陕西省西安惠安中学2017-2018学年高三高考创新思维训练卷(一)数学理试题 Word版含答案

2018陕西高三数学（普通班）第一次大检测试题（理附答
案）
5 高三普通班第一次质量大检测理科
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1复数的实部为（）
A． B． c．－ D．－
2集合 ,则（）
A B c D
3设等差数列的前项和为，，，则差的取值范围是（）
A B c D
4已知“ ”，且“ ”，则“ ”是“ ”的（）
A充分不必要条 B必要不充分条
c充要条 D既不充分也不必要条
5若的展开式中的系数为，则（）
A． B． c． D．
6七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A． B． c． D．
7已知，则（）
A． B． c． D．
8函数的大致图象为（）。

陕西省西安惠安中学2015届⾼三⾼考创新思维训练卷（⼀）数学理试题西安惠安中学2015年⾼考创新思维训练卷（⼀）理科数学试题命题⼈：龙正祥（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（共60分）⼀.选择题：(5′×12=60′)1.已知A=｛x|x≥k ｝，B=｛x|13+x <1｝，若A ?B 则实数k 的取值范围为（） A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.[2,+∞)2.复数iiz -+=13的共轭复数z =（） A.2+i B.2-i C.1+2iD.1-2i3.设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=e x -1，则f(2014)+f(-2015)=（） A.1-eB.e-1C.-1-eD.e+14.在锐⾓三⾓形ABC 中，BC=1， B=2A ，则AACcos 的值为（） A.6B.4C.23D.25.⼀个算法的程序框图如右图所⽰，若输⼊的x 值为2015，则输出的i 值为（） A.3B.5C.6D.96.a=b 是直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量a 与b 的夹⾓为120°，|a |=3，|a +b|b |=（） A.5B.4C.3D.18.设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，给出四个结论： (1)a 2+a 8≠a 10(2)S n =an2+bn(a≠0)(3)若m,n,p,q ∈N +，则a m +a n =a p +a q 的充要条件是m+n=p+q (4)若S 6=S 11，则a 9=0 其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.49.已知双曲线22a x -22by =1(a>0,b>0)的左、右焦点为F 1(-c,0)，F 2(c,0)，若直线y=2x 与双曲xa =1=i ba =1+=i i xb ≠ab -=11i线的⼀个交点的横坐标为c ，则双曲线的离⼼率为 A.2+1B.3+1C.3+2 D.210.若a>0,b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b 的最⼩值为（）A.8B.6C.4D.211.若⼆项式(xx 1552+)6的展开式中的常数项为m ，则dx x x m )2(12-?=（）A.31B.-31 C.32 D.-32 12.定义在[0,+∞)的函数f(x)，对任意x≥0，恒有f(x)>f′(x)，a=2)2(e f ，b=3)3(e f ，则a 与b 的⼤⼩关系为（） A.a>bB.aC.a=bD.⽆法确定第Ⅱ卷（共90分）⼆．填空题：(5′×4=20′)13.14.中⾄少有1⼈参加，则甲、⼄都被选中且发⾔时不相邻的概率为15.已知满⾜条件??>≥≤+≥)0(20k kx y y x x 的动点(x,y)所在的区域D 为⼀直⾓三⾓形区域，则区域D 的⾯积为16.已知函数f(x)对⼀切实数a 、b 满⾜f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒⾮零)，数列｛a n ｝的通项a n =)12()2()(2-+n f n f n f (n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和=三.解答题: （12′×5+10′=70′）17.已知函数f(x)=3sin(x+2?)cos(x+2?)+sin 2(x+2?)(0<φ<2π)的图象经过点(3π,1)(1)求f(x).(2)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，a=5，S △ABC =25，⾓C 为锐⾓且 f(2C -12π)=67，求C 边长 18.某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为54， m ，n(m>n)，设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为12524，都未取得优秀成绩的概率为1256，且不同课程是否取得优秀成绩相互独⽴。

市一中高三第一次模拟考试数学（理）试题命题人：孙丽荣一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足（1+i ）z=（1﹣i ）2，则|z|为（ ） A ．2B ．1C ．21D ．222.若M={x|﹣2≤x ≤2}，N={x|y=log 2（x ﹣1）}，则M ∩N=（ ） A ．{x|﹣2≤x ＜0} B ．{x|﹣1＜x ＜0} C ．{﹣2，0} D ．{x|1＜x ≤2}3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4+2πB ．8+2πC ．4+πD ．8+π4.下列命题中：①“∃x 0∈R ，x 02﹣x 0+1≤0”的否定； ②“若x 2+x ﹣6≥0，则x ＞2”的否命题； ③命题“若x 2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5.设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2x ),1x (log 2x ,e 2231x ，则f （f （2））的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.执行右上如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（x ，﹣12），则x 的值为（ ）A ．27B ．81C ．243D ．729 7.已知函数f （x ）=cos （2x ﹣）+2cos 2x ，将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一个对称中心是（ ） A ．（﹣，1） B ．（﹣，1） C ．（，1） D ．（，0）8.已知向量与的夹角为，||=，则在方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知实数x ，y 满足不等式组，若目标函数z=kx+y 仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k 的取值范围是 （ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1） 10.四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ） A ．10种 B ．14种 C ．20种 D ．24种11.在区间[0，1]上随机选取两个数x 和y ，则y ＞2x 的概率为（ ） A ．41 B ．21 C ．43 D ．3112.已知双曲线1by a x 2222=-（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，且F 2为抛物线y 2=24x 的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若△PF 1F 2的面积为366，则双曲线的方程为（ ）A ．127y 9x 22=-B ．19y 27x 22=-C ．19y 16x 22=-D ．116y 9x 22=-二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知幂函数y=x a 的图象过点（3，9），则的展开式中x 的系数为 ．14.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 2+a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n = ．为 ． 16.定积分⎰-10(2x 1-+x)dx 的值为 ．三、解答题（每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分） 在锐角△ABC 中， =（1）求角A ； （2）若a=，求bc 的取值范围．18. （本小题满分12分）如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PC ，底面ABC 为正三角形． （Ⅰ）证明：AC ⊥PB ；（Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABC ，AC=PC=2，求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值． 19.（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。

西安中学2017-2018学年高三第一次仿真考试理科综合本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分，考试时间150分钟。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案的标号；非选择题使用0.5m m的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答案区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．作选择题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的对应题号涂黑。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Fe-56 Cu-64第Ⅰ卷一、单项选择题：本部分包括13小题，每小题6分，在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1．下列说法正确的是（）A．T2噬菌体与烟草花叶病毒的核酸组成中含有相同的核苷酸B．翻译时，64种密码子与64种反密码子之间进行配对C．染色体和细胞膜所含有元素种类基本相同D．细菌中的核酸存在于拟核和质粒中2.近期国际杂志Cell Systems上刊登了来自美国加州大学旧金山分校的一项研究成果，科研人员利用蓝色光脉冲开启了一种名为Brn2的基因，当Brn2信号足够强时，干细胞就会快速转化为神经元。

下列有关分析错误的是( )A．该实验证明了蓝色光脉冲可以促使干细胞分化为神经元B．Brn2基因在神经细胞的形成过程中具有重要作用C．蓝色光脉冲使Brn2基因的碱基序列发生了改变D．干细胞和神经元这两种细胞中，蛋白质的种类不完全相同3．食物进入胃会刺激胃壁上的感受器，引起胰腺分泌多种消化酶；由胃进入小肠的食物和盐酸会刺激小肠分泌促胰液素，也能引起胰腺的分泌。

