信号检测理论第一章

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X xF x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

信号检测论（Signal Detection Theory，简称SDT），是一种心理物理法，是关于人们在不确定的情况下如何作出决定的理论。

它是信息论的一个重要分支。

在SDT实验中通常把刺激变量看作是信号，把刺激中的随机物理变化或感知处理信息中的随机变化看作是噪音。

常以SN（信号加噪音）表示信号，以N表示噪音。

信号检测了最初是信息论在通讯工程中的应用成果，专门处理噪音背景下对信号进行有效分离的问题，其过程本质上是一种统计决策程序。

在信号检测论引入心理学研究领域后，一些原先的基本概念、思想和假设被移植到心理物理学情境中来。

信号和噪音是信号检测论中最基本的两个概念。

在心理学中，信号可以理解为刺激，噪音就是信号所伴随的背景。

编辑本段信号检测论是一种把通讯系统中雷达探测信号的原理用于人的感知觉研究的理论。

它是特纳和斯威茨在1954年引入心理学的。

信号检测论的提出改变了传统上人们对感觉阈限的理解。

20世纪50年代，实验心理学受行为主义思想的支配，以刺激一反应（S—R）为核心，认为所有的行为都是机体对刺激的反应，心理学只能研究那些能够直接观察和记录的外显反应，心理科学的任务就是把刺激与特定刺激有关的行为鉴别出来，发现对S—R联结可能有影响的各种因素。

起先，行为主义原则似乎很管用，在感觉阈限、语词学习、比较心理等研究领域取得了一系列重要成果。

可是，心理学家们渐渐意识到，人类行为是一系列复杂事件的最终表现，远不是用简单的S—R就能说清楚的。

这一改变很大程度上要归因于信号检测论的发展。

信号检测论把外部世界的刺激能量作为主体探测的对象，把人的内部表征看作是外部刺激与以前经验共同作用的结果。

它的引入为假设刺激能量与内部表征间的关系提供了必要的联系环节。

编辑本段信号检测论发展起来是从电子工程学和统计决策论中发展起来的。

第二次世界大战期间，工程师们创立了一种用来说明雷达设备搜寻探测飞行物过程的信号检测理论。

特纳和斯威茨认为，雷达系统搜索目标的过程和人类寻找信号进行反应的过程是类似的。

信号检测论摘要 本实验运用信号检测论检测被试的判断标准并通过ROC 曲线测出被试对信号和噪音的感受性水平。

关键词：信号检测论，感受性水平，判断标准，ROC 曲线 前言信号检测论(简称SDT)，是一种心理物理法，是关于人们在不确定的情况下如何作出决定的理论。

它是信息论的一个重要分支。

在SDT 实验中通常把刺激变量看作是信号，把刺激中的随机物理变化或感知处理信息中的随机变化看作是噪音。

常以SN(信号加噪音)表示信号，以N 表示噪音。

这个理论是1954年由坦纳与斯维茨引进到心理学实验当中的，在对感受性的测量上获得了成功。

至今已形成了一些基本方法，如有无法、评价法及迫选法等等。

它不仅在感受性的测量上，而且在记忆等研究中也起到了作用。

信号检测论（SDT ）用于实验时，把正确的反应分为“击中”、“正确否定”，把错误反应分为“漏报”、”虚报“。

对击中率P （y/SN ）、虚报率P （y/N ）的计算公式如下：反 应Y N刺SN激NP(y/SN) = f1/(f1+f2) P(y/N) = f3/(f3+f4)击中率和漏报率之间是有固定关系的。

我们可以通过已知的数据去推测判断标准。

在信号检测论中，判断标准β是由下面的公式来计算的：[ β = 击中率的纵坐标/虚报率的纵坐标 ]信号检测论中感受性的高低是如何表示的呢？由于信号检测论实验不仅测被试对信号刺激的反应，而且也测被试对噪音刺激的反应。

