【高考真题】2017年山东省高考数学试卷(理科) 含答案解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I =（A ）（1,2） （B ）(1,2] （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<I I ，选D.【考点】 1.集合的运算；2.函数的定义域；3.简单不等式的解法【点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.（2）已知a ∈R ,i 是虚数单位.若4z a z z =⋅=，则a =（A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 【考点】1.复数的概念；2.复数的运算【点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的值. （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）⌝∧p q （C ）⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】由011x x >⇒+>，所以ln(1)0x +>恒成立，故p 为真命题； 令1a =，2b =-，验证可知，命题q 为假.故选A. 【考点】常用逻辑用语【点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.（4）已知x,y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，选C.【考点】简单的线性规划【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】由已知得22.5,160,x y ==则$160422.570,a=-⨯=当24x =时，ˆ42470y =⨯+166=,选C.【考点】线性相关与线性回归方程的求解与应用【点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 的公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．（6）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D【解析】第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =；第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =，故选D. 【考点】程序框图【点睛】识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要理解程序框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景． （7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质；2.基本不等式【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．学/科网则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】12542C C 5989=⨯ .故选C.【考点】古典概型【点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题. （9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式；2.正弦定理【点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣U （B ）(][)0,13,+∞U（C ）()⎡+∞⎣U （D ）([)3,+∞U【答案】B【解析】 若m =，则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图象无交点，故排除C 、D ；若3m =，则()1,4是两个函数的公共点.故选B.【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用 【点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】()13n x +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理【点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 .【答案】3【解析】)()221212112122-⋅+=⋅-⋅-=λλλe e e e e e e e ，122-===e ，12+===λe e所以22321cos601λλλ-=⨯+⨯=+o ，解得：3λ=． 【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角；3.单位向量 【点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=⋅a a a ，cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于λ的方程求解. （13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】π22+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.【考点】1.三视图；2.几何体的体积【点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧+=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a +==a ⇒=，所以双曲线的渐近线方程为y x =. 【考点】1.双曲线的几何性质；2.抛物线的定义及其几何性质【点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．（15）若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质； ②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3e ()e xxf x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题；2.利用导数研究函数的单调性 【点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围的问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）最小值为32-.【解析】（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.【考点】1.两角和与差的三角函数；2.三角函数图象的变换与性质【点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽略设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. （17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是»DF的中点. （Ⅰ）设P 是»CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒. 【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =I ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取»EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ===+取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以13123EM CM ==-=在BEC △中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=， 所以23EC =，因此EMC △为等边三角形， 故所求的角为60︒. 解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，故(2,0,3)AE =-u u u r ，3,0)AG =u u u r，(2,0,3)CG =u u u r，设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量.由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 可得1111230,30,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)m . 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量.由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 可得222230,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)=-n . 所以1cos ,2m n ⋅==⋅m n m n .因此所求的角为60︒.【考点】1.垂直关系；2. 空间角的计算【点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. （18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5.(II)X 的分布列为 X 的数学期望是2EX =.【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为 X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型；2.随机变量的分布列与数学期望；3.超几何分布【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等. （19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T.【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n n T b b b b =++++=L 10132325272(21)2(21)2n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯L ① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯L ②-①②得121132(22 (2))(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-所以(21)21.2n n n T -⨯+=【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.