2003年北京工业大学465线性代数考研真题【圣才出品】

做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!全国2003年4月高等教育自学考试线性代数试题课题代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。

第一部分 选择题 （共20分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．对任意n 阶方阵A 、B 总有（ ） A.AB =BA B.|AB |=|BA | C.(AB )T =A T B TD.(AB )2=A 2B 22．在下列矩阵中，可逆的是（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100022011C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121110011D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101111001 3．设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（ ） A.-2 B.21-C.21D.24．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是（ ）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关 5．设有m 维向量组(I)：n 21,,,ααα⋅⋅⋅，则（ ） A.当m <n 时，(I)一定线性相关 B.当m>n 时，(I)一定线性相关 C.当m <n 时，(I)一定线性无关D.当m >n 时，(I)一定线性相关6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，1α、2α是其导出组Ax =0的一个基础解系，k 1、k 2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解可表成（ ） A.2)(2121211ββββα-+++k k B.2)(2121211ββββα++++k kC.2212211ββαα-++k kD.2212211ββαα+++k k7．设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确．．．的是（ ） A.Ax =2xB.A -1x =21xC.A -1x =2xD. A 2x =4x8．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ） A.2 B.1 C.0D.-19．二次型322123222132110643),,(x x x x x x x x x x f ++-+=的矩阵是（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-405033531B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4001030061C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-450533031D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41001036061 10．二次型2323223213212)()(),,(x x x x x x x x x f +++--=是（ ）A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的第二部分 非选择题 （共80分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

自己供给的文档均由自己编写如成，如对你有帮助，请下载支持！2003 年全国硕士入学统考数学( 一) 试题及答案一、填空题（此题共6 小题，每题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）11（ 1）lim (cos x)ln(1 x2 ) = .x 0 e【剖析】 1 型不决式，化为指数函数或利用公式lim f ( x) g( x) (1 )=e lim( f ( x) 1) g ( x) 进行计算求极限均可 .1lim1 【详解 1】lim (cos x)ln(1 x2) ln cos x=e x 0 ln( 1 x2 ) , x 0ln cosx ln cos x s i nx1而lim lim lim c o sx2 2 ，x 0 ln(1 x )x 0 x x 0 2x 211 .故原式 = e2e1 1 x21【详解 2】因为lim (cos x 1) lim 2ln(1 x 2 ) x 2 ，x 0 x 0 211 .所以原式 = e2e（ 2 ）曲面z x 2 y2与平面 2x 4 y z 0平行的切平面的方程是2x 4 y z 5 .【剖析】待求平面的法矢量为n { 2,4, 1} ，所以只要确立切点坐标即可求出平面方程 , 而切点坐标可依据曲面z x 2 y2切平面的法矢量与n { 2,4, 1} 平行确立.【详解】令 F (x, y, z) z x2 y2，则F x 2x ， F y 2 y ， F z 1 .设切点坐标为 ( x0 , y0 , z0 ) ，则切平面的法矢量为{ 2x0 , 2 y0 ,1} ，其与已知平面2x 4 y z 0 平行，所以有2x 02y 0 1，241可解得x 0 1, y 0 2，相应地有z 0x 02 y 02 5.故所求的切平面方程为2( x 1) 4( y2) ( z 5) 0 ，即 2x 4y z 5 .（ 3） 设 x 2a n cosnx(x) ，则 a 2 =1.n 0【剖析】将 f (x) x 2 (x) 睁开为余弦级数 x 2a n cosnx(x) ，n 0其系数计算公式为 a n2f ( x) cosnxdx .【详解】 依据余弦级数的定义，有a 22x 2 cos2xdx1x 2 d sin 2x=1[ x 2sin 2x 0 sin 2x 2xdx]= 1xd cos2x1[ xcos2xcos2xdx]=1.（4）从 R 2的基11111,21 到 基1, 2的过渡矩阵为122 3 .12【剖析】 n 维向量空间中，从基1, 2,, n 到基1,2 , , n 的过渡矩阵 P 知足[ 1,2,, n]=[1, 2,,n]P ， 因 此 过 渡 矩 阵P 为 ：P=[1, 2,,n]1[1, 2,, n ] .R 2的基1 , 2111【详解】依据定义，从11 到基1,2的过渡矩12阵为1P=[1, 2]1[1, 2]1 1 1 1 .0 1 1 21 1 1 123 =1 12 1 .0 2 （ 5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y) 6x, 0 x y 1, 0, 其余，则P{X Y 1} 1. 4【分析】已知二维随机变量 (X,Y) 的概率密度 f(x,y) ，求知足必定条件的概率P{ g( X , Y) z0 } ，一般可转变为二重积分P{ g ( X ,Y) z0 } = f ( x, y) dxdy 进行计算.g( x, y) z0【详解】由题设，有1xP{ X Y 1} f ( x, y)dxdy 12 dx 6xdyx y 10x112x 2 ) dx 1= 2 (6x .0 4y1DO 11 x 2（ 6）已知一批部件的长度X ( 单位： cm) 听从正态散布N ( ,1) ，从中随机地抽取16个部件，获得长度的均匀值为40 (cm) ，则的置信度为 0.95 的置信区间是 (39.51,40.49) .(注：标准正态散布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)【剖析】已知方差 2 1，对正态整体的数学希望进行预计，可依据X ~ N(0,1) ，由 P{ X u } 1 确立临界值 u ，从而确立相应的置信区间 .1n 1 2 2n【详解】由题设， 1 0.95，可见0.05. 于是查标准正态散布表知 u1.96.2此题 n=16, x 40 ,所以，依据 P{ X1.96} 0.95，有1nP{ 401.96} 0.95，即P{ 39.51,40.49} 0.95 ，故的置信度为0.95 的置116信区间是 (39.51,40.49) .二、选择题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（）设函数f(x) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形如下图，则f(x)有1(A) 一个极小值点和两个极大值点 .(B) 两个极小值点和一个极大值点 .(C) 两个极小值点和两个极大值点 .(D) 三个极小值点和一个极大值点 . [ C ]yO x【剖析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点仍是极小值可进一步由取极值的第一或第二充足条件判断.【详解】依据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不存在的点 . 三个一阶导数为零的点左右双侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左边一阶导数为正，右边一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（ 2）设{ a n}, { b n}, { c n}均为非负数列，且lim a n 0 , lim b n 1 , lim c n ,则必有n n n(A) a n b n对随意n建立. (B) b n c n对随意n建立.(C) 极限 lim a n c n不存在. (D) 极限lim b n c n不存在 . [ D ]n n【剖析】此题考察极限观点，极限值与数列前方有限项的大小没关，可立刻清除(A),(B) ；而极限lim a n c n是0 型不决式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极n限 lim b n c n属 1 型，必为无量大批，即不存在 .na n 2， b n 1 ，c n1 )，则可立刻清除【详解】用举反例法，取nn(n 1,2, 2(A),(B),(C) ，所以正确选项为 (D).（ 3）已知函数 f(x,y) 在点 (0,0)的某个邻域内连续，且f ( x, y) xy1 ，则lim2y 2 ) 2x 0, y 0(x(A) 点 (0,0)不是 f(x,y) 的极值点 . (B) 点 (0,0)是 f(x,y) 的极大值点 .(C)点 (0,0)是 f(x,y) 的极小值点 .(D) 依据所给条件没法判断点(0,0)能否为 f(x,y) 的极值点 .[ A]【剖析】 由题设，简单推知 f(0,0)=0 ，所以点 (0,0) 能否为 f(x,y) 的极值， 重点看在点 (0,0) 的充足小的邻域内 f(x,y) 是恒大于零、恒小于零仍是变号 .【详解】 由lim f ( x, y) xy1知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且y 2 ) 2x 0, y 0( x 2f ( x, y) xy( x 2 y 2 ) 2 ( x , y 充足小时），于是f (x, y)f (0,0) xy ( x 2y 2 )2 .可见当 y=x 且 x 充足小时， f ( x, y)f (0,0)x 24x 40 ；而当 y= -x 且 x 充足小时，f ( x, y) f (0,0)x 2 4x 4 0 . 故点 (0,0)不是 f(x,y) 的极值点，应选 (A).（4）设向量组 I ： 1, 2,,r 可由向量组 II ：1,2,, s 线性表示，则(A) 当 r s 时，向量组 II 必线性有关 . (B) 当 r s 时，向量组 II 必线性有关 . (C) 当 rs 时，向量组 I 必线性有关 . (D) 当 rs 时，向量组 I 必线性有关 .[ D ]【剖析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I ： 1 , 2, ,r可由向量组 II ： 1, 2,, s 线性表示，则当 rs 时，向量组 I 必线性有关 . 或其逆否命题：若向量组 I ： 1,2,,r可由向量组 II ： 1 ,2,, s 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 rs . 可见正确选项为 (D).此题也可经过举反例用清除法找到答案.1 ,2 01,【详解】用清除法：如 1,1 01，则112 ，但 2(A) ；,111,线性没关，清除 1 0 2,10 ，则2 可由 1 线性表示，但 1 线性没关，清除 (B) ；1 ,11, 10 1,2 ，1 可由2 线性表示，但1 线性无1关，清除 (C). 故正确选项为 (D).（ 5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 此中 A,B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题：①若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩 (A) 秩(B)；②若秩 (A) 秩 (B) ，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；③若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩 (A)= 秩(B) ；④若秩 (A)= 秩 (B) ，则 Ax=0 与 Bx=0 同解 .以上命题中正确的选项是(A) ①② . (B) ①③ .(C) ②④ . (D) ③④ . [ B ]【剖析】此题也可找反例用清除法进行剖析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，重点是抓住③与④，快速清除不正确的选项 .【详解】若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩 (A)=n - 秩 (B), 即秩 (A)= 秩 (B) ，命题③建立，1 0 可清除 (A),(C) ；但反过来，若秩 (A)= 秩(B) ，则不可以推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如A ，0 00 0与 Bx=0 不一样解，可见命题④不建立，清除(D),B ，则秩 (A)= 秩 (B)=1 ，但 Ax=00 1故正确选项为 (B).（ 6）设随机变量X ~ t (n)( n 1),Y1，则X 2(A) Y ~ 2 (n) . (B) Y ~ 2 (n 1) .(C) Y ~ F (n,1) . (D) Y ~ F (1,n) . [ C ]【剖析】先由 t 散布的定义知X U ，此中 U ~ N (0,1),V ~ 2 ( n) ，再将其代入Vn1Y2，而后利用 F 散布的定义即可 .X【详解】由题设知， X U ，此中 U ~ N (0,1),V ~ 2 (n) ，于是Vn1 V V1Y = n n ，这里U2 ~ 2 (1) ，依据F散布的定义知 Y ~ F (n,1). 故X 2 U 2 U 2 X 21应选 (C).三、（此题满分10 分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【剖析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1)设切点的横坐标为x，则曲线y=lnx在点 ( x ,ln x ) 处的切线方程是y ln x 01(x x 0 ).x 0由该切线过原点知 ln x 0 10 ，从而 x 0 e. 所以该切线的方程为1 yx.e平面图形 D 的面积A1 ey) dy1 e 1. (ey2（ 2） 切线 y1x 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积e为V 11 e2 .3曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为V 21(e e y ) 2 dy ，所以所求旋转体的体积为1 e2 1 e y ) 2dy(5e 2V V 1 V 2(e 12e 3).36y 1D O1ex四 、（此题满分 12 分）将函数 f ( x)arctan1 2 x睁开成 x 的幂级数，并求级数( 1) n 的和 .1 2xn 0 2n 1【剖析】 幂级数睁开有直接法与间接法，一般考察间接法睁开，即经过适合的恒等变形、求导或积分等， 转变为可利用已知幂级数睁开的情况。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ，记).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =- 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132.【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21Λ]=[n ααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16,40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21Λ==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可.【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+=由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰-=π， 因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析. 四 、（本题满分将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开ΛΛ+++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和. 【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由于2sin sin ≥+-x xe e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx ye dy xe x x x Ly 方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ， 故dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1(Λ=n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k kxdx W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++=Λ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++-Λ 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+Λ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+Λ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++Λ于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 0202220022022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tttrdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出1*,,-P A ，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数.方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη----==P AP P A P P B ，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于 )7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】 设AP P B 1-=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k -==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=3030}{616}{k k k X kP k k X P =.41236161=⋅=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧= 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX 十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21Λ，记).,,,min(ˆ21nX X X Λ=θ (4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤=Λθθ =}),,,{m in(121x X X X P n >-Λ=},,,{121x X x X x X P n >>>-Λ=nx F )](1[1-- =.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n (3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。

