北师大版八年级数学下册第一章练习题

第一章测试卷（考试时间：90分钟满分：100分）1.下列命题不正确的是( )A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形2.如图1所示,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD的度数是( )图1A.20°B.30°C.35°D.40°3.如图2,在△ABC中,∠B=∠C,AD为△ABC的中线,那么下列结论错误的是( )图2A.△ABD≌△ACDB.AD为△ABC的高线C.AD为△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形4.如图3,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )图3A.B.2C.3D.25.如图4所示,B,C,D,E在同一条直线上,且BC=AC=AD=DE,则图中的等腰三角形共有( )图4A.3个B.4个C.5个D.6个6.如图5所示,AB=AC,∠A=50°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数为( )图5A.15°B.50°C.65°D.80°7.如图6所示,△ABC是等边三角形,D是BC的中点,DE⊥AC于点E,若CE=1,则AB等于( )图6A.2B.2C.3D.48.如图7所示,已知AC=AD,BC=BD,给出以下结论:①△ACD与△BCD都是等腰三角形;②AB是∠CAD和∠CBD的平分线;③AB⊥CD,且AB平分CD;④图中有三对全等三角形.其中判断正确的是( )图7A.①B.①②C.①②④D.①②③④9.如图8,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是.图810.已知两条线段的长为10cm和24cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.11.如图9所示,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,且BD=BE,∠BAC=72°,则∠DEC=.图912.如图10所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,若AD⊥BC,D为垂足,CD=1,则AB=.图1013.如图11所示,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分线交BC于点D,E,BC=6cm,则∠DAE的度数为,△ADE的周长为cm.图1114.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.15.如图12,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.图1216.用反证法证明:等腰三角形的底角都是锐角.17.如图13所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC 的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的角平分线上.图1318.某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图14所示(点M,N表示大学,AO,BO表示公路),现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离相等.(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图中画出你的设计方案;(2)阐述你设计的理由.图1419.如图15,已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,求∠A的度数.图1520.如图16,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图16参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.A7.D8.D9.AC=DE10.26或者11.103.5︒12.213.20︒ 614.4：315.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.16.解:已知:在△ABC中,AB=AC.求证:∠B和∠C都是锐角.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.假设∠B和∠C不都是锐角,则∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°,∴∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以假设不成立.故∠B和∠C都是锐角.17.证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).∴∠ABE=∠DBE.∴点E在∠ABC的角平分线上.18.解:(1)仓库在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点上.作图如图所示,点P 即为所求的位置.(2)理由为:角平分线的性质和线段垂直平分线的性质. 19.解:连接BE , ∵△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=180.①∵DE 是线段AB 的垂直平分线, ∴AE=BE , ∴∠A=∠ABE.∵CE 的垂直平分线正好过点B ,与AC 相交于点F ,可知△BCE 是等腰三角形, ∴BF 是∠EBC 的平分线,∴(∠ABC-∠A )+∠C=90°,即(∠C-∠A )+∠C=90°.②由①②联立,得∠A=36°.故∠A=36°. 20.(1)证明:∵在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB , ∴CD=DE ,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD.在△ACD 和△AED 中,∴△ACD ≌△AED ,∴AC=AE.(2)解:∵DE ⊥AB ,点E 为AB 的中点, ∴AD=BD ,∴∠B=∠DAB=∠CAD. ∵∠C=90°, ∴3∠B=90°,∴∠B=30°.∵CD=DE=4,∠DEB=90°,∴BD=2DE=8,=4.由勾股定理,得BE=8。

一、填空题1、用适当的不等式表示下列关系：（1）a 是非正数 ； （2）n 的值不超过15 ； （3） x 的21与2的差不足12 ； （4） x 与3的和不小于6 ； （5）x 的2倍与1的和大于－1 ； （6）y 的 与t 的差的一半是负数 2、若m<n ，则m －5_______n －5；21m_______21n ； －m_______－n ； m －n_______0 3、已知m 是实数，比较3m 与2m 的大小：当m>0时，3m_______2m ； 当m ＝0时，3m_______2m ； 当m<0时，3m_______2m 4、已知a<b ，且a<0，b<0，请横线上填上“>”或“<”：a －b_______0；b －a_______0 5、已知131-=x y ，12+=x y当x_______时（填的取值范围），y 1＝y 2； 当x_______时（填的取值范围）时，y 1<y 2 6、不等式2x>4的解集为_______，不等式－2x>3的解集为_______二、选择题1、在－4，－2，－1，0，1，3这些整数中,能使不等式45≥-x 成立的有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 2、a 是非负数，它的正确表达式是（ ）A. 0>aB. 0≥aC. 0<aD. 0≤a 3、当x 为何值时，－2x －6的值小于0 ( )A. x<3B. x>3C. x<－3D. x>－3 4、不等式3x ＋2<x ＋6的解集是（ ）A. x>2B. x<2C. x<4D. x>4 5、不等式2x －3>1的解的情况是（ ）A. 只有一个解B. 有两个解C. 无解D. 有无数个解 6、不等式82-≥x 的解集里，负整数解有（ ）A. 无数个B. 2个C. 3个D. 4个7、三角形的三边的长度分别是3cm ，xcm 和7cm ，则x 的取值范围是（ ） A ． 104≤≤x B ． 4<x<10 C ． 4>x<10 D ． 104≥≤x 8、如果关于x 的不等式(a ＋1)x>a ＋1的解集为x<1，则a 的取值范围是（ ）13A. a<0B. a<－1C. a>1D. a>－19、如图表示了关于x 不等式的解集，则换用表达式表示它， 正确的是（ ）A. 21≤<-xB. 21≤≤-xC. 21<<-xD. 21<≤-x 10、不等式组⎩⎨⎧>--<32x x 的解集是（ ）A. x<－3B. x<－2C. －3<x<－2D. 无解三、解下列不等式，并分别在数轴上表示出它们的解集（1）x x 5632-≥- （2）14-x <22x-（3）－3(x －2)<－2(x －3) （4）2431+--x x >－2（5） （6）- < - < 1 2 3 2 x x x 2 131- - ≥四、解下列不等式组⎩⎨⎧-<-≥-x x x x 21210556)1( （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372（3） （4）()⎪⎩⎪⎨⎧+>+-<-+<+x x x x x x 362714352435 （6）⎪⎩⎪⎨⎧<--+->++-．，021331215)1(2)5(7x x x x3 1 1 5 1 2 3 5x x x x + > - ≤ - ⎧ ⎨⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ - + < - + - ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 1 11 3 1 2 1 x x x答案：一、1、（1）0≤a （2）15≤n （3）12221<-x （4）63≥+x （5）112->+x （6）03121<⎪⎭⎫ ⎝⎛-t y 2、 < < > < 3、> = < 4、 < > 5、 =1 <1 6、2>x 23-<x 二、1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、D 7、B 8、B 9、A 10、A三、（1）2≥x （2）4<x （3）0>x （4）2-<x （5）4≥x （6）54<<-x四、（1）45<≤-x （2）1-≥x （3）31-≥x （4）6>x （5）11<<-x （6）2>x。

