高二年级数学(理)期末训练试题(01)

第5题图海南中学2013—2014学年第二学期期末考试高二数学理科试卷（试题）（1-15班用）第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．1515和600的最大公约数是A ．5B ．15C ．25D ．352．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.253．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，534．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为A ．101B ．808C ．1212D ．20125．一个算法的程序框图如右图所示，该程序输出的结果为A ．89B ．910C ．1011D ．11126．若0a b <<，则下列不等式不能成立．．．．的是 A ．11a b>B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．0a b >>D ．22a b >7．已知A 、B 两人射击10次，命中环数如下：A ：8 6 9 5 10 7 3 7 9 5B ：7 6 5 8 6 9 6 8 7 7由以上数据可得A ．A 比B 的技术稳定 B ．B 比A 的技术稳定C ．两人没有区别D ．两人区别不大8．用秦九韶算法求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x -=的值654321时，若013,7v v ==-，则4v 的值为A ．57-B ．124C ．845-D ．2209．若数据12n x x x ，，，的平均数为x ，方差为2s ，则12353535n x x x +++，，，的平均数和方差分别为A ．2,x sB ．235,x s +C ．235,9x s +D ．3x +10．海口市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这两年的平均增长率为x ，那么x 与2qp +大小关系（)q p ≠是A ．x<2q p +B ．x=2qp +C ．x>2qp + D ．与p 、q 的值有关11．算术符号\和MOD 分别用来取商和余数，比如5\2的值是2, 5 MOD 2 的值是1. 通过右图程序：若输入a =333，k=5，则输出的b 为A ．2313B ．3132C ．93D ．233212．已知,,x y z R +∈，且491x y z ++=，则111x y z++的最小值是A ．9B ．16C ．36D ．81第二卷（非选择题，共90分）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．高二年级共有247名同学报名参加数学支教活动，年级组决定从中随机抽取4位代表海中前往黎村小学支教，请你用“随机数表法”确定参加该活动的人员．如果你从000开始对上述同学编号，且选取的首个数字在随机数表的第4行第9列，读数方式为向右，则被选人员的编号为 ▲ ．随机数表片段（1～5行）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3014．若1a >，则11-+a a 的最小值是 ▲ ．15．右图所示的流程图表示一函数，记作y=f(x)，若x 0满足0()0f x <，且0(())1f f x =，则0x = ▲ ．16①0.2723.849x y e -=；② 20.367202.543y x =-．试比较上述两种拟合模型，阐述其数据拟合的基本思想和方法：⑴_____________________________▲________________________________；⑵_____________________________▲________________________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）第15题图17．（本题满分10分）若0＜a＜b＜1，比较a＋b，2ab的大小，并按从小到大的顺序排列．18．（本题满分10分）在海南省第二十六届科技创新大赛活动中，某同学为研究“网络游戏对当代青少年的影响”作了一次调查，共调查了50名同学，其中男生26人，有8人不喜欢玩电脑游戏，而调查的女生中有9人喜欢玩电脑游戏．19．（本题满分10分）设()|3||4|=-+-．f x x x(Ⅰ)解不等式()2f x≤；(Ⅱ)若对任意实数[5,9]f x ax≤-恒成立，求实数a的取值范围．x∈，()120．（本小题满分14分）某研究性学习小组对3月至7月连续100天昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系进行研究，每天浸泡100颗种子的发芽情况统计如下表（1）： （Ⅰ）频率分布表中的①，②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图，作出频率分布折线图；根据频率分布直方图，估计100天里种子发芽的平均值；（8分） （Ⅱ）下面是3月1日至5日每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数的详细记录：（i ）请根据3月2日至3月4日的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （ii ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（i ）中所得的线性回归方程是否可靠？（6分）（参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-）表（1）21．（本小题满分14分）在一次数学测验后，数学老师一元对选答题的选题情况进行了统计，性别有关？（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率； ②记抽到数学科代表的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++.22．（本小题满分12分）设a 、b 为实数，01n <<，01m <<，1m n +≤．（Ⅰ）求证：2a m +2b n≥()2a b +；（Ⅱ）对于任意实数t ，求证：()222()2()0a b t a b t m n m n+-+++≥恒成立．。

高二年级第一学期期末测试卷（理科数学） 2011年01月参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．若方程13522=-++kyk x表示椭圆，则实数k 的取值范围是 ▲ ．2．已知数据12345,,,,x x x x x 的平均数为3，标准差为4，则数据1234551,51,51,51,51x x x x x ----- 的标准差为 ▲ ．3．若圆锥的母线长为2cm ，底面圆的周长为2πcm ，则圆锥的体积为 ▲ 3cm . 4．有下面左图算法：则运行后输出的结果是 ▲ ．5．执行下面右图的程序框图，若14=P ，则输出的n = ▲ ．（第4题图） （第5题图）6．椭圆9822ymx++＝1的离心率是21，则两准线间的距离是 ▲ ．7．某一个单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的身体健康情况，用分层抽样的方法从中抽取一个样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ▲ ．8．双曲线2288kx ky -=的一个焦点是(0,3)，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．9．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ▲ ． 10．若双曲线2221613xy p-=的左焦点在抛物线)0(22>=p px y的准线上，则p 的值为 ▲ ．第15题图11．下列命题正确．．的序号是 ▲ ．（其中,l m 表示直线，,,αβγ表示平面）①若,,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⊥则； ②若,,,lm l m αβαβ⊥⊂⊂⊥则； ③若,//,αγβγαβ⊥⊥则； ④若//,,,l m lm αβαβ⊥⊂⊥则.12．