2017-2018学年陕西省西安一中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. （5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z= （1 - i）2,则|z|为（）A.匚B. 1C. -D.--2 22. （5 分）若M={x| - 2<x<2} , N={x|y=log2 （x— 1）}，则M n N=（）A. {x| - 2< x v0}B. {x| - 1v x v 0}C. { - 2, 0}D. {x|1v x<2}3. （5分）某几何体的三视图如图所示，贝U该几何体的体积为（）■1■图A. 4+2 二nB. 8+2 匚nC. 4+ 二冗D. 8+ 二n 3 34. （5分）下列命题中：①？ x o€ R，x02- x0+1< 0”的否定；②若«+x- 6>0，则x>2”的否命题；③命题若x2- 5x+6=0，则x=2”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个A . 27 B. 81 C. 243 D . 7297. （5分）已知函数f （x ） =cos （2x -=） +2COS 2X ，将函数y=f （x ）的图象向右3平移…个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一个对称中6 心是（）A .（-二，1） B. （-, 1） C. （一，1） D .（二，0） 212 6 48. （5 分）已知向量目与匸的夹角为年^, |砂=徒，贝k 在匚方向上的投影为（） A .鼻B.二C. 丄 D .丄2 2 2 2\>09. （5分）已知实数x ，y 满足不等式组' x+y<2，若目标函数z=kx+y 仅在点（1， 1）处取得最小值，则实数k 的取值范围是 （）A . （- 1，+x ）B. （-X ，— 1）C. （1，+x ） D . （-X ，1）10. （5分）四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ）A . 10 种B . 14 种 C. 20 种 D . 24 种11. （5分）在区间［0，1］上随机选取两个数x 和y ,则y >2x 的概率为（）2 212 . （5分）已知双曲线———.=1 （a >0， b >0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2,a b/输出匕y ） /是[MS否^>2016°且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△ PFF2的面积为36二，则双曲线的方程为（）2A.-2:=12B.—-2 2 2' =1「- ' =12D. ■上=1927279 16 99 1.6二、填空题（每小题5分，共20分）313. （5分）已知幕函数y=x a的图象过点（3，9），则（亘強）的展开式中x的耳系数为.14. （5分）已知等差数列｛a n｝的公差d M0，且a i, a3, a i3成等比数列，若a2+a3=8,则数列｛a n｝的前n项和S n= ____ .15 . （5分）函数f （x）=lnx+ax存在与直线2x- y=0平行的切线，则实数a的取值范围为_______ .16 . （5分）定积分•（+x）dx的值为_____________ .三、解答题（每小题12分，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(1)求角A;（2）若a=匚，求be的取值范围.18 . （12分）如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC底面ABC为正三角形.（I）证明：AC丄PB;（U）若平面PACL平面ABC, AC=PC=2求二面角A- PC- B的余弦值.19. （12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答17 .（12分）在锐角△ ABC 中, ■.- 一-一=一上ac sinAcasA对者对本队赢得一分，答错得零分•假设甲队中每人答对的概率均为二，乙队中33人答对的概率分别为£= 丄，且各人回答正确与否相互之间没有影响•用E表示甲队的总得分.(I)求随机变量E的分布列和数学期望；(U)用A表示甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB).2 220. (12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆一+ =1 (a> b> 0) J b2的离心率为一，C为椭圆上位于第一象限内的一点.3(1)若点C的坐标为(2,寻)，求a，b的值；B为椭圆上一点，且■■■=:'，求直线AB的斜率.21. (12分)已知函数f (x) = (x2-x- 1) e x.(1) 求函数f (x)的单调区间.(2) 若方程a ( +1) +ex=e在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.J T L请考生从22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为P=HcosCl(a为参(y=sin a 数，-nV aV 0)，曲线C2的参数方程为严2 盲t(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G的极坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)射线9=-^-与曲线C1的交点为P,与曲线C2的交点为Q,求线段PQ的长. 23. 已知函数f (x) =|x-a|+| 2x- 1| (a€ R).第4页(共21页)(I)当a=1时，求f (x)< 2的解集；(U)若f (x)w |2x+1|的解集包含集合［】，1］，求实数a的取值范围.220仃-2018学年陕西省西安一中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分，共60分)1. (5分)已知i为虚数单位，复数z满足(1+i) z= (1 - i) 2,则|z|为( )A.匚B. 1C.D.2 2【解答】解：(1+i) z= (1 - i) 2,A( 1 - i) (1+i) z=- 2i (1 - i), 2z=- 2-2i, 即z=1 - i.则|z| ；£=:.故选：A.2. (5 分)若M={x| - 2<x<2} , N={x|y=log2 (x— 1) }，则M n N=( )A. {x| - 2< x v0}B. {x| - 1v x v 0}C. { - 2, 0}D. {x|1v x<2}【解答】解：由N中y=log2 (x- 1),得到x- 1>0,解得：x> 1,即N={x|x> 1},••• M={x| - 2< x< 2},••• M n N={x| 1 v x< 2},故选：D.3. (5分)某几何体的三视图如图所示，贝U该几何体的体积为( )- "-■■A . 4+2 匚 nB . 8+2 匚 n C. 4+一 冗D . 8+一 n 3 3【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方 体.故选：D .4. （5分）下列命题中：① ？ x °€ R , x o 2- x o +K 0”的否定； ② 若«+x - 6>0，则x >2”的否命题；③ 命题 若x 2- 5x+6=0，则x=2”的逆否命题； 其中真命题的个数是（）A . 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解答】解：①？x °€ R ，x 02- x 0+1 <0”的否定是？x € R ，x 2- x+1 >0;°・•判别 式厶=1 - 4=- 3v 0，.°. ? x € R, x 2 - x+1 >0 恒成立，故①正确，② 若 x 2+x - 6>0，则 x >2”的否命题是 若 x 2+x - 6v 0,则 x <2” 由 x 2+x -6v 0 得-3v x v 2,则x <2成立，故②正确，③ 命题若x 2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题为假命题.由x 2- 5x+6=0，则x=2或3,则原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，故③ 错误，故正确的命题是①②， 故选：Cx<2 5. （5 分）设 f （x ） =「 f 2 门 则f （f （2））的值为（ ）log 3 \ X ^1）， A . 0 B. 1C. 2 D . 3【解答】解：f （f （2）） =f （log 3 （22- 1）） =f （1） =2e 1 -1=2,故选 C .6.（5分）执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是（ x ,- 12），则x 的值为（）•••该几何体的体积V=,一 ■ •:. =8+" I'A. 27B. 81C. 243D. 729【解答】解：由程序框图知：第一次运行x=3, y=- 3, (3 -3);第二次运行x=9, y= - 6， ( 9，- 6);第三次运行x=27, y=- 9, (27,- 9);第四次运行x=81, y=- 12, (81,- 12);…；所以程序运行中输出的一组数是(x,- 12)时，x=81.故选：B.■TT r7. (5分)已知函数f (x) =cos(2x —) +2COS2X，将函数y=f (x)的图象向右平移…个单位，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g (x)图象的一个对称中6心是( )A.(-牙，1)B.(-=，1)C.(〒，1)D. (丁，0)【解答】解：：f(x) =cos(2x-——)+2cos2x==cos2x+」sin2x+1= 门sin (2x+ )3 2 2 3 +1,将函数y=f (x)的图象向右平移丁个单位，得到函数y=g(X)的图象，可得：6g (x) = _；sin[2 (x— ) + ]+ 1= ;sin2x+1,•••令2x=k n k€ z,可得x=^L, k€ z,2•••当k=- 1时，可得函数的图象的对称中心为（- 一,1）,2故选：A.8. （5分）已知向量•与的夹角为三―，|；| =「，则在方向上的投影为（）3A.・B.注C. 士D. •匚2 2 2 2【解答】解：因为向量1与「的夹角为二，I i|=匚，则1在「方向上的投影为，3| || COS =-#[X 丄=- ；3 2 2故选C.\>09. （5分）已知实数x，y满足不等式组' x+yC2，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A. （- 1，+x）B. （-X，—1）C. （1，+x）D. （-X，1）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）.由z=kx+y得y= - kx+z，即直线的截距最大，z也最大.平移直线y-kx+z,要使目标函数z=kx+y取得最小值时的唯一最优解是（1, 1），即直线y=- kx+z经过点A （1, 1 ）时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y= - kx+z的右上方，此时只要满足直线y=- kx+z的斜率-k大于直线OA的斜率即可直线OA的斜率为1,••- k> 1,所以k v- 1 .故选：B10. （5分）四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ）A . 10 种B . 14 种C. 20 种 D . 24 种【解答】解：根据题意，假设2个单位为甲单位和乙单位，分3种情况讨论： ① 、甲单位1人而乙单位3人，在4人中任选1个安排在甲单位，剩余3人安排 在甲乙单位即可，有C 41=4种安排方法；② 、甲乙单位各2人，在4人中任选2个安排在甲单位，剩余2人安排在甲乙单 位即可，有C 42=6种安排方法；③ 、甲单位3人而乙单位1人，在4人中任选3个安排在甲单位，剩余1人安排 在甲乙单位即可，有C 43=4种安排方法； 则一共有4+6+4=14种分配方案； 故选：B.11. （5分）在区间［0，1］上随机选取两个数x 和y ,则y >2x 的概率为（）D. 1 【解答】解：在区间［0,1］上随机选取两个数x 和y ,对应的区间为边长为1的 正方形，面积为1，在此条件下满足y >2x 的区域面积为一-.'，所以y >2xB- ■:■42 212. （5分）已知双曲线 ' =1/ b 2 且F 2为抛物线y 2=24x 的焦点，设点为36「，贝U 双曲线的方程为（ 【解答】解：由题意，F 2 （6, 0）,设 P （m ，n ），则•••△ PFF 2的面积为3^6，=36 :, ••• | n|=6 :,刍• m=9,取 p （9,眾），则 2a 咄（g+& 尸+（斷）$ - J （9—& 尸+（斷）?=6, • a=3, b=32 2•••双曲线的方程为-7-— . =1,卫-UI I故选A .二、填空题（每小题5分，共20分）13. （5分）已知幕函数y=x a 的图象过点（3, 9）,则（空D 的展开式中x 的Xi系数为 112 .（a >0, b >0）的左、右焦点分别为F i 、F 2,P 为两曲线的一个公共点，若△ PFF 2的面积 ）2 2 2 2A ・一广1 =1 C 2 2 2 2=1 D 「Z 1的概率为i【解答】解：幕函数y=x"的图象过点(3, 9),••• 3a=9,--a=2,8 31= ( ■ - 7) 8的通项为T r+1= (- 1)空28「r x ■令r- 8=1,2解得r=6,展开式中x的系数为(-1)6C8628-6=112,故答案为：112.14. (5分)已知等差数列｛a n｝的公差d M0,且a1, a3,现成等比数列，若a2+a3=8, 则数列｛a n｝的前n项和S n= n2.