《高等数学》单元自测题

第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. ()3limsin tan ln 12x x xx →=-+ .2. 21lim2x x x →=+- . 3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线()121e x y x =-的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .A. 充分条件但非必要条件B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ .A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3. 下列各式中正确的是 .A ．01lim 1e x x x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D. -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4. 设0→x 时，tan e1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1B. 2C. 3D. 45. 曲线221e 1ex x y --+=- .A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1sin ,(0,)x x x∈+∞三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.22x →2．()120lim ex xx x -→+3.()1lim 123n nnn →∞++4．21sinlimx x →+∞5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .6．142e sin lim1exxxxx→⎛⎫+⎪+⎪⎪+⎝⎭7．limx+→四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim22xax x bx x→-+=-+-2．(lim1 xx→-∞+=五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa bxf x a b a bxx⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x=处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sin sin sin ()lim sin x t xt x t f x x -→⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题6分）第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=. 3.d x = . 4.设sin (e )x y f =，其中()f x 可导，则d y = . 5.设y =12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x =处可导的是 .A.||y x =B.|sin |y x =C.ln y x =D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()limx f x x f x x x→+--= .A.6B.6-C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数 .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =- 时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '= .A.1-B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(ln e x y =+(2))11y⎫=⎪⎭(3)aaxa x a y x a a =++(4)cos (sin )x y x =2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2ln sin y x x x =+ (2)21cot e xy =(3)y x =3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分） （1）2cos ln y x x = （2）11xy x-=+4.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）5.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题6分）6.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题6分）7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）8.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0a b >>均为常数，则30lim 2x xxx a b →⎛+⎫=⎪⎝⎭. 2.2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.3arctan limln(12)x x xx →-=+ . 4.曲线2e x y -=的凹区间 ，凸区间为 . 5.若()e xf x x =，则()()n f x 在点x = 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .A.极小值B.极大值C.0x 为()f x 的驻点D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值C ．(0,(0))f 是曲线的拐点D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 .A.()f x 在(0,)δ内单调增加.B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.C.(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D.(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >.三、解答题(共73分)1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分） （1）当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.（2）当02x π<<时，2sin x x x π<<.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0e e 2lim sin x x x xx x-→---（2）21sin 0lim(cos )xx x →（3）10(1)elimxx x x→+-4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分） （1）1233()(1)f x x x =-（2）2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩5.求2ln xy x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln0ex x+=只有一个实根.（本题7分）第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. ， 4.5. 水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.. 2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4) 两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，. 故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．2．3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：拐点6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。

第一章章节自测一、填空题（每小题 2 分，共20 分）1. 设函数,)(,ln )(12+==x e x g x x f 则=))((x g f 。

2. 函数)2ln(34+=x xy 的定义域为 。

3. =++-∞→323)2(123lim x x x x 。

4. =→xxx 2sin lim0 。

5. e xkx x =+∞→2)1(lim ，则=k 。

6. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=01001)(x x x x x x f ，则)(lim 0x f x → 。

7. 若32lim22=-+-→x ax x x ，则=a 。

8. 设当0→x 时，2ax 与4tan 2x 为等价无穷小，则=a 。

9. 设函数)0(sin )(≠=a x ax x f 在0=x 处连续，且21)0(-=f ，则=a 。

10. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<-=2131113)(2x x x ax x x f 在1=x 处连续，则=a 。

二、选择题（每小题 3 分，共30 分）1. 函数)1()(+=x x x f 与1)(+=x x x g 在（ ）内表示同一个函数。

A. ]0,1[-； B . ]1,(-∞；C . ),0[+∞；D . ),1[+∞-。

2. 设函数)(x f 的定义域为]1,0[，则函数)12(-x f 的定义域为（ ）。

A. ]21,21[-； B. ]1,21[； C. ]1,0[； D. ]1,21[-。

3. 函数x x x f sin )(3=是（ ）。

A. 奇函数 ；B. 偶函数；C. 有界函数；D. 周期函数。

4. 220sin lim xmx x →（m 为常数）等于（ ）。

A. 0； B. 1； C. 2m ； D. 21m。

5. 当0→x 时，2x 与x sin 比较，则（ ）。

A. 2x 是较x sin 高阶的无穷小量； B. 2x 是较x sin 低阶的无穷小量；C. 2x 与x sin 为同阶无穷小量，但不是等价无穷小量；D. 2x 与x sin 为等价无穷小量。

自测题二一、单项选择题（每题2分，共30分）．1．函数)(x f y =在0x 处连续是它在0x 处可导的（ ）．（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件． 2．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在（ ）． （A ）在0x 处的切线的斜率； （B ）在点))(,(00x f x 处切线的斜率； （C ）在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切； （D ）在点0x 处的切线的倾斜角．3. 设)(x f 是可导函数，当)(x f 为偶函数，则)(x f '是（ ），当)(x f 是奇函数，则)(x f '是（ ）．（A ）偶函数； （B ）奇函数； （C ）非奇非偶函数； （D ）以上结论都不对． 4．函数在某点处不可导，函数所表示的曲线在相应点处的切线（ ）．（A ）一定不存在；（B ）不一定不存在； （C ）一定存在； （D ）以上结论都不对． 5. 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则=')(a f （ ）． （A ）)(a a ϕ； （B ）)(a a ϕ-； （C ）)(a ϕ-； （D ）)(a ϕ． 6. 函数|sin |x y =在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续可导； （D ）连续不可导．7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续但可导； （D ）连续但不可导． 8. 设xe y 1=，则=dy （ ）． （A ）dx e x1； （B ）dx ex 21-； （C ）dx e x x 121； （D ）dx e xx 121-．9. 函数||x x y =在点0=x 处的导数是（ ）．（A ）x 2； （B ）x 2-； （C ）0； （D ）不存在． 10. 函数||x e y =在0=x 处的导数是（ ）．（A ）1； （B ）1-； （C ）0； （D ）不存在． 11. 已知y x y ln =，则='x y （ ）． （A ）y x ； （B ）y ln ； （C ）x y y y -ln ； （D ）yxy +ln ． 12. 函数)ln(xxb a y +=的导数是（ ）．（A ）)ln ln (1b b a a ba x x x xx ++； （B ）)10ln(-a ； （C ）)(10ln 1x x x x b a b a ++； （D ）)ln ln (10ln b b a a ba xx x xx ++． 13. 设)(sin x f y =，则=dy （ ）．（A ）xdx x f sin )(sin '； （B ）dx x f )(sin '； （C ）xdx x f cos )(sin '； （D ）xdx x f sin )(sin ． 14. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数xx f x F )()(=的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点． 15. 若⎩⎨⎧>+≤=11cos )(x b ax x x x f ，且)1(f '存在，则必有（ ）．（A ）1,1-==b a ； （B ）1sin ==b a （C ）1sin 1cos ,1sin +=-=b a ； （D ）0,1==b a ． 二、填空题（每题3分，共30分）． 1．若)(x f 在a x =处可导，则=--+→hmh a f nh a f h )()(lim．2．若)]1[sin(sin )(2+='x x f ，4)0(=f ，则==4y dydx ．3．若⎩⎨⎧==mty t x ln ，则1=t nn x d yd ．4．若2sin x y =，则)(2x d dy． 5．若已知yx e xy +=，则dxdy． 6．=')(sin xx ．7．='+)1(xx ．8．设)1ln(ax y +=，a 为非零常数，则='y ，=''y ．9．已知t e x tsin =，t e y tcos =则==2πt dxdy ．10．已知)0()(≠='K Ke x f x，则)(x f y =的反函数的二阶导数=22dyxd ．三、计算下列各题（每题10分，共60分）．1．1ln 44+=xx e e y ，求0='x y ． 2．设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ，求40π==y x dxdy ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2arcsin 22tancos t y t t x t ，求0=t dx dy ．4．设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，求)(t f '．5．设⎩⎨⎧==-tt e y te x ，求dx dy ，22dx yd ． 6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0,2sin 0,)(x b x x e x f ax ，且)0(f '存在，求b a 、． 四、（５分）求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy ．五、（５分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f ，试讨论)(x f '在0=x 处的连续性．。