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中 从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组 的频数为10，则抽取的学生人数是 ▲ ．13，则该正方体的表面积为 ▲ ． 14．若椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题纸的指定位置．．．．） 15．（本小题满分14分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数） 分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息， 回答下列问题：（1）求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （3）在分数段为[)90,60的学生中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在分数段[)80,70 的学生中应抽取多少人．16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABC D-中，A B ∥D C ，2D CAB=，A PA D=，P B ⊥A C ，B D ⊥A C ，E 为P D 中点．求证：（1）A E ∥平面P B C ；（2）P D ⊥平面A C E ．17．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左，右两个焦点分别为1F ，2F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为P ，Q ，且12F P F Q 为正方形． （1）求椭圆的离心率；（2）若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为4-，求此椭圆的方程．18．（本小题满分16分）多面体ABCDE中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //．（1）求证：BCD AE 面//； （2）求证：BCD BED 面面⊥； （3）求点C 到面ABE 的距离．DCBA E P （第16题图）AB AC AD AEA19．（本小题满分16分） （用空间向量与立体几何知识）已知棱长为2的正方体1111A B C D A B C D -中，,E F 分别是11,B C A D 的中点． 求：（1）求直线1A C 与直线D E（2）求直线A D 与平面1B E F （3）求二面角1B E F B --的余弦值．20．（本小题满分16分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为1C 上任一点，MN 是圆2:C 22(3)1x y +-=一条直径，若与A F 平行且在y 轴上的截距为3-l 恰好与圆C 2相切．（1）求椭圆1C 的离心率；（2）若P M P N ⋅的最大值为49，求椭圆1C 的标准方程．。

高二数学上学期期末考试试卷 高二年级数学试题（理）命题人：江国新一、选择题（5分×10=50分）1．已知α，β，γ是两两相交的三个平面，则α∩β∩γ等于A ．一个点B ．一条直线C ．φD ．以上三种情况均有可能2．空间四边形ABCD 中，AB=CD ，AB 与CD 成30°角，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 和AB 所成角为A ．15°B ．75°C ．15°或75°D ．30° 3．给出以下四个命题①过空间一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行②过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行 ③过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线垂直 ④与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 其中真命题的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 4．已知A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC 是A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 5．关于直线m ，n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m//α，n//β且α//β，则m//n ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ③若m ⊥α，n//β且α//β，则m ⊥n ④若m//α，n ⊥β且α⊥β，则n//m 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若)21,1,2(),,,1(2=-=b a λλλ，且b a 与的夹角为锐角，则λ的取值范围为A ．－1<λ<4B ．－1<λ<21 C ．21<λ<4 D ．－1<λ<21或21<λ<47．双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l ：mx+ny+t=0的公共点个数可能为①0个 ②1个 ③2个 ④3个 ⑤4个 其中命题正确的个数为A ．2B ．3C ．4D ．58．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上的任一点，则直线OP 与AM 所成角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 9．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为底面ABCD 内的一动点，P 到点B 的距离与P 到直线DD 1的距离之比为e(0<e<1)，则点P 的轨迹是A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．圆的一部分D ．线段 二、填空题（5分×5=25分）11．过点P(1,2)且在两坐标轴上的横纵截距互为相反数的直线方程为____________.12．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则(x －6)2+y 2的最小值为_______________.13．已知)2,0,1(),1,1,1(-==b a ，则b a 在方向上的正射影为_______________.14．设矩形ABCD(AB>AD)的周长为12，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于点P ，则△ADP 的最大面积为______________.15．已知四面体PABC 中，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB=∠BPC=∠APC=60°，则AP 与平面PBC 所成角为_______________，||PC PB PA ++=____________.高二数学上学期期末考试试卷 高二年级数学试题（理）答题卷二、填空题答题卡11．_________________ 12．________________ 13．________________ 14．________________ 15．________________ ___________________三、解答题 16．（本小题12分）已知空间四边形OABC 中，OA=OB ，CA=CB ，E 、F 分别为OA 、OB的中点（1）若G 、H 分别为BC 、AC 的中点，求证：四边形EFGH 是矩形； （2）若G 、H 分别为BC 、AC 上的点，且32==CA CH CB CG ，求证三条直线FG 、HE 、OC 交于一点.17．（本小题12分）已知关于x 的不等式2222+-+>++-x x ax x x a x （1）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a 使不等式的解集为(－1,1)？18．