第一章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分）1．如图已知100BAC ︒∠=，AB AC =，AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于D E 、，则DAE ∠=（ ）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒2．如图，ABC △中，AB AC =，高BD CE 、相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对 3．如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形 4．Rt ABC △中，9046C B ︒︒∠=∠=，，则A ∠=（ ） A ．44︒ B ．34︒ C ．54︒ D ．64︒ 5．在ABC △中，若0A B C ∠+∠−∠=，则ABC △是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．如图，AC AD BC BD ==，，则（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ∠D ．以上结论均不对7．如图，ABC △中，D 为BC 上一点，ABD △的周长为12cm ，DE 是线段AC 的垂直平分线，5AE =cm ，则ABC △的周长是（ ）A ．17cmB ．22cmC ．29cmD ．32cm8．如图，在ABC △中，AF 平分BAC ∠，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，60B ︒∠=，30C ︒∠=，则FAE ∠为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒9．如图，AD 是ABC △的角平分线，,DF AB ⊥，垂足分别为点F ，DE DG =，若ADG △和ADE △的面积分别为50和39，则DEF △的面积为（ ）A ．11B ．7C ．5.5D ．3.510．如图，ABC △中，90C ︒∠=，AD 平分BAC ∠，过点D 作DE AB ⊥于E ，若4DC =，则DE =（ ）A ．3B ．5C ．4D ．6二、填空题（共7小题，满分28分）11．若等腰三角形的一个内角为50︒，则这个等腰三角形的顶角为________.12．下列四组数:①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8其中可以作为直角三角形三边长的有________.（把所有你认为正确的序号都写上）13．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE AB ⊥于点E .若AB =10cm ，则ADE △的周长为________cm .14．在ABC △中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，连接BD ，若40ADE ︒∠=，则ABC ∠=________.15．如图，BD 垂直平分线段AC ，AE BC ⊥，垂足为E ，交BD 于点P ，3cm PE =，则点P 到直线AB 的距离是________cm .16．如图，在ABC △中，点D 是BC 边上一点，12∠=∠，34∠=∠，63BAC ︒∠=，则DAC ∠的度数为________.17．如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若103AB CD ==，，则ABC S =△________.三、解答题（共8小题，满分62分）18．如图，ABC △中，90C =∠，4AC =，8BC =.（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长.19．如图，已知ABC ∠，求作：（1）ABC ∠的平分线BD （写出作法，并保留作图痕迹）；（2）在BD 上任取一点P ，作直线PQ ，使PQ AB ⊥（不写作法，保留作图痕迹）.20．如图，ABC △中，D 是BC 上的一点，若10AB =，6BD =，8AD =，17AC =，求ABC △的面积.21．如图所示、AOB △和D CO ∆均为等腰直角三角形，90AOB COD ︒∠=∠=，D 在AB 上.（1）求证：AOC BOD △≌△；（2）若12AD BD ==，，求CD 的长.22．如图，已知ABC △中，AB AC BD CE =，、是高，BD 与CE 相交于点O . （1）求证：OB OC =；（2）若50ABC ︒∠=，求BOC ∠的度数.23．已知锐角ABC △，45ABC AD BC ︒∠=⊥，于D ，BE AC ⊥于E ，交AD 于F . （1）求证：BDF ADC △≌△；（2）若43BD DC ==，，求线段BE 的长度.24．如图，AB BC ⊥，射线CM BC ⊥，且5cm BC =，1cm AB =，点P 是线段BC （不与点B C 、重合）上的动点，过点P 作DP AP ⊥交射线CM 于点D ，连结AD .（1）如图1，若4cm BP =，则CD =________；（2）如图2，若DP 平分ADC ∠，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由；（3）若PDC △是等腰三角形，则CD =________cm .（请直接写出答案）25．如图，在ABC △中，20AB AC ==厘米，B C ∠=∠，16BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以6厘米/秒的速度由点向点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.（1）用含有t 的代数式表示CP ，则CP =________厘米；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，那么当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？第一章综合测试答案解析一、 1．【答案】C【解析】解：100BAC AC AB ︒∠==，，18040B C BAC ︒︒∴∠=∠=−∠=（），DM EN 、分别是边AB 和AC 的垂直平分线， BD AD AE CE ∴==，，4040B BAD C CAE ︒︒∴∠=∠=∠=∠=，， =100404020DAE ︒︒︒︒∴∠−−=.故选C. 2．【答案】D【解析】解：有7对全等三角形： ①BDC CEB △≌△，理由是：AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠，BD 和CE 是两腰上的高， 90BDC CEB ︒∴∠=∠=，在BDC △和CEB △中，BDC CEB ACB ABC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BDC CEB AAS ∴△≌△（）， BE DC ∴=.②BEO CDO △≌△，理由是：在BEO △和CDO △中，BEO CDO BOE COD BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BEO CDO AAS ∴△≌△（）. ③AEO ADO △≌△，理由是： 由BEO CDO △≌△得：EO DO =，在Rt AEO △和Rt ADO △中，AO AO EO OD =⎧⎨=⎩，，Rt Rt AEO ADO HL ∴△≌△（）， EAO DAO ∴∠=∠.