错位相减法求和【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. （20）（本小题满分13分）已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)xg x x x x =-+-，其中e 2.71828=L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <，(1)当0a ≤时，x e a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--，由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x .①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >，所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增.所以 当0x =时()h x 取到极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取到极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、极值；3.分类讨论思想【点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或复杂式子变形能力差.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为1k =.【解析】（1）由题意知 c e a ==，22c =，所以 a =1b =， 因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A xy B x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且121x x +=()12211221x x k =-+，所以121=-=AB x .由题意可知圆M 的半径r为123r AB==由题设知12k k ，所以21k =因此直线OC 的方程为1y. 联立方程22112x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OCr == 令2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此1OC r==， 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin22SOT ∠…， 因此26SOT ∠π…，所以 SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =. 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质 【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程得到的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题及解决问题的能力等.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. （1）设函数y =的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ∧⌝（C ）p q ⌝∧（D ）p q ⌝∧⌝（4）已知,x y 满足3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z =x +2y 的最大值是（A ）0（B ） 2（C ） 5（D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 （6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是 .(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .（15）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()-x f x =2②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=．12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成（x n+1的区域的面积T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e ≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．（5分）（2017•山东）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．（5分）（2017•山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D．【解答】解：由z=a+i，则z的共轭复数=a﹣i，由z•=（a+i）（a﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．3．（5分）（2017•山东）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．4．（5分）（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．5．（5分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170【解答】解：由线性回归方程为=4x+，则=x i=22.5，=y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．（5分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；故选：D7．（5分）（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．8．（5分）（2017•山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，故选：C．9．（5分）（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．（5分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2017•山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= 4．【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r=（3x）r=3r x r．+1∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．12．（5分）（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．13．（5分）（2017•山东）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+，故答案为：2+．14．（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B=，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴=．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．15．（5分）（2017•山东）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．17．（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．18．（12分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）==．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．∴X的分布列为X01234PX的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．（12分）（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成+1的区域的面积T n．【解答】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n==（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n=．20．（13分）（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．21．（14分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b ＞0）的离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．∴|AB|=．由题意可知圆M的半径r为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|=．由题意可知，sin=．而=．令t=，则t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（理科数学)第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则AB=（）A．B．C．D．2．若复数满足，其中i为虚数为单位，则（）．A．B．C．D．3．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）．A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D向右平移个单位4．已知菱形的边长为，,则（）．A．B．C．D.5．不等式的解集是（）A．B．C．D.6.已知x,y满足约束条件，若的最大值为，则（）．A．B.C．D.7.在梯形中，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D.8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N，则，A．B．C．D．9．一条光纤从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B.．或C．或D．或10.设函数则满足的a取值范围是（）A． B．C D.第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（观察下列各式：；；；；……照此规律，当时，_________．12．若“”是真命题，则实数m的最小值为 .13．执行右边的程序框图，输出的的值为_________14．已知函数的定义域和值域都是，则_________15．平面直角坐标系中，双曲线：（,b>0）的渐近线与抛物线，交于，若的垂心为C2的焦点，则的离心率为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分12分）设（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为若求面积的最大值.17．（本题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若,求平面与平面所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列的前n项和为.已知（I）求的通项公式；（II）若数列满足，求的前项和.19．