【解答】解：•••等差数列｛a n｝的公差d工0,且a1, a3, a13成等比数列，a2+a3=8,'(aj+2d) 2=a t (aj+lSd)… ,a J +d+ a j+ 2d-8解得a1=1, d=2,•••数列｛a n｝的前n项和S=：.「.■w故答案为：n2.15 . (5分)函数f (x) =lnx+ax存在与直线2x- y=0平行的切线，则实数a的取值范围为(-X, 2-丄)U( 2 -丄，2) ._e_【解答】解：函数f (x) =lnx+ax的导数为f'(x) =—+a (x>0).x•••函数f (x) =lnx+ax存在与直线2x- y=0平行的切线，•方程丄+a=2在区间x€( 0, +x)上有解.x即a=2-丄在区间x€( 0, +x)上有解.• a v 2 .若直线2x -y=0与曲线f （x ） =lnx+ax 相切，设切点为（x o , 2x o ）.贝加呵，解得x o =e .2 x a =lnx Q +SXQ此时a=2- 1 . 综上可知： 实数a 的取值范围是（-X, 2-丄）U （ 2-丄，2）. e e 故答案为： （-x ，2- 1 ）U （ 2-二，2）. e e16. （5分）定积分 _-（+x ） dx 的值为— +]_.- 4 2【解答】解：根据定积分的几何意义可知：「"dx 表示以1为半径的圆面积 的],••• 一 「dx=二， 又 W j =，（「+x ） dx= ：「dx+xdx= ；「.故答案为：二「.三、解答题（每小题12分，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 谀-a'-F =c 口 s （A±C ）ac sinAcasA（1）求角A ;（2）若a=.，求be 的取值范围. 【解答】解：（1）由余弦定理可得: r-cos （兀-B ）ac sinAc 口sA '••• sin2A=1 且「| •一- 讥 ，2 4rB4C=135fl(2) 7“=45° <C<90",『<C<90flX.又^一 sinB sinC sinA17. （12分）在锐角△ ABC 中, 2 2 2a +e -b =2accosB••• b=2sinB, c=2sinCbc=2sin( 135°—C) ?2sinC=二二l: _:,45° <2C-45° <135* n(2c-45" )<1,•••〔-.] - - ■...18. （12分）如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC底面ABC为正三角形.（I）证明：AC丄PB;（U）若平面PACL平面ABC, AC=PC=2求二面角A—PC- B的余弦值.【解答】（I）证明：如图,取AC中点0,连接P0, B0,••• PA=PC • P0丄AC,又•••底面ABC为正三角形，• BOX AC,••• POP 0B=0, • AC丄平面POB 贝U AC丄PB;（U）解：•••平面PACL平面ABC,且平面PAC T平面ABC=ACP0丄AC, • P0丄平面ABC以0为原点,分别以0A、0B 0P所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,•- AC=PC=2 • P（ 0 , 0,二），B（ 0 ,二,0） , C（— 1 , 0 , 0）,；'",-, BC- （7,「忑 > 0）,设平面PBC的一个法向量为:,比丘屁乜厂鹿口取―由J 一L ，取y=—1侍n=（Vs> -1，T），n- BC=-x-V3y=0t又产「“/.:」是平面PAC的一个法向量，:cos<：•"> = -•••二面角A- PC- B的余弦值为■-.519. （12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分•假设甲队中每人答对的概率均为：'，乙队中33人答对的概率分别为-，且各人回答正确与否相互之间没有影响.用3 3 2E表示甲队的总得分.（I）求随机变量E的分布列和数学期望；（U）用A表示甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P （AB）.【解答】解：（I）解法一：由题意知，E的可能取值为0，1，2，3，且■-- 亠丄，：」-一二-—.所以E的分布列为的数学期望为-! -解法二：根据题设可知，；［「二,3因此E的分布列为：k=0, 1, 2, 3.因为所以■' L -：■;.(U)解法一：用C表示甲得(2分)乙得(1分)”这一事件，用D表示甲得(3分)乙得0分”这一事件，所以AB=C U D，且C, D互斥，又:1■ ■.-=:,1 ,- 3由互斥事件的概率公式得I ■:.3 3 3 如解法二：用A表示甲队得k分”这一事件，用B.表示乙队得k分”这一事件，k=0, 1, 2, 3.由于事件A3B0, A2B1 为互斥事件，故有P (AB) =P (A3B0U A2B1) =P (A3B0) +P (A2B1).由题设可知，事件A3与B。

2018年陕西省高考理科数学 第一次模拟考试试题与答案（ 满分150分，时长120分钟）说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1. 设复数z 满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2． 已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B =A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(3,5)D ．(1,5)-3. 已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下四个命题中正确命题的个数是①若//,//m n αβ，且//αβ，则//m n ②若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ ③若//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m n ④若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥A ．4B ．3C ．2D ．14. 已知1a = ，b = ()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34π D. 4π 或34π5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x=D ．x x x f -=)( 6. 如图所示的程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值。

若要使输入的x 值与输出正视图 侧视图 俯视图的y 值相等，则这样的x 值有A ．2个B ．3个 C. 4个 D. 5个7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．331cm B ．332cm C ．334cm D ．338cm8．若实数x ，y 满足，则的取值范围是A ．[43，4] B ．[43，4） C. [2，4] D ．(2，4] 9. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016S A ．22252- B ．22253- C ．221008- D.222016-10. 2016年高考体检，某中学随机抽取5名女学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为 0.92y x a =+，则=a A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.10411．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为A ．3B ．．．12．已知()f x 是定义在R 上的减函数，其导函数'()f x 满足()1'()f x x f x +<，则下列结论正 确的是A ．对于任意x R ∈，()0f x <B ．对于任意x R ∈，()0f x >C ．当且仅当(,1)x ∈-∞，()0f x <D ．当且仅当(1,)x ∈+∞，()0f x >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分。

2017-2018学年陕西省西安市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

是符合题目要求的）1．复数2﹣mi是（m，n均为实数）的共轭复数，则m+n的值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．62．sin30°sin75°﹣sin60°cos105°=（）A．B．﹣C．D．﹣3．若a+b=5，则a＞0，b＞0是ab有最大值的（）A．必要非充分条件B．充要条件C．充分非必要条件D．既非充分也非必要条件4．已知{a n}是公差为﹣2等差数列，若S5=10，则a100=（）A．﹣192 B．﹣194 C．﹣196 D．﹣1985．投篮测试中，每人投3次，至少连续投中2个才能通过测试，若某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.504 C．0.36 D．0.3126．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，2] D．[2，+∞）7．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若?＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，） D．（﹣，）8．函数y=cos2（x+）﹣cos2（x﹣）是（）A．周期为2π的偶函数B．周期为2π的奇函数C．周期为π的偶函数 D．周期为π的奇函数9．若平面四边形ABCD满足=2，（﹣）?=0，则该四边形一定是（）A．矩形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．平行四边形10．假设（+）n的二项展开式的系数之和为729，则其展开式中常数项等于（）A．15 B．30 C．60 D．12011．在正四面体A﹣BCD中，若AB=6，则这个正四面体外接球的表面积为（）A．27πB．36πC．54πD．63π12．已知k＞0，函数f（x）=kx 2﹣lnx在其定义域上有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．14．在同一坐标系中，直线l是函数f（x）=在（0，1）处的切线，若直线l也是g （x）=﹣x2+mx的切线，则m=________．15．经过双曲线﹣=1的左焦点和右顶点，且面积最小的圆的标准方程为________．16．一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为18亩、20亩和26亩，则整个避暑山庄占地________亩．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，共5小题，满分60分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程）必考题17．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=3S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n?a n，求数列{b n}的前n项的和．18．随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于 4.75万元，则三等品率最多是多少？19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD 的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．（1）求证：D1E⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1与平面BED1的夹角为，求线段D1E的长．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为椭圆C上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与以椭圆C的右焦点E为圆心，其中O为坐标原点，以为半径的圆F相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（1）记F（x）=f（x）﹣g（x），求证：F（x）=0在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{xf（x），g（x）}，若方程m（x）=c在（1，+∞）有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）=0在（1，+∞）内的实根x0．求证：＞x0．选考题题（请在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