如果被试的感受性高即分辨能力强，实验结果会得到两个相距较远的正态曲线。

如果被试的感受性低，实验就会得到两个相距较近的正态曲线。

因此，我们可以用两个正态曲线的距离即两个正态分配的平均数之间的距离来作为感受性的指标。

为了便于在不同条件下进行比较，这个距离是以标准差为单位来表示的，长称d ’。

公式如下[ d ’ = Z N － Z SN ] 当判断标准发生变化时，击中率和虚报率都相应的发生变化，但分辨能力d ’保持不变，操作者特征曲线（ROC 曲线）又叫等感受性曲线。

第一章绪论1.1弱信号检测的发展随着科学技术的发展，被噪声掩盖的各种微弱信号的检测（如弱光小位移微振动微应变微温差低电平电压等）越来越受到人们的重视，因而逐渐形成微弱信号检测（Weak Signal Detection，简称WSD）这门新兴的分支技术学科，应用范围遍及光电磁声热生物力学地质环保医学激光材料等领域。

近30年来在研究宏观和微观世界的过程中，科学工作者们不断开发出能把淹没在噪声中的大量有用信息检测出来的理论和方法，通过不断的系统化完整化，从而形成了一门新的微弱信号检测的学科分支，其仪器已成为现在科学研究中不可缺少的设备。

1.2弱信号检测的意思目的与意义微弱信号检测技术是采用电子学信息论计算机及物理学的方法，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点与相关性，检测被噪声淹没的微弱有用信号。

微弱信号检测的目的是从强噪声中提取有用的信号，或用一些新技术和新方法来提高检测系统输出信号的信噪比。

对微弱信号检测理论的研究。

探索新的微弱信号检测方法，研制新的微弱信号检测设备是目前检测技术领域的一个热点。

微弱信号检测技术在许多领域具有广泛的应用，例如物理学、化学、电化学、生物医学、天文学、地学、磁学等。

微弱信号检测所针对的检测对象，是用常规和传统方法不能检测到的微弱量，例如弱光、弱磁、弱声、小位移、微流量、微振动、微温差、微压差以及微电导、微电流、微电压等。

随着科学技术的发展，对微弱信号进行检测的需要日益迫切，可以说，微弱信号检测是发展高新技术，探索及发现新的自然规律的重要手段，对推动相关领域的发展具有重要意义。

1.3提高信号检测灵敏度的两种基本方法检测有用微弱信号的困难并不在于信号的微笑，而主要在于信号的不干净，被噪声污染了淹没了。

所以，将有用信号从强背景噪声下检测出来的关键是设法抑制噪声。

提高信号检测灵敏度或抑制或降低噪声的基本方法有以下两种：一是从传感器及放大器入手，降低它们的固有噪声水平，研制和设计低噪声放大器，例如，对直流信号采用斩波稳零运算放大器（如F7650），对交流信号采用OP系列运算放大器等：二是分析噪声产生的原因和规律，以及被测信号的特征，采用适当的技术手段和方法，把有用信号从噪声中提取出来，即研究其检测方法。

讨论总结：1，传统的阈限理论与信号检测论有什么区别？传统的阈限理论认为：作用于感受器的一个刺激，引起一系列的冲动，在大脑中枢发生了一种效应。

这种中枢效应的大小随着刺激的强度、感受器的感受性、传导通路的效率和中枢的活动水平背景而发生变化。

如果在一次实验中，中枢效应的大一定的最小量，中枢将发生冲动，产生一个“我感受到了”，引起在这个最小效应的刺激，就是这一次实验中的刺激阈限。

阈限可以分为绝对阈限和差别阈限。

绝对阈限指刚好能够引起心理感受的刺激大小，差别阈限指刚好能引起差别感受的刺激变化量。

信号检测论认为：被试觉察信号有一个中枢神经效应，这种效应随着每次刺激呈现，时刻都在变化。

信号总是在噪音的背景上产生，信号的影响和噪音的影响都被假定为正态分布，这两种分布由于信号比噪音微弱增强，故有一定的重叠，而使信号和噪音都可能引起同一程度的感觉。

人类觉察是建立在统计决策论的基础上，就是说被试选择一个标准，当给定的刺激超过这个标准时，被试就反应“有”，否则则说“无”，而这个反应标准的选择由很多因素（如感受性、利益得失、动机、态度、情绪、意志等）决定。