（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被整除，参加者得分；若能被整除，但不能被整除，得分；若能被整除，得分.（I）写出所有个位数字是的“三位递增数”；（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.20．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别是F1、F2.以为圆心以为半径的圆与以为圆心为半径的圆相交，且交点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点P的直线交椭圆E于两点，射线交椭圆于点.(i)求的值（ii）求面积的最大值.21．（本小题满分4分）设函数，其中。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A B =（A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.（2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ） p q ⌝∧ （D ）p q ⌝⌝∧ 【答案】B（4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6【答案】C【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170【答案】C【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a ba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. （8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. （9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【解析】)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=，()2221233232e e e e e e e -=-=-⋅+=，()22221221e e e e e e e e λλλλ+=+=+⋅+=+，2cos601λ==+λ=． (13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+． （14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =±（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+【答案】①④【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22x x e f x e x =+，令()()22xg x ex =+，则()()()2222110xx x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2017年高考理数真题试卷（山东卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.设函数y= √4−x2的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，2]C. （﹣2，1）D. [﹣2，1）2.已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ √3i，z• z̅=4，则a=（）A. 1或﹣1B. √7或﹣√7C. ﹣√3D. √33.已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4.已知x，y满足约束条件{x−y+3≤03x+y+5≤0x+3≥0，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 65.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ŷ= b̂x+ â，已知∑10i=1x i=225，∑10i=1y i=1600，b̂=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A. 160B. 163C. 166D. 1706.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A. 0，0B. 1，1C. 0，1D. 1，0 7.若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）A. a+ 1b ＜b 2a＜log 2（a+b ）） B. b 2a ＜log 2（a+b ）＜a+ 1bC. a+ 1b ＜log 2（a+b ）＜ b 2aD. log 2（a+b ））＜a+ 1b ＜b 2a8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）A. 518 B. 49 C. 59 D. 799.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（ ）A. a=2bB. b=2aC. A=2BD. B=2A10.已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y= √x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A. （0，1]∪[2 √3 ，+∞）B. （0，1]∪[3，+∞）C. （0， √2 ）∪[2 √3 ，+∞）D. （0， √2 ]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知（1+3x ）n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=________．12.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．15.若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16.设函数f（x）=sin（ωx﹣π6）+sin（ωx﹣π2），其中0＜ω＜3，已知f（π6）=0．（12分）（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣π4，3π4]上的最小值．17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF̂的中点．（12分）（Ⅰ）设P是CÊ上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19.已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．20.已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣√3交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，2，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M 且看k1k2=√24的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．答案解析部分一、<b >选择题：本大题共<b >10小题，每小题<b >5分，共<b >50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.【答案】D【考点】交集及其运算，函数的定义域及其求法，一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= √4−x2的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．2.【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z=a+ √3i，则z的共轭复数z̅=a﹣√3i，由z• z̅=（a+ √3i）（a﹣√3i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．3.【答案】B【考点】复合命题的真假，对数函数的单调性与特殊点，不等式比较大小【解析】【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，由不等式的性质可知，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．4.【答案】C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：画出约束条件{x−y+3≤03x+y+5≤0x+3≥0表示的平面区域，如图所示；由{x+3=03x+y+5=0解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣12x+ 12z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由{x+3=03x+y+5=0解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．5.【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：由线性回归方程为ŷ=4x+ â，则x̅= 110∑10i=1x i=22.5，y̅= 110∑10i=1y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线经过样本中心点，则â= ŷ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为ŷ=4x+70，当x=24时，ŷ=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得â，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．6.【答案】D【考点】选择结构，循环结构，程序框图【解析】【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，但满足x能被b整数，故输出a=0故选：D【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．7.【答案】B【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= 12．则a+1b = 4 ，b2a=1222= 18，log2（a+b）= log2(2+12)= log252∈（1，2），∴b2a ＜log2（a+b）＜a+ 1b．故选：B．【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= 12．代入计算即可得出大小关系．8.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有C92=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有C51C41=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= 2036= 59，故选：C．