（本小题12分）在矩形ABCD 中，AB=3，BC=1，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C '点，且C '点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上（1）求证：B C '⊥平面A C 'D ；（2）求直线AB 与平面B C 'D 所成角的大小.19．（本小题12分）已知圆C的方程为x2+y2－2(t+3)x+2(1－4t2)y+16t4+9=0(t∈R) （1）求圆C的面积的取值范围；（2）过点P(3,4t2)的直线l与圆C的公共点的个数为0或1或2，求t的取值范围.20．（本小题13分）已知矩形ABCD中，AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=1 （1）若M、N分别为BC、PD的中点，求证：MN//平面PAB；（2）若BC边上有且只有一个点Q，使PQ⊥DQ，试求异面直线QN与CD所成的角.21．（本小题14分）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如：原来问题是“在平面直角坐标系xOy中，求点P(2,1)到直线3x+4y=0的距离”，求出距离2后，它的一个“逆向”问题可以是“求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程”；也可以是“若点P(2,1)到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程.”试给出问题“过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的一条直线与抛物线C交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：MQ//x轴”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.。

2014-2015年度衡阳县四中高二数学（理）期末复习测试题（一）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1.下列命题中的假命题．．．是（ C ） A.,lg 0x R x ∃∈= B.,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D.,20x x R ∀∈>2. ”“1>x 是”“1||>x 的（ A ） A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是（ A ）A 若a +b +c ≠3，则222a b c ++<3B 若a +b +c =3，则222a b c ++<3C 若a +b +c ≠3，则222a b c ++≥3D 若222a b c ++≥3，则a +b +c =34. 双曲线2214x y -=的渐近线的方程为（ A ） A ．2xy =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 5. 设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ C ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．如图，已知平行六面体1111OABC O A B C -，点G 是上底面1111O A B C 的中心，且a OA =， b OC =，=1，则用a ，b ，c 表示向量OG 为( ) A ．)2(21c b a ++ B ．)2(21c b a ++ C ．)2(21c b a ++ D ．)(21c b a ++ 7. 设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线0=y 相切，则C 的圆心轨迹为( B )A 双曲线B 抛物线C 椭圆D 圆 8. 以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 GAC B 1O 1C 1A 1O9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( A )A.2B.3C.115 D.371610. ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.221916x y -= B. 221169x y -= C.)3(116922>=-x y x D.221(4)169x y x -=> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．39-12．已知)3,1,2(-=，)2,4(，y -=，且)(+⊥，则y 的值为 ． 13.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是 。

咼二第二学期数学（理）期末试题第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 题目要求.1.已知集合U R ，集合Mx|x 24 0，则 C U MA.x | 2x2B.x| 2 x 2C. x | x 2或x 2D. x | x 2或 x 22.设复数z 满足z 2i 2 i 5，则 zA. 2 3iB.2 3i C. 32i D.3 2i2 23.若双曲线 x y_2 . 21 a 0, b 0的离心率为3，则其渐近线方程为a b5.下列四个结论:A. 1B. 2C.①若“ p q ”是真命题，则 p 可能是真命题;②命题 “ X 0 R,X 。

2 X 。

1 0 ”的否定是“ x R, x 2 0 ”； ③“ a 是“ a b 0 ”的充要条件; ④当a 0时，幕函数 a y x 在区间0, 上单调递减.其中正确的结论个数是 A.0 个 B.1 个C. 2 个D. 36.在单调递减等差数列 a n 中，若a 3A. y 2xB.r4.设x R ，向量a2r b XA. -4B.2.51x D. y 2r r r r6 ，且 a//b ，贝U a bD.207.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的不少于1人的概率是A.4B.3C. -555D.8.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为女生人数的正视图C.BD 折起，形成的三棱锥A. B. L C. 1 2 D. 1 .32sin x 3 39.函数y ——-x — ,0 U 0,—的图象大致是11 4 41 ~xA- B T C.f x10.如果函数f x在区间D上是增函数，且在区间上是减函数，则称函数 f x在区间D上是缓增x_ 1 3函数，区间D叫做缓增区间.若函数f X -x2 x 在区间D上是缓增函数，则缓增区间D是2 2A . 1,B. 0^.3C.0,1D. 1八311. 若函数f x 1 3 d bx 1 - 2 x 2bx在区间3,5上不是单调函数，则函数0厂、3在R上的极大值为3 2A .2 2 13 3 24 _b -b B. -b — C. 0 D. 2b -3 6 2 3 312. 已知函数 f xx笃k2ln x，若x 2是函数f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是x xA . ,eB.0,e C. ,e D. 0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.a13.xcosx 5sin x.a14.曲线f x xlnx在点1,f 1 处的切线方程为______________ . _______15.若将函数y si nx 、、3cosx的图象向右平移0个单位长度得到函数y si nx .. 3 cos x的图象，则的最小值为 _________ .116.已知函数f x x3 2x e x x，其中e是自然对数的底数，若f a 1 f 2a2 0 ,则实数a的e取值范围为_________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程(1 )用a 1,d 分别表示T,T 2,T 3，并猜想T n ；(2)用数学归纳法证明你的猜想217.(本题满分12分)已知命题P:函数f xlog 2m x 1是增函数，命题Q: x R, x 2mx 1 0.(1 )写出命题Q 的否命题 Q ，并求出实数 m 的取值范围，使得命题 Q 为真命题;(2)如果P Q 是真命题，P Q 是假命题，求实数 m 的取值范围.18.