陕西省西安市一中2017-2018年高三第二学期模拟考试理科数学试题试题一、填空题1. 若,则________．【答案】【解析】故答案为.2. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是________．【答案】【解析】设球半径为，根据圆柱的体积公式以及球的体积公式可得，，故答案为.3. 记函数的定义域为,在区间上随机取一个数，则的概率是________．【答案】【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是，故答案为.4. 在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是________．【答案】【解析】双曲线的右准线，渐近线，故答案为.5. 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则_______．【答案】【解析】设等比数列的公比为，由题意得．根据条件可得，解得．∴．答案：6. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．【答案】【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．7. 已知函数，其中是自然对数的底数,，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】函数的导数为，可得在上递增，又，可得为奇函数，则，即有，即有，解得，故答案为 .8. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【答案】【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．9. 在平面直角坐标系中，，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是_________．【答案】【解析】设，由，由可得，由，可得或，由得点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点横坐标的取值范围是，故答案为.10. 设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，，其中集合，则方程的解的个数是________．【答案】【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中共有个交点，交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，因此方程的解的个数为，故答案为.【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、解答题11. 已知向量.（1）若,求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】（1）；（2）时，取到最大值；当时，取到最小值.【解析】试题分析：由向量根据向量的平行的性质即可得到，结合可得；（2）根据平面向量的数量积公式和两角和的余弦公式化简，先求出，再利用余弦函数的性质即可求出的最大值和最小值以及对应的的值.试题解析：(1),若，则与矛盾，故，于是，又.（2）．因为，所以，从而．于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值．12. 在平行六面体中，平面，且，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：在平面内，过点作，因为平面，可得，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，结合平行六面体的性质求出的坐标，进一步求出的坐标，（1）直接利用空间向量向量所成角的余弦公式可得异面直线与所成角的余弦值；（2）求出平面与平面的一个法向量，再根据空间向量夹角余弦公式求出两法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.试题解析：在平面ABCD内，过点A作AE AD，交BC于点E．因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1 AD．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．因为AB=AD=2，AA1=，．则．（1），则．异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．(2)平面的一个法向量为，设为平面的一个法向量，又，则，即，不妨取，则为平面的一个法向量，从而，设二面角B-A1D-A的大小为，则．因为，所以．因此二面角B-A1D-A的正弦值为．【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角及二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.13. 已知一个口袋中有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外全部相同,现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉.（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，求分布列．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据分步计数乘法原理以及古典概型概率公式可得编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：；（2）因为抽屉的编号为，所以随机变量可取的值为，，根据分步计数乘法原理以及古典概型概率公式可得随机变量对应的概率，从而可得分布列.试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．（2）；；；.分布列为14. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为离心率为，两准线之间的距离为8,点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率公式求得,由椭圆的准线方程,则，即可求得和的值，则，即可求得椭圆方程；（2）设点坐标，分别求得直线的斜率及直线的斜率，则可求得及的斜率及方程，联立求得点坐标，由满足椭圆方程，求得，结合在椭圆E上，联立即可求得点坐标.试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．（2）由（1）知，，．设，因为为第一象限的点，故．当时，与相交于，与题设不符．当时，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程，① 直线的方程，②由①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．又在椭圆E上，故．由，解得；，无解．因此点P的坐标为．【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.15. 已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）通过对，求导可知,进而再求导可知，通过令进而可知，的极小值点为，从而，整理可知，结合有极值可知有两个不等的实根，进而可知；（2）通过（1）构造函数，结合，可知，从而可得结论；（3）通过（1）可知的极小值，利用韦达定理及完全平方关系可知的两个极值之和为，进而问题转化为解不等式，因式分解即得结论.试题解析：（1）由，得，当时，有极小值，的极值点是的零点，，又，故，有极值，故有实根，从而，即，当时，，故在R上是增函数，没有极值；.........当时，有两个相异的实根，．列表如下：+极大值极小值故的极值点是．从而．因此，定义域为．（2）由（1）知，．设，则．当时，，从而在上单调递增．因为，所以，故，即．因此．（3）由（1）知，的极值点是，且，从而，记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，．因为，于是在上单调递减．因为，于是，故．因此a的取值范围为．[选修4-4：坐标系与参数方程]16. 在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为为参数),设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．【答案】.【解析】试题分析：直线的参考方程为利用代入法消去参数求出直线的直角坐标方程，设，代入点到直线距离公式化简得出距离关于参数的函数，利用二次函数配方法可得出点到直线的距离的最小值.试题解析：直线的普通方程为．因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，．因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．。

2017-2018学年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（）A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g（x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）A．B．C． D．﹣4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2805．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则fA．1 B．2 C．9 D．106．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A．B．3πC．4πD．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜310．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A．B．C．D．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是．14．在四边形ABCD中，AB∥CD，=0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为．=，n∈N*，则b2016=．15．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+116．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）=2a n﹣n+1，n∈N*，17．设数列{a n}满足a1=2，a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP 的长h；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC 相交于点D，AE=2BD=2．（1）求证：EA=ED；（2）求DC•BE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB的长度；（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．2016年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≤2}，，则A∩B=（）A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中y=，得到，即x＞1，∴B=（1，+∞），∵A=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]，故选：C．