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．9.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．10.【答案】B【考点】函数的值域，函数单调性的性质，函数的图象【解析】【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，1m）为减函数，（1m，+∞）为增函数，函数y= √x+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y= √x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有1m＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，1m ）为减函数，（1m，1）为增函数，函数y= √x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，1m）为减函数，（1m ，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，②、当m＞1时，有1m＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．二、<b >填空题：本大题共<b >5小题，每小题<b >5分，共<b >25分11.【答案】4【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1= ∁n r（3x）r=3r∁n r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴32∁n2=54，可得∁n2=6，∴n(n−1)2=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．12.【答案】√33【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，∴| e1⃗⃗⃗ |=| e2⃗⃗⃗ |=1，且e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ =0；又√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，∴（√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ ）•（e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ ）=| √3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ |×| e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ |×cos60°，即√3e1⃗⃗⃗ 2+（√3λ﹣1）e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ ﹣λ e2⃗⃗⃗ 2= √3e1⃗⃗⃗ 2−2√3e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2× √e1⃗⃗⃗ 2+2λe1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +λ2e2⃗⃗⃗ 2× 12，化简得√3﹣λ= √3+1× √1+λ2× 12，即√3﹣λ= √1+λ2，解得λ= √33．故答案为：√33．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．13.【答案】2+ π2【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= 14×π×12×1= π4，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ π2，故答案为：2+ π2．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的14，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．14.【答案】y=± √22x【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= 2pb2a2，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2× p2=4× p2，∴2pb2a2=p，∴ba = √22．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± √22x．故答案为：y=± √22x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．15.【答案】①④【考点】函数单调性的性质，指数函数的图象与性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）= e x⋅2−x=(e2)x为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）= e x⋅3−x=(e3)x为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．三、<b >解答题（共<b >6小题，满分<b >75分）16.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣π6）+sin（ωx﹣π2）=sinωxcos π6﹣cosωxsin π6﹣sin（π2﹣ωx）= √32sinωx﹣32cosωx= √3sin（ωx﹣π3），又f（π6）= √3sin（π6ω﹣π3）=0，∴π6ω﹣π3=kπ，k∈Z，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= √3sin（2x﹣π3），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= √3sin（x﹣π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y= √3sin（x+ π4﹣π3）的图象，∴函数y=g（x）= √3sin（x﹣π12）；当x∈[﹣π4，3π4]时，x﹣π12∈[﹣π3，2π3]，∴sin（x﹣π12）∈[﹣√32，1]，∴当x=﹣π4时，g（x）取得最小值是﹣√32× √3=﹣32．【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，运用诱导公式化简求值【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（π6）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣π4，3π4]时g（x）的最小值．17.【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取EĈ的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，∴AE=GE=AC=GC= √32+22=√13．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，又AM=1，∴EM=CM= √13−1=2√3 ． 在△BEC 中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC 2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ EC =2√3 ，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°．解法二、以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意得：A （0，0，3），E （2，0，0），G （1， √3 ，3），C （﹣1， √3 ，0）， 故 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−3) ， AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3，0) ， CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，3) ． 设 m ⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1) 为平面AEG 的一个法向量，由 {m ⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {2x 1−3z 1=0x 1+√3y 1=0 ，取z 1=2，得 m ⃗⃗ =(3，−√3，2) ；设 n ⃗ =(x 2，y 2，z 2) 为平面ACG 的一个法向量， 由 {n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，可得 {x 2+√3y 2=02x 2+3z 2=0 ，取z 2=﹣2，得 n ⃗ =(3，−√3，−2) ．∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=12 ． ∴二面角E ﹣AG ﹣C 的大小为60°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE ⊥平面ABP ，得到BE ⊥BP ，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取 EC ̂ 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ，可得四边形BEGH 为菱形，取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ，得到EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，说明∠EMC 为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E ﹣AG ﹣C 的大小．法二、以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出A ，E ，G ，C 的坐标，进一步求出平面AEG 与平面ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E ﹣AG ﹣C 的大小．18.【答案】 解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，4（II ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P （X=0）= C 65C 105 = 142 ，P （X=1）= C 64C 41C 105 =521 ，P （X=2）= C 63C 42C 105 = 1021 ， P （X=3）= C 62C 43C 105 =521 ，P （X=4）=C 61C 44C 105 = 142 ．∴X 的分布列为X 的数学期望EX=0× 142 +1× 521+2× 1021 +3×521+4× 142 =2．