2003年研究生入学考试题—线性变换2003－010－6设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ij A a ⨯=,则σ在基231,,εεε下的矩阵为。

2003－010－15（15分）设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：(1)Im ker V φφ=⊕；（2)Im ker 0φφ⋂=;（3）若12,,,r ααα是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα是2Im φ的一组基； （4）秩()φ=秩2()φ。

（注:表示Im ker φφ⊕直和）2003－011－6（24分）设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，记{}Im ()|V φφαα=∈，{}ker |()0V φαφα=∈=。

求证下列命题等价：（1）Im ker V φφ=⊕；(2)Im ker 0φφ⋂=；(3）2ker()ker()φφ=；(4)2Im()Im()φφ=。

2003－012－6（13分）设A 为n 维线性空间V 的线性变换σ关于某基的矩阵，证明：2A 的秩＝A 的秩当且仅当1()(0)V V σσ-=⊕。

200300106给定R 上二维线性空间V 的线性变换A ，A 在一组基下的矩阵表示为01,0.10A a a ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭求A 的不变子空间。

200300205设V 是数域P 上的一个n 维线性空间,12,,,n a a a 是的一个基，用1V 表示由12n a a a +++生成的线性子空间，令211{0,}n ni i i i i i V k a k k P ====∈∑∑（1） 证明2V 是V 的子空间（2） 证明12V V V =⊕,（3） 设V 上线性变换A 在基12,,,n a a a 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0)，证明1V 与2V 都是A 的不变子空间。

考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。

若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E＋A不可逆。

B．E—A不可逆，E+A可逆。

C．E—A可逆，E+A可逆。

D．E—A可逆，E+A不可逆。

正确答案：C解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。

2．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )A．交换A*的第1列与第2列得B*。

B．交换A*的第1行与第2行得B*。

C．交换A*的第1列与第2列得一B*。

D．交换A*的第1行与第2行得一B*。

正确答案：C解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。

3．设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。

若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。

B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。

D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。

正确答案：D5．设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( ) A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。

2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________. （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(= (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+ (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1>λ时，有显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有=T T T Ta a E αααααααα⋅-+-11 =T T T T a a E αααααααα)(11-+-=T T T a a E αααααα21-+-=E aa E T =+--+αα)121(,于是有 0121=+--aa ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为=)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(= (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 三 、（本题满分8分） 设试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→ =.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y gx g ∂∂+∂∂【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， 故 v f v f x v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分8分） 计算二重积分其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 =.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ=.1A e -+-π 因此 )1(21π-+=e A ， 【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0到x 积分，得由f(0)=1, 得令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+ (3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为(2)]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e ex x+⎰-=.22x x Ce e -+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(.故由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式 =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a)0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行） 由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = .原方程组的一个基础解系为【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22020212+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定： 二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1. 对于)1,0[∈y ，有=})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 =}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F由此,得U 的概率密度=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ? 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (?1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(?? , +?)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ ](9) 设f (x ) = |x (1 ? x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220x xx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=所围成的 平面区域(如图). (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(，x ? [a , b )，证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P ，其中价格P ? (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分)设级数的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分)设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 b b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分) 设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x a e x x x x ，得b = ?4. 因此，a = 1，b = ?4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) ? 0，则f (x ) ? 0； (2) 若f (x ) ? 0，且A ? 0，则g (x ) ? 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ? 0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x ? 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=2221232y y +=, 其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=. 所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (?1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(?1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(?? , +?)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ? 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 ? x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < ? < 1，当x ? (?? , 0) ? (0 , ?)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点.显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ? (?? , 0)时，f (x ) = ?x (1 ? x )，02)(>=''x f ， 当x ? (0 , ?)时，f (x ) = x (1 ? x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n n n u u 可得到n u 不趋向于零(n ? ?)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)。