2．“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m即可判断出结论．【解答】解：复数z=m2+mi﹣1为纯虚数，m为实数⇔，解得m=±1．∴“m=1”是“复数z=m2+mi﹣1为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．3．已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g（x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）A．B．C． D．﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得m，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到g（x）=sin（x﹣m）=cos（﹣x+m）=cos（x﹣m﹣）的图象．又h（x）=cos（x+）的图象，g（x）与h（x）图象的零点重合，故g（x）=cos（x﹣m﹣）和h（x）=cos（x+）的图象相差半个周期，∴=kπ﹣﹣m，即m=kπ﹣，k∈Z，故m的值不会是，故选：B．4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．5．已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且f（x）=，则fA．1 B．2 C．9 D．10【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义域的对称性求出m，利用函数的周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），∴﹣3﹣m+m2﹣m=0，即m2﹣2m﹣3=0，得m=3或m=﹣1，∵m＞0，∴m=3，则当x≥0时，f（x）=f（x﹣3），则f=f（0）=f（﹣3）=（﹣3）2+1=9+1=10，故选：D．6．如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）A ．B ．3πC ．4πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示： 其中SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，SA=4．∴SB=SD==5，∴S △SAB =S △SAD =，S △SBC =S △SCD =．S 底面=32=9．V 棱锥==12．S 表面积=6×2+7.5×2+9=36．设内切球半径为r ，则球心到棱锥各面的距离均为r ．∴S 表面积•r=V 棱锥．∴r=1． ∴内切球的表面积为4πr 2=4π． 故选C ．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=10满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=10﹣21=8，i=2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=8﹣22=4，i=3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=4﹣23=﹣4，i=4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣4，则条件框内应填写：i＜4，故选：D．9．已知直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜3【考点】曲线与方程．【分析】直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），利用直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m 有公共点，定点在圆内或圆上，即可得出m的取值范围．【解答】解：直线：y=kx﹣k+1恒过定点（1，1），∵直线：y=kx﹣k+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，∴12+2×12≤m，∴m≥3．故选：A．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O 为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC 所成的角．【解答】解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，∵|OA|==，|OP|=，又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为，∴由直棱柱体积公式得V==，解得a=，∴tan∠PAO==，∴，∴PA与平面ABC所成的角为．故选：C．11．如图，已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）•=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意，|PF1|=|F1F2|2c，|QF1|=a，|QF2|=a，由余弦定理可得=，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．【解答】解：由题意，（）•=0，∴|PF1|=|F1F2|=2c，|QF1|=a，|QF2|=a，∴由余弦定理可得=，∴c=a，∴b=a，∴双曲线C的渐近线方程为y=x．故选：B．12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令f min（x）≥b解出a的范围．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min （x ）=f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1， ∴a ＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a ≤1，则h （x ）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f ′（x ）≥0恒成立，∴f （x ）在[1，+∞）上是增函数， ∴f min （x ）=f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1， ∴0＜a ≤1．若＞1，即a ＞1时，则1≤x ＜时，h （x ）＜0，当x ＞时，h （x ）＞0．∴1≤x ＜时，f ′（x ）＜0，当x ＞时，f ′（x ）＞0．∴f （x ）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增．此时f min （x ）＜f （1）=1﹣a ＜0，不符合题意． 综上，a 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 10 ．【考点】简单随机抽样．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，．其中第二个和第四个都是02，重复． 可知对应的数值为08，02，14，07，10， 则第5个个体的编号为10． 故答案为：1014．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，=0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先建立坐标系，根据坐标的运算和向量的投影即可求出．【解答】解：∵AB ∥CD ，=0，AB=2BC=2CD=2， 以B 为坐标原点，以BA 为x 轴，BC 为y 轴，建立如图所示的坐标系， ∴A （2，0），C （0，1），D （1，1），∴=（﹣1，1），=（﹣2，1），∴•=﹣1×（﹣2）+1×1=3，||=，∴在上的投影为=﹣=﹣，故答案为：﹣．15．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n=，n∈N*，则b2016=．+1【考点】数列递推式．=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，【分析】数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1b n==．求出b2，b3，b4，…，猜想：b n=，即可得出．+1=，n∈N*，【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1==．∴b1=1﹣a1=，b n+1∴b2=，b3=，b4=，…，猜想：b n=，=成立．经过验证：b n+1则b2016=．故答案为：．16．过双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知|EF |=b ，|PF |=2b ，|PF ′|=2a ，过F 点作x 轴的垂线l ，过P 点作PD ⊥l ，则l 为抛物线的准线，据此可求出P 点的横坐标，后在Rt △PDF 中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF |=c ，|OE |=a ，OE ⊥EF ∴|EF |=b ，∵，∴E 为PF 的中点，|PF |=2b ， 又∵O 为FF ′的中点， ∴PF ′∥EO ， ∴|PF ′|=2a ，∵抛物线方程为y 2=4cx ，∴抛物线的焦点坐标为（c ，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F 点作x 轴的垂线l ，过P 点作PD ⊥l ，则l 为抛物线的准线， ∴PD=PF ′=2a ，∴P 点横坐标为2a ﹣c ，设P （x ，y ），在Rt △PDF 中，PD 2+DF 2=PF 2，即4a 2+y 2=4b 2，4a 2+4c （2a ﹣c ）=4（c 2﹣b 2），解得e=故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=2a n ﹣n +1，n ∈N *， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由数列{a n }满足a 1=2，a n +1=2a n ﹣n +1，n ∈N *，变形为a n +1﹣（n +1）=2（a n ﹣n ），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n==，利用“裂项求和”即可得出．=2a n﹣n+1，n∈N*，【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n），∴a n+1∴数列{a n﹣n}是等比数列，首项为1，公比为2．∴a n﹣n=2n﹣1，即a n=n+2n﹣1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n=++…++==﹣．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；K2==0.4＜2.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==X∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．20．在平面直角坐标系xOy中，E′F′两点的坐标分别为（0，），（0，﹣），动点G满足：直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设动点G的坐标（x，y），直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），由直线E′G与直线F′G的斜率之积为﹣，能求出求动点G的轨迹方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质，结合已知能求出△OAB面积的最小值．【解答】解：（1）∵，设动点G的坐标（x，y），∴直线E'G的斜率，直线F'G的斜率（x≠0），又，∴，∴动点G的轨迹方程为．（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，，，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，把，代入，得，整理得7m2=12（k2+1），∴O到直线AB的距离d===，∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由d•AB=OA•OB，得d，∴AB≥2d=，即弦AB的长度的最小值是，∴△OAB面积的最小值为．