【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 19.【答案】 解：（I ）设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0，由题意得 {x 1+x 1q =3x 1q 2−x 1q =2， 两式相比得： 1+qq 2−q =32 ，解得q=2或q=﹣ 13 （舍）， ∴x 1=1， ∴x n =2n ﹣1 ．（II ）过P 1 ， P 2 ， P 3 ， …，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1 ， Q 2 ， Q 3 ， …，Q n ， 即梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ， 则b n =n+n+12×2n−1 =（2n+1）×2n ﹣2 ，∴T n =3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n ﹣2 ， ① ∴2T n =3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n ﹣1 ， ② ①﹣②得：﹣T n = 32 +（2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n+1）×2n ﹣1 = 32 + 2(1−2n−1)1−2﹣（2n+1）×2n ﹣1=﹣ 12 +（1﹣2n ）×2n ﹣1 ． ∴T n = (2n−1)×2n +12．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．20.【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（i）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．f′（x ）=2x ﹣2sinx ，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ），可得h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）．令u （x ）=x ﹣sinx ，则u′（x ）=1﹣cosx≥0，可得函数u （x ）在R 上单调递增．由u （0）=0，可得x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．对a 分类讨论：a≤0时，0＜a ＜1时，当a=1时，a ＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．21.【答案】 解：（Ⅰ）由题意知， {ca=√222c =2a 2=b 2+c 2，解得a= √2 ，b=1．∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1 ；（Ⅱ）设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），联立 {x 22+y 2=1y =k 1x −√32 ，得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0 ．由题意得△= 64k 12+8 ＞0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1， x 1x 2=−12(2k12+1)．∴|AB|= √1+k 12|x 1−x 2|=√2⋅√1+k 12√1+8k121+2k 12 ．由题意可知圆M 的半径r 为 r= 23|AB|=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意设知， k 1k 2=√24，∴ k 2=√24k 1．因此直线OC 的方程为 y =√24k 1x ．联立 {x 22+y 2=1y =√24k 1x ，得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k12．因此，|OC|= √x 2+y 2=√1+8k121+4k1．由题意可知，sin∠SOT 2= rr+|OC|=11+|OC|r．而|OC|r=√1+8k 12122√23√1+k 1√1+8k 11+2k 12 = √24121212．1因此，|OC|r=2√2t2+t−1=2√2+t−t2= 2√−(1t−12)+94≥1．当且仅当1t =12，即t=2时等式成立，此时k1=±√22．∴sin∠SOT2≤12，因此∠SOT2≤π6．∴∠SOT的最大值为π3．综上所述：∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= 23|AB|=2√2 3√1+k12√1+8k121+2k12．由题意设知k2=√24k1．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin ∠SOT2=rr+|OC|=11+|OC|r．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P(A)﹒P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) （2）已知a R ∈,i是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a= （A ）1或-1 （B（C ）（D（3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q （4）已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170（6）执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0（7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59 （D ）79（9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .(13)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .（15）若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设函数的定义域A ，函数的定义域为B,则y=l n(1-x)A B =（A ）（1,2） （B ） （C ）（-2,1） （D ）[-2,1)⎤⎦(1,2【答案】D【解析】由得，由得，故240x -≥22x -≤≤10x ->1x <，选D.A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤< （2）已知,i 是虚数单位，若，则a=a R∈,4z a z z =+⋅=（A ）1或-1 （B（C）（D【答案】A【解析】由得，所以，故选A.,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±（3）已知命题p:；命题q ：若a ＞b ，则，下列命题为真命题的是()x x ∀+＞0,l n 1＞0a b 22＞（A ） （B ） （C ）（D ）p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q⌝⌝∧【答案】B（4）已知x,y 满足，则z=x+2y 的最大值是x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x （A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 20x y +=20x y +=当其经过直线与的交点时，最大为，选C.3x +y 50=+x -3=(3,4)-2z x y =+3245z =-+⨯=（5）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽x y 取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y x ．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高ˆˆˆybx a =+101225i i x ==∑1011600i i y ==∑ˆ4b =为（A ）（B ）（C ）（D ）160163166170【答案】C【解析】 ,选C. 22.5,160,160422.570,42470166x y ay ==∴=-⨯==⨯+=（6）执行学科#网两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为x 7x ，则第一次、第二次输出的的值分别为9a （A ）0，0 （B ）1，1（C ）0，1（D ）1，0【答案】D【解析】第一次 ；第二次，选D.227,27,3,37,1x b a =<=>=229,29,3,39,0x b a =<===（7）若，且，则下列不等式成立的是0a b >>1ab =（A ） （B ）()21log 2aba ab b +<<+()21log 2a b a b a b<+<+（C ） （D ）()21log 2a ba ab b +<+<()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= ，所以选B.12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+（8）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张1299卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）（B ）（C ）（D ）518495979【答案】C【解析】 ,选C.125425989C C =⨯（9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足C ∆AB A B C a b c C ∆AB ，则下列等式成立的是()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A （A ） （B ） （C ）2a b =2b a =2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】 sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以，选A.2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=（10）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则[]0,1x ∈()21y mx =-y m =+正实数的取值范围是m（A ）（B ）(])0,1⎡+∞⎣(][)0,13,+∞（C ）（D ）()⎡+∞⎣([)3,+∞ 【答案】B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）已知的展开式中含有项的系数是，则 .()13nx +2x 54n =【答案】4【解析】，令得：，解得．()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅2r =22C 354n ⋅=4n =（12）已知与的夹角为，则实数的值是.12,e e 12-e 12λ+e e 60 λ【解析】，)()221212112122e e e e e e e e λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-，122e -===，12e e λ+===，解得：．