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册第一章 函数与极限一、 选择题： 1．函数1arccos2x y +=的定义域是（ ） (A)1x ≤； (B)31x -≤≤；(C)(3,1)-； (D){}{}131x x x x <⋂-≤≤. 2.函数23,401,03x x x x --≤≤⎧⎨+<≤⎩的定义域是（ ）(A)40x -≤≤；(B)3≤;(C)(4,3)-; (D){}{}4003x x x x -≤≤⋃<≤. 3、函数cos sin y x x x=+是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数()1cos2f x xπ=+的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)12. 5、函数21x x +在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且1122()f x ≤≤； (D)有界，且 2221x x -≤≤+ .6、与()f x =等价的函数是（ ）(A) x ；(B) 2；(C)3； (D) x .7、当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ）（A ）2x ； （B ）1cos x -；（C ）tan x x -； （D ）ln(1)x +. 8、设0,0,a b≠则当（ ）时有10101010........lim .........m m m n n x na x a x a ab x b x b b --→∞+++=+++ .(A)m n > ； (B)m n = ；(C)m n < ； (D),m n 任意取 .9、设1,10,01x x x x --<≤⎧⎨<≤⎩,则0lim ()x f x →=( ) (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 .10、0lim x xx →（ ） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在.二、求下列函数的定义域： 1sin(21)arctan ;y x x =++、 2、()x φ=三、 设2(1)231g x x x -=--（1） 试确定,,a b c的值使 2(1)(1)(1)g x a x b x c-=-+-+ ； （2） 求(1)g x +的表达式 . 四、 求2()(1)sgn f x x x=+的反函数1()f x -.五、 求极限：1、2221lim (1)n n n n →∞++- ； 2、3x → ； 3、2lim(1)xx x →+ ； 4、1lim (1)xx x e→∞- ； 5、当x ≠时，limcos cos ........cos 242n n x x x→∞ ；6、21sinlimx x →+∞.六、 设有函数sin ,1()(1)1,1ax x f x a x x <⎧=⎨--≥⎩试确定a的值使()f x 在1x =连续 . 七、 讨论函数1arctan1()sin2x x f x xπ-=的连续性，并判断其间断点的类型 .八、 证明奇次多项式： 2120121()n n n P x a xa x a ++=+++L 0(0)a ≠至少存在一个实根 .第二章 导数与微分一、 选择题： 1、函数()f x 在点0x 的导数0()f x '定义为（ ） （A ）00()()f xx f x x+∆-∆； （B ）000()()limx x f x x f x x →+∆-∆；（C ）00()()limx x f x f x x →-∆； （D ）000()()limx x f x f x x x →--；2、若函数()y f x =在点0x 处的导数0()0f x '=，则曲线()y f x =在点(0,()x f x )处的法线（ ）（A ）与x 轴相平行；（B ）与x 轴垂直；（C ）与y 轴相垂直；（D ）与x 轴即不平行也不垂直：3、若函数()f x 在点0x 不连续，则()f x 在0x ( )（A ）必不可导； （B ）必定可导；（C ）不一定可导； （D ）必无定义.4、如果()f x =（ ），那么()0f x '=. (A) arcsin2arccos x x +；(B) 22sec tan x x +；(C) 22sin cos (1)x x +-；(D) arctan x +arc cot x .5、如果2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩处处可导，那末（ ） （A ）1a b ==； （B ）2,1a b =-=-； （C ）1,0a b ==； （D ）0,1a b ==. 6、已知函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时， ()f x 的n 阶导数()()n fx 是（ ）（A ）1![()]n n f x +； （B ） 1[()]n n f x +； （C ） 2[()]nf x ； （D ）2![()]nn f x . 7、若函数()x x t =,()y y t =对t 可导且()0x t '≠,又()x x t =的反函数存在且可导，则dydx =（ ）（A ）()()y t x t '； （B ）()()y t x t '-'； （C ）()()y t x t ''； （D ）()()y t x t '.8、若函数()f x 为可微函数，则dy （ ）（A ）与x ∆无关；（B ）为x ∆的线性函数；（C ）当0x ∆→时为x ∆的高阶无穷小；（D ）与x ∆为等价无穷小. 9、设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0xx+∆时，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）∞.10、设函数()y f x =在点0x 处可导，且0()0f x '≠，则 0lim x y dy x ∆→∆-∆等于（ ）.（A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）∞ .二、求下列函数的导数：1、2sin ln y x x =； 2、cosh xy a = （0a >）； 3、2sec (1)xy x =+ ； 4、2ln[cos(103)]y x =+；5、设y 为x的函数是由方程arctanyx=确 定的；6、设2x yy=+，322()u xx =+，求dydu .三、证明sin tx e t =，cos ty e t =满足方程222()2()d y dyx y x y dx dx+=- .四、已知()cos ,0(),0g x xx f x xa x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =，1、确定a 的值，使()f x 在0X =点连续；2、求()f x ' 五、设ln ,y x x =求()(1)n f .的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章 微分中值定理一、 选择题： 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法 .（B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

1.设是以3为周期的奇函数，且，则（）A.2B.-1C.1D.-2 正确答案：1解题思路：因为是以3为周期的奇函数，所以。

2.设，则=（）．A. B.6 C.0 D.2 正确答案：解题思路：因，故=．3.设则（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：．4.为无穷小量的条件是（）。

A. B. C. D.正确答案：解题思路：，则所以．5.函数的微分（）．A. B. C.D.正确答案：解题思路：=．6.设，则（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：。

7.（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：。

8.已知曲线，则这条曲线平行于直线的切线方程为（）．A. B.， C.，D.正确答案：，解题思路：因曲线在任意一点的切线斜率，故所求切线的斜率，从而，所以切点为和，所求切线方程为，和，即，．9.下列各对函数中，表示同一函数的是（）A.和B.和C.和D.和正确答案：和解题思路：和是同一函数，其余三项中的函数定义域不同。

10.曲线在点处的切线斜率为（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：对此方程两边求的导数，得，故，从而切线的斜率为．11.=（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：==．12.函数的定义域为（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：要函数有意义，必有，故其定义域是：．13.=（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：因，故．14.函数的间断点为（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：因函数为初等函数，而初等函数在其定义域内都是连续的，故函数的间断点为其没有定义的点．15.=（）。