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在区间[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令g′（x）=0得出g（x）的极值点，判断g（x）在[，e]上的单调性，根据单调性得出最大值；（2）对a进行讨论，判断g（x）在（0，e]上的单调性，求出最小值，令最小值为3解出a．【解答】解：（1）g（x）=﹣+lnx，g′（x）=﹣x+=．∴当≤x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x≤e时，g′（x）＜0．∴g（x）在[，1]上单调递增，在（1，e]上单调递减，∴当x=1时，g（x）在[，e]上取得最大值g（1）=﹣．（2）g（x）=ax﹣lnx，g′（x）=a﹣．当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上是减函数，∴g min（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．当a＞0时，令g′（x）=0得x=．∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0．当0＜＜e即a＞时，g（x）在（0，]上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g min（x）=g（）=1﹣ln=3，解得a=e2．当≥e即0＜a≤时，g（x）在（0，e]上是减函数，∴g min（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．综上，a=e2．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC 相交于点D，AE=2BD=2．（1）求证：EA=ED；（2）求DC•BE的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（1）由圆的弦切角定理和内角平分线的性质，可得∠DAE=∠ADE，即可得证；（2）由对应角相等，可得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性质和内角平分线定理，可得DB•DE=DC•BE，代入计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，由AE为△ABC的外接圆的切线，由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC，①由AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD=∠DAC，②①②相加可得∠DAE=∠ADE，则EA=ED．（2）∵∴△ABE∽△CAE，∴，又∵，∴，即DB•AE=DC•BE，由（1）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．根据已知条件AE=2BD=2．可得BD=1，EA=ED=2，所以DB•DE=DC•BE=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（1）若α=，求线段AB的长度；（2）若直线的斜率为，且有已知点P（2，），求证：|PA|•|PB|=|OP|2．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得C的普通方程．当时，直线方程为：（t为参数），代入代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）由曲线C：（θ为参数），可得C的普通方程是=1．当时，直线方程为：（t为参数），代入曲线C的普通方程，得13t2+56t+48=0，则线段AB的长度为．（2）证明：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化为：（cos2α+4sin2α）t2+（8sinα+4cosα）t+12=0，∵，而直线的斜率为，则代入上式求得|PA|•|PB|=7．又，∴|PA|•|PB|=|OP|2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤或x}，求a的值；（2）∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（2）问题转化为：2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而确定出a的范围即可．【解答】解：（1），x≥a时，2x﹣a﹣1≥2得，x＜1时，﹣2x+a+1≥2得综上得：a=2．（2）由x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1可得2|x﹣1|+|x﹣a|≥1．当x≥a时，只要3x﹣2﹣a≥1恒成立即可，此时只要；当1＜x≤a时，只要x﹣2+a≥1恒成立即可，此时只要1﹣2+a≥1⇒a≥2；当x＜1时，只要﹣3x+2+a≥1恒成立即可，此时只要﹣3+2+a≥1⇒a≥2，综上a∈[2，+∞）．2016年10月16日。

2017-2018学年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合M={x|（x+2）（x ﹣2）≤0}，N={x|x ﹣1＜0}，则M ∩N=（ ） A ．{x|﹣2≤x ＜1} B ．{x|﹣2≤x ≤1} C ．{x|﹣2＜x ≤1} D ．{x|x ＜﹣2} 2．设i 是虚数单位，则复数（1﹣i ）（1+2i ）=（ ） A ．3+3i B ．﹣1+3i C ．3+i D ．﹣1+i3．已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＜0时，f （x ）=2x 2﹣1，则f （1）的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin 2θ﹣cos 2θ的值等于（ ）A ．1B ．﹣C ．D ．﹣7．已知向量=（cos α，﹣2），=（sin α，1），且∥，则tan （α﹣）等于（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．8．下面中假是（ ） A ．∀x ∈R ，3x ＞0B ．∃α，β∈R ，使sin （α+β）=sin α+sin βC ．∃m ∈R ，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．“∃x ∈R ，x 2+1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＞3x ” 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（ ）A ．1023B ．512C ．511D ．25510．已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=3，则|QF|=（ ）A ．B ．C ．3D ．611．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．29πB ．30πC ．D ．216π12．若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）=x 1＜x 2，则关于x 的方程3（f （x ））2+2af （x ）+b=0的不同实根个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．（a+x ）（1+x ）4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ． 14．已知p ：﹣2≤x ≤11，q ：1﹣3m ≤x ≤3+m （m ＞0），若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．15．如图，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC=60°，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，则= ．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna n，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．50天的结果如下：（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．20．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．21．已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．（Ⅰ）求证：EB=2ED；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．24．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．2016年陕西省西安一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M={x|（x+2）（x﹣2）≤0}，N={x|x﹣1＜0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2＜x≤1} D．{x|x＜﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式解得：﹣2≤x≤2，即M={x|﹣2≤x≤2}，由N中不等式变形得：x＜1，即N={x|x＜1}，则M∩N={x|﹣2≤x＜1}，故选：A．2．设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．3．已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x2﹣1，则f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（2×12﹣1）=﹣1．故选：B．4．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b ，c==a ， 即有e==．故选：D ．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可． 【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C6．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin 2θ﹣cos 2θ的值等于（ ）A ．1B ．﹣C ．D ．﹣【考点】三角形中的几何计算．【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cos θ﹣sin θ）2的值，判断出cos θ＞sin θ 求得cos θ﹣sin θ的值，然后求得2cos θsin θ利用配方法求得（cos θ+sin θ）2的进而求得cos θ+sin θ，利用平方差公式把sin 2θ﹣cos 2θ展开后，把cos θ+sin θ和cos θ﹣sin θ的值代入即可求得答案．【解答】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 小正方形的边长为cos θ﹣sin θ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2=又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ=又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=∴2cosθsinθ=∴1+2sinθcosθ=即（cosθ+sinθ）2=∴cosθ+sinθ=∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣=﹣故选：B．7．已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切函数．【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果．