④ABF ACF △≌△，理由是：在ABF △和ACF △中，AB AC EAO DAO AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，⑤BOF COF △≌△，理由是：AB AC BAF CAF =∠=∠，， BF FC AFB AFC ∴=∠=∠，，在BOF △和COF △中，OF OF AFB ADC BF FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，BOF COF SAS ∴△≌△（）. ⑥AOB AOC △≌△，理由是：在AOB △和AOC △中，AO AO BAO CAO AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，AOB AOC SAS ∴△≌△（）. ⑦ABD ACE △≌△，理由是： 在ABD △和ACE △中， ABD ACE SAS ∴△≌△（）. 故选：D. 3．【答案】B 【解析】如右图，DE AB DF AC ⊥⊥，，90BED DFC ︒∴∠=∠=，在BDE △和CDF △，BD CD DE DF ==，，DBE DFC HL ∴△≌△（）， B C ∴∠=∠， AB AC ∴=，∴这个三角形一定是等腰三角形. 故选B. 4．【答案】A【解析】解：9046904644C B A ︒︒︒︒︒∠=∠=∴∠=−=，，.故选A. 5．【答案】A【解析】解：0A B C ∠+∠−∠=，A B C ∴∠+∠=∠，180A B C ︒∠+∠+∠=，90C ︒∴∠=，ABC ∴△是直角三角形.故选择：A. 6．【答案】A 【解析】解：AC AD BC BD AB AB ===，，，CAB DAB ∴∠=∠，且AC AD =，AB ∴垂直平分CD .故选：A. 7．【答案】B【解析】因为DE 是AC 的垂直平分线，所以AD CD =，AE EC =，而5cm AE =，所以10cm AC =，而ABC C AB BC AC =++△，ABC C AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+△，所以ABC ABD C C AC =+=△△cm 10c m 12m c 22+=.8．【答案】B【解析】解：在ABC ∆中，60B ︒∠=，30C ︒∠=，180690030BAC ︒︒︒︒∴−−=∠=，AF 平分BAC ∠，11904522CAF BAC ︒︒⨯∴∠=∠==；DE 垂直平分AC ， AE CE ∴=，30EAD C ︒∴∠=∠=，453015FAE CAF CAE ︒︒︒∴∠=∠−∠=−=.故选：B. 9．【答案】C【解析】作DM DE =交AC 于M ，作DN AC ⊥于点N ，DE DG =， DM DG ∴=，AD 是ABC △的角平分线，DF AB ⊥， DF DN ∴=，在Rt DEF △和Rt DMN △中，DN DFDM DE ==⎧⎨⎩， Rt Rt DEF DMN HL ∴△≌△（）， ADG △和AED △的面积分别为50和39， 503911MDG ADG ADM S S S ∴=−=−=△△△，1152.5112DNM EDF MDG S S S ===⨯=△△△.故选C. 10．【答案】C【解析】解：90C ︒∠=，AD 平分BAC DE AB ∠⊥，于E ，DE DC ∴=， 4DC =，4DE ∴=.故选：C. 二、11．【答案】50︒或80︒ 【解析】如右图所示，ABC △中，AB AC =，有两种情况：①顶角50A ︒∠=； ②当底角是50︒时，AB AC =，50B C ︒∴∠=∠=， 180A B C ︒∠+∠+∠=， 180505080A ︒︒︒︒∴∠=−−=，∴这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒. 故答案为50︒或80︒. 12．【答案】①②【解析】解：①22251213+=，能构成直角三角形； ②22272425+=，能构成直角三角形； ③222124+≠，不能构成直角三角形； ④222568+≠，不能构成直角三角形， 所以可以作为直角三角形三边长的有①②， 故答案为：①②. 13．【答案】10 【解析】BD 平分ABC ∠交AC 于D ，DE AB ⊥于E ，90DBE DBC BED C BD BD ︒∴∠=∠∠=∠==，，，BDE BDC AAS ∴△≌△（）， DE DC BE BC ∴==，，ADE ∴△的周长10cm DE DA AE DC DA AE CA AE BC AE BE AE AB =++=++=+=+=+==.故答案为：10. 14．【答案】65︒ 【解析】DE 是AB 的垂直平分线，DE AB ∴⊥，90AED ︒∴∠=.又40ADE ︒∠=，50A ︒∴∠=.又AB AC =，18050265ABC ACB ︒︒︒∴∠=∠=−÷=（）.故答案为65︒. 15．【答案】3【解析】过点P 作PM AB ⊥与点M ，BD 垂直平分线段AC ， AB CB ∴=，ABD DBC ∴∠=∠，即BD 为角平分线，又PM AB PE CB ⊥⊥，，3PM PE ∴==.16．【答案】24︒【解析】设12x ∠=∠=，则43122x ∠=∠=∠+∠=，63DAC ︒∠=， 63DAC x ︒∴∠=−，在ABC △中，有263180x x ︒︒++=，39x ︒=，°°6324DAC x ∴∠=−=，故答案为：24︒. 17．【答案】15 【解析】解：作DE AB ⊥于E ，90C ︒∠=， DC AC ∴⊥，AD 平分BAC DC AC DE A ∠⊥⊥，，， DE CD ∴=， 103AB CD ==，，∴111031522ABDSAB DE =⨯⨯=⨯⨯=. 故答案为15. 三、18．【答案】（1）如图直线MN 即为所求.（2）5BD =【解析】（2）MN 垂直平分线段AB ，DA DB ∴=，设DA DB x ==，在Rt ACD △中，222AD AC CD =+，()22248x x ∴=+−，解得5x =， 5BD ∴=.19．【答案】解：（1）如下图所示，作法：①以B 点为圆心，任意长为半径画弧分别交BA BC 、于M N 、点； ②再以M N 、为圆心，以大于它们之间的距离的二分之一为半径画弧，两弧在ABC ∠内相交于E ，则BD 为所作；（2）如下图，PQ 为所作.20．【答案】解：2222226810BD AD AB +=+==，ABD ∴△是直角三角形，AD BC ∴⊥，在Rt ACD △中，15CD ===，()111 21884222ABC BC AD BD CD S AD ∴==+=⨯⨯=△， 因此ABC △的面积为84.答：ABC △的面积是84.21．【答案】解：（1）证明：如右图，1903︒∠=−∠，2903︒∠=−∠，12∴∠=∠.又OC OD =，OA OE =，AOC BOD ∴△≌△.（2）由AOC BOD △≌△有：2AC BD ==，45CAO BOD ︒∠=∠=，90CAB ︒∴∠=，故CD =22．【答案】解：（1）证明：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BD CE 、是ABC △的两条高线，DBC ECB ∴∠=∠，OB OC ∴=.（2）50ABC AB AC ︒∠==，，18025080A ︒︒︒∴∠=−⨯=，18080100BOC ︒︒︒∴∠=−=.23．【答案】解：（1）证明：45AD BC ABC ︒⊥∠=，， 45ABC BAD ︒∴∠=∠=，AD BD ∴=，DA BC BE AC ⊥⊥，，9090C DAC C CBE ︒︒∴∠+∠=∠+∠=，，CBE DAC ∴∠=∠，且90AD BD ADC ADB ︒=∠=∠，＝，BDF ADC ASA ∴△≌△（）. （2）BDF ADC △≌△，43AD BD CD DF BF AC ∴=====，，，5BF ∴=，5AC ∴=，11 22ABCBC A S AD C BE =⨯⨯=⨯⨯， 745BE =∴⨯⨯， 285BE ∴=. 24．【答案】（1）4cm （2）PB PC =，理由：如图2，延长线段AP DC 、交于点E ， DP 平分ADC ∠，ADP EDP =∴∠∠.DP AP ⊥，90DPA DPE ︒∴∠==∠，在DPA △和DPE △中，ADP EDP DP DP DPA DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DPA DPE ASA ∴△≌△（）， PA PE ∴=.AB BP CM CP ⊥⊥，，ABP ECP Rt ∴∠=∠=∠.在APB △和EPC △中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩APB EPC AAS ∴△≌△（）， PB PC ∴=.（3）4【解析】（1）5cm 4cm BC BP ==，，1cm PC ∴＝，AB PC ∴=，DP AP ⊥，90APD ︒=∴∠，90APB CPD ︒∴∠=∠+，90APB CPD ︒∠=∠+，90APB BAP ︒∠=+∠， BAP CPD =∴∠∠，在ABP △和PCD △中，B CBAP CPD AB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABP PCD ∴△≌△，4cm BP CD =∴=.（3）PDC △是等腰三角形，PCD ∴△为等腰直角三角形，即45DPC ︒∠=， 又DP AP ⊥，45APB ︒∴∠=，1cm BP AB ∴==，4cm PC BC BP ∴=−=，4cm CD CP ∴==.25．【答案】（1）166t −（2）当1t =时，616BP CQ ==⨯=（厘米）， 20AB =厘米，点D 为AB 的中点，10BD ∴=厘米.又PC BC BP =−，16BC ∴=厘米，16610PC ∴=−=（厘米），PC BD =在BPD △和CQP △中，BD PC B C BP CQ =∠=∠=，，，BPD CQP SAS ∴△≌△（）（3）P Q v v ≠BP CQ ∴≠又BPD CPQ △≌△，B C ∠=∠，8cm BP PC ∴==，10cm CQ BD ==， ∴点P ，点Q 运动的时间4863t =÷=（秒），107.543Q CQv t ∴===（厘米/秒）.【解析】（1）6BP t =，则166PC BC BP t =−=−.。