A. B. C. D.不存在正确答案：解题思路：=．16.设，则（）．A. B. C. D.正确答案：解题思路：，以此类推，。

17.如果函数具有任意阶导数且，则（）．A.-B.-4C.4D.正确答案：-4解题思路：设。

18.=（）。

A. B. C. D.正确答案：解题思路：===．19.设，则的值为（）。

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

高数笔记单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 无定义2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 函数 \( y = \ln x \) 的定义域是：A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)4. 曲线 \( y = x^3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 函数 \( f(x) = 3x - 2 \) 的反函数是：A. \( x = 3y - 2 \)B. \( y = \frac{x + 2}{3} \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( x = \frac{y + 2}{3} \)6. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. 17. 函数 \( y = \sin x \) 的周期是：A. \( 2\pi \)B. \( \pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \)8. 函数 \( y = e^x \) 的导数是：A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( 1 \)9. 微分 \( dy \) 与 \( dx \) 的关系是：A. \( dy = f'(x) dx \)B. \( dy = f(x) dx \)C. \( dx = f'(x) dy \)D. \( dx = f(x) dy \)10. 若 \( \int f(x) dx = F(x) + C \)，则 \( \int f'(x) dx \) 是：A. \( f(x) \)B. \( f'(x) \)C. \( F(x) \)D. \( C \)答案：1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A二、简答题（每题5分，共10分）1. 什么是泰勒级数？请给出 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, ∞)C. (-∞, 0)D. [2, ∞)2. 已知函数f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)：A. 3x^2-4x+1B. x^3-4x^2+1C. 3x^2-4x+1D. x^2-4x+13. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f''(x)是：A. -sin(x)-cos(x)B. -sin(x)+cos(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 45. 函数f(x)=ln(x)的值域是：A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, ∞)D. [0, ∞)6. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)：A. e^xB. x*e^xC. e^x-1D. 17. 若f(x)=x^2+1，求f(-x)：A. x^2+1B. -x^2+1C. -x^2-1D. x^2-18. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的极值是：A. 极小值B. 极大值C. 无极值D. 不能确定9. 若f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞, 2)B. (2, ∞)C. (-∞, 1)D. (1, ∞)10. 函数f(x)=sin(x)cos(x)的原函数F(x)是：A. sin(2x)B. sin(x)+cos(x)C. (sin(x)+cos(x))/2D. (sin(x)-cos(x))/2答案：1-5 A C B C C 6-10 A A B B D二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3的导数是 \( f'(x) = 3x^2 \) 。

2. 若曲线y=x^2-4x+3与直线y=k相切，则k= \( 1 \) 。

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）分） 1、 当0x ®+时，（A ）无穷小量。

）无穷小量。

A 1sin x x B 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<ìï==íï->î的（C ）。

A 连续点连续点 B 第一类非可去间断点第一类非可去间断点 C 可去间断点可去间断点 D 第二类间断点第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件充分非必要条件 B 必要非充分条件必要非充分条件 C 充要条件充要条件 D 无关条件无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x®¥++=，则常数a 等于（A ）。

A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限21lim cos 1x x e x ®--等于（D ）。

A ¥ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分）分）1、21lim(1)x x x®¥-=22e -2、 当0x ®+时，无穷小ln(1)Ax a =+与无穷小sin 3x b =等价，则常数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ¹时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[]1223(1)n n n ®¥+++··+=1 5、 若lim ()x f x p®存在，且sin ()2lim ()x xf x f x xp p®=+-，则lim ()x f x p ®=1 二、解答题二、解答题1、（7分）计算极限分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n ®¥---解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n ®¥®¥-++···=·=2、（7分）计算极限分）计算极限 30tan sin lim x x x x®- 解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x ®®®--===3、（7分）计算极限分）计算极限 123lim()21x x xx x +®¥++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++®¥®¥+®¥®¥+=+++=+·+=++ 4、（7分）计算极限分）计算极限 201sin 1lim 1x x x x e ®+-- 解：原式=201sin 12lim 2x x xx ®=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x ®---++ 具有极限l ，求,a l 的值的值 解：因为1lim(1)0x xx ®-+=，所以，所以 321lim(4)0x x ax x ®---+=， 因此因此 4a = 并将其代入原式并将其代入原式321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x ®-®---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x a b =-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x a b解：解： 32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x ca ®=-+=-+-+=\==- 此时，()()x x ab 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x x a x x ì>ï=íï+£î在(,)-¥+¥内连续内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

第三章单元自测题答案一、填空题：1．满足，2=ξ； 2． 满足,3415=ξ； 3． 3； 4． 1-=a ，4-=b ． 二、选择题:1. B ；2.A ；3.C ；4.A ；5.B .三、计算下列各题: 1.解 ∞→x lim 1lim 1lim 11lim )1(0011==-=-=-→→∞→u u u u x x x e ue xe e x . 2.解 2000)1ln(lim )1ln()1ln(lim )1)1ln(1(lim xx x x x x x x x x x x +-=++-=-+→→→21)1(2lim 2111lim 00=+=+-=→→x x x x x x x . 3.解 设21)(cos x x y =，取对数有2cos ln ln xx y = 因为212tan lim cos ln lim 020-=-=→→x x x x x x ，所以21cos ln 01022lim )(cos lim -→→==e e x x xx x x . 四、应用题:1.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为 x x x e x x e x xe y ----=-=')24(2422,令0='y ，解得2,021==x x .当,0,0<'<y x 当,0,20>'<<y x 当,0,2<'>y x因此,]2,0[为单调增加区间，]0,(-∞)和),2[+∞为单调减少区间.2.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为2222)1(22,12x x y x x y +-=''+=', 令0=''y ，解得1,121=-=x x .当,0,1<''-<y x 时当11<<-x 时,0>''y ,当0,1<''>y x 时，故曲线的凹区间为]1,1[-，凸区间为]1,(--∞和),1[+∞.拐点为)2ln ,1(-，)2ln ,1(.3.解 )5,0(2,2,01232∈=±==-='x x x y 解得, 70)5(,5)0(,11)2(==-=f f f ,故,70max =f 11min -=f .4.解 ,26,232b ax y bx ax y +=''+='由已知得0)2(=''y ，即6,0212b a b a -==+. 又)5,2(为曲线23bx ax y +=上的点,因此有815,42653=+⋅-=b b b .于是16581561-=⋅-=a . 5.解 由已知得x y 2=，且72=xyh ，于是有236xh =， 长方体带盖箱子的表面积)362362(2)(2)(222x x x x x yh xh xy x S S ⋅+⋅+=++== )0(,21642>+=x x x 因为22168)(x x x S -='，令0)(='x S ，解得唯一驻点3=x ， 由问题实际意义知，当长3=x m 时，箱子的用料最省，此时宽m y 6=，高m h 4=.五、证明题:1.证明 令x x f ln )(=，显然)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，于是有 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ,)(b a <<ξ,即 ξa b a b a b -==-ln ln ln ，)(b a <<ξ， 因为b a <<<ξ0，所以aa b a b b a b -<-<-ξ，因此aa b a b b a b -<<-ln . 2.证明 令221)1ln()(x x x x f +-+=，则)(x f 在],0[x 上连续，且xx x x x f +=+-+='1111)(2， 当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，又0)0(=f ， 从而，当0>x 时有)0()(f x f >，即当0>x 时，221)1ln(x x x ->+. 3.证明 令1)(5-+=x x x f ，则)(x f 在区间]2,0[上连续,且0122)2(,01)0(5>-+=<-=f f ，由零点定理知方程015=-+x x 在区间)2,0(内有一正根.又在),(+∞-∞内，,015)(4>+='x x f 故)(x f 在),(+∞-∞上单调增加, 因此正根唯一，即方程015=-+x x 只有一个正根.。

