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概率论与数理统计第16讲

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概率论与数理统计_16_指数分布

概率论与数理统计_16_指数分布

x0 确是一密度函数． x0
指数分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从参数 指数分布， 则 X 的分布函数为
0 F x x 1 e
x0 x0
对应模型的特点：无记忆性。 可证明，(课本P46)
P{X s t | X s} P{X t} X是某一元件的寿命。
1 e ( α β ) z , z 0 , z0, 0 ,
Z min X ,Y 的概率密度为
α β e ( α β ) z , z 0 , z fmin z Fmin z0, 0 ,
(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1 , L都损坏时 , 系统 L 才停止 2 工作, 所以此时 L 的寿命为
1 e αx , x 0 , FX x 故 x0, 0 , 类似地 , 可求得 Y 的分布函数为 1 e βy , y 0 , FY y y0, 0 ,
x0

x

x
于是 Z min X ,Y 的分布函数为
Fmin z = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
z
O
z
y
当 z>0 时,
f Z z αe
z 0
α z y
βe βy dy
f Z z αe
z 0
α z y
βe βy dy dy
αβe
αz

z
0
e
β α y
αβ (e αz e βz ). βα
解： X 的密度函数为
x 1 10 e f x 10 0

《概率论与数理统计》高教版PPT

《概率论与数理统计》高教版PPT

P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第35页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
第30页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15

概率论与数理统计教程-第五版-课件

概率论与数理统计教程-第五版-课件
先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
2021/3/10
讲解：XX
6
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
2021/3/10
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
2021/3/10
讲解：XX
16
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
2
第一章 事件与概率
2021/3/10
讲解：XX
3
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
2021/3/10
讲解：XX
4
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
2021/3/10
讲解：XX
5
二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事

概率论与数理统计

概率论与数理统计

A
3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概 B2
率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7/21
§1.5 条件概率
2．贝叶斯(Bayes)公式 (计算后验概率问题)
事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，…，Bn中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式
在实际应用 中，对于事 件的独立性 常常根据事 件的实际意 义来判断，
注意：仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立 见习题33 如果两个事
当然，如果事件A，B，C相互独立
件关联很弱 也可以看作
则 A, B,C; A, B,C; ... ; A, B,C 也相互独立
是独立的。
推广到多个事件
由定义可以得到以下两点推论： 1.若事件A1, A2, … , An相互独立，n2，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立 的。 2.若n个事件A1, A2, … , An(n2)相互独立，则将A1, A2, … , An中任意多个事件换13/成21 他们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立
§1.6 独立性
对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题
首先看一下关于划分的概念
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件。若
(i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，…，n； (ii) B1∪B2∪…∪Bn=S 则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。
※每次试验，事件B1，B2，…，Bn中有且仅有一个发生

概率论与数理统计总复习-

概率论与数理统计总复习-

一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi


n
E( Xi )


i1 i1
D
n
Xi


n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数


p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X

Y

FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)

5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )

,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：

概率论与数理统计(完整版)

概率论与数理统计(完整版)
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.

《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案

第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

同济大学《概率论与数理统计》PPT课件

随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_王松桂_张忠占_参考答案_最新


12 32 3 P{ X = 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1} = 1− − = 19 95 95
2.7 解：(1)设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数，则 X~B(4,0.4) P ( X ≥ 3) = P ( X = 3) + P ( X = 4) = C 40.430.61 + C 40.44 0.60 = 0.1792 (2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~B(5,0.4)
P{ X = P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } + P{ A1 A2 A3 A4 } 1} = = 2 18 17 16 18 2 17 16 18 18 2 16 18 17 16 2 32 × × × + × × × + × × × + × × × = 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 95
0
1
1
2
2
(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=
C
1 2
0.710.31 × C 20.40 0.62 + C 20.7 2 0.30 × C 20.40 0.62 + C 20.7 2 0.30 × C 20.410.61 = 0.5628
a ≈ 184 厘米
2.19 解：X 的可能取值为 1,2,3。
2 C4 6 因为 P ( X = 1) = 3 = = 0.6 ； C 5 10

概率论与数理统计答案 浙江大学 张帼奋 主编

第一章 概率论的基本概念注意： 这是第一稿（存在一些错误）1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。

所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。

（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。

即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。

（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。

即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。

2、解 （1）AB BC AC 或ABC ABC ABC ABC ；（2）ABBCAC（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （3）ABC ABC ABC ；（4）AB C 或ABC ；（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）； 3（1）错。

依题得()()()()0=-+=B A p B p A p AB p ,但空集≠B A ，故A 、B 可能相容。

（2）错。

举反例 （3）错。

举反例（4）对。

证明：由()6.0=A p ,()7.0=B p 知()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p ,即A 和B 交非空，故A 和B 一定相容。

4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-=；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：A B ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B ==；5解：由题知()3.0=BC AC AB p ,()05.0=ABC P .因()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= 得，()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p故A,B,C 都不发生的概率为()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1 ()05.04.02.11+--= 15.0=.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； （2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）；（3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。