北八（下）第一章1.4-1.6章节水平测试题一、填空题：（每题3分，共24分）1．已知不等式7)1(68)2(5+-<+-x x 的最小整数解为方程42=-ax x 解，则a 值是 ．2．已知)1(645)25(3+-<++x x x ，化简xx --+11= ．3．a 取正整数 时，方程73-=a x 的解是负整数．4．k 为整数 时，方程425+-=-x k x 的解在1和3之间．7.如果三角形的三边长分别是 3 cm 、(1-2a ) cm 、8 cm ，那么a 的取值范围是________．8.如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运．二、选择题：（每题3分，共24分）9．不等式3(x -2)≤x ＋4的非负整数解有几个( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．无数个10．不等式4x -41141+<x 的最大的整数解为( ) A ．1B ．0C ．-1D ．不存在A ．5B ．4C ．3D ．无数个A ．a ＝3 b ＝5B ．a ＝-3 b ＝-5C ．a ＝-3 b ＝5D ．a ＝3 b ＝-513．若方程4152435-=-m m x 的解是非正数，则m 的取值范围是（ ）． A 3m ≤ B 2m ≤ C 3m ≥ D 2m ≥14．七年级（3）班同学假日外出游玩，要拍合影留念，若一张彩色底片要0.57，冲印一张要0.35元，每人预定要一张，花钱不超过0.45元，则参加合影的同学至少有（ ）个人？A 5 B.6 C.7 D.815.如果关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=-a y x y x 53102的解满足x ＞0且y ＜0，则实数a 的取值范围是（ ）．A2<a<3 B-3<a<2 C-2＜a ＜3 D-3<a<-216.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y 1元，国营出租车公司收费为y 2元，观察下列图象可知，当x（ ）时，选用个体车较合算．A. x<1500B. x=1500C. x>1200D. x ＞1500 三、解答题：（共30分）17（10分）解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）612312531+-≥--x x （2）18.（10分）已知5x -2y ＝6，当x 满足6≤7x -1＜13时，请确定y 的取值范围．19.（10分）如果方程组，⎩⎨⎧-=++=+m y x m y x 13313的解满足x ＋y ＞0，求m 的取值范围，并把m 的值表示在数轴上． 是多少？四、综合探究题：（22分）20．（10分）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需调往A 县10辆，调至B 县8辆，已知从甲仓库调往A 县和B 县的费用分别40元和80元；从乙仓库调往A 县和B 县的费用分别为30元和50元．（1）设从乙仓库调往A 县农用车x 辆．求总运费y 与x 的函数关系式． （2）若要求总运费不超过900元．问共有几种调配方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？。

北师大版八年级下册数学测试题一．选择题（共10小题）1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或202．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对5．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．37．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．2∠1+∠2=180°8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n 的度数为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为．14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为．15．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的大小为．16．已知：等腰三角形ABC的面积为30m2，AB=AC=10m，则底边BC的长度为．17．如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则y=．（用x的代数式表示）18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A 的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．19．等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为．20．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为．三．解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．22．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．23．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB 于E．求证：△BDE是等腰三角形．26．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F．求证：△ABC是等腰三角形．27．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？28．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．29．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．30．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．（1）求∠EBC的度数；（2）求BE的长．北师大版八年级下册数学第一章周测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．2．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5° C．20°D．22.5°【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．故选A．3．（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．4．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C5．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．6．（2016•雅安）如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3【解答】解：过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A．7．（2016•孝感模拟）如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．2∠1+∠2=180°【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B．8．（2016•鞍山二模）如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．9．（2016春•乳山市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC=∠DEB，∵∠A=50°，∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°，∴∠DEF=180°﹣115°=65°．故选：C．10．（2016•六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠A n﹣1A n B n﹣1=．故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2016•淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10．【解答】解：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为：1012．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．13．