这个反应标准就是阈限，而不是感觉本身的东西，它包括两个独立的指标：一个是反应偏向，可用似然比（B）或报告标准（C）来表示，它包括利益得失、动机、态度等因素；另一个感觉辨别力指标（d’），表示感知能力。

2，两者在测定阈限的方法上有什么不同？（1）传统心理物理学测定阈限的方法① 极限法：它是一种测定阈限的直接方法，又称最小可觉差法、序列探索法，极限法的特点是：将刺激按递增或递减系列的方式，以间隔相等的小步变化，寻求从一种反应到另一种反应的瞬时转换点或阈限的位置。

极限法适用于测定绝对绝对阈限和差别阈限。

极限法测定绝对阈限和差别阈限时需要注意：递增、递减系列要保持数量一致，以抵消习惯误差和期望误差；每一系列的起始位置要随机变化，以防止被试形成预测；递增递减系列交替排列，以平衡练习误差和疲劳误差。

摘自：北京化工大学 何宾 《FPGA数字信号处理原理及实现》本文只包括“信号检测理论” “噪声及其处理” “数字信号及处理”3小节，全本请参见：/html/10‐04/4155221103381dfe.shtml第1节 信号检测理论1.1 信号检测理论事件A不会发生的概率是P(A)=0，时间B一定发生的概率是P(B)=1。

因此，概率0是不发生，概率1是一定发生。

任何事件的发生可用概率0到1来表示，如：扔一枚硬币，出现正面的概率和出现反面的概率P(H)=0.5，P(T)=0.5。

1.1.1 概率的柱状图表示柱状图表示信号发生的概率。

为数字信号生成直方图，可以打乱全部信号的采样值。

如从最小值到最大值分成许多等间隔小格子，把信号放入其中并计算输出信号在不同格子的数目或信号范围。

图8.1给出了随时间变化的信号用柱状图的表示。

对随机信号的45个采样值，通过计算以下区间{–3→–2}，{–2→–1}，{–1→0}，{0→1}，{1→2}，{2→3}内的个数来产生信号在柱状图上的分布，这个信号是不确定的，但可以从直方图中获得平均（或典型）样本值信号的一些信息。

例如：选一样本x，在{‐1→1}的概率是50%，因而概率P(.)可以用下式表示为：使用信号的更多采样值，则柱状图更接近信号的概率密度函数（PDF）。

如图8.2所示：可以归一化这个直方图，图8.2(b)是规模直方图，为了产生一个真正的概率密度，一个区间的宽度是1，如8.2(c)图所示，在图8.2(b)的1000个样本中，有8个区间，则下一个样本在区间‐2到2的概率可用下式表示为：式中：在x=‐2(1),…,2，步长为1，从‐2开始求和的值，如‐2，‐1，0等。

.1.1.2 概率密度函数1.1.2.1高斯概率密度函数高斯概率密度函数（PDF）是众所周知的钟形曲线，如图8.3所示。

其概率密度函数用下式表示为:高斯曲线能用它的特征来表示：均值μ和方差σ2。

从高斯概率密度函数PDF可以看出，大多数值在期望值附近。

第1章 信号检测与估计概论信号检测与估计概论教 材：信号检测与估计(张立毅) 信号检测与估计理论（赵树杰 ） 清华大学出版社引言 信号处理发展概况 信号的随机性及其统计处理方法 信号检测与估计理论概述 内容编排和建议一种抓彩的游戏：四种颜色的彩色玻璃球，如黄、红、黑、白，每 种五粒，四种二十粒。

