最小为270 .7.甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和是8,乙的数字和是14,那么甲、乙两数之差是多少？答案：30解析：甲的数字和是8,乙的数字和是14,若没有进位，乘积的数字和应为112,除以9余4,若有进位，每进一位，数字和减少9,最终乘积酌数字和仍然除以9余4,因此这个五位数只能为43 456.分解质因数得43456=2 6X7X97, 容易找到满足条件的数为224和194,差为30.8. A求最小的正整数n,使得2006+7n是完全平方数，答案：29解析：452=2025 ,2025-2006=19 不是7 的倍数.462=2116 ,2116-2006=110 不是7的倍数.472 =2209, 2209-2006=203 是7的倍数，商为29.因此满足条件的最小的正整数n为29.9.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列.答案：16、24、36、54、81解析：容易想到的结果为10、20、40、80,即公比为2 .但实际上公比还3可以更小，比如3 ,此时要求第一项应为24 =16的倍数，因此等比数列可以为2416、24、36. 54.。

数论问题综合练习1.一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是________。

2.a是由2000个9组成的2000位整数，b是由2000个8组成的2000位整数，则a×b的各位数字之和为________。

3.四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是____。

4.有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。

现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，亮着的电灯有________盏。

5.有25张纸片，每张纸片的正面用红色铅笔任意写上一个不超过5的自然数，反面用蓝色铅笔任意写上一个也是不超过5的自然数，唯一的限制是：红色数字相同的任何两张纸片上，所写的蓝色数字一定不能相同。

现在把每张纸片上的红、蓝两个整数相乘，这25个积的和为________。

6.在1×2×3×...×100的积中，从右边数第25个数字是___。

7.各数位上数码之和是15的三位数共有_____个。

8.的末两位数是________。

9.一个千位数字是1的四位数，当它分别被四个不同的质数相除时，余数都是1，满足这些条件的最大的偶数是 ____。

10.有两个三位数，它们的和是999，如把较大数放在较小数的左边，点一个小数点在两数之间所成的数，正好等于把较小数放在较大数的左边，点一个小数点在两数之间所成的数的6倍，那么这两个数的差（大减小）是 ________。

11.四个连续的自然数的倒数之和等于19/20，则这四个自然数两两乘积的和等于________。

12.在1000和9999之间由四个不同的数字组成，而且个位数和千位数的差（以大减小）是2，这样的整数共有___________个。

13.由数字1、2、3、4、5、6、7、8、9组成一切可能的没有重复数字的四位数，这些四位数之和是_______。

《数论》单元测试卷(附答案)第一题
1. 求下列数的最大公约数：
- 20和15的最大公约数是多少？
- 48和36的最大公约数是多少？
答案：
- 20和15的最大公约数是5。

- 48和36的最大公约数是12。

第二题
2. 求下列数的最小公倍数：
- 4和6的最小公倍数是多少？
- 12和15的最小公倍数是多少？
答案：
- 4和6的最小公倍数是12。

- 12和15的最小公倍数是60。

第三题
3. 判断下列命题的真假：
- $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ 能被3整除。

- $2+4+6+8+10+12+14+16$ 能被4整除。

答案：
- $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ 不能被3整除。

- $2+4+6+8+10+12+14+16$ 能被4整除。

第四题
4. 求下列整数的奇偶性：
- 17是奇数还是偶数？
- 48是奇数还是偶数？
答案：
- 17是奇数。

- 48是偶数。

第五题
5. 求下列数的位数：
- 1234有几位数字？
- 有几位数字？
答案：
- 1234有4位数字。

- 有6位数字。

第六题
6. 将45写成因数的形式。

答案：$45=3\times3\times5$。

第七题
7. 是否为回文数？
答案：是回文数。

第八题
8. 求12的质因数。

答案：12的质因数是2和3。

以上是《数论》单元测试卷的题目和答案。

初等数论练习题一一、填空题1、τ(2420)=27；ϕ(2420)=_880_2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

78、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =-1。

9、若p 是素数，则同余方程x p - 1≡1(mod p )的解数为二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