（2016•厦门校级模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．14．（2016•哈尔滨模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【解答】解：在△ABC中，AB=AC，①当∠A=70°时，则∠ABC=∠C=55°，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣55°=35°；②当∠C=70°时，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣70°=20°；故答案为：35°或20°．15．（2016•红桥区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的大小为36°．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故答案为：36°．16．（2016•哈尔滨校级模拟）已知：等腰三角形ABC的面积为30m2，AB=AC=10m，则底边BC的长度为2或6．【解答】解：作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=AB•CD=×10×CD=30，解得：CD=6，∴AD==8m；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：BD=AB﹣AD=2m，∴BC==2；②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：BD=AB+AD=18m，∴BC==6；综上所述：BC的长为2或6．故答案为：2或6．17．（2016•黄浦区三模）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则y=x或90°﹣x．（用x的代数式表示）【解答】解：∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，∴腰上的高相等．①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y=x，②当两个三角形应该是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y=90°﹣x．故答案为x或90°﹣x．18．（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3，6或6.5或7.2时，△ACP是等腰三角形．【解答】解：由题意可得，第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴CP=6cm，∴t=6÷2=3秒；第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，∴∠PCB=∠PBC，∴PA=PC=PB=5cm，∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AP=6cm，AB=10cm，∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，作CD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，∴，AB=10cm，设CD=4a，则AD=3a，∴（4a）2+（3a）2=62，解得，a=，∴AD=3a=，∴t==7.2s故答案为：3，6或6.5或7.2．19．（2016春•东港市期末）等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为36°或90°．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，x+x+2x=180°解得，x=45°，顶角∠B=2x=90°；当∠B=∠C为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°，顶角∠A=x=36°．故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°．故3答案为：36°或90°．20．（2016•河北模拟）如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为8．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为8．三．解答题（共10小题）21．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．22．（2016•徐州模拟）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．23．（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．25．（2016春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．26．（2016春•深圳校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．27．（2016春•吉安校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．28．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．29．（2015秋•当涂县期末）如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG与△GEF 中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．30．（2015秋•顺义区期末）已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．（1）求∠EBC的度数；（2）求BE的长．【解答】解：（1）∵AB=AC=6，∠A=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，第21页（共22页）∵△ABD是等腰三角形，AD=BD，∴∠ABD=∠A=45°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABD=22.5°；（2）∵∠A=∠ABD=45°，∴∠ADB=∠CDE=90°，∵AB=6，∴BD=AB•cos45°=3，设DE=x，则CD=DE=x，∴EC==x，∵BE=EC=x，∴x+x=3，解得：x=6﹣3，∴BE=6﹣6．第22页（共22页）。

【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】第一章：三角形的证明一.选择题：（每小题3分共30分）1．等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为（ ）A ．4B ．9C ．4或9D ．大于5且小于132．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为（ ）A ．6aB ．9aC ．12aD ．15a3．如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm4．如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为（ ）6．如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD ＝CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF ＝5,则OD+OE 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．157．如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F ．若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．118．如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥．设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是（ ）A ．3180αβ+=︒B ．2180αβ+=︒C ．3180αβ-=︒D ．290αβ-=︒9．如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC ∠=︒；（3）DN DE =；（4）BAM CAN ≅△△．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH ．若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c ．则下列结论中正确的个数有（ ）①∠BAC=60°；②△AGH 是等边三角形；③AD 与GH 互相垂直平分；④()12ABC S a b c =+△． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题:（每小题3分共15分）11．