《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。

《高等数学》单元自测题第七章 空间解析几何专业 班级 姓名 学号一、填空题：1． 已知向量a 与b 垂直,且5||=a ，12||=b ，则=+||b a ,=-||b a .2．设向量{}{}1,1,2,1,2,1--==OB OA ,则=⋅OB OA ,=⨯OB OA ,=∠AOB cos .3．已知点)3,1,2(),5,0,4(B A ,则与AB 同向的单位向量为 . 4．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直,则k = . 5．过点)1,2,3(--和点)5,4,5(的直线方程为 . 6．点)2,3,1(到平面0322=+-+z y x 的距离为 .7．母线平行于z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++22222214zy x z y x 的柱面方程是 .8．球面042222=+-++y x z y x 的球心为 ,半径为 . 二、单项选择题： 1．若两直线634123-=+=-z y x 与22251-+=+=-k z y x 平行,则k= . (A)2； (B)3； (C)4； (D)5.2．设平面方程为0=++D Cz Bx ,且0≠BCD ,则平面 . (Ａ)平行于x 轴； (Ｂ)平行于y 轴； (Ｃ)经过y 轴； (Ｄ)垂直于y 轴.3．过点)1,1,2(-且与平面0132=+-+z y x 垂直的直线方程为 .(A)111322-+=-=-z y x ； (B)111322--=+=+z y x ； (C)113122-+=-=-z y x ； (D)113122--=+=+z y x . 4．设三向量c b,a,的模分别为3,6,7,且满足0c b a =++，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅ = . (Ａ)45； (Ｂ)－47； (Ｃ)42； (Ｄ)－43.5．方程16422=+y x 所表示的空间曲面的名称为 . (Ａ)椭球面；(Ｂ)球面；(Ｃ)椭圆抛物面；(Ｄ)柱面.三、解答题：1．已知向量}1,0,1{-=a ，}1,2,2{-=b ，求)()23(b a b a +⨯-．2．设b a m +=2，b a n +=k ，其中1||=a ，2||=b ，且b a ⊥，求数k ，使得n m ⊥．3．设有点)0,1,2(A 和)2,3,2(-B ,求线段AB 的垂直平分面方程.4．已知点)1,3,2(A ,)1,4,5(-B ,)3,2,6(-C ,)1,2,5(-D ,求通过点A 且垂直于B 、C 、D 所确定的平面的直线方程.5．用点向式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=--+012530432z y x z y x .6．求直线3931211-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点坐标.《高等数学》单元自测题第八章 多元函数微分学专业 班级 姓名 学号一、填空题1.设 xyz 3=, 则=∂∂xz____________. 2.设 221),(y x y x f +=，则=)3,1(y f __________________.3.方程式 1=++zx yz xy 确定z 是y x ,的函数,则=∂∂xz_________________. 4.设 xe y z sin =,则=∂∂∂yx z2__________________. 5.设 )1ln(2122y x z ++=,则=)1,1(dz ______________. 6.设函数 ),(y x f z =的全微分dy y ax dx xy dz 2232+=,则常数=a _________________.7.函数343y xy x z ++=在A(1,2)处沿从A 到B(2,1)方向的方向导数等于____________. 8.函数zx yz xy u ++=在点(1,2,3)处的梯度=∇)3,2,1(u _________________. 二、选择题1.设,0,0,0,),(222222=+≠+⎪⎩⎪⎨⎧+=y x y x y x xy y x f 则).(y x f 在点(0,0)处( ). (A)连续,但偏导数不存在; (B)不连续,但偏导数存在; (C)连续,且偏导数存在; (D)不连续,且偏导数不存在.2.设=z ln ),2(yxe e -则=∂∂)0,0(22x z( ).(A) 1; (B) -1; (C ) 2; (D) -2. 3.设方程0),,(=---x z z y y x F 确定z 是y x ,的函数,则=∂∂xz( ). (A) ;'3'2'2'1F F F F -- (B ;'3'2'1'2F F F F -- (C) ;'3'2'3'1F F F F -- (D) ;'3'2'1'3F F F F -- 4.函数yx yx z -+=的全微分=dz ( )．(A)2)()(2y x ydy xdx --； (B)2)()(2y x xdx ydy --； (C)2)()(2y x xdy ydx --； (D)2)()(2y x ydx xdy --5．函数233xy xy x z +-=在点M(1,2)处沿}3,11{=l方向的方向导数( )．(A)最大； (B)最小； (C)等于１； (D)等于０．6．在曲线32,,t z t y t x ===的所有切线中与平面02=++z y x 平行的切线( ).(A)只有一条; (B)只有两条; (C)至少有三条; (D)不存在. 7. 函数23242),(y y xy x y x f +--=有( )个驻点.(A) 1; (B) 2; (C) 3 ; (D) 4. 8. 对于函数22y x z -=,原点(0,0)( ).(A)是驻点但不是极值点; (B)不是驻点; (C)是极大值点; (D)是极小值点. 三.解答题 1.设)ln(22y x x z ++=,求x z ∂∂,yz ∂∂.2.求 x y z arctan = 的二阶偏导数y x zx z ∂∂∂∂∂222,及22yz ∂∂.3.设方程02223=-++z z y x 确定z 是y x ,的函数, 求xz ∂∂. 4.设vu e z 2-=，而y x v x y u cos ,sin ==，求yz x z ∂∂∂∂,.5.设),(xyxy f z =,f 具有连续的二阶偏导数,求x z ∂∂,y x z ∂∂∂2.6.求函数 x y x y x y x f 933),(2233-++-= 的极值.7.求球面 14222=++z y x 在点 )3,2,1( 处的切平面和法线方程.8.要做一个容积为32m 的无盖长方体水箱,问怎样选取长,宽,高,才能使得用料最省.《高等数学》单元自测题第九章 重积分专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．已知积分区域10,10:≤≤≤≤y x D ，则二重积分=+⎰⎰Dd y x σ)(__________________.2．交换二次积分的积分次序=⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10__________________________.3．已知积分区域)0(:2222b a b y x a D <<≤+≤，则将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为极坐标形式的二次积分为___________________________.4．已知区域10,10,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则三重积分=++⎰⎰⎰Ωdv z y x )32(___________________.5．由224y x z --=与xOy 坐标面所围成的立体Ω的体积V ＝_______________.二、选择题：1．已知区域D 是由直线1=+y x 与x 轴、y 轴所围成的闭区域，则二重积分=⎰⎰Ddxdy( ). (A)41； （B ）21； (C ）1； (D ）2. 2． 已知积分区域D 是由1,==x x y 和x 轴围成，则=⎰⎰Dd y x f σ),(（ ）.(A)⎰⎰1010),(dy y x f dx ； (B)⎰⎰110),(x dy y x f dx ；(C )⎰⎰xdy y x f dx 010),(； (D)⎰⎰y dx y x f dy 010),(.3．已知⎰⎰+=Dd y xf I σ)(22，其中1:22≤+y x D ，则=I ( ).（A ）dr r rf ⎰102)(； （B ）dr r rf ⎰12)(2π；（C ）dr r f ⎰102)(； （D ）dr r f ⎰12)(2π.4． 已知积分区域Ω：41222≤++≤z y x ，则将三重积分⎰⎰⎰Ω++dv z y xf )(222化为球坐标系下的累次积分为( ). (A) dr r f d d ⎰⎰⎰21220)(ππϕθ； (B)dr r f d d ⎰⎰⎰212020)(sin ππϕϕθ；(C)dr r r f d d ⎰⎰⎰212020)(sin ππϕϕθ； (D) dr r r f d d 2212020)(sin ⎰⎰⎰ππϕϕθ.三、计算下列二重积分：1．计算σd y xD⎰⎰32，其中积分区域D 是由曲线x y x y ==,1与直线4=x 围成的闭区域.2．计算dxdy e Dy ⎰⎰2，其中积分区域D 是由直线x y =,1=y 及y 轴所围成的闭区域. 3．计算 dxdy y x D⎰⎰+22，其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.4．计算⎰⎰+Dy x d e σ22，其中积分区域D 是由122≤+y x 所确定的圆形域.四、计算下列三重积分：1．计算三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz x 2,其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.2． 计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域.