2003年高等代数（综合卷）6.(14)设P 是数域,n n P B A ⨯∈,,E 是n 阶单位矩阵.证明:P b a ∈∀,(1)当bB aA +是可逆矩阵时,bB aA B bB aA B b A bB aA A a -=+-+--1212)()(.(2)当bB aA +,bB aA -都是可逆矩阵时, E bB aA B bB aA B b bB aA A bB aA A a =+--+-----112112)()()()(7.(20)设Ax x '是秩为r 的n 元半正定二次型,(1)证明:存在秩为r 的r n ⨯实矩阵C ,使C C A '=. (2)证明:x E A x )(+'是n 元正定二次型.8.(20)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2212221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A是数域P 上的n 阶非零矩阵)1(>n (1)求A 的行列式A 和A 的秩. (2)当022221≠=+++k a a a n 时,证明存在n 阶可逆矩阵T 使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001 k AT T . 9.(21)设P 是数域,m n P A ⨯∈,如果m n P X ⨯∈∀规定AX X A :(1)证明A 是数域上线性空间n n P ⨯的线性变换.(2)令},{m n m n O AY P Y Y W ⨯⨯=∈=,证明W 是m n P ⨯的-A 子空间.(3)设秩n r A <=,求W 的维数W dim .2004年 高等代数1.(15)设n a a ,,1 是数域P 上n 个不同的数,解线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----11212111222221212211211n nn n n n n n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x x x . 2.(15)设P 是数域,12)(,3++=∈⨯x x x m P A n n 是A 的最小多项式,求—A ,3.(20) 设P 是数域,n n n ij P a A ⨯∈==),,()(1αα ,nn a 的代数余子式0≠nn A ,(1)证明: n αα,,1 线性无关.(2)当0=A 时,求线性方程组O X A =*的基础解系,其中*A 是A 的伴随矩阵4.(30) 设P 是数域,}{1A A P A V n n ='∈=⨯, }{2是上三角矩阵B P B V n n ⨯∈=,(1)证明: 21V V ，都是n n P ⨯的子空间.(2)证明2121,V V P V V P n n n n ⊕≠+=⨯⨯.5.(30)设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的复根,(1)证明:)(x p 的常数项不等于零.(2)证明:对任意正整数1)),((,=m x x p m (3)设22)(3+-=x x x p ,求51x. 6.(20)设n 元实二次型Ax x x x x f n '=),,,(21 经过正交替换Qy x =(其中Q 是正交矩阵)化为223222132n ny y y y ++++ ，证明: (1)A 的特征值是n ,,2,1 . (2)存在正定矩阵B ,使2B A =7.(20)设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线性变换,0)(,0)(1=A ≠A ∈=αααn n V ，,证明:(1))(,),(),(,12αααα-A A A n 是V 的基.(2)设W 是A 的不变子空间,0,,,,121≠∈a P a a a n ,并且存在向量W a a a a n n ∈A ++A +A +=-)()()(12321ααααβ ,则V W =.2005年 高等代数1.(15)设A 是数域P 上的r r ⨯阶矩阵,D 是s s ⨯阶矩阵,A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭,并且r A r M r ==)()(,证明:1D CA B -=.2.(15)设A 是数域P 上的m n ⨯矩阵,12,,,t ααα 是齐次方程组0Ax =的线形无关的解,0A β≠,证明12,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.3.(30)设P 是数域,1110{()|,0,1,2,,}n n n n i V f x a x a x a x a a P i n --==++++∈= .(1)证明V 关于多项式的加数乘多项式构成数域P 上的线性空间.(2)(),f x V ∀∈规定:()().'(),A f x f x x f x - 证明A 是V 的线性变换.(3)求线性变换A 在基21,,,,n x x x 上的矩阵.4.(20)设A 是n n ⨯阶复矩阵，0,k A =123,,,,r λλλλ 是A 的所有非零的特征值，(1)证明E A -是可逆矩阵，并求1()E A --. (2)求1()E A --的所有特征值.5.(20)设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶半正定矩阵，（1）证明1A -是n 阶正矩阵；（2）求实的可逆矩阵T ，使得1210000'()00n a a T A B T a -⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,1,2,,.ia i n >= )是对角矩阵，并说明主对角线上的元素6.(20)设()ij A a =是n 阶矩阵，1()nii i Tr A a ==∑是主对角线上的元素之和，22P ⨯表示数域P 上所有2阶构成的集合，22,A P ⨯∀∈规定:()f A Tr A ，(1)证明f 是线性空间22P ⨯线性函数.(2)1112212210000000,,,00011001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22P ⨯的一组基.求22P ⨯上的线性函数g ，使得11122122()2,()3,()4,() 1.g E g E g E g E ====-7.(20)设V 是数域P 上的线性变换，A 的最小多项式是2()23,m x x x KerA =--表示A 的核，Im A 表示A的值域，证明：(1)V 中存在一组基，使A 在这基下的矩阵是对角矩阵；(2)(3)Im()Ker A E A E -=+，其中E 是V 的恒等变换； (3)(3)()V Ker A E Ker A E =-⊕+2006年 高等代数1.(14)计算n 阶行列式:213141111222324221222331323334244142434421234n n n n n n n n n n na a a a a a x a a a a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a D a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a +++=++,其中120n x x x ≠…. 2.(20)设11112122122212(,,),(,,),(,,),n n r r r rn a a a a a a a a a ααα===…………且12,,αααr …线性无关,12(,,,)n b b b β=….证明:12,,,αααβr …线性相关的充分必要条件是:线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩………的解都是方程11220n n b x b x b x +++=…的解.3.(24)R 是实数域,V 是线性方程组1234513451234512345242470224034440426340x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪+--=⎪⎨-++-=⎪⎪-++-=⎩的所有解构成的集合.(1)证明:V 是5R （列向量组成的空间）的子空间. (2)求V 的基个维数.(3)求V 的正交补V +的基与维数(5R 的内积(,)'αβαβ=).4.(32)设P 是数域,{()[]|()0()}.V f x P x f x f x n =∈=∂<或121210()n n n n f x a x a x a x a V ----∀=++++∈…，规定11:().n n A f x a x --(1)证明A 是V 的线性变换. (2)求A 在基12,,,,1n n x x x --…下的矩阵.(3)求A 在核10A -（）的基. (4)求A 的所有特征值和特征向量.5.(20)设P 是数域,,,.n n A B P C AB BA BC CB ⨯∈=-=，且 证明：(1)对大于1的自然数k,有1k k k A B B A kB C --=.(2)设()f λ是B 的特征多项式,'()f λ是()f λ的微商,则'()0f B C =.6.(20)R 实数域，n n A R ⨯∈,且A 是对称矩阵. (1)证明A 的伴随矩阵*A 也是实对称矩阵.(2)试问A 与*A 合同的充分必要条件是什么?并证明你的结论.7.(20)设V 是数域P 上的n 维线性空间,n r r εεεεε,,,121 +，，，是V 的基,),,(),(12211n r r V L V εεεεε +==，，，.(1)证明:V 是12,V V 的直和(即12V V V =⊕); (2)设A 是1V 的线性变换,B 是2V 的线性变换,求V 的线性变换C ,使得1V 与2V 的不变子空间，并且C 在1V 与2V 上的限制分别是 12|,|C V A C V B ==2007年 高等代数1.(20)设)(x f 是非零复多项式,用)(x f '记)(x f 的微分(导数)多项式;设)(x d 是)(x f 与)(x f '的最大公因式,设整数1>m .证明:复数c 为)(x f 的m 重根的必要充分条件是c 为)(x d 的1-m 重根.请说明这里为什么要假设1>m ?2.(30)设A 是n m ⨯矩阵,设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a 1是线性方程组0=AX 的非零解.证明:(1)如果A 的任何列向量非零,则n a a ,,1 中至少两个非零.(2)如果的A 任何两个列向量线性无关,则n a a ,,1 中至少三个非零.(3)推广(1),(2),你得到什么结论?请证明你的结论.3.(30)对n m ⨯矩阵A ,记A '是A 的转置矩阵.(1)设A 是实矩阵,证明:实线性方程组0=AX 与实线性方程组0)(='X A A 同解.(2)证明:实矩阵A 的秩与A A '矩阵的秩相等.(3)在复数域,上述结论成立吗?为什么?(4)对复数域，你认为应如何修改断言(2)得到一个正确的断言?为什么?4.(20)设A 是实方阵,证明:如果下面三条中的任意两条成立,则另外一条也成立:(1) A 是正交矩阵; (2)A 是对称矩阵; (3) E A =2,其中E 表示单位矩阵.5.(20)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a A 0000的特征根为3,2,1,其中b a ,是实数.求b a ,,并求正交矩阵T 使得AT T '是对角矩阵,其对角线元素依次为3,2,1.6.(30)用C 表示复数域.设A 是n m ⨯复矩阵,设A 的特征多项式)()()(λλλg f A =∆,其中)(λf 与)(λg 互素.在n 维向量空间n C 中,设F 是齐次线性方程组0)(=⋅X A f 的解子空间,G 是齐次线性方程组0)(=⋅X A g 的解子空间,证明: (1) ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n n n n n C c c c c A f G C c c c c A g F 1111)(,)(; (2)G F C n ⊕=.2008年 高等代数1.(20)以下陈述是否正确?正确的请予以证明,不正确的请举反例(例子的正确性要求论证).(1)有理系数多项式)(x f ,如果在有理数域上不可约,则在任何数域上不可约.(2)两个有理系数多项式)(x f 与)(x g ,如果在有理数域上互素,则在任何数域上互素.{定义1 数域F 上的多项式)(x f 称为在上不可约.如果)(x f 次数大于0而且只要F 上的多项式)(x g 是)(x f 的因式,那么,)(x g 要么与)(x f 相伴,要么与1相伴.定义2 数域F 上的多项式)(x f 与)(x g 称为在F 上互素,如果它们在F 上的最大公因式与1相伴. }2.(20) (1)设B A ,都是n 阶方阵，且O AB =.证明:BA 的秩]2/[n ≤.其中]2/[n 表示不超过2/n 的最大整数(2)对于任意正整数n ,都存在n 阶方阵B A ,满足O AB =而BA 的秩]2/[n =.3.(30)令R 表示实数域,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001000100A .(1)求实矩阵A 的实特征值和实特向量.(2)求3R 中所有的-A 不变子空间(实向量空间3R 的子空间U 称为不变的,如果U Au ∈，U u ∈∀,其中u 写为列向量).4.(30)(1)请叙述什么是实二次型?什么是化实二次型为平方和定理?什么是实二次型的惯性定理?(2)证明实二次型的惯性定理.5.(20)设n 维复向量空间V 的线性变换P 满足P P =2,证明:(1)KerP P V ⊕=Im ,其中P Im 表示P 的像子空间, KerP 表示P 核子空间.(2)像子空间维数trP P =Im dim ,其中trP 表示线性变换P 的迹,即P 的所有特征根(计重数)之和.6. (30)设n 2阶方阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=E E E E A ,其中E 是n 阶单位矩阵, (1)求A 的特征多项式. (2)求A 的极小多项式. (3) 求A 的约尔当标准形.2009年 高等代数1.(20)设n a a ,,1 是n 个复数,x 是复变元.求x 取哪些复数值时下述等式(等式左边是1+n 阶行列式)成立:011112122221221=n n n n n n n a a a x a a a x a a a x2.(20) 设)(x f 是n 次实系数多项式,设)(x f '是)(x f 的导数多项式,证明:(1)如果r 是)(x f 的m 重根,0>m ,则r 是)(x f '的1-m 重根(若r 是)(x f '的零重根,则表示r 不是)(x f '的根).(2)如果)(x f 的根都是实数,则)(x f '的根也都是实数.3.(20)设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵,B 是非零的1⨯m 阶矩阵,考虑线性方程组B AX =,其中X 是变元n x x ,,1 的列向量.证明:(1)线性方程组B AX =的任意有限个解向量n X X ,,1 的向量组的秩1+-≤r n .(2)若线性方程组B AX =有解,则它有1+-r n 个解向量是线性无关的.4.(30)设C B A ,,都是n 阶方阵,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O C B A 是分块构成的n 2阶方阵,其中右下块O 表示n 阶零方阵.(1)证明:)()(C rank B rank O C B A rank +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,这里)(B rank 表示B 矩阵的秩. (2)举例说明:(1)中的等号和不等号都可能成立.5.(30)设V 是有限维向量空间,设W U ,是V 两个字空间.(1)什么是U 与W 的和子空间W U +,请叙述关于W U +的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6. (30)设A 是阶实矩阵,si r t +=λ是A 的特征根,其中s r ,是实数,i 是虚数单位.(1)证明:)(21A A '+的特征根都是实数,令n μμ≤≤ 1是)(21A A '+的全部特征根. (2)证明: n r μμ≤≤1.(3)你有类似估计s 的办法吗?2010年 高等代数1.(20)设F 是任意数域,][)(x F x p ∈.证明：)(x p 是不可约多项式当且仅当是)(x p 素多项式.2.(20) (1)设A 是n 阶方阵,E 是单位矩阵,0≠k .证明kA A =2当且仅当n kE A rank A rank =-+)()(.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20)设R 表示实数域,)(3R M V =表示所有33⨯实矩阵构成的向量空间.对给定的)(3R M A =定义在V 上的线性替换V V T A →：为BA AB B T A -=)(,对任意的)(3R M B =.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000A ,求A T 的特征值和相应的特征子空间;并求此时A T 的极小多项式.4.(30)设有三元实二次型xz z y x z y x f 43),,(222+++=,并设z y x ,,满足1222=++z y x .试求f 的最大值和最小值,并求当z y x ,,取什么值时,f 分别达到最大值和最小值.5.(30)设R 是实数域,])1,0([1C V =是闭区间]1,0[上的连续可微函数的集合. V 在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数x e x h x x g x x f ===)(,2)(,cos )(在V 中线性无关.(2)任意给定0>n ,在V 中找出1+n 个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m ,是否有V 和m R 同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6. (30)(1)设A 和B 均为n 阶复方阵,证明:A 与B 相似当且仅当作为-λ矩阵有A E -λ等价于B E -λ.(2)设B A ，都是3阶幂零矩阵,证明: A 相似于B 当且仅当A 与B 有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论(2)对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。