在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________．12．如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC ＝4,BC ＝10,△ABC 的面积是14,则DE ＝_____．13．如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______．14．如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______．15．如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．三.解答题:(共55分)16．(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒．BD ,CE 相交于点F ．BD ,AC 相交于点M ．(1)求证：BD CE =；(2)求BFC ∠的度数．17．(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△； (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长．18．(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD ＝BC,AE ＝BF,∠A ＝∠B,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证∠E ＝∠F ；(2)若CE ＝10,DG ＝4,求 EG 的长．19．(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标．(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系．20．(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．连接AD,作∠ADE ＝40°,DE 交线段AC 于E ．(1)当∠BDA ＝115°时,∠EDC ＝______,∠DEC ＝_____；(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由；(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA 的度数．若不可以,请说明理由．22．(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标；(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标．。

北师大版八年级数学下册第一章（证明）练习题1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是 ( )A. B. C. D. 2.列命题中，其逆命题不成立的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形C ．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等3. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A ．12B ．15C ．12或15D ．184.如图，在△ABC 中，BC ＝5，∠A ＝80°，∠B ＝70°，把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置，若CF ＝4，则下列结论中错误的是( )A. BE ＝4B. ∠F ＝30°C. AB ∥DED. DF ＝55．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是( )A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第4题 第5题 第6题 第7题 第8题6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则下列选项中AP 长不可 能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．77．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .若∠A ＝60°，∠ABD ＝24°，则∠ACF 的度数为( )A ．48°B ．36°C ．30°D ．24°8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ， 则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A. 1 B ．2 C ．3 D ．49．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．①③④⑤B．①③⑤C．①③④⑤⑥D．①③④10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为()A．6 B．12 C．32 D．6411．一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为.12．在用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，首先应该假设这个三角形中_ _.13．有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有．(填序号)14. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是，这是一个(填“真”或“假”)命题．15．已知点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(2,1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(−2,1)．则点B的对应点的坐标为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为.第16题第17题第18题第19题第20题17．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=________．18．如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF 的面积为___ __．19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________．20．如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),点C在第一象限内,且∠CAB=90°,BC=6.将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=√3x-2√3上时,线段BC扫过的面积为.21. 如图所示，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长是1，把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到△A′B′C′．（1）在坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标．（2）求出△A′B′C′的面积.22.如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，我国某岛位于O点，我国渔政船在点B处发现有一艘不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地O点，我国渔政船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国渔政船行驶的航程BC的长.23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F. 求证：△AEF为等腰三角形.24．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)25. 如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，且交OE于点F.（1）求证：OE是CD的垂直平分线；（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．26.在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．27. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．28．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE；(2)若CD＝2，求AD的长．29. 已知:如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC 边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P 的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?。