五、求由平面0,1==y x 与柱面2x y =所围成的柱体被平面0=z 及抛物面224y x z --=所截得的立体的体积.《高等数学》单元自测题第十章 曲线积分与曲面积分专业 班级 姓名 学号一、计算下列曲线积分： 1. 设L 为单位圆周的上半部分,求⎰+Ly x ds e22.2. 计算⎰Lxyds ,其中L 为由x 轴,单位圆,y 轴围成第一象限扇形的整个边界.3. 计算ds z y x ⎰Γ++2221,其中Γ是螺线t z t y t x 3,s i n2,c o s 2===的第一圈（π20≤≤t ）.4. 计算xydy dx y L+⎰,其中L 为(1)上半圆周21x y -=上从点)0,1(到点)0,1(-的一段弧;(2)从点)0,1(到点)0,1(-的直线段;(3)先沿直线从)0,1(到)1,0(再沿直线到)0,1(-的折线.5. 利用格林公式计算dy x y x dx y x L)3()3(2+++⎰,其中L 是由曲线2x y =及x y =2所围成区域的正向边界.6. 证明曲线积分⎰+++Ldy x y x dx y x xy )()3(3222在整个xoy 平面上与路经无关,并计算⎰+++)4,3()2,1(3222)()3(dy x y x dx y x xy 的值.二、计算下列曲面积分1. 计算dS y x ⎰⎰∑+)(22，其中∑是抛物面)(2122y x z +=及平面2=z 所围成的区域的整个边界曲面.2. 计算ydzdx xdydz zdxdy ⎰⎰∑++,其中∑是长方体,10,10|),,{(≤≤≤≤=Ωy x z y x}10≤≤z 整个表面的外侧.3. 利用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x 333⎰⎰∑++,其中∑为球面1222=++z y x 的外侧.《高等数学》单元自测题第十一章 无穷级数专业 班级 姓名 学号一、选择题：1、若极限lim 0n n u →∞≠， 则级数1nn u∞=∑( ) .(A) 收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 绝对收敛. 2、下列级数发散的是 （ ） (A)nn n 1)1(11∑∞=--； (B) )111()1(11++-∑∞=-n n n n ； (C) nn n1)1(1∑∞=-；(D))1(1n n ∑∞=-. 3、下列级数绝对收敛的是（ ） (A)∑∞=-2)1(n nnn； (B)nn n 1)1(21∑∞=--； (C) ∑∞=-2ln )1(n nn ； (D) ∑∞=--2321)1(n n n.4、下列级数收敛的是（ ）(A) ∑∞=+1)1ln(1n n ； (B)∑∞=+-1)1ln()1(n nn ； (C) ∑∞=+-112)1(n nn n； (D) ∑∞=+112n n n. 5、下列级数中条件收敛的是（ ）(A) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-132)1(n nn；(B)∑∞=--11)1(n n n； (C)∑∞=-+-1112)1(n n n n；(D) ∑∞=--13151)1(n n n.6、如果级数1nn u∞=∑收敛，则下列结论不成立的是（ ）(A) lim 0n n u →∞= ； (B)1nn u∞=∑ 收敛；(C)1(nn kuk ∞=∑为常数）收敛； (D)2121()n n n uu ∞-=+∑ 收敛.7、交错级数11(1)(1)n n n n ∞-=-+-∑（ ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性不能判定. 8、设幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处收敛，则在1x =-处（ ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性不能判定.9、函数22()x f x x e =在(,)-∞+∞内展成x 的幂级数是（ ）(A) 211(1)(21)!n n n x n -∞=--∑； (B)21!n n x n +∞=∑； (C) 2(1)1!n n x n +∞=∑ ； (D) 21!nn x n ∞=∑. 二、填空题：1、函数211x +的幂级数展开式是____ ____.2、幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑在(1,1]-上的和函数是_______ ____. 3、幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域为___ ________. 4、函数()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为0()(0),0x f x k kx ππ-≤<⎧=≠⎨≤<⎩则()f x 的傅立叶级数的和函数在x π=处的值为______ _____.三、判断以下正项级数收敛或发散：（要写出详细的判断过程） 1．∑∞=+121n nn 2．()∑∞=++1332n n n n3．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1134．()∑∞=-+121n nnn四、判断以下任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛：（要写出详细的判断过程） 1．()∑∞=---11121n n n n2． ++-+++-14413312221222五、求下列幂级数的收敛半径和收敛域 1. ∑∞=13n n n x n2．()∑∞=-11n n nnn x ；3．∑∞=1!n n x n .六、 将函数()x x f 2-=，()ππ≤≤-x 在区间[]ππ,-上展开为傅里叶级数.七、 将函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=lx l x l l x x x f 2,20,分别展开成正弦级数和余弦级数.高等数学（一）综合测试I一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．设函数()x f 定义在闭区间[]b a ,上，则下列结论正确的是（ ）.(A) 若()x f 可积，则()x f 一定有界. (B) 若()x f 连续，则()x f 一定可导. (C) 若()x f 有界，则()x f 一定连续. (D) 若()x f 可积，则()x f 一定可微. 2. 下列结论正确的是（ ）. (A) 若()0lim x x f x A →=, 则()0lim x x f x A →=.(B) 可导函数的极值点一定是驻点.(C) 若0''()0f x =，则点00(,())x f x 一定是曲线()y f x =的拐点. (D) 一切初等函数在定义区间内部都可导. 3.下列求导运算错误的是（ ）.(A)0()()x d f t dt f x dx =⎰; (B) 33311xd tdt x dx -+=-⎰; (C) 1(ln8)'x x=; (D) 22()'x x e e =.4. 微分方程2''1x y y e -=+的特解形式为（其中,a b 为常数）（ ）. (A) 2xaxebx +； (B) 2x axe b +； (C)2x ae b +； (D) 2x ae bx +.5. 设0()lim2x f x x →=，则0sin 2lim (3)x xf x →=（ ）.(A)23; (B) 32; (C) 13; (D) 3.6. 设0'()f x 存在，则000()()lim2h f x h f x h h→--+=-（ ）. (A) 0'()f x ; (B)02'()f x ; (C) 0'()f x -; (D) 02'()f x -.7. 设函数arctan ,0ln(1)()0,01sin ,0xx x f x x x x x ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪<⎪⎩，则点x =0是函数)(x f 的（ ）.(A) 第二类间断点; (B) 第一类间断点; (C) 连续但不可导点; (D)可导点. 8. 设()x f x dx xe C -=+⎰，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）.(A) (,1]-∞; (B) [1,)+∞; (C) (,2]-∞; (D) [2,)+∞.9.下列反常积分错误的是（ ）. (A)41113dx x +∞=⎰； (B) 211dx x π+∞-∞=+⎰；(C)1110dx x -=⎰；(D)1111dx x-=⎰. 10. 设函数1,0(),0xx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则（ ）. (A) 0lim ()x f x →不存在；(B) 0lim ()x f x →存在， 但()f x 在点0x =处不连续；(C) ()f x 在点0x =处连续，但不可导； (D) ()f x 在点0x =处可导，且'(0)1f =.二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1. 3ln(1)lim(1)x x x +→+= .2.设3232x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，则dydx = . 3. 设))ln(cot(x y =，则函数的微分dy ＝ . 4. ()xf x e -=的5阶麦克劳林公式为xe-= .5.一阶线性微分方程 'xy y e -=的通解为 .三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）1. 求不定积分211sec tan 2ln 212x x x e dx x x ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭⎰.2. 设函数)(x y y =由方程tan y x y =+确定，求dxdy .3. 求极限011lim sin 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.4.求不定积分21815x dx x x --+⎰.5.求定积分31ln e x xdx ⎰.6. 