【解答】解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选B8．下面中假是（）A．∀x∈R，3x＞0B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＞3x”【考点】的否定；的真假判断与应用．【分析】根据含有量词的的真假判断方法和的否定分别进行判断．【解答】解：A．根据指数函数的性质可知，∀x∈R，3x＞0，∴A正确．B．当α=β=0时，满足sin（α+β）=sinα+sinβ=0，∴B正确．C．当m=1时，幂函数为f（x）=x3，且在（0，+∞）上单调递增，∴C正确．D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，∴D错误．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．1023 B．512 C．511 D．255【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是：S=2°+21+22+23+…+28==29﹣1=511．故选：C．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C．3 D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】考查抛物线的图象，利用抛物线的定义以及=3，求解即可．【解答】解：如下图所示，抛物线C'：B的焦点为（3，0），准线为A，准线与C'轴的交点为AB，P过点f（x）=|x+1|+|x﹣1|作准线的垂线，垂足为f（x）＜4，由抛物线的定义知M又因为M，所以，a，b∈M所以，2|a+b|＜|4+ab|，所以，．故选：B．11．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选A．12．若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f （x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．【考点】二项式定理的应用．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．14．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[8，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将条件¬p是¬q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．【解答】解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q推不出p，即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）15．如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E、F分别为AD、CD的中点，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把要求的式子化为（）•（），再利用两个向量的数量积的定义可得要求的式子等于1×1cos60°+++1×1cos60°，运算求得结果．【解答】解：=（）•（）=+++=1×1cos60°+++1×1cos60°=+=，故答案为．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=lna n，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）设{a n}是公比q大于1的等比数列，由于a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得6a2=a3+4+a1+3，即6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解出即可得出．（II）b n=lna n=（n﹣1）ln2，再利用等差数列的前n项和公式即可得出数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）设{a n}是公比q大于1的等比数列，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，∴6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（II）b n=lna n=（n﹣1）ln2，∴数列{b n}的前n项和T n=ln2．50天的结果如下：（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b．（2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．【解答】解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09X0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．20．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2⊥x轴，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：（I）由已知得，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2，得椭圆方程为，因为点M在第一象限且MF2⊥x轴，可得M的坐标为，由，解得c=1，所以椭圆方程为；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+2代入椭圆，可得（3k2+2）x2+12kx+6=0，由△＞0，即144k2﹣24（3k2+2）＞0，可得3k2﹣2＞0，则有所以，因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），所以△OAB的面积，令3k2﹣2=t，由①知t∈（0，+∞），可得，所以t=4时，面积最大为．21．已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值g（a）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（II）先研究f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间[﹣e2，﹣e﹣1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，∴﹣x∈[e﹣1，e2]，∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函数，f max（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是减函数，f max（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右减，∴f max（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，综上：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．（Ⅰ）求证：EB=2ED；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合相似三角形的性质及已知可得结论；（Ⅱ）根据切割线定理可得EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，由AB=2，CD=5构造方程，解得DE，进而可得EF长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，则由AB=2，CD=5得：x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=223．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，写出曲线C的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l的普通方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t1+t2|，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．24．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义可得|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a的值．（2）把f（x）≤5等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集为[3，8]．2016年6月20日。

2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]3．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），在R上是减函数，则函数g（x）=（a﹣2）x3在R上的单调性为（）A．单调递增B．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增C．单调递减D．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减5．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．26．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0 B．2，C．2，﹣D．2，7．（5分）函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A．（5，π） B．（4，π） C．（﹣1，2π）D．（4，2π）8．（5分）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A． B．C． D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）10．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（] 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．912．（5分）如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sin，且0，则sinα=，cosα=．14．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017的值为．15．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为．16．（5分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC 的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段C的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由=，得．故选：A．2．（5分）若集合A={x|y=}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，1）B．[﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．（0，1]【解答】解：集合A={x|y=}={x|lg（1﹣x）≥0}={x|1﹣x≥1}={x|x≤0}，B={x|x≥﹣1}，则A∩B={x|﹣1≤x≤0}=[﹣1，0]．故选：B．3．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．4．（5分）指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），在R上是减函数，则函数g（x）=（a﹣2）x3在R上的单调性为（）A．单调递增B．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增C．单调递减D．