北师大版八年级数学下册第一章测试题（附答案）姓名： ________ 班级：、单选题（共 12题；共 24 分） 1.如右上图 ,五角星的五个角都是顶角为 36°的等腰三角形 ,则∠AMB 的度数为（ ）4.如图，点 P 是∠ BAC 内一点，且点 P 到 AB 、 AC 的距离相等．则 △PEA ≌△ PFA 的理由是5.如图，在 △ABC 中，∠ ACB=90°， BE 平分∠ ABC ，ED ⊥AB 于 D ．如果∠ ABC=60°，A. 144 2. 如图，中， 是D. 100的周长是 40，则 的周长 A. 70 C. 50D. 40 3.如图，在 △ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，则下列四个结 论：（ 1）∠ DEF=∠ DFE ；（ 2）AE=AF ；（ 3）AD 平分∠ EDF ；（ 4）EF 垂直平分 AD ．其中正确的 有（ ）A. 1 个B. 个2C. 个3 D. 个4 号： A. HL B. AAS C. SSS D. ASA A. 6 B. C. D. 9AE 等于（ ）BC=9，那么8. 如图,点 P 是∠ BAC 内一点,且到 AB,AC 的距离 PE,PF 相等,则△PEA ≌△ PFA 的依据是 （ ）12.在等边 △ABC 所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角 形。

这样的点一共有（ ）A. 1 个B. 4 个 、填空题（共 8题；共 12 分）6.已知等腰三角形的一内角度数为 A. 100 B. 70 40 °，则它的底角的度数为（ ）C. 40 或°70°D. 40 或° 100°7.如图，在 △ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥BC ，则下列结论不一定正确的是（A. ∠1＝∠ 2 B . BD ＝ CD C . ∠B ＝∠ C D . AB ＝ 2BD A. HL D . SAS 9. 把 16 个边长为 a 的正方形拼在一起，如图，连接 BC ，CD ，则 △ BCD 是（ ）A. 直角三角形B. 等 腰三角形 C 等. 边三角形 D 任. 意三角形 10. 等腰三角形的一个内角是 50°，则其底角是（ ）A. 65 或° 50°B. 65C. 50D. 65或°80 °11.如图所示的正方形网格中 三角形 ,则点 C 的个数,网格线的交点称为格点 ,已知 A,B 是两格点 ,若C 也是格点 ,且使得 △ABC 为等腰 A. 6 C. 7 个 D. 10 个C . 813.如图，已知 AB 是Rt △ABC 和 Rt △ABD 的斜边， O 是 AB 的中点，其中 OC 是2 cm ，则 OD ＝ _____16.在△ABC 中，如果∠ A+∠B=∠C ，且 AC= AB ，则∠ B= 17.如图，在 Rt △ABC 中，D ，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BD=BC ， AE=AC ，则∠ DCE 的大小为18.如图， △ABC 中， AC=8， BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交边 AC 于点E ， 则△ BCE 的周长为 ．19. 如图，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于点E ，那么下列结论： ① △BDF ，△ CEF 都是等腰三角形；② DE=BD+CE ；③ △ADE 的周长为 AB+AC ；④ BD=CE ．其中正确的是 _______ ．20. 如图， △ABC 是等腰三角形，∠ C=90°，D 是 AB 的中点，点 E 、F 分别在 AC 、 BC 边上运动（点 E 不与点A 、 C 重合），且保持 AE=CF ，连接 DE ，DF ，EF ．在此运动变化过程中，有下列结论：① DE=DF ；15.如图， 西 84°方向，则船距离灯塔 C 度）．14.如图，C 在船的北偏海里． F ，过点 F 作 DE ∥BC ，交 AB 于 D ，交 AC 于② ∠ EDF=90°；③ 四边形 CEDF 不可能为正方形；④ 四边形 CEDF 的面积保持不变．一定成立的结论有 _______ （把你认为正确的序号都填上）三、解答题（共 3题；共 17 分）21. 如图， △ABC 中∠ C=90°，线段 AD 是△ ABC 的角平分线，直线 DE 是线段 AB 的垂直平分线．若DB=2cm ，AC= cm ．求点 C 到直线 AD 的距离．22. 如图，在 △ABC 中，F 、G 分别是 AB 、AC 的中点， DF ⊥AB 交BC 于点 D ，EG ⊥AC 交AC 于点G ，BC=10，23. 如图，直角三角板的直角顶点 O 在直线 AB 上， OC ， OD 是三角板的两条直角边， OE 平分（ 1）若∠ COE=2°0，则∠ BOD= ___ ；若∠ COE α= ，则∠ BOD= _____ （用含 α的代数式表示） （2）当三角板绕 O 逆时针旋转到图 2 的位置时，其它条件不变，试猜测∠ COE 与∠ BOD 之间有怎样的数 量关系？并说明理由．四、综合题（共 4题；共 40 分）DE=1cm ， 求△ADE 周长．∠AOD ．∠ C=90°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于D ，垂足为 E ，若∠ A=30°， CD=3．27.已知：在 △ABC 中， AB=AC ． D 是直线 BC 上的点， DE ⊥AB ．垂足是点 24.如图，在 △ ABC 中，1) 求∠ BDC 的度数．2) 求 AC 的长度． 25.如图，已知∠ BAC=60°，∠ B=80°，DE 垂直平分 AC 交 BC 于点 D ，交 AC 于E ．1)求∠ BAD 的度数；2)若 AB=10，BC=12，求 △ ABD 的周长． 26.如图，已知 △ ABC 中，∠ B=90°， AB=8cm 从点 A 开始沿 A →B 方向运动，且速度为每秒 秒 2cm ， 它们同时出发，设出发， BC=6cm ， P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点 1cm ， 点 Q 从点 B 开始沿 B →C →A 方向运动，且速度为每 t 秒．1) 2) 3) 出发 2 秒后，求 PQ 的长；从几秒钟后， △ PQB 第一次能形成等腰三角形？当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使 △BCQ 成为等腰三角形的运动时间．3) 如图 ② ， 如当∠BC 延长线上时，∠ EOB= D 在线段BC 上时，∠ EDB= ____________A=110 ，点 D 在线段 BC 上时，∠ EDB= E ．，点 当∠ 2) A=50（4）结合（1）、（2）、（3）的结果可以发现，∠ EDB与∠ A的数量关系是∠ EDB= ____ ∠A．（5）按你发现的规律，当点D在线段BC延长线上，∠ EDB=50 ，其余条件不变时如图④ ，不用计算，直接填空∠ BAC= _______ ．答案 、单选题1. C2. B3.C4. A5. B6.C7.D8. A9.B 10. A 11.C 12. D二、填空题13. 2cm 14. 5 15.8 16.30 ° 17.45 18.13 19. ①②③ 20. ①②④三、解答题21.解：∵直线 DE 是线段 AB 的垂直平分线，∴ DA=DB=2cm ， DE ⊥ AB ， ∵线段 AD 是△ABC 的角平分线，∴ DC=DE=1cm ，作 CF ⊥ AD 于 F ，则 ∴CF=AB 与 AC 的垂直平分线， ∴AD=BD ，AE=CE ， ∴△ ADE 周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10 23.（1）40°；2α（2）解：如图 2，∠ BOD=2∠ COE ，理由是：设∠ BOD β= ，则∠ AOD=18°0 ﹣β， ∵OE 平分∠ AOD ，∴∠ EOD= ∠AOD= =90°﹣ ，∵∠ COD=9°0 ，∴∠ COE=9°0 ﹣（ 90°﹣ ）= ，即∠ BOD=2∠COE ．四、综合题24. （1）解：∵ AB 的垂直平分线 DE 交AC 于 D ，垂足为 E ， ∴AD=BD ， ∴∠ ABD=∠ A=30°，∴∠ BDC=∠ ABD+∠ A=60°；（2）解：∵在 △ABC 中，∠ C=90°，∠ BDC=6°0 ，∴∠ CBD=3°0 ，即点 C 到直线 AD 的距离为AC 的中点， DF ⊥AB 交 BC 于点 D ，EG ⊥AC 交 AC 于点G ， ∴DF 与 EG分别是 AC?CD= AD?CF ，∴ BD=ACD=×2 3=6 ，∴AD=BD=6，∴AC=AD+CD=9．25. （1）解：∵∠ BAC=60°，∠ B=80°，∴∠ C=180°﹣∠ BAC﹣∠ B =180°﹣60°﹣80°=40°，∵DE 垂直平分AC∴DA=DC，∴∠ DAC=∠ C=40°，∴∠ BAD=60°﹣40°=20°（2）解：由（1）知DA=DC ∴△ ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=10+12=22 26. （1）解：BQ=2× 2=4cm，BP=AB-AP=8-2 × 1=6cm，∵∠ B=90°，PQ=（2）解：BQ=2t，BP=8-t ，2t=8-t ，解得：t=" "3）解：① 当CQ=BQ时（图1），则∠ C=∠ CBQ，∵∠ ABC=90°，∴∠ CBQ+∠ ABQ=9°0 ，∠A+∠C=90°，∴∠ A=∠ ABQ，∴ BQ=AQ，∴ CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴ t=11 ÷2=5.5秒.② 当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12∴ t=12 ÷2=6秒③ 当BC=BQ时（如图3），过 B 点作BE⊥AC于点E，所以CE=BC2- BE2，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2 ÷2=6.6秒.由上可知，当t 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，△ BCQ为等腰三角形.27. （1）25°（2）25°（3）55°（4）（5）100°．。