求微分方程''3'20y y y -+=的通解和在初值条件001,'2x x y y ====下的特解.四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1.求由抛物线2y x =与直线y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.2.设函数()f x 和()g x 都在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=.高等数学（一）综合测试II一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1、 当0→x 时，下列函数（ ）不是其它函数的等价无穷小．（A ）2sin x ； （B ）2cos 1x -； （C ）)1ln(2x +； （D ）)1(-x e x ．2、 已知极限0)2(lim 2=++∞→kn nn n ，则常数=k （ ） （A ）1-； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 3、 设)(x f 在点0x 可导，则下列说法错误的是（ ） (A))(lim 0x f x x →存在； (B))(x f 在点0x 连续；(C) )(x f 在点0x 可微； (D) )(x f 在点0x 取得极值，．4、 设)(x ϕ在点0=x 处连续,且0)0(=ϕ,若)(||)(x x x f ϕ=,则)(x f 在0=x 点处（ ） （A ）不连续； （B ）连续但不可导； （C ）可导，且)0()0(ϕ'='f ； （D ）可导，且)0()0(ϕ='f ．5、 曲线314--=x y 的拐点是（ ）（A ）)4,1(； （B ）)3,2(； （C ）)2,9(； （D ）)5,0(． 6、 若函数x2为)(x f 的一个原函数，则函数=)(x f （ ）.（A ） 12-x x ; （B ） 1211++x x ; （C ） 2ln 2x; （D ） 2ln 2x . 7、 设C e dx x f x +=⎰2)(，则下列说法正确的是（ ）．（A ）)(x f 在),(+∞-∞内单调增加； （B ）)(x f 在),(+∞-∞内单调减少； （C ）)(x f 在),0[+∞上单调增加； （D ）)(x f 在),0[+∞上单调减少． 8、 设连续函数)(x f 满足：⎰+=102)()(dt t f x x x f ，则)(x f =（ ）（A ）234x x +； （B ）243x x +； （C ）232x x +； （D ）223x x +． 9、 下列反常积分中收敛的是（ ） （A ）⎰∞+11dx x ；（B ）⎰∞+1321dx x；（C ）⎰-102)1(1dx x ；（D ）⎰-212x dx ．10、曲线221x y =上相应于x 从0到1的一段弧的长度为 （ ） （A ）)]12ln(2[21++；（B ）221；（C ）)12ln(21+；（D ）)12ln(2++．二：填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1．=-→xx x 30)21(lim ________________．2．设函数⎩⎨⎧≥+<=0),ln(0,sin )(x x b x x a x f 在点0=x 处可导，则=a _________,=b _________.3．设x x y ln 2=，则函数的微分=dy ________________．4．xxe x f =)(的n 阶麦克劳林公式为_________________________________________． 5．微分方程212y x dxdy-=的通解为________________．三：计算下列各题（本大题共 6 小题，每小题 10分，共 60分） 1. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 1sin 1lim 0．2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求dx dy ．3. ⎰--+dx x x x 272．4. 求⎰+102)1ln(dx x ．5. 求由曲线2y x =及直线x y =所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.6. 求微分方程xxe y y 2='+''的通解．四：证明题（本大题共 1 小题，每小题 10分，共 10 分） 设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，且0)(>x f ，证明方程x x e x dt t f )1()(0-=⎰在区间)1,0(内有且仅有一个实根．高等数学（一）综合测试III一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．下列广义积分结果正确的是（ ）．A. ⎰-=1101dx x ；B.⎰--=11221dx x ；C.⎰∞++∞=141dx x ；D. ⎰∞++∞=11dx x．2. 下列求导运算正确的是（ ）．A. ()x x xcos 2sin 2='；B. ()[]()00x f x f '='；C. ()xxee cos cos ='；D. ()xx 15ln ='． 3. 设()x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是（ ）．A. 若()x f 可导，则()x f 一定连续；B. 若()x f 可微，则()x f 一定可导；C. 若()x f 不连续，则()x f 一定不可导；D. 若()x f 可微，则()x f 不一定可导． 4. 下列等式正确的是( )． A.()()()x f dx x f ='⎰； B. ()()⎰=x f x df ；C. ()()()x f dx x f d=⎰； D. ()()⎰='x f dx x f ．5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 处的切线方程为（ ）. A. 73-=x y ；B. 33-=x y ；C. 31931+=x y ；D. 3731+=x y ． 6. 设()x f 在点a x =处可导，则()()=--+→hh a f h a f h 2lim 0（ ）． A. ()a f '3；B. ()a f '2；C. ()a f '；D. ()a f '31．7. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin 2x a x xe x xf ax 在点0=x 处连续，则=a （ ）． A. 1； B. 0；C. e ；D. 1-．8、设123,,y y y 都是微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，且≠--3231y y y y 常数，则该微分方程的通解为 ( ) .(A)1122123(1).y C y C y C C y =++-- (B)1122123();y C y C y C C y =+-+ (C)1122123(1);y C y C y C C y =+--- (D)11223;y C y C y y =++9. 设()x f 在点0=x 的某个邻域内可导，且()2cos 1lim0=-→xx f x ，则点0=x （ ）． A. 是()x f 的极小值点； B. 是()x f 的极大值点；C. 不是()x f 的极值点；D. 是()x f 的驻点，但不是极值点．10. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且可导，如果⎰+=102)()(dt t f xx x f ，则=')(x f ( ) .A. x 231+；B. 223x x +；C. 243x x +；D. 4232x x +．二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1. 1)1sin(lim 21--→x x x ＝ ．2. 微分方程y y x y ln ='满足初始条件e y x ==1的特解为 .3. 设函数⎰+=xdt t y 02)1cos(，则微分=dy ．4.⎰-++1121sin 2dx x x＝ ．5. 由曲线2x y =，直线1=x 及x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积=V ___ _．三、 计算题（本大题共 3 小题，共 30 分）1. 设)(x f y =是由方程e xy e y x +=+所确定的隐函数，求dxdy.2. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→x xx 11ln arctan 2limπ.3. 求函数()313x x x f -=的单调区间、极值点、凹凸区间以及函数曲线上的拐点.四．计算下列积分（本大题共 3 小题，共 30 分）1. 求不定积分⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅-+dx x e x x x x x 111cot csc 122.2． 求不定积分⎰-dx x 113 .3． 求定积分⎰10dx e x .五． 证明题（本大题共 2 小题，共 10 分） 1. 当0>x 时, ()x x x arctan )1ln(1>++.2. 设函数()x f 与()x g 在],[b a 上连续.证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使得 ()()()()⎰⎰=ba dx x f g dx x g f ξξξξ.高等数学（二）综合测试I一.填空题(本大题8小题,每小题3分,共24分)1.设,333},3,2,1{k j i b a -+==则b a ⋅=__________.2.过点)3,2,1(0M 且与直线31321zy x =+=-垂直的平面方程是___________________. 3.函数22y x ez +=的全微分dz =____________________.4.函数232y xy x z ++=在点A(1,1)处沿A 到B(3,3)的方向导数是__________________.5.交换二次积分次序dx y x f dy yy⎰⎰2),(1=________________________________.6.