线性代数历年考研试题精解二、选择题1.(1987 —Ⅰ , Ⅱ ) 设 A 为 n 阶方阵 , 且 A 的队列式Aa 0 , 而 A * 是 A 的陪伴矩阵 , 则 A * 等于（ C）(A) a .(B)1 . (C)an 1. (D)a n.a【考点】陪伴矩阵的性质 .A *n 1.解A2.(1987 —Ⅳ , Ⅴ ) 假定 A 是 n 阶方阵 , 其秩 r n , 那么在 A 的 n 个行向量中（）(A) 必有 r 个行向量线性没关 .(B) 随意 r 个行向量线性没关 .(C) 随意 r 个行向量都构成最大线性没关向量组.(D) 任何一个行向量都能够由其余 r 个行向量线性表出 .【考点】 矩阵的秩 , 向量组的线性有关性及向量组的最大没关组.解R( A) r nA 的行秩 r nA 的行向量组的最大没关组含 r 个行向量 . 选(A).3.(1988 —Ⅰ , Ⅱ ) n 维向量组1,2,L ,s (3s n) 线性没关的充足必需条件是（D ）(A) 存在一组不全为零的数k 1 , k 2 ,L ,k s , 使 k 1 1k 2 2 L k s s 0 .(B) 1, 2 ,L , s 中随意两个向量都线性没关 .(C)1, 2 ,L , s 中存在一个向量 ,它不可以用其余向量线性表出 .(D) 1,2,L, s 中随意一个向量都不可以用其余向量线性表出. 【考点】向量组线性有关的性质 .解“向量组线性有关的充足必需条件是起码有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是 (D).对 (A): “存在 ”改为“随意”就正确 .1 ,11, 2,3 线性有关 .对 (B):如10 2,3中随意两个向量都线性没关 ,但1110 0 1不可以由 2, 31, 2,对 (C):1, 2 , 3 2 中 线性表示 ,但 3 线性有关 .0 14.(1989 —Ⅰ , Ⅱ , Ⅳ, Ⅴ) 设 A 是 n 阶方阵 , 且 A 的队列式 A 0, 则 A 中（）(A) 必有一列元素全为零 .(B) 必有两列元素对应成比率 .(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 .(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 .【考点】向量组线性有关的鉴别定理 .解AR( A)n A 的列 (或行 )秩 n A 的列 (或行 ) 向量组线性有关 . 选(C).-19-5.(1989—Ⅳ ) 设 A 和 B 均为 n n 矩阵 ,则必有（）(A)A B A B . (B) AB BA .(C) ABBA .(D) (AB) 1A 1B 1 .【考点】矩阵的性质 .解 AB A B BA .选(C).6.(1989—Ⅴ )设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则 Ax 0有非零解的充足必要条件是（）(A) rn . (B) r n .(C) rn .(D) rn .【考点】齐次线性方程组解的理论 .解 齐次线性方程组A m n x n 1 0m 1 有非零解的充足必需条件是 R( A) n .选(B). 7.(1990—Ⅰ , Ⅱ ) 已知 1 ,2是非齐次线性方程组Axb 的两个不一样的解,1 ,2 是对应齐次线性方程组Ax的基础解系, k 1, k 2为随意常数 ,则方程组 Axb 的通解（一般解）必是（）(A) k 11k 2 (12)12.(B) k 1 1k 2 (12)12.22(C) k 11k 2 (12)12.(D) k 11k 2 (12)12.22【考点】非齐次线性方程组解的构造 .解1,12 线性没关且为对应齐次线性方程组的解, 故1,12 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系 ; 又 A12A 1 A 2b ,故12为 Axb 的一个特解 ; 由非齐次线性方程组解的构造 ,知选 (B). 222对 (A):12为 Ax 0 的解 .2对 (C):12 为 Ax2b 的解 ,且12为 Ax 0 的解 .2对 (D):1,12 不必定线性没关 .8.(1990—Ⅳ , Ⅴ) 向量组 1 , 2 ,L, s 线性没关的充足条件是（）(A)1, 2,L , s 均不为零向量 .(B)1, 2 ,L , s 随意两个向量的重量不行比率 .(C)1, 2 ,L , s 中随意一个向量均不可以由其余s1个向量线性表示 .(D)1,2,L, s 中有一部分向量线性没关 .-20-【考点】向量组线性没关的性质 .解 向量组1, 2,L,s 线性没关的充足必需条件是1, 2,L, s 中随意一个向量均不可以由其余s 1个向量线性表示 .选 (C).111, 2,对(A):如 1,2,3 均不为零向量 ,但 3 线性有关 .11对 (B):如对 (D): 如1 11,21 , 2,10 ,13 31111中随意两个向量的重量不行比率,但1, 2, 3 线性有关 .中1线性没关 .9.(1990—Ⅴ )设 A 是 n 阶可逆矩阵 , A*是 A 的陪伴矩阵 ,则（）A *An 1(B) A * A . (C) A *An(D) A* A 1(A)...参照 1.(1987 —Ⅰ , Ⅱ).选 (A).10.(1991—Ⅰ ,Ⅱ) 设 n 阶方阵 A, B, C 知足关系式 ABC E ,此中 E 是 n 阶单位阵 , 则必有（）(A) ACBE .(B) CBA E .(C) BACE .(D) BCAE .【考点】可逆矩阵的鉴别定理之推论 .解 由 EABCA(BC ) 知 BC 是 A 的逆矩阵 .选 (D).11.(1991 —Ⅳ ) 设 A 为 n 阶可逆矩阵 , 是 A 的一个特点值 , 则 A 的陪伴矩阵A *的特点值之一是（）(A)1n(B)1A .(C)A .(D)nA .A .【考点】特点值的性质 .解 选 (B). Ax x A * ( Ax ) A *( x)A x ( A *x)A *xAx .12.(1991—Ⅴ )设 A, B 为 n 阶方阵 ,知足等式 AB O ,则必有（）(A) AO 或 B O .(B) AB O .(C)A O 或B O .(D) AB O .【考点】矩阵的性质 .解 选 (C). AB OAB 0 A B 0 .13.(1991—Ⅴ )设 A 是 m n 矩阵 , Ax 0 是非齐次线性方程组 Ax b 所对应的齐次线性方程组,则以下结论正确的选项是（）(A) 若 Ax0 仅有零解 ,则 Ax b 有独一解 .(B) 若 Ax 0 有非零解 ,则 Ax b 有无量多个解 .-21-(C)若 Axb 有无量多个解 ,则 Ax 0 仅有零解 .(D) 若 Ax b 有无量多个解 ,则 Ax 0 有非零解 .【考点】非齐次线性方程组解的理论 .解 选 (D). Axb 有无量多个解R( A) R( B) nR( A)nAx 0有非零解 .x 1 x 2x 1 x 2 0对 (A): 如x 1 2 x 20 仅有零解 , 但x 12x 2 0 无解.x 1 x 2 0x 1x 2 1对 (B):如x 1 x 2 0x 1 x 2 0无解 .2x 1 2x 2有非零解 ,但2 x 12x 22对 (C): Axb 有无量多个解 ,则 Ax 0 有非零解 .114.(1992 —Ⅰ , Ⅱ ) 要使 10 , 21 都是线性方程组 Ax 0 的解 ,只需系数矩阵 A为21（）2 011 020 1 12 1 1 .(D) 4 2 2 .(A)(B)1 1.(C)0 1.10 11【考点】齐次线性方程组解向量的定义.解 选 (A).【注意】只需考证 A1, 2O .15.(1992 —Ⅳ ) 设 A 为 m n 矩阵 , 齐次线性方程组 Ax 0 仅有零解的充足条件是（）(A)A 的列向量线性没关 . (B) A 的列向量线性有关 .(C)A 的行向量线性没关 . (D)A 的行向量线性有关 .【考点】齐次线性方程组解的理论 ,矩阵的秩及向量组的线性有关性 .解Ax 0 仅有零解R( A)nA 的列秩 nA 的列向量线性没关 . 选(A).16.(1992—Ⅴ )设 A, B, A B, A 1 B 1 均为 n 阶可逆矩阵 ,则 ( A 1 B 1) 1等于（）(A) A 1B 1.(B) AB .(C) A(A B) 1B .(D) (AB) 1.【考点】逆矩阵的性质 .解 选(C).( A(A B) 1B) 1B 1(A B)A 1(AB 1 E) A1A 1B 1. 或(A 1 B 1)[ A(A B) 1B] ( E B 1A)( A B) 1B B 1(A B)( A B) 1BE .17.(1992 —Ⅴ ) 设1, 2 ,L , m 均为 n 维向量 , 那么 , 以下结论正确的选项是（）-22-(A) 若k 1 1 k 2 2L k m m 0，则 1, 2,L ,m 线性有关 .(B) 若 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1,k 2 ,L ,k m , 都 有 k 1 1k 2 2 L k m m 0 , 则1,2,L , m 线性没关 .(C) 若1, 2,L , m 线性有关 , 则对随意一组不全为零的数 k 1, k 2 ,L , k m , 都有k1 1k2 2Lkm m0 .(D)若0 10 2L0 m0,则 1, 2,L ,m 线性没关 .【考点】向量组线性相 ( 无 ) 关的定义 .解 选 (B).由线性有关定义的逆否命题可得.1 2 318.(1993—Ⅰ , Ⅱ ) 已知 Q24 t , P 为 3 阶非零矩阵 ,且知足 PQO ,则（）3 6 9(A) t6 时 P 的秩必为 1.(B) t6 时 P 的秩必为 2.(C) t 6时 P 的秩必为 1.(D) t 6时 P 的秩必为 2.【考点】矩阵的秩及其性质 .解 PQ O R(P) R(Q) 3 1 R(P) 3 R(Q) .当 t6 时, R(Q)11 R(P)2R( P)1 或 2,则(A)和(B)都错 ;当 t 6时, R(Q) 2 1 R(P) 1 R( P) 1 .选(C).【注】 (1) A m s B s n O R( A) R(B)s .(2) A m s B s n O ,则 B 的列向量组为 A m s x s n O 的解向量 .19.(1993 —Ⅳ ) n 阶方阵 A 拥有 n 个不一样的特点值是A 与对角阵相像的（）(A) 充足必需条件 . (B) 充足而非必需条件 .(C) 必需而非充足条件 . (D)既非充足也非必需条件 .【考点】矩阵能对角化的鉴别定理(充足条件 ).解 选 (B).20.(1993—Ⅴ )若 1 ,2, 3, 1,2 都是四维列向量 ,且 4 阶队列式1 ,2 ,3 , 1 m ,1, 2, 2,3n ,则 4 阶队列式3, 2, 1,(12) 等于（ ）(A)m n .(B)(m n) . (C) n m . (D) mn .【考点】矩阵的运算及队列式的性质.