高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式 文 新人教版

D．6
.
【思路点拨】 将条件变形为53x＋51y＝1，然后用“1”的 替换求最值．
.
【解析】 由 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝ 1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)53x＋51y ＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5， 当且仅当 x＝2y＝1 时，等号成立． ∴3x＋4y 的最小值为 5.
第四节 基本不等式
.
考纲要求 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等 式解决简单的最大(小)值问题．
.
[基础真题体验]
考查角度[利用基本不等式求最值]
1．(2014·重庆高考)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b
的最小值是( )
A．6＋2 3
B．7＋2 3
C．6＋4 3
【答案】 C
.
解含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量替换”、 “1”的替换，构造不等式求解
.
考向二简单的不等式证明 [典例剖析]
【例 2】 (2013·课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
.
【思路点拨】 (1)将 a＋b＋c＝1 两边平方，化简整理， 借助不等式的性质，即得结论．
.
角度二：知积求和的最值 【例 1－2】 已知正实数 x、y 满足 xy＝1，则xy＋yyx＋x 的最小值为________．
.
【思路点拨】 先化简，然后利用基本不等式可得最小 值．
.
【解析】 由题意，xy＋yyx＋x＝1＋yx2＋xy2＋1≥2
y2 x2 x ·y
＋2＝2 xy＋2＝4.当且仅当 x＝y＝1 时等号成立．
.
[命题规律预测]
从近几年高考试题看，利用基本不等式求最值
命题 是高考的命题热点，题目形式多样，难度中档，
规律 题目灵活性强，以考查运算能力与化归思想为
目的．
预测 2016 年高考仍将以利用基本不等式求最
考向 预测
值为命题热点，对于把等式转化为不等式或采 用“拆”、“拼”、“凑”的技巧将代数式变 形为可利用基本不等式的问题，将会是高考重
.
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
.
利用基本不等式证明不等式的方法： 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种 情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用条件 的可以先进行变形转化，常见的变形技巧有：拆项，并项， 也可以乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
.
【思路点拨】 由题意可推得|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，利 用基本不等式可得|PA|·|PB|的最大值．
.
【解析】 ∵直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 分别过 定点 A，B，
∴A(0,0)，B(1,3)． 当点 P 与点 A(或 B)重合时，|PA|·|PB|为零； 当点 P 与点 A，B 均不重合时，∵P 为直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10， ∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋2 |PB|2＝120＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时， 上式等号成立．
3ba·4ab＝7
.
【答案】 D
.
2．(2013·福建高考)若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是
()
A．[0,2]
B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
.
【解析】 ∵2x＋2y≥2 2x＋y，2x＋2y＝1， ∴2 2x＋y≤1， ∴2x＋y≤14＝2－2， ∴x＋y≤－2， 即(x＋y)∈(－∞，－2]． 【答案】 D
点.
.
考向一利用基本不等式求最值 【命题视角】 利用基本不等式求最值是高考的热点类 型，题型既有选择题、填空题，也有解题答，难度中档，常 见的三个命题角度：
.
角度一：知和求积的最值 【例 1－1】 (2014·四川高考)设 m∈R，过定点 A 的动 直线 x＋my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
(2)证ab2＋bc2＋ca2≥1，也即证ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 可分别证ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，然后相加 即得．
.
【解】 (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1. 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤31.
【答案】 4
.
已知 x，y∈R＋，若 xy＝S(定值)，当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值，且最小值是 2 S(简记：积为定值，和有最小 值)．
.
角度三：构造不等式求最值
【例 1－3】 若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y
的最小值是( )
24 A. 5
28 B. 5
C．5
D．7＋4 3
.
【解析】
由
题意得
ab>0，
ab≥0，所以a>0， >0.又 log4(3a＋4b)＝log2 ab，
所以 log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以 3a＋4b＝ab，故4a＋3b＝1.
a＋4b>0，
所以 a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋3ba＋4ab≥7＋2 ＋4 3，当且仅当3ba＝4ab时取等号．故选 D.
.
.
【答案】 5
.
1．利用基本不等式求最值应满足以下三个条件： (1)一正：各项或各因式均为正； (2)二定：和或积为定值； (3)三相等：各项或各等式能取到使等号成立的值． 简记：一正、二定、三相等． 如果解题过程中不满足上述条件，可以进行必要、合理 的拆分或配凑，以满足以上三个条件．
.
2．已知 x，y∈R＋，若 x＋y＝P(定值)，当且仅当 x＝y 时，积 xy 有最大值，且最大值是41P2(简记：和为定值，积有 最大值)．