设L 是圆122=+y x 的上半圆周,⎰Lds 2 =____________________.7.设Ω是由圆柱面122=+y x ,及平面0=z ,1=z 所围成,将三重积分dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(化为柱坐标系下的三次积分是_________________________________.8.展开函数=)(x f 2x e 的x 的幂级数是___________________________________.二.单选题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)1.下列曲面中,为旋转曲面是( )(A) 1=++z y x (B) 1222222=++cz b y a x (c b a ,,彼此不等)(C) )(2122y x z +=(D) 2x y = 2.已知区域D:4122≤+≤y x ,则⎰⎰=+Dy x dxdy e 22( )(A))(24e e -π(B) )(4e e -π(C) -e π (D) 4e π 3.下列级数中收敛的是( ) (A)∑∞=1cos n n (B) ∑∞=-1)1(n n(C) ∑∞=-11)1(n nn (D)∑∞=11n n4.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是( )(A) [-1,1] (B) (-1,1) (C) [-1,1) (D) (-1,1]三.解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）1.求曲面022=-+z y x 在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程.2..设 02=-yz x e z ,求yz x z ∂∂∂∂,.3. 设),ln(xy x z =,求yx zx z ∂∂∂∂∂2,.4.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.5.应用格林公式计算曲线积分:dy y dx x xy L22)2(+-⎰,其中L 是由曲线2x y =及x y =2所围成的区域的边界(逆时针方向).6.利用高斯公式计算曲面积分:⎰⎰∑++zdxdy y ydzdx xdydz xz 222,其中∑是球体1222=++z y x 的表面的外侧.四.证明题（8分）验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yzx z .高等数学（二）综合测试II一.填空题(本大题10小题,每小题3分,共30分)1.设a ={3,-1,-2},b =k j i -+,则_______=⋅b a . 2.过点)3,2,1(0M 且与直线32211zy x =+=-垂直的平面方程是__________________. 3.函数=z xye 在点(1,1)的全微分___________________=dz . 4.函数z y x z y x f +-=22),,(在点)0,1,1(0-P 的梯度=-)0,1,1(gradf ________________. 5.交换二次积分的积分次序=⎰⎰dx y x f dy y y 2202),(_________________.6.将三重积分dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(变换为柱坐标系下的三重积分为___________________.7.设L 是以O 为心,R 为半径的上半圆周,则=+⎰ds y x L22)(_______.8.曲线积分⎰+LQdy Pdx 在区域G 内与路径无关的充分必要条件是____________________. 9.将函数xx f -=21)(展开为关于(1-x )的幂级数是____________________. 10.若)(x f 是以π2为周期的周期函数,则)(x f 的傅里叶级数中的傅里叶系数.______2=a二.单选题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)1.设)(xyf z =,则下列等式正确的是( ).(A) 2)(x y x y f z x '=; (B) 2)(x yx y f z x '-=;(C) 21)(x x y f z y '=; (D) 21)(xx y f z y '-=.2.下列级数中绝对收敛的是( )(A) ∑∞=-11)1(n nn ; (B)∑∞=-1)1(n n;(C)∑∞=-11)1(n nn; (D)∑∞=-11)1(n nnn .3.函数xyz z xy u -+=32在(1,1,1)点处方向导数最大值是( ). (A)5; (B) 5; (C) 25; (D)51.4.已知dxdy y x f I D ⎰⎰+=)(22,其中1:22≤+y x D ,则=I ( ).(A)rdr r f ⎰102)(; (B) rdr r f ⎰102)(2π; (C)dr r f ⎰102)(; (D) dr r f ⎰12)(2π.5.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是( ).(A) [-1,1]; (B) (-1,1]; (C) [-1,1); (D) (-1,1).三.解答题(本大题共4小题,每小题10分,共40分)1.设函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,求yz x z ∂∂∂∂,.2.设),(y x xy f z +=,其中),(v u f 具有二阶连续偏导数,求yx zx z ∂∂∂∂∂2,.3.计算二重积分⎰⎰Ddxdy yx2,其中D 是由曲线x y x y ==,1与直线4=x 围成.4.计算曲面积分dS y x z ⎰⎰∑++)(,其中∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.四.应用题(10分)求函数y x y x y x f 22),(22--+=的极值.五.证明题(10分) 证明曲线积分⎰++Lx ydy x dx xy e 22)(在xoy 平面上与路径无关,并计算.)(2)3,2()1,1(2ydy x dx xy e x ++⎰高等数学（二）综合测试III一：填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1、 抛物线2x y =和x y =2所围成平面图形的面积为________________．2、 设),(y x f z =是由方程02222=-++xyz z y x 所确定的隐函数，则=∂∂xz _________． 3、 函数)ln(22y x z +=在点)1,1(处方向导数的最大值为_______________．4、 旋转抛物面22y x z +=在点)2,1,1(处的切平面方程为_______________．5、 设⎰⎰=220),(x dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I _______________． 6、 设L 是圆周222a y x =+（0>a ），则=+⎰L ds y x )(22_______________．7、 设L 是椭圆12222=+by a x （0>a ，0>b ）正向一周，则=-⎰L ydx xdy _________． 二：选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1．设221ln y x z ++=，则=)1,1(dz （ ）（A ）dy dx +； （B ）)(3dy dx +； （C ）)(21dy dx +； （D ）)(31dy dx +． 2．设),(yx x f z =，其中f 具有连续的偏导数，则=∂∂x z （ ） （A ）21f x f '+'； （B ）211f y f '+'； （C ）21f y x f '+'； （D ）221f y x f '-'． 3．如果⎰⎰⎰⎰-=θππθθθcos 022)sin ,cos (),(a D rdr r r f d dxdy y x f ，则积分区域D 为（ ）（A ）ax y x ≤+22（0>a ）； （B ）ax y x ≤+22（0<a ）；（C ）ay y x ≤+22（0>a ）； （D ）ay y x ≤+22（0<a ）．4．设Ω是上半球体2222a z y x ≤++（0≥z ），则下列积分不为零的是（ ）（A ）⎰⎰⎰Ωxdv ； （B ）⎰⎰⎰Ωydv ； （C ）⎰⎰⎰Ωzdv ； （D ）⎰⎰⎰Ωxyzdv ．5．下列级数中条件收敛的是（ ） （A ）∑∞=-+-111)1(n n n n ； （B ）∑∞=--1211)1(n n n ； （C ）∑∞=--1311)1(n n n； （D ）∑∞=--111)1(n n n ．三：计算题（本大题共 5 小题，共 59 分）1．求函数x y x y y x f 43),(223+--=的极值．2．求二重积分⎰⎰D d x x σsin ，其中D 是由抛物线2x y =和直线x y =所围成的闭区域．3．求对弧长的曲线积分⎰+=L y x ds e I 22，其中L 是222a y x =+（0>a ）在第一象限与x 轴、y 轴所围的区域的整个边界．4．将函数651)(2+-=x x x f 展开成x 的幂级数，并指出其收敛域．5．求曲面∑：)(2122y x z +=在0=z 与2=z 之间部分的面积．四：证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）1．设函数)(r g 有二阶导数，且)(),(r g y x f =，22y x r +=， 证明：)()(12222r g r g r yf x f ''+'=∂∂+∂∂（其中)0,0(),(≠y x ）．2．设y xe y x P 21),(+=，y e x y x Q y -=22),(，(1) 证明曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(与路径无关；(2) 求沿上半圆1)1(22=+-y x 从点)0,0(O 到点)0,2(A 的曲线积分⎰+)0,2()0,0(),(),(dy y x Q dx y x P ．。