解 选(C).3, 2, 1,( 12)3, 2, 1, 13, 2, 1, 2-23-1,2,3,11,2,2,3n m .21.(1993 —Ⅴ ) 设2 是非奇怪矩阵 A 的一个特点值 , 则矩阵 ( 1 A2) 1有一特点值等于（）4 .3 . 1 . 1 . 3(A)(B)(C) (D)34 2 4【考点】特点值的性质 .解1 A 2有一特点值 1 24 ,则( 1 A 2) 1有一特点值 3 .选(B).3 33 3422.(1994—Ⅰ , Ⅱ ) 已知向量组1, 2 , 3 , 4 线性没关 ,则向量组（）(A)12,23,3 4,41 线性没关 .(B)12,23, 34,41 线性没关 .(C)12,23 ,34,41线性没关 .(D) 1 2 ,2 3 ,3 4 ,41 线性没关 .【考点】鉴别向量组线性相 ( 无)关的方法 .解 对 (A):( 12) ( 34)( 23)(41) ,则12,23,34,41 线性有关 .对(B):( 12) ( 23)(34)( 41 ) ,则12,23,34,41 线性有关 .对(D):( 12)(23)(34)( 41 ) ,则12,23,34,41 线性有关 .应选 (C). 或 对(A):1 0 0 11 1 0 0[12,23,34,41][1, 2,3,4],0 1 1 0 0 0 1 1-24-1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 10 1 1 0 0 0 1 ,1 00 1 10 0因此R( 12 ,23,34 ,41)34,则12 ,23 ,34 ,41线性有关 .同理可议论 (B),(C),(D).【注意】鉴别向量组线性相 ( 无)关的常有方法以下 .(1) 用定义 : 一般对抽象的向量组 . 理论依据 :n 维向量组1 ,2 ,L , m 线性相 (无 )关齐次线性方程组x 1 1 x 22L x mm0 有非零解 (只有零解 ).(2) 用向量组的秩 : 对详细的向量组直接求秩 ; 对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来. 理论依据 :向量组1 ,2 ,L , m 线性相 ( 无)关R( A) m( R( A) m) .(3) 用有关理论推导 .(4) 特别情况 :若向量组1 ,2 ,L ,m可由 1 , 2 ,L , m 线性表示 , 且 1, 2 ,L , m 线性没关时 , 设1 ,2 ,L , m1 ,2 ,L , m K ,则向量组 1, 2,L ,m 线性相 (无 )关R(K ) m( R(K ) m) .23.(1994 —Ⅳ ) 设 A 是 m n 矩阵 , C 是 n 阶可逆矩阵 , 矩阵 A 的秩为 r , 矩阵 B AC的秩为r 1 ,则( )(A)rr 1 . (B) r r 1 .(C)rr 1 . (D)r 与 r 1 的关系依 C 而定 .【考点】矩阵秩的性质 .解r 1 R(B) R(AC) R( A) r .选(C).【注】设 P,Q 为可逆矩阵 ,则 R( A) R( PA) R(AQ) R(PAQ) .24.(1994 —Ⅴ ) 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵 , 且 ABO ,则 A 和B 的秩()(A) 必有一个等于零 . (B) 都小于 n . (C) 一个小于 n , 一个等于 n . (D) 都等于 n .【考点】矩阵秩的性质 .解AB O R( A) R(B) n ;又 R(A) 1,R( B) 1(A O,B O) ,则R( A) n, R(B)n .选(B).-25-25.(1994—Ⅴ ) 设有向量组 1(1, 1,2,4),2(0,3,1, 2),3(3,0,7,14),4 (1,2,2,0),5(2,1,5,10) , 则该向量组的最大线性没关组是()(A) 1, 2,3 .(B)1, 2,4 .(C) 1, 2,5.(D)1, 2, 4,5.【考点】详细向量组的最大线性没关组的求法.1 0 3 12 1 03 1 2 解A [ 1T , 2T , 3T , 4T , 5T ]1 3 02 1 01101,2 1 7 2 5 0 0 0 1 04 2 140 100 0 00 0则向量组的最大线性没关组是1,2, 4 . 选(B).【注意】(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价 ,保持矩阵的列向量组的线性有关性不变 ;(2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价 ,保持矩阵的行向量组的线性有关性不变.26.(1995—Ⅰ , Ⅱ ) 设a 11 a 12 a13a 21 a 22 a 230 1 0 Aa 21a22a 23 , Ba11a12a13, P 1100,a 31 a 32 a 33a 31 a 11 a 32 a 12 a 33a 130 0 11 0 0P 20 1 01 0 1则必有（）(A) APP 12 B . (B) AP 2 P 1 B .(C) PP 12 AB .(D) P 2 PA 1B .【考点】初等变换与初等矩阵的关系 .解B 可将 A 的第一行加到第三行,再将 A 的第一行与第二行互换获得 .应选 (C).【注】在矩阵的左 ( 右)边乘以一个初等矩阵 ,相当于对矩阵作相应的初等行 (列) 变换 .27.(1995—Ⅳ , Ⅴ ) 设矩阵 A m n 的秩为R( A)mn, I m 为 m 阶单位矩阵 , 下述结论中正确的选项是( )(A)A 的随意 m 个列向量必线性没关 .(B) A 的随意一个 m 阶子式不等于零 .(C) 若矩阵 B 知足 BA,则B0 .(D) A 经过初等行变换 , 必能够化为 I m O 的形式 .【考点】向量组线性没关的鉴别 , 矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.解 选(C). BA 0A TB T O .由 R( A T ) m ,则齐次线性方程组 A T x O 只有零解 ,即 B T的列向量全为零 ,故B TOB O .-26-线性代数历年考研试题精解28.(1995—Ⅴ ) 设 n 维行向量1 1 ( ,0,L,0, ),矩阵 A In 阶单位矩阵 , 则 AB 等于 ( )22(A)0.(B) I .(C)I .(D) IT.【考点】矩阵的运算 . 解 选 (C).T,B I 2T,此中I 为a 1 0 0b 10 a 2 b 2 0 的值等于（）29.(1996—Ⅰ , Ⅱ ) 四阶队列式b 3 a 3 0 0 b 4 0 0a 4(A) a 1a 2a 3a 4 b 1b 2b 3b 4 . (B) a 1 a 2 a 3 a 4 b 1b 2b 3 b 4 .(C)(a 1a 2 b 1b 2 )( a 3 a 4 b 3b 4 ) .(D)( a 2a 3 b 2b 3 )(a 1a 4 b 1b 4 ).【考点】队列式的计算 .解 选 (D). 将队列式按第一行睁开 .30.(1996—Ⅳ ,Ⅴ) 设 n 阶矩阵 A 非奇怪 ,A * 是 A 的陪伴矩阵 , 则( )(A) ( A * )*n 1(B) (A * )*n 1AA .A A .(C) (A * )*n 2(D) (A * )*n 2A A .A A .【考点】矩阵运算的性质 .解 选 (C).. A *A A 1( A *)*A * (A *) 1A A 1 (A A 1) 1n 1 1 AAn 2AA AA .31.(1996 —Ⅳ , Ⅴ ) 设有随意两个 n 维向量组1,L,m和1,L ,m , 若存在两组不全为的数1 ,L , m 和 k 1,L , k m , 使( 1k 1 ) 1 L( m k m ) m ( 1k 1) 1 L( m k m ) m 0 ,则()(A)1,L , m和1 ,L , m 都线性有关 .(B) 1,L,m和1,L,m 都线性没关 .(C)11 ,L , m m,11 ,L , mm 线性没关 .(D)11 ,L,mm,11,L,mm 线性有关 .-27-线性代数历年考研试题精解【考点】向量组线性相 ( 无)关的定义 .解由(1k 1 ) 1 L ( m k m ) m ( 1 k 1 ) 1 L ( m k m ) m 0 ,得1(11) Lm (mm)k 1(11 ) L k m ( mm ) O ,因此 11,L ,mm,11,L, mm 线性有关 .选 (D).a 1b 1c 132.(1997—Ⅰ )设1a 2 , 2b 2, 3c 2 ,则三条直线a 3b 3c 3a i xb i yc i0(i 1,2,3) （此中 a i 2 b i 2 0, i 1,2,3 ）交于一点的充足必需条件（）(A)1, 2,3 线性有关 .(B)1,2,3 线性没关 .(C)秩 R( 1 , 2, 3 ) 秩 R( 1 ,2 ) .(D) 1, 2 , 3 线性有关，1,2 线性没关 .【考点】齐次线性方程组解的理论 .解 三条直线交于一点的充足必需条件是线性方程组a 1xb 1 yc 1 0 a 2 x b 2 y c 2 0a 3 xb 3 yc 3有唯一解R(1, 2)R(1, 2 , 3)2R( 1, 2) 21,2线性没关；R( 1, 2,3)2R(1, 2,3)21, 2,3线性有关 .33.(1997—Ⅲ , Ⅳ ) 设向量组1,2,3 线性没关 , 则以下向量组中 , 线性没关的是 ()(A)12,2 3,31(B) 1 2,23,12 23 (C)12 2,223 3 ,3 31(D) 1 23 , 2 1 3 2 22 3,3 1525 3解 参照 22.(1994—Ⅰ , Ⅱ). 选(C).34.(1997—Ⅲ ) 设 A, B 为同阶可逆矩阵 , 则()(A)AB BA(B)存在可逆阵 P ,使 P 1APB-28-线性代数历年考研试题精解(C)存在可逆阵 C ,使C T AC B(D) 存在可逆阵P 和Q,使PAQ B【考点】矩阵等价 , 合同 ,相像的鉴别 .解A, B 为同阶可逆矩阵,则 A, B 都与同阶的单位矩阵等价, 进而A, B等价 . 应选 (D).【注意】两个同型矩阵等价的充足必需条件是它们的秩相等.假如不是同型矩阵,则必需性不建立.35.(1997—Ⅳ )非齐次线性方程组Ax b 中未知量个数为n ,方程个数为 m ,系数矩阵A的秩为 r , 则()(A)r m 时,方程组(B)r n 时,方程组(C)m n 时,方程组Ax b 有解. Ax b 有唯一解. Ax b 有唯一解.(D) r n 时,方程组Ax b有无量多解.【考点】线性方程组解的理论 .解选 (A). m R(A) R( B) m R( A) R( B) m .a1 b1 c1是满秩的，则直线xa3 y b3 zc3与直线36.(1998 —Ⅰ ) 设矩阵a2 b2 c2a3 b3 c3 a1 a2 b1 b2 c1 c2x a1 y b1 z c1（）a2 a3 b2 b3 c2 c3(A)订交于一点 .(B) 重合 .