(本题满分12分)如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB AA 1,E 为BC 的中点.(1)求证：GD 0E ;(2)若二面角B 1 AE D 的大小为90°，求AD 的长.2x 19.(本题满分12分)已知椭圆 —2 b2 1a b0的左、右焦点分别为Fj F 2，A 是椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1 )若 F 1AB 90°，求椭圆的离心率;uuuu uum uujr uuu 3(2)若AF 2 2F 2B,AF 1 AB ，求椭圆的方程220.(本题满分12分)设等差数列a n 的公差d 0 ,且a 1 0，记T n1 a .a n 1.21.(本题满分12分)已知f x xlnx,g x x ax 3.(1)求函数f x在区间t,t 2 t 0上的最小值；1 2(3)证明：对一切x 0, , In x x 恒成立.e ex22.（本题满分10 分）选修4-4 :参数方程与极坐标系在平面直角坐标系x xoy 中，直线l 1的参数方程为y2 t （ t 为参数），直线J 的参数方程为 kty（m 为参数），设直线l i ，I 2的交点为P,当变化时,P 的轨迹为曲线•（2 ）以坐标原点与C 的交点，求O 为极点， M 的极径•x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设 I 3:cos sin 42 0，M 为 S23.（本题满分 10分）选修 4-5 :不等式选讲已知函数f x2x ax4,g x x 1 x 1.（2 ）若不等式f x g x 的解集包含，求实数 a 的取值范围（1 ）写出曲线C 的普通方程;（1 ）当a 1时，求不等式f X g x 的解集;高二数学（理）答案选择题C 2 . A 3 .D 4 . D 5. B 6 . B A 8 . B 9 . A 10 . D 11 . D 12 . A C 【解析】 因为M x 2x 4 0 x 2 x 2，全集U R ， 所以C u M xx 2或x 2，故选C.5A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由（z — 2i ）（2 — i ） = 5，得z = 2i + —二2i 2 — i5(2 + i)(2 — i) (2 + i)c c 2 a 2 + b 2 b 2 bD 【解析】由条件e = 3，即a = 3，得尹=—孑一=1 +亍=3，所以a = 2，所以双曲的渐近线方程为y=±#x .故选DD 【解析】：a = （1，x ），b = （2，— 6）且 a // b ，••• — 6— 2x = 0，x = — 3，A a = （1，— 3），a -b = 20 ,故选 D. B 【解析】①若p q 是真命题，则p 和q 同时为真命题， p 必定是假命题；② 命题 “ x ° R, x 02 x 0 1 0” 的否定是 “x R,x 2 x 1 0 ”； ③ “a 5且b 5 ”是“a b 0”的充分不必要条件； ④ y x a y' a x a 1，当a 0时，y' 0，所以在区间0,+ 上单调递减.选B.3 B 【解析】由题知，a 2+ a4 = 2a 3= 2，又t a 2a 4 = 4，数列｛a n ｝单调递减， . 1 3 .八辛 a 4 — a 2 1 .• • a 4 — 2 ， a 2 — 2 ・••厶^差 d — 2 = — 2 ・•• a 1 = a 2 — d — 2. A 【解析】设所选女生人数为 X,则X 服从超几何分布，其中 N= 6，M= 2，n — 3，2 1C 2C 4 C 2C 24则 P （X 三 1） — P （X — 1） + P （X = 2） — c ：+ c 3 — 5.所以选 A oB 【解析】由正视图与俯视图可得三棱锥 A- BCD 的一个侧面与底面垂直，则它们面积的1.7. 1 . 2. +3. 线4.5.6.7.2的表面积为L2C ；同时有 y' f'(x)4xsinx 2x 4cosx 2x 2 cosx因此k w e .故选A.和为1,另两个侧侧面是边长为1的等边三角形，面积的和为 所以几何体9 . A 【解析】因为函数y f(x)2sinx可化简为 1丄 xf(x)2x 2 sin x 可x 2 1知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案32x(2sin x x cosx xcos x) ，贝L 当 x (0,_) 2 2(x 1)f '(x) 0，可知函数在x 附近单调递增，排除答案 B 和D ，故答案选A .1310. D 【解析】抛物线f(x)=十2— x + 2的对称轴是x = 1，其递增区间是1,+ g)当x 》l 时,¥=1x+3 -J 注意到x+ !>23(当且仅当x =3即x=w 时取最小值)，11 • D 【解析】 所以缓增区间D 是1 , 3].选D .f '() = x 2- (2 + b)x + 2b = (x - b)( x - 2)函数 f(x)在区间 3,5]上不是单调函数,3<b<5，则由 f '()>0，得 x<2 或 x>b ，由 f '()<0,得2<x<b ，二函数f (x)的极4大值为 f (2) = 2b -3.12. A 【解析】 已知f (x)笃 k(2ln x)，则 f (x)x xx 2 3~ x(e xkx), 当x 0时, e xkx > 0恒成立，即kxe_ x令 g(x) g(x)e x (x 1) x 2易知 g(x)min g(1) e (x 2 1)213 .0 14 13 . 【解析】f(x) 14. 【解析】由题意2n 15. -3a(xcosx a16 .5sin x) 0.得f'x)=ln x+ 1,所以f'伟In 1 + 1 = 1,即切线的斜率为 1.因为 f(1)= 0, 、填空题 xcosx 5sinx 为奇函数，故x - y - 1 =因为 y = sin x + 3cos x = 2sin x + 扌，y = sin x — 3cos x = 2sin x — 3，(2)若函数f (x) log 2m x 1是增函数，贝U 2m 1, A mm -(6分) 2又 x R, x 2 mx 1 0为真命题时，由m 24 0m 的取值范围为B m 2 m 2...... 分由“P Q ”为真命题，“P Q ”为假命题，故命题p 、Q 中有且仅有一个真命题 当P 真Q 假时， 实数m 的取值范围为：A CB 152,2 2,2,…10分当p 假 Q 真时，实数m 的取值范围为：(C R A)B‘2 2,2兮 (11)分综上可知实数m的取值范围：2,22，•……分218 •【解析】(1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ，设AD= a ，则D(0,0,0)，A( a, 0,0) ，B( a, 1,0) ，C(0,1,0) ，B 1(a, 1,1) ，C 1(0,1,1) ，0(0，0,1)，E 2，1，0，15 .【解析】 所以把 y = 2sin x +扌的图象至少向右平移 年个单位长度可得y 二2sin x -n 的图象.16.【解析】 因为f ( x) x 32x Z e xef(x)，所以函数f(x)是奇函数, 因为f'(x) 2xx23x 2 e e 3x2 2 .e x e x 0，所以数f(x)在R 上单调递增，又 f (a 1) f (2a 2) 0 , 即 f (2a 2) f (1 a)，所以 2a 2 1 a ,三、解答题 即2a 2解得1，故实数的取值范围为[1,1].217 •【解析】 (1) Q :X omx o•分2若Q 为真命题，则0,解得: m 2,或 m 2故所求实数m 的取值范围为:2,(• 5 分)—* —* a••• C i D= (0 , — i , — i) , D i E= 2, i , — i ,则CTD^D TE^ 0,••• C i D 丄 D i E.(注：可采用几何法证明。

