突破点17 函数与方程(对应学生用书第167页)(1)f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.已知函数零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．回访1 函数零点个数的判断1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]2．(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．2 [当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.]回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]5．(2014·山东高考改编)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.](对应学生用书第167页)热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( )【导学号：67722062】A ．8B ．10C ．12D ．16(1)A (2)C [(1)因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝2k ＋1，k ∈Z ，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的大致图象如图所示，由图易得直线y ＝1与函数f (x )的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x ＝1和x ＝5对称，所以方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F (x )有5个零点．(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(0，2)∪(2，＋∞)(2)(名师押题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ≥0，1＋4x cos (2π－πx )，x ＜0，g (x )＝kx ＋1(x ∈R)，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，113 B ．(22，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤22，113 D ．(23，4](1)C (2)C [(1)令f (x )＝0，得a －x 2＝2－|x |， 令y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2＋x ，x ＜0.由y ＝a －x 2，得x 2＋y 2＝a (y ≥0)，在同一坐标系中分别画出y ＝2－|x |和y ＝a －x 2的图象． 如图所示：要使函数f (x )没有零点，则a ＜|0－0＋2|2＝1或a ＞2，即0＜a ＜1或a ＞2.(2)当x ＝0时，显然有f (x )≠g (x )，即x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点． 当x ≠0时，y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－2≤x ≤3)的实根的个数．当0＜x ≤3时，有kx ＋1＝x 2＋3，即k ＝x ＋2x ； 当－2≤x ＜0时，有kx ＋1＝1＋4x cos πx ，即k ＝4cos πx .则y ＝f (x )－g (x )(－2≤x ≤3)的零点个数等价于函数y ＝k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，0＜x ≤3，4cos πx ，－2≤x ＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知22＜k ≤113，故选C.]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：67722063】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)(2016·汕头一模)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0， 所以f (x )＝f (－x )， 所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点， 所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎨⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分(2)由f (x )＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n(x)＝x ln x－x2n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n(x)的零点个数．[解](1)因为f1(x)＝x ln x－x2，所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x －1)，即y＝－x.4分(2)令f n(x)＝0，得x ln x－x2n＝0(n∈N*，x＞0)，所以n ln x－x＝0.令g(x)＝n ln x－x，则函数f n(x)的零点与函数g(x)＝n ln x－x的零点相同．因为g′(x)＝nx－1＝n－xx，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝n ln n－n.8分①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝n ln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0，因为g(e2n)＝n ln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0， 所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13 C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图17-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图17-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图17-1A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.]二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.] 三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a＝1时，则t＝－34不合题意；②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝34或－3.若a＝34，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝1 2；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a－1＜0，解得a＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。