(C)平行但不重合 .(D)异面 .【考点】空间两条直线地点的鉴别.解设 P (a1, b1 ,c1), Q(a3 ,b3 , c3 ),s1 (a1 a2 , b1 b2 ,c1 c2 ), s2 (a2 a3 ,b2 b3, c2 c3 ) .uuur a1 a2 b1 b2 c1 c2 uuur由 [ s1, s2 ,QP] a2 a3 b2 b3 c2 c3 0 s1, s2 ,QP共面,则两直线共面.又a3 a1 b3 b1 c3 c1a1 b1 c1 a1 a2 b1 b2 c1 c2a2 b2 c2 a2 a3 b2 b3 c2 c3 ,a3 b3 c3 a3 b3 c3则s1, s2不平行,即两直线不平行.选(A).37.(1998—Ⅱ ) 设A是任一n(n 3) 阶方阵,A*是其陪伴矩阵, 又k为常数 ,且k0, 1 ,则必有( kA)*（）(A) kA* .(B) k n 1A* .(C) k n A* .(D) k1A* .线性代数历年考研试题精解【考点】陪伴矩阵的定义 .解(kA)* k n 1A* ( 由陪伴矩阵的定义获得 ).选 (B).或由(kA)(kA)* kA E k n A E k n AA* (kA)(k n 1 A* )看出 .x1 x2 2 x3 038.(1998—Ⅲ ) 齐次线性方程组x1 x2 x3 0 的系数矩阵记为 A .若存在三阶矩阵 B 0x1 x2 x3 0使得 AB 0,则( )(A) 2 且 B 0 . (B) 2 且 B 0 .(C) 1 且 B 0 . (D) 1 且 B 0 .【考点】矩阵的性质 ,齐次线性方程组解的理论 .解AB 0,B 0 Ax 0 有非零解 A 0 1.若 B 0,由 AB 0 得 A 0 , 矛盾 .应选 (C).1 a a L aa 1 a L a39.(1998—Ⅲ ) 设n(n 3) 阶矩阵A a a 1 L a ,假如矩阵A的秩为n 1 ,则a必为M M M Ma a a L 1()(A)1.1(C) 1 . (D)1.(B) .11 n n【考点】含参数的矩阵的秩的议论 .解R(A) n A 0 a 1 或11时,明显R( A) 1.应选(B)..当a1 n40.(1998—Ⅳ )若向量组, , 线性没关 ; , , 线性有关 , 则()(A) 必可由, , 线性表示 . (B) 必不行由, , 线性表示(C) 必可由, , 线性表示 . (D) 必不行由, , 线性表示 .【考点】向量组线性相 ( 无)关的性质 .解, ,线性没关,有,线性没关;又, ,线性有关,得必可由,线性表示,也必可由, ,线性表示.选(C).41.(1999—Ⅰ )设A是m n 矩阵,B是 n m 矩阵,则（）(A) 当m n 时,必有队列式AB 0 .(B) 当m n 时,必有队列式AB0 .(C)当 n m 时, 必有队列式 AB 0 . (D) 当 n m 时,必有队列式 AB0 .【考点】矩阵秩的性质 .解R( AB) min{ R( A), R( B)} min{ m, n} .选 (B).42.(1999—Ⅱ )记队列式x 2 x 1 x 2 x 32x 2 2x 1 2x 2 2x 33x 3 3x 2 4x 5 3x 54x4 x 3 5x7 4x 3为f ( x) ,则方程f (x)0 的根的个数为（）(A)1. (B)2.(C)3.(D)4.【考点】队列式的计算 .r 1 r 21 1 112 x 2 2x 1 2x 2 2x 3r 1 ( x )解f ( x)x3 3x 2 4x 5 3x 5 5x(x 1) . 选(B).3x4x4x 3 5x7 4x343.(1999— Ⅲ, Ⅳ)设向量可由向量组1,2 ,L , m线性表示,但不可以由向量组1,2, ,m 1线性表示 ,记向量组 (Ⅱ ):1,2,, m 1 ,, 则()(Ⅰ ):LL(A)m 不可以由 (Ⅰ)线性表示 ,也不可以由 ( Ⅱ)线性表示 .(B)m 不可以由 (Ⅰ)线性表示 ,但可由 (Ⅱ )线性表示 .(C) m 可由 (Ⅰ )线性表示 ,也可由 ( Ⅱ)线性表示 .(D)m 可由 (Ⅰ )线性表示 , 但不行由 (Ⅱ )线性表示 .【考点】向量组的线性表示的定义及其鉴别.解 方法一 : 若m 可由 (Ⅰ )线性表示 ,则R( 1 , 2 ,L , m 1 ) R( 1, 2 ,L , m 1, m )R( 1 , 2 ,L , m 1 , m , ) R( 1 , 2 ,L , m 1 , )与不可以由1,2 ,L, m 1 线性表示 ,矛盾 ,则m 不可以由 (Ⅰ )线性表示 .故(C),(D) 错.且R( 1 , 2 ,L , m 1 , m ) R( 1, 2 ,L , m 1) 1 ,由不可以由1,2 ,L , m 1 线性表示 , 则R( 1 , 2 ,L , m 1 , )R( 1 , 2 ,L , m 1 ) 1.因此R( 1 , 2 ,L , m 1 , ) R( 1 , 2 ,L , m 1 , m )R( 1 , 2 ,L , m 1 , m , ) R( 1 , 2 ,L , m 1 , , m ) ,m 可由1,L,m 1,则线性表示 .应选 (B).方法二 : 可由向量组1, 2 ,L , m 线性表示 .若 m 可由 1, 2,L ,m 1 线性表示 ,则可由向量组1,2 ,L , m 1 线性表示 ,矛盾 .故(C),(D) 错.可由向量组1, 2,L ,m 线性表示 ,则存在一组数 k 1,L , k m 1 , k m ,使得k 1 1 Lkm 1 m 1k m m ,此中 k m.k m 0 ,可由向量组 1, 2,L ,m 1线性表示 ,矛盾 .m可由 1,2 ,L, m 1,0 若则线性表示 .故(A) 错.选(B).44.(1999—Ⅲ )设 A, B 为 n 阶矩阵 , 且 A 与 B 相像 , E 为 n 阶单位矩阵 , 则()(A)E A E B .(B) A 与 B 有同样的特点值和特点向量 .(C) A 与 B 都相像于一个对角矩阵 .(D) 对随意常数 t , tEA 与 tEB 相像.【考点】矩阵相像的性质 .解 选(D). A 与 B 相像 , 存在可逆矩阵 P ,使得 P 1APB ,则tE BtE P 1AP P 1 (tE ) P P 1APP 1(tE A)P ,即 tEA 与 tEB 相像. 对 (A): E A E B A B .对 (B): A 与 B 相像 , 则 A 与 B 有同样的特点值 , 但特点向量不必定同样 . 对 (C): A 与 B 不必定能对角化 .45.(2000—Ⅰ ) n 维列向量组1,L, m (m n) 线性没关 ,则 n 维列向量组1 ,L , m 线性没关的充足必需条件为（）(A) 向量组 1,L , m 可由向量组1,L , m 线性表示 .(B) 向量组 1,L , m 可由向量组1 ,L, m 线性表示 .(C)向量组 1,L,m 与向量组1,L ,m 等价 .(D) 矩阵 A(1,L , m ) 与矩阵 B( 1,L , m ) 等价 .【考点】向量组线性相 ( 无)关的鉴别 .解 选 (D).(A) 是充足非必需条件 .(1) (A) 是充足条件 : mR( 1,L ,m)R( 1,L , m)m R( 1 ,L , m ) m .110 (2) (A) 是非必需条件 :如10 , 21 线性没关 ,10 , 2线性没关 ,但1, 20 01不可以由1,2 线性表示 .(B) 是既非必需也非充足条件 .(1) (B) 是非必需条件 :如111 0 0 , 21 线性没关 , 10 , 2线性没关 ,但1, 21不可以由1,2 线性表示 .10 (2) (B) 是非充足条件 :如 10, 2 11线性没关, 1, 20 .1,2可由1,2线性表示,但1 ,2 线性有关 .(C)是充足非必需条件 .(1) (C)是充足条件 : R(1,L ,m)R( 1 ,L, m ) m .11(2) (C)是非必需条件 :如10 ,21线性没关, 10, 20 线性没关 ,但1, 21不可以由 1, 2 线性表示 ,则 1, 2 与1,2不等价 .(D) 是充足必需条件 .向量组 1,L ,m 线性没关R( 1,L , m ) m R( 1,L ,m) R( 1,L ,m ) mR( A) R(B)AB .46.(2000 — Ⅲ , Ⅳ ) 设 1, 2 ,3是 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax b 的 三 个 解 向 量 , 且 秩(A )=3, 1(1,2,3, 4)T ,2 3(0,1,2,3)T , C 表示随意常数,则线性方程组 Ax b 的通解x ( )1 11 012 13 (A)2 1 (B)2 1 . (C)2 3 . 2 43 C . 3 C3 C(D)C .1 2 4 3 541434546【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的构造.解 选 (C). R( A)3Ax 0 的基础解系含 4 R( A) 1 个解向量.可取2 1 (23) (2,3, 4,5) T.47.(2000 — Ⅲ ) 设 A 为 n 阶实矩 阵 , AT是 A 的转置 矩阵 , 则对 于线性 方程组 ( Ⅰ ): Ax和(Ⅱ ): A TAx 0 ,必有 ()(A)( Ⅱ )的解是 (Ⅰ )的解 , (Ⅰ )的解也是 (Ⅱ )的解 . (B)( Ⅱ) 的解是 ( Ⅰ)的解 ,但( Ⅰ)的解不是 (Ⅱ )的解 . (C)( Ⅰ) 的解不是 (Ⅱ )的解 , (Ⅱ )的解也不是 (Ⅰ )的解 . (D)(Ⅰ )的解是 (Ⅱ )的解 , 但(Ⅱ)的解不是 ( Ⅰ)的解 .【考点】 Ax 0 与 A T Ax 0 解的关系 .解 选 (A).【注意】 Ax 0 与 A T Ax 0 同解 .事实上(1) Ax 0( A T A) x A T ( Ax) 0 ,即 Ax 0 的解是 A T Ax 0的解;(2) A TAx 0 x T A T Ax 0 ( Ax)T AxAx 0 Ax 0 ,即 A T Ax 0 的解是 Ax0的解.1 1 1 1 4 0 0 01 1 1 1 0 0 0 048.(2001—Ⅰ )设 A1 1 1 , B0 0 ,则 A 与 B （）1 0 011 1 10 00 0(A) 合同且相像 .(B) 合同但不相像 .(C) 不合同但相像 .(D)不合同且不相像 . 【考点】实对称矩阵的对角化.解选 (A). A 为实对称矩阵且 A的特点值为4,0,0,0 .【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相像于对角矩阵.a11a12a13a14a 14a13a12a11a21a22a23 a24a24a23a22 a2149.(2001—Ⅲ , Ⅳ )设 Aa 32a 33, Ba 34a 33a 32,a31a34a31aaaaaaaa0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0P 10 1 0 , P 21 0 ,0 0 0 1 0 0 00 0 0 1此中 A 可逆,则B 1()(A) A 1P 1P 2 . (B) P 1 A 1P 2 . (C) P 1P 2 A 1 .