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二上学期期末测数学（理）试题一、单选题1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．23B ．46+C ．43+D ．23+【答案】B【分析】由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果.【详解】由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥-P ABC ，其中AB ，BC ，BP 两两垂直， 且1,2AB BC BP ===，则ABC ∆和ABP ∆的面积都是1，PBC ∆的面积为2， 在PAC ∆中，2,5PC AC AP === 则PAC ∆的面积为122362⨯所以该几何体的表面积为46 故选：B.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.2．已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.3．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O，则ABC 的边BC 边上的高为（ ）A ．1B ．2C 2D ．22【答案】D【分析】在直观图中A C ''∥y '轴，可知原图形中AC ∥y 轴，故AC BC ⊥,12C CA A ,求直观图中A C ''的长即可求解.【详解】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C.故选D.【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.4．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】因为方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则221210k k k ->-⎧⎨->⎩，解得112k <<.故选：D.5．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（ ）A ．13B ．74C ．34D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM ，然后根据空间向量夹角公式计算即可. 【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B ，()0,2,0C ，(0,3M -，所以()3,3,0AB =，(0,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ， 则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯===+⋅+. 故选：C .6．鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ） A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π【答案】D【解析】将三棱锥A -BCD 可放在长方体中确定直径AD ，计算即得结果. 【详解】依题意，三棱锥A -BCD 可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则2226327AD=++=，故三棱锥A-BCD的外接球的半径72R=，所以347343326A BCDVππ-⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.7．如图，已知圆柱底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（）.A．2B．2C．3D．33【答案】B【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.【详解】展开圆柱的侧面如图所示，由图可知小虫爬行路线的最短长度是222222 ACππ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭故选：B8．若直线:20l kx y --=与曲线2:1(1)1C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】确定曲线C 是半圆（右半圆），直线l 过定点(0,2)P -，求出直线l 过点(1,0)A 时的斜率，再求得直线l 与半圆相切时的斜率，由图形可得k 的范围．【详解】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)P -，曲线2 :1(1)1C y x --=-表示以点(1,1)C 为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)．如图，作出半圆C ， 当直线 l 经过点(1,0)A 时， l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ； 当l 与半圆相切时，由2|3|11k k -=+，得43k =，切线记为2l ．由图形可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点， 故选：A ．9．若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C的离心率为（ ） A 13B 17C ．53D 39【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a 的值，进而根据离心率e 可求得结果. 【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ay x =±； 由圆的方程知：圆心为()2,0，半径2r =；2a y x =与2ay x =-图象关于x 轴对称，圆的图象关于x 轴对称，∴两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取2ay x =，即20ax y -=，则圆心到直线距离d =∴弦长为165=，解得：32a =，∴双曲线离心率53e =. 故选：C.10．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解. 【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A11．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（ ） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【分析】结合空间中直线、平面的位置关系可逐一判断选项中空间中直线、平面的位置关系是否正确.【详解】若//l α，//l β，则α，β可能平行也可能相交，故A 错误；//l α，l β⊥，则存在m α⊂，//l m ，则m β⊥，故αβ⊥，故B 正确；若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，故C 错误；若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误.12．已知三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，且SA 、SB 、SC 两两垂直，P 是三棱锥S ABC -外接球面上一动点，则P 到平面ABC 的距离的最大值是 A ．33B ．3C ．233D ．433【答案】C【分析】,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系,三棱锥S ABC -外接球就是正方体MNQB ADCS -的外接球，由正方体及球的几何性质可得点P 与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，求出平面ABC 的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且,,1SA SB SC =，∴如图,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系, 则()()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0B A C S N ，()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0BA BC BN ===，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则00n BA x z n BC y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得1,1,1n，三棱锥S ABC -外接球就是棱长为1的正方体MNQB ADCS -的外接球， P 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，∴由正方体与球的几何性质可得，点P 点与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，∴点P 到平面ABC 的距离的最大值为110233BN n d n⋅++===.