《高等数学》单元自测题第七章 空间解析几何自测题专业 班级 姓名 学号一、填空题：1. 已知a与b垂直，且a=5，b=12，则=+b a，b a-= 。

2．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k = 。

3．若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则k= 。

4．已知)1,3,2(A ，)1,4,5(-B ，)3,2,6(-C ，)1,2,5(-D ，则通过点A 且垂直于B 、C 、D 所确定的平面的直线方程是 。

5．母线平行于oz 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++22222214zy x z y x 的柱面方程是 。

二、选择题：1．下列命题，正确的是 。

（A ）、k j i++是单位向量。

（B ）、j -非单位向量（C ）、2= （D ）、b b a a⋅=⋅2)(1．设},,{},,{z y x z y x b b b b a a a a ==、。

则b a ⊥的充分必要条件是 。

（A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++z z y y x x b a b a b a （C ）、zz yy xx b a b a b a == （D ）、z y x z y x b b b a a a ++=++2．设三向量c b a ,,的模分别为3，6，7；且满足a c c b b a c b a ⋅+⋅+⋅=++则,0= 。

（Ａ）、45 （Ｂ）、－47 （Ｃ）、42 （Ｄ）、－433．设平面方程为Ｂx + Cz +D = 0,且ＢＣＤ≠０，则平面 。

（Ａ）、平行于ＯＸ轴 （Ｂ）、平行于ＯＹ轴 （Ｃ）、经过ＯＹ轴 （Ｄ）、垂直于ＯＹ轴 4．曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在ＸＯＹ面上的投影曲线是 。

（Ａ）{222ay x z =+=（Ｂ）{cos 0bz a x z ==（Ｃ）{cosbz a y z ==（Ｄ）{cossin b z a x bza y ==三、设单位向量,,满足0=++，试证：23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a。

《高等数学》单元自测题第一章 函数与极限专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设，则=_________________。

2. =+-∞→nn nn n 3232lim _________________。

3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。

4． ___________________。

5． 已知时与是等价无穷小，则__________。

6． 函数的连续区间是_____ _____。

二、 选择题：1．函数)12arcsin(412-+-=x x y 的定义域是（ ）。

（A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。

2．已知极限，则常数（ ）。

(A) ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。

3．若，则下面选项中不正确的是（ ）。

(A) ，其中为无穷小； (B)在点可以无意义；(C) ； (D) 若，则在的某一去心邻域内。

()xx x f +-=11()[]x f f =++∞→xx x x 1sin 2332lim 20→x ()11312-+ax1cos -x =a ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 0)2(lim 2=++∞→kn nn n =k 1-()A x f x x =→0lim α+=A x f )(α)(x f 0x )(0x f A =0>A 0x 0)(>x f4． 当时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。

(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。

5．设函数在点处连续，则常数的值为（ ）。

(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。

6． 已知函数在上单调增加，则方程必有一个根的区间是（ ）。

(A) )0,1(-； (B) )1,0(； (C) ； (D) 。

三、 计算下列各题：1．求函数的反函数，并求反函数的定义域。

高等数学下册单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，下列说法正确的是：A. 函数f(x)的图像关于x轴对称B. 函数f(x)的图像关于y轴对称C. 函数f(x)的图像关于点(2,0)对称D. 函数f(x)的图像关于直线x=2对称2. 计算极限lim(x→0) (sin x / x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 以下哪个选项不是幂级数展开式？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...D. cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...4. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，求f'(x)的值：A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. 3x^2 - 3x - 25. 以下哪个选项是二阶可导的函数？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = sin(x^2)D. f(x) = e^x6. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 27. 设函数f(x) = ln(x)，求f''(x)的值：A. 1/xB. 1/x^2C. -1/x^2D. -1/x8. 以下哪个选项是二阶常系数线性微分方程？A. y'' + y' - 2y = 0B. x^2y'' + xy' + y = 0C. y'' - 2y' + y = xD. y'' + 2y' + y = e^x9. 设函数f(x) = e^x + sin(x)，求f'(x)的值：A. e^x + cos(x)B. e^x - cos(x)C. e^x + sin(x)D. e^x - sin(x)10. 以下哪个选项是无穷小量？A. x^2B. x^3C. x^(-1)D. e^x - 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)的值为______。