(D) P 2A 1P 1 .【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.解 选 (C). B 由 A 的第二列与第三列互换 , 再将第一列与第四列互换获得 ,则B AP 2 P 1B 1 PP 12A 1.50.(2001—Ⅲ )设 A 是 n 阶矩阵 ,是 n 维列向量 . 若秩A=秩 ( A ), 则线性方程组 ( )T(A) Ax 必有无量多解 .(B)Ax必有唯一解 .AxAx 0 必有非零解 .(C)T0 0 仅有零解 .(D)Tyy【考点】线性方程组解的理论 .解 秩A=秩( A )n n 1,则 Ax 0 必有非零解 .选(D).TT0 y51.(2002—Ⅰ ) 设有三张不一样平面的方程a i1 x a i 2 y a i 3zb i ,i 1,2,3 ，它们所构成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的地点关系为（）【考点】线性方程组解的理论.a 11 x解 方程组a 21xa 31 xa 12 y a 13 zb 1a 22 y a 23zb 2 有无量多解 .选 (B).a 32 y a 33zb 3【注意】a 11x a 12 y a 13 zb 1(1)三张不一样平面 a i1 x a i 2 y a i3 z b i ,i1,2,3 订交于一点a 21x a 22 y a 23zb 2 有a 31x a 32 y a 33zb 3唯一解 ;a 11x a 12 y a 13 zb 1 (2)三张不一样平面 a i1 xa i 2 y a i3 zb i ,i 1,2,3 订交于直线a 21x a 22 y a 23zb 2 有a 31x a 32 y a 33zb 3无量多解 ;a 11x a 12 y a 13 zb 1(3)三张不一样平面 a i 1xa i 2 y a i 3 zb i , i 1,2,3 无交点a 21 x a 22 y a 23 zb 2无解.a 31x a 32 y a 33 zb 352.(2002—Ⅱ )设向量组1,2,3 线性没关，向量 1 可由1,2 ,3 线性表示，而向量2不可以由 1 , 2 , 3 线性表示，则关于随意常数 k ，必有（）(A)1, 2,3 , k12 线性没关 .(B)1, 2,3, k12 线性有关 .(C) 1, 2 , 3 , 1k 2 线性没关 . (D) 1 , 2 , 3,1k2 线性有关 .【考点】向量组线性相 ( 无)关与线性表示之间的关系 .解 令 k 0 ,则1, 2, 3,2 线性没关 ,(B)错 ;1, 2,3, 1 线性有关 ,(C) 错.令 k1,若 1, 2, 3,1k2 线性有关 ,则 2 能由1, 2,3 线性表示 ,(D) 错 .选 (A).53.(2002—Ⅲ )设 A 是 m n 矩阵 , B 是 n m 矩阵 ,则线性方程组 (AB )x 0 ()(A) 当 n m 时仅有零解 . (B) 当 n m 时必有非零解 . (C)当 mn 时仅有零解 .(D) 当 mn 时必有非零解 .【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论.解R( AB)min{ R( A), R( B)} n ,又 AB 为 m 阶方阵 . 选(D).【注意】(1) R(A m n ) min{ m,n} ;(2) R(AB )min{ R( A), R( B)} .54.(2002—Ⅲ )设 A 是 n 阶实对称矩阵 , P 是 n 阶可逆矩阵 . 已知 n 维列向量 是 A 的属于特点值的特点向量 ,则矩阵(P 1AP)T属于特点值的特点向量是 ( )(A)P1.(B) PT.(C)P .(D) (P 1)T.【考点】矩阵的运算及矩阵的特点值与特点向量的定义.解A,( P 1AP )TP T A(P T ) 1 ,从后式看出要利用前式 ,一定消去 (P T ) 1,即在 的前面乘以PT.选 (B).或 (P 1AP )T (P T) P T A[( P T ) 1P T ] P T A (P T ) .【注意】在做选择题及填空题时 , 要存心识地培育“只求目的 ,不择手段” .55.(2002—Ⅳ ) 设 A, B 为 n 阶矩阵 , A * , B *分别为 A, B 对应的陪伴矩阵 ,分块矩阵 CA O ,O B则C的陪伴矩阵C*( )A A *O .B B *O(A)B B *(B)OA A *OA B *OB A * O(C)B A *(D)OA B *O【考点】陪伴矩阵的性质 .解 方法一 :依据 AA *A E 考证 .选 (D).( 此方法在解决这种问题时一般较麻烦 ).方法二 :若 A 1 易求得 ,由 A *A A 1 最简易 .明显C 1A 1 O , CA BO B 1*1ABA 1OB A *OCC COABB1OA B* .56.(2003—Ⅰ , Ⅱ )设向量组Ⅰ : 1,2 ,L , r 可由向量组Ⅱ : 1 , 2,L , s 线性表示 ,则（）(A) 当 r s 时 ,向量组Ⅱ必线性有关 . (B) 当 r s 时,向量组Ⅱ必线性有关 . (C)当 rs 时,向量组Ⅰ必线性有关.(D) 当 rs 时,向量组Ⅰ必线性有关 .【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系 .解 R(1,2 ,L , r ) R(1,2 ,L ,s)s .选 (D).57.(2003—Ⅰ )设有齐次线性方程组 Ax 0和 Bx 0 ,此中 A, B 均为 mn 矩阵 ,现有 4 个命题 :①若 Ax的解均是 Bx 0 的解, 则秩( A ) 秩 ( B ). ②若秩 ( A ) 秩( B ), 则 Ax 0 的解均是 Bx 0的解. ③若 Ax 0 与 Bx 0 同解 , 则秩 ( A ) 秩( B ). ④若秩 ( A ) 秩( B ), 则 Ax 0 与 Bx 0同解. 以上命题正确的选项是（）(A) ①②(B) ①③ (C)②④(D) ③④【考点】线性方程组解的理论 .解 若 Ax0 的解均是 Bx 0 的解 , 则 Ax 0 的基础解系必是 Bx 0 的基础解系的一部分, 故Ax 0 的基础解系所含解向量个数必小于 Bx 0 的基础解系所含解向量个数 , 即则①对 , 进而③也对 . 选 (B).或直观地鉴别结论 .若 Ax0 的解均是 Bx 0 的解 , 则 Ax 0 所含限制条件许多于 Bx 0 所含限制条件 , 进而 Ax0 所含独立方程个数必许多于 Bx 0 所含独立方程个数 , 故 R(A)R(B) .①对 .【注意】(1) R( A) 线性方程组Ax 0 所含独立方程个数 ; (2) R(B)线性方程组Ax b 0 所含独立方程个数 .本题的后边解法又是“不择手段”, 读者在考试中做选择题和填空题时略加运用,能够提升考试的效率和得分率 .这里要说明的 ,所谓“不择手段”是在对数学理论的直观理解的基础上 ,而不是记忆上 .58.(2003—Ⅲ ) 设 1 , 2 ,L , s 均为 n 维向量 , 以下结论不正确的选项是 ( )(A) 若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1 , k 2,L, k s , 都 有 k 1 1 k 2 2 L k ss0 , 则1 ,2 ,L ,s 线性没关 .(B) 若1,2 ,L , s 线性有关 , 则关于随意一组不全为零的数k 1, k 2 ,L , k s ,有k 1 1 k 2 2 L k s s 0 .(C)1, 2 ,L,s 线性没关的充足必需条件是此向量组的秩为s .(D) 1,2,L , s 线性没关的必需条件是此中随意两个向量线性没关. 【考点】向量组的线性相 (无 )关 .解 选 (B).59.(2003—Ⅳ )设矩阵0 0 1 B0 1 0 .1 0 0已知矩阵A 相像于B ,则秩 (A 2E)与秩 (AE)之和等于 ()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.【考点】相像矩阵的性质 .解R( A 2E)R( A E)R( B 2E)R(B E)4 .选(C).【注】(1) 若 A 与 B 相像 ,则 k 1 A l 1E(k 1 0) 与 k 2 A l 2E( k 2 0) 相像;(2) 相像矩阵有同样的秩 .60.(2004—Ⅰ ,Ⅱ) 设 A 是三阶方阵 ,将 A 的第 1列与第 2 列互换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C ,(完整版)线性代数历年考研试题之选择题线性代数历年考研试题精解0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1(A) 1 0 0 . (B) 1 0 1 . (C) 1 0 0 . (D) 1 0 0 .1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1【考点】初等矩阵与初等变换的关系.0 1 0 1 0 0 0 1 1解 Q 1 0 0 0 1 1 1 0 0 .0 0 1 0 0 1 0 0 161.(2004—Ⅰ , Ⅱ ) 设A, B为知足AB O 的随意两个非零矩阵,则必有（）(A)A 的列向量组线性有关, B 的行向量组线性有关.(B)A 的列向量组线性有关, B 的列向量组线性有关.(C)A 的行向量组线性有关, B 的行向量组线性有关.(D)A 的行向量组线性有关, B 的列向量组线性有关.【考点】向量组线性相 ( 无)关的鉴别 .解AB O Ax 0 有非零解,则 A 的列向量组线性有关;AB O B T A T O B T x 0 有非零解,则B T的列向量组(即B的行向量组线性有关).选(A).62.(2004—Ⅲ ,Ⅳ) 设n阶矩阵A与B等价 , 则必有 ( )(A)当A a(a 0) 时, B a .(B)当A a(a 0) 时, B a .(C)当A 0 时, B 0.(D)当A 0 时, B 0.【考点】矩阵等价的性质.解 A 与 B 等价,则R(A)R(B) .选(D).*63.(2004—Ⅲ ) 设n阶矩阵 A 的陪伴矩阵A O ,若1 , 2 , 3 , 4是非齐次线性方程组Ax b 的互不相等的解 , 则对应的齐次线性方程组Ax 0 的基础解系()(A) 不存在 .(B) 仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性没关的解向量.(D) 含有三个线性没关的解向量.【考点】 A 的秩 A*的秩的关系,线性方程组解的理论.解A*O R( A* ) 1R( A) n 1 或 n .若 R( A) n ,则Ax b 有唯一解,因此R( A) n 1 .选(B).-39-21 / 21。