2cos 60λ== λ=(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .14【答案】22π+【解析】该几何体的体积为．21V 112211242ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+（14）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线xOy ()222210,0x y a b a b -=>>F 交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=【答案】y x =（15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数()x e f x 2.71828e = ()f x 具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为.()f x M M ①②③④()2xf x -=()3x f x -=()3f x x =()22f x x =+【答案】①④【解析】①在上单调递增，故具有性质；()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭R ()2x f x -=M ②在上单调递减，故不具有性质；()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭R ()3xf x -=M ③，令，则，当时，()3xxe f x e x =⋅()3xg x e x =⋅()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+∴2x >-，当时，，在上单调递减，在()0g x '>2x <-()0g x '<∴()3x x e f x e x =⋅(),2-∞-上单调递增，故不具有性质；()2,-+∞()3f x x =M ④，令，则()()22x x e f x e x =+()()22x g x e x =+，在上单调递增，故()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦∴()()22x x e f x e x =+R 具有性质．()22f x x =+M 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2017年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则1．（5分）设函数y=A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z•=4，则a=（）A．1 或﹣1B．或﹣C．﹣D．3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a ＞b ，2 2下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．65．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为= x+ ，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．1706．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（）第1 页（共22 页）A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，07．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+ ＜＜log 2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+ ＜log 2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+ ＜8．（5分）从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11．（5 分）已知（1+3x ） 的展开式中含有 x 的系数是 54，则 n=．12．（5 分）已知 ，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是 ．13．（5 分）由一个长方体和两个何体的体积为 ．圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为 F 的抛物线 x =2py （p ＞0）交于 A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |， 则该双曲线的渐近线方程为．15．（5 分）若函数 ef （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在 f （x ）的定义 域上单调递增，则称函数 f （x ）具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的 函数的序号为．①f （x ）=2 ②f （x ）=3 ③f （x ）=x ④f （x ）=x +2．三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）设函数 f （x ）=sin （ωx﹣）+sin （ωx ﹣），其中 0＜ω＜3，已知f （ ）=0．（Ⅰ）求 ω；（Ⅱ）将函数 y=f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位，得到函数 y=g （x ）的图象，求 g （x ）在[﹣n 2 2x ﹣x ﹣x 3 2第3 页（共22 页），]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是的中点．（Ⅰ）设P 是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6 和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．19．（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1（x1，1），P2（x 2，2）…Pn+1（x n+1，n+1）得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=xn+1所围成的区域的面积T n．2x第4 页（共22 页）e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．=1（a＞b＞0）的离心（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣直线OC 的斜率为k2，且看k1k2=交椭圆E 于A，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，，M 是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017 年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5 分）（2017•山东）设函数 y= 义域为 B ，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．（1，2] C ．（﹣2，1）的定义域为 A ，函数 y=ln （1﹣x ）的定D ．[﹣2，1）【解答】解：由 4﹣x ≥0，解得：﹣2≤x ≤2，则函数 y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x ＞0，解得：x ＜1，则函数 y=ln （1﹣x ）的定义域 （﹣∞，1）， 则 A ∩B=[﹣2，1）， 故选 D ．2．（5 分）（2017•山东）已知 a ∈R ，i 是虚数单位，若 z=a + ） i ，z• =4，则 a=（A ．1 或﹣1B ．或﹣C ．﹣D ．【解答】解：由 z=a + i ，则 z 的共轭复数 =a ﹣ i ，由 z• =（a +i ）（a ﹣ i ）=a +3=4，则 a =1，解得：a=±1，∴a 的值为 1 或﹣1， 故选 A ．3．（5 分）（2017•山东）已知命题 p ：∀x ＞0，ln （x +1）＞0；命题 q ：若a ＞b ，则 a ＞b ，下列命题为真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p ∧￢qC ．￢p ∧qD ．￢p ∧￢q【解答】解：命题 p ：∀x ＞0，ln （x +1）＞0，则命题 p 为真命题，则￢p 为假2 2 2 2 2命题；2 2取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a ＜b ，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题．∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题．故选B．4．（5分）（2017•山东）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+ z 在y 轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为=﹣3+2×4=5．z max故选：C．5．（5分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为= x+ ，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160B．163C．166D．170【解答】解：由线性回归方程为=4x+ ，则= x i=22.5，==160，y i则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则= ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24 时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．6．（5分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次输出的a 值分别为（）第8 页（共22 页）A ．0，0B ．1，1C ．0，1D ．1，0【解答】解：当输入的 x 值为 7 时，第一次，不满足 b ＞x ，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，满足 b ＞x ，故输出 a=1；当输入的 x 值为 9 时，第一次，不满足 b ＞x ，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，不满足 b ＞x ，满足 x 能被 b 整数，故输出 a=0；故选：D7．（5 分）（2017•山东）若 a ＞b ＞0，且 ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A ．a + ＜ ＜log 2（a +b ））B ． ＜log 2（a +b ）＜a +C ．a + ＜log 2（a +b ）＜D ．log 2（a +b ））＜a + ＜【解答】解：∵a ＞b ＞0，且 ab=1， ∴可取 a=2，b= ．