把二十粒球放到一个口袋里，游玩者信手去 抓十粒。

如果你抓出来的玻璃球四种颜色的比例是5500，你将得到重奖； 如果你抓出来的玻璃球四种颜色的比例是5410或5320，奖品可观； 如果你抓出来的玻璃球四种颜色的比例是4411，是小奖品； 如果你抓出来的玻璃球四种颜色的比例是4321，罚一元人民币； 如果你抓出来的玻璃球四种颜色的比例是3322，罚五元人民币。

乍一看，得奖的机会似乎比受罚的机会更多； 结果是：十个人里至少有七个人抓出来的是3322，可能有一两个人 是4321，至于得重奖的，理论上是可能的，实际上却几乎是不可能。

其实，这只是一个最简单的概率或者叫做几率的问题，能够算得出 来，很精确的。

四种颜色的球的数量不会相差太远。

1.1 引言信号检测与估计的概念、理论和方法是 随机信号统计处理的理论基础； 本节主要内容：发展概况、待处理信号 的随机性及其统计处理方法的含义 统计信号处理的理论基础：信号的统计 检测理论、估计理论、滤波理论等1.2 信号处理发展概况 理论• 检测 • 估计 • 滤波 • 多维阵列信号处理 • 自适应信号处理 • 自适应滤波1.2 信号处理发展概况面临很多新的应用问题。

如我国载人航空航天中的应用 (原位探测、信息处理，对我国 科技工作者而言，将是全新的 领域；火星探测、嫦娥工程、 夸父计划)应用• 电子信息 • 自动化工程 • 模式识别 • 生物医学工程 • 航空航天 • 地球物理1.2 信号处理发展概况类别 比较 时域背景特性 平稳随机过程、高斯分布 平稳、非平稳随机过程； 高斯、非高斯分布 频域背景特性 均匀功率谱、高斯功率谱 信号特性 系统特性 数学工具 实现技术 简单信号，编码信号 均匀、非均匀功率谱； 高斯、非高斯功率谱 编码信号，扩频信号， 线性、非线性调频信号 线性时不变最小相位系统 线性时不变，时变系统， 非线性时变、非最小相位系统 随机过程、傅立叶变换 随机过程、傅立叶变换、高阶谱高 阶累积量、时频分析、小波变换 统计信号处理基础 现代信号处理1.2 信号处理发展概况统计信号处理基础所研究的内容是现代信号处理必备的理论 基础知识，二者没有严格的界限 信号统计理论研究的日益进步和完善，以及信号处理技术应 用领域的不断深入和扩展，使信号处理，特别是随机信号处 理得到人们十分广泛的重视 随机信号属于随机过程，应采用数学上的统计方法进行处理 因此，从事信号处理的科技工作者应有的素质： • • • • 建立随机信号统计处理方法的基本概念 掌握扎实的统计信号处理的理论基础 具有运用统计的方法研究分析随机信号处理问题的能力 具有运用统计的方法解决工程技术问题的能力1.3 信号的随机性及统计处理方法采用现代模拟器件为主的模拟处理技术 采用DSP为核心器件的数字处理技术图1.1 无线通信系统原理框图11.3 信号的随机性及统计处理方法一般来说，信息系统的主要工作是信号的产生、发射、传 输、接收和处理，以实现信息传输的目的，这样的系统通 常称为电子信息系统 对于电子信息系统，最主要的要求是高速率和高准确性 前者要求系统传输信号的效率尽可能高，主要决定于信号 的波形设计和频率选择 后者要求系统在传输信息过程中，尽可能少出错，减小信 号波形的失真度，这就是系统的抗干扰能力问题。