解：易知1271≡50（mod 111）。

数论试题及解析数论是研究整数及其性质的一个分支学科，其重要性不言而喻。

本文将为读者提供一些数论试题，并给出详细解析，以帮助读者更好地理解和掌握数论的基本概念和方法。

一、选择题1. 下列四个数中最大的是：A. 357B. 578C. 695D. 834解析：观察这四个数的个位数，可以发现选项中的个位数依次是7、8、5、4。

因此最大的数应该是选项中个位数最大的数，即选项D。

因此答案为D。

2. 若 p 是一个质数，且 p>2，则有：A. p 是奇数B. p 是偶数C. p 不是奇数也不是偶数D. 无法确定解析：质数只能被1和自身整除。

对于大于2的质数来说，它既不能被2整除也不能被2的倍数整除，所以它一定是奇数。

因此答案为A。

二、填空题1. 设 n 是一个正整数，且满足n ≡ 1 (mod 3)，则 n² - 1 是 3 的 ___倍。

解析：根据同余的定义，n ≡ 1 (mod 3) 表示 n 除以 3 所得的余数是1。

将 n 的值代入，则有 n = 3k + 1，其中 k 是一个整数。

将 n = 3k + 1代入 n² - 1，得到 n² - 1 = (3k + 1)² - 1 = 9k² + 6k + 1 - 1 = 9k² + 6k。

因此，n² - 1 是 3 的 2 倍。

2. 已知 a 是一个奇数，b 是一个偶数，则 a + b 是一个 ___。

解析：奇数加偶数一定是奇数。

因此，a + b 是一个奇数。

三、应用题1. 小明拿一支笔来算数，他发现这支笔的长度恰好可以整除 7 个相同长度的小段。

如果这支笔长度为 x，试求小段的长度和 x 的比值。

解析：设小段的长度为 y，则根据题意，有 x = 7y。

要求小段的长度和 x 的比值，即要求 y/x。

将 x 的值代入，得到 y/x = y/(7y) = 1/7。

因此，小段的长度和 x 的比值为 1/7。

数论练习题解析数论是一门研究整数性质和整数运算规律的数学分支，具有广泛的应用领域。

在数学竞赛中，数论常常是一道重要的题型。

本文将为大家解析几道常见的数论练习题，以帮助读者更好地理解和掌握数论知识。

1. 题目一已知整数a、b满足等式a^2+b^2=2019，求a和b的值。

解析：由于a和b都是整数，所以a^2与b^2的取值范围在[0, 2019]之间。

穷举其中的所有可能情况，可以得到以下解：a=27，b=42a=42，b=27a=-27，b=-42a=-42，b=-272. 题目二已知p是一个质数，若p≡1(mod 4)，证明方程x^2≡-1(mod p)有解。

解析：根据题意，p≡1(mod 4)，说明p可以写成p=4k+1的形式，其中k为一个整数。

我们可以进行如下推导：假设p=4k+1，且x^2≡-1(mod p)没有解，即x^2+1≡0(mod p)没有解。

根据费马小定理，如果x^p ≡ x(mod p)，则对于任意的整数x，有x^(p-1) ≡ 1(mod p)。

将x^2+1拆开，可以得到(x^2+1)(x^2+1)≡0(mod p)。

进一步化简得到(x^2+1)^2 ≡ 0(mod p)。

根据费马小定理，有(x^2+1)^(p-1) ≡ 1(mod p)。

由于p-1可被4整除，因此(p-1)/2为一个偶数，那么(x^2+1)^(p-1) ≡ ((x^2+1)^2)^(k'//2) ≡ 0(mod p)，其中k'=(p-1)/2。

这与(x^2+1)^(p-1) ≡ 1(mod p)相矛盾。

所以方程x^2≡-1(mod p)一定有解。

通过以上证明，我们可以得出结论：若p≡1(mod 4)，则方程x^2≡-1(mod p)必有解。

3. 题目三有一堆石头，堆成三角形。

现在小明和小红进行以下游戏：每次他们可以从堆中任意拿走不超过m个石头，谁拿到最后一颗石头，谁就赢。

假设小明先手，求在满足一定条件下，小明能否必胜。

数论练习题一、判断题1、任意两个不同质数必互质。

( )2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。

( )3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。

（ ） 4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。

( )5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。

（ ）6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。

( )7、一个大于1的整数不是质数就是合数。

（ ）8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。

( )9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。

（ ）10、。

则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(mod )(mod 22m b a m b a ≡≡，则若。

（ ）12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t tx t y ∈-=+=。

( )13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。

（ ）14、质数必为奇数，偶数必为合数。

（ ）15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。

（ ）16、若b a ，b c 则b ac 。

（ ）17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。

二、填空题1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。

2、1000！末尾有____________个0。

3、[]{}_______3.1______,2=-=4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。

5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。

6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。

1 证明：ai,a2 , an 都是m 的倍数。

存在n 个整数P i , P 2 , P n 使a i P i mi® P z m ?, , a n p .m .又q i ,q 2, , q n 是任意n 个整数q2i q ?a 2q .a n(P i q i q ?P 2q n P n )m即q i a iq 2a 2 q n a n 是m 的整数2 证： n(n i)(2 n i) n(n i)( n 2 n i)n(n i)(n 2) (n i)n(n i) 6/n(ni)( n 2),6/( n i)n(n i)证： a,b 不全为0Z ，由带余除法有 ax by (ax °by °)q r,0 r ax ° by 。

(x x o q)a (y y o q)b S ，由ax 0 by 0是S 中的最小整数知r 06/n(n i)(n2) (n i)n(n i) 从而可知6/n （ni)(2 n i)在整数集合Sax by | x, y Z 中存在正整数，因而有形如 ax by 的最小整数ax 0 by 0x, y ax o by 0/ax by 下证P 8第二题 ax oby o / ax by（x,y 为任意整数） ax o by o / a, ax o by o /bax o by o /(a, b). 又有(a,b)/a,(a,b)/b (a,b)/ax ° by o故ax o by o (a,b)证：作序列兄,b 普,则a 必在此序列的某两项之间232即存在一个整数q ， 使a q 1 Mt )成立212(i)当q 为偶数时，若b 0.则令 s-abs a q b ，则有220 a bs ta q 2b aq 2 |b 2 — bt4) 2若b 0则令sq,t a bsa -b ，则冋样有 t1222(ii)当q 为奇数时， 若b0则令sq 3 abs a q 1b ，则有22|b| 口 t abs aq 1b aq 21|b 0 t I —221 12若b 0，则令sq 1,ta bs aq 1 b22则同样有 t综上存在性得证下证唯一性 当b 为奇数时，设a bs tbs 1 t 1则t t 1b(S i s) bt ib矛盾故 s s,t t i当b 为偶数时,s,t 不唯一，举例如下：此时 32 b a bs 1t ibs 2 b 2 ( b),t 1bt 2 > t 2 t 2b t 2，t 1b I2—为整数 2b 2 5.证：令此和数为 从而证明S 不是整数S, 根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数,(1)令 S=1M=2k 1 3 5 7 p 这里k 是使2k大整数, p 是不大于n 的最大奇数。