则=4，= = ，log 2（a +b ）= =∈（1，2），∴ ＜log 2（a +b ）＜a + ．故选：B ．8．（5 分）（2017•山东）从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽 取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次， 共有 =36 种不同情况，且这些情况是等可能发生的，第 9 页（共 22 页）2 2 2 2抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20 种，故抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，故选：C．9．（5分）（2017•山东）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A【解答】解：在ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．10．（5分）（2017•山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y= +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）【解答】解：根据题意，由于m 为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m 为增函数，分2 种情况讨论：①、当0＜m≤1 时，有≥1，22在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）为减函数，且其值域为[（m﹣1），1]，函数y=+m 为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1 个交点，符合题意；②、当m＞1 时，有＜1，第10 页（共22 页）y=（mx ﹣1） 2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数，函数 y=+m 为增函数，其值域为[m ，1+m ]，若两个函数的图象有 1 个交点，则有（m ﹣1） ≥1+m ， 解可得 m ≤0 或 m ≥3， 又由 m 为正数，则 m ≥3；综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选：B ．二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11．（5 分）（2017•山东）已知（1+3x ） 的展开式中含有 x的系数是 54，则 n= 4 ．【解答】解：（1+3x ） 的展开式中通项公式：Tr +1= （3x ） =3x ． ∵含有 x 的系数是 54，∴r=2． ∴=54，可得 =6，∴ =6，n ∈N ．解得 n=4． 故答案为：4．12．（5 分）（2017•山东）已知 ，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ的夹角为 60°，则实数 λ 的值是 ．【解答】解： ，∴| |=| |=1，且是互相垂直的单位向量，• =0；又﹣ 与 +λ的夹角为 60°，∴（﹣）•（ +λ）=|﹣|×| +λ|×cos60°，即+（﹣1）• ﹣λ=×× ，第 11 页（共 22 页）2 n 2 n r r r 2*化简得即﹣λ=解得λ=﹣λ=．××，，故答案为：．13．（5分）（2017•山东）由一个长方体和两个图如图，则该几何体的体积为2+ ．圆柱体构成的几何体的三视【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×1 ×1=，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ ．14．（5分）（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x =2py（p＞0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：把x =2py（p＞0）代入双曲线可得：a y ﹣2pb y+a b =0，第12页（2222 2 2 2 2共22 页）=1（a＞0，b＞0），∴y A +y B =，∵|AF |+|BF |=4|OF |，∴y A +y B +2× =4× ，∴∴ ==p ，．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x ．故答案为：y=±x ．15．（5 分）（2017•山东）若函数 ef （x ）（e ≈2.71828…是自然对数的底数）在 f （x ）的定义域上单调递增，则称函数 f （x ）具有 M 性质．下列函数中所有具 有 M 性质的函数的序号为 ①④ ．①f （x ）=2 ②f （x ）=3 ③f （x ）=x ④f （x ）=x +2．【解答】解：对于①，f （x ）=2 ，则 g （x ）=e f （x ）= 上的增函数；对于②，f （x ）=3 ，则 g （x ）=e f （x ）=为实数集为实数集上的减函数；对于③，f （x ）=x ，则 g （x ）=e f （x ）=e •x ，g′（x ）=e •x +3e •x =e （x +3x ）=e •x （x +3），当 x ＜﹣3时，g ′（x ）＜0， ∴g （x ）=e f（x ）在定义域 R 上先减后增； 对于④，f （x ）=x +2，则 g （x ）=e f （x ）=e （x +2），g′（x ）=e （x +2）+2xe =e （x +2x +2）＞0 在实数集 R 上恒成立，∴g （x ）=e f （x ）在定义域 R 上是增函数．∴具有 M 性质的函数的序号为①④． 故答案为：①④．三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）第 13 页（共 22 页）x ﹣x ﹣x 3 2 ﹣xx﹣x x 3 x x 3 x 3 x 2 x 3 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 x16．（12分）（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx ﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移，]上的最小值．个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx ﹣=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）= sinωx﹣cosωx），= sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）又f（）= sin（ω﹣=kπ，k∈Z，∴解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；ω﹣）=0，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移∴函数y=g（x）= sin（x﹣个单位，得到y=sin（x+）；﹣）的图象，当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x ﹣∴当x=﹣）∈[﹣，1]，时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．第14 页（共22 页）17．（12分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形的中ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是点．（Ⅰ）设P 是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG 中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC 为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC 中，由于∠EBC=120°，2 2 2由余弦定理得：EC =2 +2 ﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC 为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B 为坐标原点，分别以BE，BP，BA 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．第15 页（共22 页）由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG 的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG 的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．18．（12分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示．（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的概率．（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，．则P（M）= =（II）X 的可能取值为：0，1，2，3，4，，∴P（X=0）= =，P（X=1）= =，P（X=2）= =，P（X=3）= =．P（X=4）= =∴X 的分布列为X01234PX 的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．19．（12分）（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P 1（x1，1）， P 2（x 2，2）…Pn +1 （x n +1 ，n +1）得到折线 P 1 P 2…P n +1 ，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn +1 所围成的区域的面积 Tn ．【解答】解：（I ）设数列{xn}的公比为 q ，则 q ＞0，由题意得，两式相比得：，解得 q=2 或 q=﹣ （舍），∴x 1=1，∴x n =2 ．（II ）过 P 1，P 2，P 3，…，P n 向 x 轴作垂线，垂足为 Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n， 即梯形 P n P n +1 Q n +1Q n 的面积为 b n ，则 b n ==（2n +1）×2 ，∴T n =3×2 +5×2 +7×2 +…+（2n +1）×2 ，①∴2T n =3×2 +5×2 +7×2 +…+（2n +1）×2 ，②①﹣②得：﹣T n = +（2+2 +…+2 ）﹣（2n +1）×2n ﹣1= +﹣（2n +1）×2 n ﹣1=﹣ +（1﹣2n ）×2 ． ∴T n =．n ﹣1n ﹣2 ﹣1 0 1 n ﹣20 1 2 n ﹣12 n ﹣1 n ﹣12x20．