北师大版八年级数学下册第一章测试卷及答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2.已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm3. 已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可假设( )A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，45.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DC D．AB＝CD6.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( )A．40° B．50° C．60° D．75°7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为( )A．3 B．3 2 C．2 3 D．48.为了加快灾后重建的步伐，某市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址( )A．仅有一处B．有四处 C．有七处D．有无数处9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )A ．3 2B ．4C ．2 5D ．4.510. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列结论：①EF ＝BE ＋CF ；②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离都相等；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn ；⑤S △EOB ＝S FOC .其中，正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，CA ＝CB ，则△ABC 的外角∠ABD ＝________．12. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝4，AD 平分∠BAC ，点E 是AC 的中点，则DE 的长为________．13.已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题． 14.如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.15.若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则下列条件中能判定△ABC 是直角三角形的有________个． ①∠A ＝∠B －∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5；③a 2＝(b ＋c )(b －c )；④a ∶b ∶c ＝5∶12∶13. 16.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB .若AC ＝2，DE ＝1，则S △ACD ＝________．17.如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE是________三角形．18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为________．三．解答题（共7小题， 66分）19．(8分) 如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB ＝60°.20．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO＝CO.21．(8分) 如图，四边形ABCD是长方形，用尺规作∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹).连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．22．(8分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.23．(10分)如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA＝PC.(1)求证：∠PCB＋∠BAP＝180°；(2)若BC＝12 cm，AB＝6 cm，PA＝5 cm，求BP的长．24．(10分) 如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．(14分) 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q 两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．参考答案1-5DDCBA 6-10BBABB 11. 110° 12. 213. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假 14. 20° 15. 3 16.1 17. 等边 18. 108°19. 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAD＝∠CBE ，∵∠APO ＝∠BPC ，∴∠AOP ＝∠BCP ＝60°，即∠AOB ＝60°.20．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°，在△BCE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ACB ，∠CEB ＝∠BDC ＝90°，BC ＝CB ，∴△BCE ≌△CBD(AAS)，∴∠BCE ＝∠CBD ，∴BO ＝CO. 21. 解：如图所示．发现：QD ＝AQ 或∠QAD ＝∠QDA 等22. 解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD(2)连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC ，∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC23.解：(1)证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，∵∠1＝∠2，PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PF.在△APE 和△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PC ，PE ＝PF ，∴△APE ≌△CPF(HL)，∴∠PAE ＝∠PCB.∵∠PAE ＋∠PAB ＝180°，∴∠PCB ＋∠BAP ＝180°. (2)∵△APE ≌△CPF ，∴AE ＝FC ，∵BC ＝12 cm ，AB ＝6 cm ，∴AE ＝12×(12－6)＝3 (cm)，BE ＝AB ＋AE ＝6＋3＝9 (cm)，在Rt △PAE 中，PE ＝52－32＝4 (cm)，在Rt △PBE 中，PB ＝92＋42＝97 (cm)．24. 证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG . ∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )，∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25. 解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直．理由：∵点Q 到达点C 时，BQ ＝BC ＝6 cm ，∴t ＝62＝3.∴AP ＝3 cm.∴BP ＝AB －AP ＝3 cm ＝AP .∴点P 为AB 的中点．∴PQ ⊥AB .(2)能．∵∠B ＝60°，∴当BP ＝BQ 时，△BPQ 为等边三角形．∴6－t ＝2t ，解得t ＝2.∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形．。