北京工业大学2007-2008学年第二学期期末线性代数(工) 课程试卷（A ）考试方式：闭卷 考试时间：2008年06月25日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）一. 填空题（每小题3分，共30 分）.1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1()A E --=3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，*A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -=4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足122123123αβαββαββ=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于 （写出具体数值）5. 如果211110139pp =-，而且0p >，则p = 6.如果实系数方程组112233100b xc y b x c y b x c y +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式2233b c b c =7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2)T Tt t αβ=+=+--是分别属于1,1-的特征向量，则t =8. 如果(1,1,1)Tα=-是实方阵A 的一个特征向量，则223A E -必有一个特征向量等于9.如果13133a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正惯性指数与负惯性指数之和是二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。

将正确答案的字母填入括号内。

1. 如果n 阶实矩阵A 满足30A =，E 是n 阶单位矩阵，则 【 】（A ）A E +可逆，但A E -不可逆 （B ）A E +不可逆，但A E -可逆 （C ）A E +、A E -都可逆 （D ）A E +、A E -都不可逆2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向量组1234,,,,ααααβ 【 】 (A) 一定线性相关 （B ） 一定线性无关 （C ） 可能线性相关，也可能线性无关 （D ） 前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是 【 】（A ） 当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。

目　录2000年北京工业大学381数学分析考研真题2001年北京工业大学364数学分析考研真题2002年北京工业大学364数学分析考研真题2003年北京工业大学363数学分析考研真题2004年北京工业大学363数学分析考研真题2005年北京工业大学363数学分许考研真题2006年北京工业大学363数学分析考研真题2007年北京工业大学663数学分析考研真题2008年北京工业大学663数学分析考研真题2009年北京工业大学663数学分析考研真题及详解2010年北京工业大学663数学分析考研真题及详解2011年北京工业大学663数学分析考研真题2012年北京工业大学663数学分析考研真题2013年北京工业大学663数学分析考研真题2014年北京工业大学663数学分析考研真题2015年北京工业大学663数学分析考研真题2016年北京工业大学663数学分析考研真题2000年北京工业大学381数学分析考研真题2001年北京工业大学364数学分析考研真题2002年北京工业大学364数学分析考研真题2003年北京工业大学363数学分析考研真题2004年北京工业大学363数学分析考研真题2005年北京工业大学363数学分许考研真题2006年北京工业大学363数学分析考研真题2007年北京工业大学663数学分析考研真题2008年北京工业大学663数学分析考研真题共十道题，每题15分一、（15分）证明：若数列单调增加，且有一个子数列收敛，则数列也收敛，且收敛于同一个极限。

二、（15分）设函数在内一致连续，值域含于区间，又在内一致连续。

证明：在内一致连续。

三、（15分）证明：若函数在的邻域连续，除外可导，且，则函数在可导，且。

四、（15分）求函数的极大值与极小值。

五、（15分）证明：若函数在可积，则存在，有六、（15分）有级数，设证明：（1）绝对收敛与都收敛；（2）条件收敛与都发散到正无穷大。

七、（15分）求幂级数的和函数。