（13分）（2017•山东）已知函数f（x）=x +2cosx，g（x）=e （cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；第18 页（共22 页）（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e （cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x+2cosx）h′（x）=e （cosx﹣sinx+2x﹣2）+e （﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e﹣a）=2（x﹣sinx）（e﹣e）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R 上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0．（1）a≤0 时，e ﹣a＞0，∴x＞0 时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0 时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0 时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e﹣e）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1 时，x∈（﹣∞，lna）时，e ﹣e＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e ﹣e＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e ﹣e＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1 时，lna=0，x∈R 时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R 上单调递增．③1＜a 时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；22 2x2 x xx x lnaxx lnax lnax lnax lna2x lnax lnax∈（lna，+∞）时，e ﹣e＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．第19 页（共22 页）∴当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln a﹣2lna +sin （lna ） +cos （lna ）+2]．综上所述：a ≤0 时，函数 h （x ）在（0，+∞）单调递增；x ＜0 时，函数 h （x ）在（﹣∞，0）单调递减．x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．0＜a ＜1 时，函数 h （x ）在 x ∈（﹣∞，lna ）是单调递增；函数 h （x ）在 x ∈（lna ，0）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0） =﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a [ln a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．当 a=1 时，lna=0，函数 h （x ）在 R 上单调递增．a ＞1 时，函数 h （x ）在（﹣∞，0），（lna ，+∞）上单调递增；函数 h （x ）在 （0，lna ）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0） =﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．21．（14 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，焦距为 2．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程． （Ⅱ）如图，该直线 l ：y=k 1x ﹣直线 OC 的斜率为 k 2，且看 k 1k 2=交椭圆 E 于 A ，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点， ，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC |：|AB |=2：3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分 别为 S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．2 2 2第20 页（共22 页），b=1．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=∴椭圆E 的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△=＞0．，．．∴|AB|=由题意可知圆M 的半径r 为r=．由题意设知，，∴．因此直线OC 的方程为．联立，得．．因此，|OC|=由题意可知，sin=而=令t=，则t＞1，∈（0，1），．．因此，=≥1．当且仅当，即t=2 时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT 的最大值为．综上所述：∠SOT 的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．。

绝密★启用前【试卷点评】【命题特点】2017年山东高考数学试卷，文理科试卷结构总体保持了传统的命题风格，以能力立意，注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养，符合考试说明的各项要求，贴近中学教学实际，是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷.与2016年相比，文理科相同题目减少为3个，注重姊妹题的设计.试题的顺序编排，基本遵循由易到难，符合学生由易到难的答题习惯，理科20题两层分类讨论，其难度估计比21题要大.从命题内容来看，既突出热点内容的年年考查，又注意了非热点内容的考查，对教学工作有较好的导向性.纵观近四年的高考命题，基本围绕“基础考点”命题.同以往相比，今年对直线与圆没有独立的考题，文理均在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系，对基本不等式有独立考查，与往年突出考查等差数列不同，今年对此考查有所淡化.2017年山东数学试卷“以稳为主”、“稳中有新”，试卷结构平稳，无偏怪题，个人感觉难度控制较为理想，特别是在体现文理差别方面，更为符合中学实际.1.体现新课标理念，保持稳定，适度创新.试卷紧扣山东高考《考试说明》，重点内容重点考查，试题注重考查高中数学的基础知识，并以重点知识为主线组织全卷，在知识网络交汇处设计试题内容，且有适度难度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识，难度不大.文科第10题考查函数性质的创新题，以函数为增函数定义函数的新性质，选择支以考生熟悉的初等函数为素材，为考生搭建问题平台，展示研究函数性质的基本方法；理科第14题与文科第15题相同，将双曲线、抛物线内容综合考查，理科第19题将数列与解析几何相结合，体现创新.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求. 数学思想方法是数学的灵魂，是对数学知识最高层次的概括与提炼，也是试卷考查的核心.通过命题精心设计，较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想.利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程，将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致.3.体现数学应用，关注社会生活.文理科均通过概率统计问题考查考生应用数学的能力，以学生都熟悉的内容为背景，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向.【命题趋势】2018年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测教学、复习备考时应注意一下几个方面.1.函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多于单调性相关；对具体函数的基本性质（奇偶性、周期性、函数图象、函数与方程）、分段函数及抽象函数考查依然是重点. 导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，命题变换空间较大，直接应用问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等，因此，其难度应会保持在中档以上.2.三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查，预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看，高考中向量试题的命题趋向依然是，考查平面向量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题，其难度不会增大.3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一.不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图象等相结合.4.数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探究数列特征，确定应对方法.少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现.5.立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题，二面角等角的计算问题，综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明，理科则倾向于证算并重，理科将更倾向于利用空间向量方法解题.6.解析几何知识：预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律，解答题考查椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主，考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为辅，和导数一样，命题变换空间较大，面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等等，因此，导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化.6.概率与统计知识：概率统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多考查基础知识、基本应用能力的内容应包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图（表）、正态分布、假设性检验、回归分析等，而对随机变量分布列、期望等的考查，则易于增大难度，在分布列的确定过程中，应用二项分布、超几何分布等.【试卷解析】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。