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D ( X Y ) D ( X ) D ( Y ) 2 C o v ( X , Y ) .
D ( X ) D ( Y ) 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] }
C o v ( X , Y ) E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] }
CX o,Y v 1 Y (2) CX o ,Y 1 v ) C ( X o ,Y 2 v ).( (5) Cov(X,C)=0.
(6)C(o a v X b,Y cX d)Y ac D bd X D (a Y db)C c (o X ,Y v).
(7) [C o v(X ,Y )]2D (X )D (Y ).
C o v ( X , Y ) E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] }
(2). 计算公式 C o v ( X ,Y ) E ( X Y ) E ( X ) E ( Y ) .
证明
( 1 ) C X , Y ) o E { X v [ E ( X ) ( Y ] E ( Y [ )
第三节 协方差及相关系数
一、协方差与相关系数的 概念及性质
二、相关系数的意义 三、小结
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
问题 对于二维随机变量(X ,Y ):
已知联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率 特性外, 相互之间可能还有某种联系. 问题: 是用一个怎样的数去反映这种联系?
证明: 对任何实数 t,
E tXEXYEY2
t2DX2tCovX,YDY0.
上式(as a function of t )成立的充要条件是
2 C o vX ,Y 2 4 D XD Y0 .
[C o v(X ,Y )]2D (X )D (Y ).
6. 相关系数的性质
(1)ρXY1.
(2)ρXY1的 充 要,存 条在 件a常 是 ,b使 数 P{YabX }1(X与 Y以概 1线 率性)相 . 关
证明: (1) 由于 C o vX ,Y 2D X D Y
X2Y
CovX,Y2 DXDY
1
XY
1.
(2) 令 X*XEX, Y*YEY
DX
DY
0D (X * Y *)D (X *) 2 C o v(X *, Y *)D (Y *)
12 X Y 12 1X Y,则得到 XY 1
If XY 1, D X * Y * 2 1 X Y 0
若随机 X和 Y 变 相量 互 ,那 独么 立 D ( X Y ) D ( X ) D ( Y ).
若随机X变 和Y 量 不相互独立
D (XY)?
D(XY) D ( X ) D ( Y ) 2 E { X E [ ( X ) Y ] E ( Y [ )]
数 E [X E (X )][Y E (Y )]
反映了随机变量X , Y 之间的某种关系.
2. 定义
(X,Y)是 二 维 随,机 变 量 称量 E{[XE(X)]Y[E(Y)]} 称 为 随 机 X与 变 Y的 量协 方 .记差 为 CoX v,(Y), 即CovX(,Y)E{[XE(X)]Y[E(Y)]}.
由协方差定义可知协方差也是随机变量 函数的数学期望值.
4、协方差的计算方法
(1) 利用定义计算
若 ( X ,Y ) 为离散型，(X,Y) ~ pij
co v (X ,Y ) [x iE (X )][yjE (Y )]p ij i 1j 1
若 ( X ,Y ) 为连续型， (X,Y)~f(x,y)
c o v (X ,Y ) [ x E (X ) ] [y E ( Y ) ]f(x ,y ) d x d y
(1) X和Y的相关系数又称协 为方 标差 ,准 它是一个无量纲 . 的量
(2)若随机 X和 变 Y相 量互独立
C X , Y ) o E { X v E [ ( X ) ( Y ] E ( Y [ )]}
E [ X E ( X ) E [ Y ] E ( Y )] 0.
(3)对于任意的两个随机变量X和Y, 有
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互之 间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，
这就引入了相关系数 .
定 义 ：ρXY
Co vX(,Y) D(X) D(Y)
称为随机变 X与 量Y的相关系. 数
3. 说明
从而 X* Y* c, 即 XEXYEYc,
DX
DY结论也成立。
7. 相关系数的意义
相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，
以(平)均(平)方误差
e =E{[Y-(a+bX)]2} 来衡量以a+bX近似表示Y的好坏程度, e值越 小表示 a+bX与Y的近似程度越好.用微积分中 求极值的方法，求出使e 达到最小时的a,b .
C o v ( X , Y ) E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] }
5. 协方差的性质 ( 1 )CX o ,Y ) v C (Y ,o X )v ; (
(2 )CX o,X v )( D (X ); (3 )Ca o,b X v)Y ( aC bX o ,Y v ) ( a ,b 为;常 (4 )CX o 1 v X 2,(Y ) CX o 1,Y v ) C ( X o 2,Y v ).(
E [ X Y ( X ) Y X E ( Y ) E ( X E ) E ( Y )] E ( X Y ) E [ Y E ( X ) ] E [ X E ( Y ) ] E [ E ( X ) E ( Y ) ]
E ( X ) 2 E ( X Y ) E ( Y ) E ( X ) E ( Y ) E ( X ) E Y ( X ) E ( Y ).
以a+bX 近似的表示Y
eE {Y [ (a b)X 2} ]E (Y 2) b 2E (X 2) a 2