故选C. 【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.二、填空题13．若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．【答案】221204y x +=【分析】由题设条件设出椭圆方程22221y x a b+=，再列出关于a 2与b 2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆221259y x +=的焦点相同，则其焦点在y 轴上，半焦距c 有c 2=25-9=16，设它的标准方程为22221y x a b+= (a ＞b ＞0)，于是得a 2-b 2=16，又点在所求椭圆上，即22531a b+=，联立两个方程得2253116b b+=+，即222()8480b b +-=，解得b 2=4，则a 2=20， 所以所求椭圆的标准方程为221204y x +=.故答案为：221204y x +=15．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】2213627x y += 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】圆22650x y x +++=的圆心为(3,0)A -，1=2r ，圆226910x y x +--=的圆心为(3,0)B ，210r =， 设动圆的圆心为P ，半径为r ，由题意得||2PA r =+，||10PB r =-，则||+||=12>212PA PB AB a =｜｜，，3c =， 由椭圆定义得P 的轨迹方程为2213627x y +=，故答案为：2213627x y +=16．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF△的面积等于_______． 【答案】 2【详解】设过M 的直线方程为，由∴，，由题意，于是直线方程为，，∴，焦点F （1，0）到直线的距离∴ABF △的面积是2三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =.(1)求AP 与平面CMB 所成角的正弦； (2)求M 点到平面PBC 的距离.【答案】(1)45(2)2【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面CMB 的法向量，进而求出AP 与平面CMB 所成角的正弦；（2）先求出平面PBC 的法向量，再利用点到平面距离的向量求法即可求解. 【详解】（1）解：由题意，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD 可得：DA 、DC 、DP 两两垂直所以以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系4PD CD ==，2AD =，M 是PA 的中点()2,0,0A ∴，()0,0,4P ，()1,0,2M ，()0,4,0C ，()2,4,0B()2,0,4AP =-，()1,4,2MB =-，()2,0,0BC =-设平面CMB 的法向量()111,,n x y z = 则111142020MB n x y z BC n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，即()0,1,2n =设AP 与平面CMB 所成角为θ，则4sin 540165AP n AP nθ⋅===++⋅⋅（2）解：由（1）知，()0,0,4P ，()1,0,2M ，()0,4,0C()0,4,4PC ∴=-，()1,4,2MC =--设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，则22244020PC m y z BC m x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令21y =，即()0,1,1m =设M 点到面PBC 的距离为d ，则222MC m d m⋅=== 18．如图，ABC 的外接圆O 的直径2,AB CE =垂直于圆O 所在的平面，,2,1BD CE CE BC BD ===∥.(1)求证：平面AEC ⊥平面BCED ；(2)若13DM DE =，求平面ACM 与平面ADM 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）先证明出BC ⊥平面ACE ，利用面面垂直的判定定理可以证明；（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）ABC 的外接圆O 的直径AB AC BC ∴⊥.又因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC BC ⊥. 又,AC EC C AC ⋂=⊂平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，BC ∴⊥平面ACE ，又BC ⊂平面,BCDE ∴平面AEC ⊥平面BCED .（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则 )()()()3,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2AB D E .设()()()1124,,,,1,10,1,10,,3333M x y z DM DE x y z M ⎛⎫=⇒--=-⇒ ⎪⎝⎭设平面CAM 的法向量为()()11124,,,3,0,0,0,,33m x y z CA CM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则11130024033x m CA y z m CM ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，不妨令11z =，则()0,2,1m =-. 设平面AMD 的法向量为()222,,n x y z =，同理可求()23,3,3n =. 由图可知，平面ACM 与平面ADM 夹角不是钝角. 因为0636cos 100411299m n m n m n⋅-+⋅===++⨯++，所以平面ACM 与平面ADM 夹角的余弦值为610. 19．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△P AB 为等边三角形，平面P AB ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.(1)求证：CE ⊥PD ；(2)在线段BD （不包括端点）上是否存在点F ，使直线AP 与平面PEF 5在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，点F 为靠近点B 的三等分点，即13BF BD =；【分析】（1）取AB 的中点O ，连结PO ，取CD 的中点G ，连结OG ，利用面面垂直的性质定理证明OB ，OP ，OG 两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；（2）设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-，即可得到EF 的坐标，表示出平面PEF 的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可； 【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连结PO ， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥底面ABCD ，取CD 的中点G ，连结OG ，则OB ，OP ，OG 两两垂直，分别以OB ，OG ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设2AB =，则(1,2,0),(1,1,0),(1,2,0)C P E D --，所以(2,1,0),(1,2,CE PD =--=-， 则220CE PD ⋅=-=，故CE PD ⊥， 所以CE PD ⊥；（2）解：由（1）可知，(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,2,0)A B P E D ---，所以(1,1,3),PE AP =--=，(2,2,0),(2,1,0)BD BE =-=-， 设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-， 所以(22,21,0)EF BF BE λλ=-=-+-， 设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =， 则00n PE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0(22)(21)0x y x y λλ⎧-+=⎪⎨-++-=⎪⎩，令1y =，则21,22x z λλ-==-故21223(22)n λλλ⎛-=⎪--⎝⎭，所以cos ,2AP n AP n AP nλ⋅===⎛，整理可得29610λλ-+=，解得13λ=，所以在BD 上存在点F ，使得直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为55，此时点F 为靠近点B 的三等分点，即13BF BD =．20．已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=2l 的方程.【答案】(1)34a =-；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）由题设可得圆心为()0,4C ，半径2r =，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆C ：228120x y y +-+=，可得()2244x y +-=， 其圆心为()0,4C ，半径2r =，若直线l 与圆C 相切，则圆心C 到直线l 距离24221ad r a +==+，即43a =-，可得：34a =-.（2）由（1）知：圆心到直线的距离2421a d a+=+因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即222222d +=⎝⎭，解得：2d = 所以24221a d a+=+2870a a ++=，解得：1a =-或7a =-，则直线l 为20x y -+=或7140x y -+=.21．已知抛物线()2:20C y px p =>，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过()1,0-的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线=1x -于点D ，是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）存在直线1)y x +或1)y x =+． 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等，由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =， 即准线方程为2x =-.（2）显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <所以k <0k ≠.由韦达定理得212282k x x k-+=,121=x x . 直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--,又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2yD x ---, 因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等 又(4,3)E k --,所以221133232y k x y x -+-=--.整理得121222yy k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =. 经检验,k =符合题意. 所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x +或1)y x =+．22．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值． 【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-， 所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k kx x k ++=-+，2122161614k k x x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x xMN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x +++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+++-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414kk k k k k k⎡⎤=+-+++⎣⎦+ 整理得4k =，解得4k =-。

高二数学（理）期末测试（一）命题人： 审核： 时间：2013-6-6第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数13)31(2-+i i 的值是 （ ）A ．2B ．21C ．21-D ．2- 2．)('0x f =0是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果复数Z ai Z =+-<322满足条件||,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．)22,22(-B ．(,)-22C ．(,)-11D ．(,)-334．已知(p x x-22)6的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是 （ ）A ． 1B ．2C ．3D ．45．如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a ．2)3(2-a ． 2)3(3-a ．2)3(4-a ．2)3(5-a ．2)3(6-a 的方差是（ ）A ．0B ．3C ．6D ．126．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ） A ． 34种 B ．48种 C ．96种 D ．144种 7．函数22()()x a y x a b+=++的图象如右图所示，则 （ ）A ．(0,1),(0,1)a b ∈∈B ．(0,1),(1,)a b ∈∈+∞C ．(1,0),(1,)a b ∈-∈+∞D ．(1,0),(0,1)a b ∈-∈8．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ）A ．10B ．48C ．60D ．809．设随机变量~(0,1)N ξ，记)()(x P x <=Φξ，则(11)P ξ-<<等于 （ ）A ．2(1)1Φ-B ．2(1)1Φ--C ．(1)(1)2Φ+Φ-D ．(1)(1)Φ+Φ-10．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有 （ ） A ．48 B ．24 C ．60 D ．120 11． 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有 放回的每次模取一个球，定义数列{}n a ：⎩⎨⎧-=次摸取白球第次摸取红球第n n a n 11 如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为（ ）A ．729224 B ．72928C ．238735D ．7528 12．直线42+=x y 与抛物线12+=x y 所围成封闭图形的面积是A ．310 B ．316 C ．332 D ．