非周期信号的傅里叶变换：
常用的傅里叶变换：
窄带的实信号x(t)可以表示为: x(t)=a(t)cos(ω0t+φ(t))
任意一个实信号x(t)的解析信号Sa(t)定义为：
•白噪声下的最优线性处理–处理模型：
最优处理标准：
优化准则：用线性滤波器滤除干扰，使某一时刻t0的输出信噪比最大，以便最好地判决信号有无——线性处理下的最大信噪比优化准则（North滤波问题）
•假设检验
–处理模型和假设：
P(H0)、P(H1)是在统计检验前就已经知道，称为先验概率。

最大后验概率准则：
定义：
若观测信号的采样或它的似然比处于R1范围内，则判决信号存在，以D1 表示。

若观测信号的采样或它的似然比处于R0范围内，则判决信号不存在，以D0 表示。

第一类错误：信号不存在时(H0条件下)，判为信号存在(D1)，在雷达信号检测中，这种错误为虚警，用虚警概率Pf或α度量
第二类错误：信号存在时(H1条件下)，判为信号不存在(D0)，在雷达信号检测中，这种错误为漏警，用漏警概率度量
1.虚警
2.漏警
3.发现概率
平均错误概率：
• 1.贝叶斯准则－最小平均风险准则
2.最小错误概率准则
3.聂曼－皮尔逊准则
原理：对于给定的虚警概率：a=Pf=P(D1|H0),求得聂曼门限lNP，使得检测概率PD=P(D1|H1)最大
• 4.极小极大准则
•使用极小极大准则的前提条件：
此时贝叶斯总平均风险最大
离散形式的似然比：
连续形式的似然比
用匹配滤波器实现最优化处理器
相干相移键控。

信号检测论贝塔值越高摘要：一、信号检测论概述二、贝塔值的含义与作用三、贝塔值越高的影响四、结论正文：一、信号检测论概述信号检测论是一种用于评估人类或动物在特定条件下对刺激的感知能力的理论。

这一理论主要关注观察者对刺激的辨别力和判断标准。

在信号检测论中，辨别力指标d"是观察者对刺激的感受性的度量，而判断标准则是观察者反应偏向的度量，常用似然比标准或报告标准C 来进行衡量。

二、贝塔值的含义与作用贝塔值（β）是信号检测论中的一个重要参数，它表示观察者对某一刺激的判断标准。

贝塔值越高，观察者对刺激的反应偏向程度就越大，即更倾向于认为刺激是信号而非噪声。

贝塔值的作用主要体现在以下几个方面：1.衡量观察者的判断偏向：贝塔值越高，观察者越倾向于认为刺激是信号，这种偏向有助于提高信号检测的准确性。

2.影响信号检测的灵敏度：贝塔值越高，观察者对信号的判断灵敏度就越高，可以更快地识别出信号。

3.影响信号检测的特异性：贝塔值越高，观察者对信号的判断特异性就越高，能够有效地区分信号和噪声。

三、贝塔值越高的影响当贝塔值越高时，观察者对信号的判断能力更强，可以更快、更准确地识别出信号。

在实际应用中，这有助于提高各种检测系统的性能，例如雷达、生物传感器等。

同时，贝塔值越高，观察者对噪声的干扰能力也越强，可以有效地降低噪声对信号检测的影响，提高信号检测的信噪比。

然而，贝塔值过高也可能导致一些负面影响。

例如，过高的贝塔值可能导致观察者对信号的判断过于严格，从而降低信号检测的灵敏度。

此外，过高的贝塔值还可能导致观察者对噪声过度敏感，容易出现误判，影响信号检测的准确性。

四、结论总之，贝塔值是信号检测论中一个重要的参数，它反映了观察者对刺激的判断偏向程度。

贝塔值越高，观察者对信号的判断能力越强，信号检测的灵敏度和特异性也越高。

然而，过高的贝塔值可能导致一些负面影响，如降低信号检测的灵敏度或影响判断的准确性。