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减【解答】解：∵指数函数f（x）=a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，∴函数g（x）=（a﹣2）x3在R递减，故选：C．5．（5分）若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，则ω的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：函数=2sin（ωx﹣），∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1﹣x2|的最小值为3π，可知：，可得T=12π，由T=，∴ω=，故选：A．6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，0 B．2，C．2，﹣D．2，【解答】解：由函数的图象可知：==，T=π，所以ω=2，A=1，函数的图象经过（），所以1=sin（2×+φ），因为|φ|＜，所以φ=．故选：D．7．（5分）函数y=sinx（3sinx+4cosx）（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（）A．（5，π） B．（4，π） C．（﹣1，2π）D．（4，2π）【解答】解：y=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx==故可得函数的最大值为4，函数的周期T=π故选：B．8．（5分）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）A． B．C． D．【解答】解：∵，∴sinA•cos﹣cosA•sin=cosA，…（2分）∴sinA=cosA，tanA=．…（4分）又0＜A＜π，∴A=．…（5分）故选：D．9．（5分）函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（0，3） D．（0，2）【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣e，+∞）C．（]D．（]【解答】解：∵函数f（x）=（2x﹣1）e x+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，∴f′（x）=（2x+1）e x+2ax≥0，化为2a≥﹣，令g（x）=﹣，则g′（x）=﹣，可得：x=时，函数g（x）取得极大值即最大值，=﹣4．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．故选：A．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（﹣+x）=f（+x），∴f（）=f（），可得f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期为3，∵当x∈[0，]时，f（x）=ln（x2﹣x+1），令f（x）=0，则x2﹣x+1=1，解得x=0或1，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣，]上，有f（﹣1）=﹣f（1）=0，f（0）=0．由f（﹣+x）=f（+x），取x=0，得f（﹣）=f（），得f（）=f（﹣）=0，∴f（﹣1）=f（1）=f（0）=f（）=f（﹣）=0．又∵函数f（x）是周期为3的周期函数，∴方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，，2，3，4，，5，6．共9个，故选：D．12．（5分）如果函数满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f （x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．D．【解答】解：由题意f′（x）=x2﹣a2当a2≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为f（0）=0，最小值为f（1）=﹣a2，故有，解得|a|≤，故可得﹣≤a≤当a2∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上减，在[a，1]上增，故最小值为f（a）=，最大值为f（0）或f（1），a∈[0，1]成立，同样a∈[﹣1，0]成立．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知sin，且0，则sinα=，cosα=．【解答】解：∵已知sin=﹣sin（+α）•cos（+α）=﹣cosα•（﹣sinα），即sinαcosα=．结合0，sin2α+cos2α=1，求得sinα=，cosα=，故答案为：；．14．（5分）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如表：数列{x n}满足：x1=1，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017的值为7561．【解答】解：∵数列{x n}满足：x1=1，）都在函数y=f（x）的图象上，且对于任意n∈N*，点（x n，x n+1∴x1=1，x n+1=f（x n），∴x1=1，x2=f（x1）=f（1）=3，x3=f（x2）=f（3）=5，x4=f（x3）=f（5）=6，x5=f（x4）=f（6）=1，x6=f（x5）=f（1）=3，x7=f（x6）=f（3）=6…∴{x n}是周期数列，周期为4，一个周期内的和为：1+3+5+6=15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2016+x2017=504×15+1=7561．故答案为：7561．15．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为4．【解答】解：由y=，得，当x∈（0，1）时，y′＜0，当x∈（1，+∞）时，y′＞0，∴y=在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数．作出函数f（x）=的图象如图，设f（x）与y=6的交点的横坐标分别为t1、t2、t3，则，0＜t2＜1，t3＞1．由x2﹣4x=t1，得x2﹣4x﹣t1=0，此时△＜0，方程无解；由x2﹣4x=t2，得x2﹣4x﹣t2=0，此时△＞0，方程有两不同解；由x2﹣4x=t3，得x2﹣4x﹣t3=0，此时△＞0，方程有两不同解．综上，关于x的方程f（x2﹣4x）=6的不同实根的个数为4．故答案为：4．16．（5分）已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是①④．【解答】解：①由函数f（x）=（a是常数且a＞0）的图象可知，函数在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故①正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；所以②不正确；③只需说明f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，f（）=a﹣1≥0，可得a≥1，所以，若f（x）＞0在（，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a≥1，故③不正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知c=，△ABC的面积为，又tanA+tanB=（tanAtanB﹣1）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求a+b的值．【解答】解：（I）∵tanA+tanB=（tanAtanB﹣1），∴tan（A+B）==﹣，∴A+B=，从而C=．（7分）（II）由S==，C=得ab=6，△ABC又cosC==，c=，∴a+b=．（14分）18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）设AB中点为D，连结PD，CD，∵AP=BP，∴PD⊥AB．又AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P﹣AB﹣C的平面角．又由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AD=BD=CD=，AB=2．又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴PD==．∵PC=2，∴PC2=CD2+PD2．∴PD⊥CD．又AB∩CD=D，∴PD⊥平面ABC，∵PD⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）由（1）知DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣，0），P（0，0，）．∴=（，0），=（）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=﹣1，z=．平面PAC的一个法向量为=（1，﹣1，）．平面PAB的一个法向量为=（）．∴cos＜＞==．由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为， （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差． 下面的临界值表仅供参考：【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得 列联表补充如下（2）因为 K 2=，即K 2==，所以 K 2≈8.333又 P （k 2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查， 记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则ξ的分布列：则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49 20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=﹣=﹣1﹣（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．【解答】解：（I）f′（x）=e x﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，联立解得b=1，a=﹣1．（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．f（x）+（3x2﹣5x﹣2k）≥0对任意x∈R恒成立⇔k≤e x+﹣x﹣1对∀x∈R恒成立．令h（x）=e x+﹣x﹣1，h′（x）=e x+x﹣，h″（x）=e x+1＞0恒成立．∴h′（x）在R上单调递增．h′（0）=＜0，h′（1）=＞0，=＜0，=﹣﹣=0．∴存在唯一零点x0∈，使得h′（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x0）＜0，函数h（x）在（﹣∞，x0）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h′（x0）＞0，函数h（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=+﹣﹣1，又h′（x0）=+x0﹣=0，∴=﹣x0，∴h（x0）=﹣x0+﹣﹣1=，∵x0∈，∴h（x0）∈．又k≤e x+﹣x﹣1对∀x∈R恒成立⇔k≤h（x0），k∈Z．∴k的最大值为﹣1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（0≤α＜π，t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段C的长．【解答】解：（1）由可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，（y≠0）∴曲线C表示的是焦点为（1，0），准线为x=﹣1的抛物线（原点除外）．（2）将（1，0）代入，得，∴tanα=﹣1，∵0≤α＜π，∴，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入y2=4x：得，由直线参数方程的几何意义可知，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。