335第Ⅱ卷（非选择题满分90）二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．设命题p ：|4x －3|≤1； q ：2(21)(1)x a x a a -+++≤0．若﹁ p 是﹁ q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ．14．已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)1,0(∈x 时，x x f 2)(=，则)27(f 的值为______．15．如图，把数列{}2n 中的所有项按照从小到大，从左到右的顺序写成如图所示的数表，且第k 行有12k -个数.若第k 行从左边起的第s 个数记为(,)k s ，则2010这个数可记为 ．16．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是 （0，4），则在曲线)(x f y =的切线中，斜率最小的切线方程是________________.高二数学（理）期末测试（一）班级：________________ 姓名：________________ 得分：________________13、____________14、____________15、___________16、____________ 三、解答题17．（12分）已知二次函数2()f x ax x =+，若对任意12,x x R ∈，恒有12122()()()2x x f f x f x +≤+成立，不等式()0f x <的解集为A (Ⅰ)求集合A ； (Ⅱ)设集合{}4,B x x a =+<，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围18．（12分）已知(41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含x 3的项； （2）系数最大的项．19．（本小题满分12分） 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望.20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB |＝3米，|AD |＝2米， （I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？（II ） 若AN 的长度不少于6米，则当AM 、AN 的长度 是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．A B CD M NP21． （12分）.已知()1)f n n N *=++∈L ，()1)()g n n N *=∈. (1)当n=1,2,3时，分别比较()f n 与()g n 的大小（直接给出结论）； (2)由(1)猜想()f n 与()g n 的大小关系，并证明你的结论. .22．（14分）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．参考答案一、选择题 ABDCD C D DAC BC 二、填空题13．[0，12] 14．2- 15．(10,494) 16．1280x y +-= 三、解答题17．解：(Ⅰ)对任意12,x x R ∈，有1212()()2()2x x f x f x f ++-2121()02a x x =-≥……………………３分 要使上式恒成立，所以0a ≥由2()f x ax x =+是二次函数知0a ≠故0a >……………………4分由21()()0f x ax x ax x a=+=+<所以不等式()0f x <的解集为1(,0)A a=-……………………6分(Ⅱ)解得(4,4)B a a =---，……………………8分 B A ⊆ 4014a a a -≤⎧⎪∴⎨--≥-⎪⎩………………………………………………１０分解得02a <≤-2分18．解：（1）由题设知2245,45,10.n n n C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r r rrr r r T C x x C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为 （2）系数最大的项为中间项，即55302551212610252.T C xx -==19．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得（I ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24 ∴事件A 的概率为0.24（II ）依题意知ξ=0.2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E ξ=0×0.24+2×0.76=1.5220．解：设AN 的长为x 米（x >2） ∵||||||||DN DC AN AM =，∴|AM |＝232x x - ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x -（I ）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ，∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0 ∴8283x x <<> 或即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞ ，，+（II ） 令y ＝232xx -，则y ′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（∴当x > 4，y ′> 0，即函数y ＝232x x -在（4，＋∞）上单调递增，∴函数y ＝232xx -在[6，＋∞]上也单调递增。

2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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2010-2011学年度第一学期高二年级期末模块检测考试第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )A.21)1(+-n B.cos 2πnC.cos2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 2．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+> 的解集为( ) A ．11{|}32x x -<< B ．11{|}32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或 3. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0） B ．1362022=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．162022=+y x （x ≠0） 5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段6．在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒︒===,则b =( )A．．． D ．3237．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中=的值为 （ ） A ．9 B ．1 C ．2 D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 A ．32B ． 1C ． 4D ． 239． 在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．26012．四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，13AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC 的长为( )A ． ． 23 C ． D ．322009—2010学年度第一学期高中二年级期末模块检测考试 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。