高二下学期综合测试题(三)选修2-2及2-3前两章

人教版高二数学选修2-3第二、三章测试卷班级_____________座号________________姓名________________成绩_______________参考公式1.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.841．从6名选手中，选取4个人参加奥林匹克竞赛，其中某甲被选中的概率是（ ）A 、13B 、12C 、23D 、352.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（ ）A 32B 16C 8D 20 3.实验测得四组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是( ) A.y ∧=x ＋1 B. y ∧=x+2 C. y ∧=2x+1 D. y ∧=x-14.设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么（ ） A n=3 B n=4 C n=9 D n=105．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是( )1536.0.A 1808.0.B 5632.0.C 9728.0.D6.在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是（ ） A31 B 52C65D 32 8．右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。

若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）（A ）454 （B ）361（C ）154 （D ）158二、填空题 (每小题5分，共30分)9.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到84.430202723)7102013(502≈⨯⨯⨯⨯-⨯=k因为K 2≥3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为 。

高二数学选修2-2、2-3期末检测试题命题：伊宏斌 命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ．x y = B ．0=y C ．1+=x y D ．1+-=x y 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( )A ．256B ．0C ．1-D ．13．定义运算a cad bc b d =-，则ii 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12-i D ．22+i4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的：()1676913818487808550741323458=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,十六进制数1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数()21101转换成十进制数，这个十进制数是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则2)1(1)(++=n n n f 。

”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++ 。

( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2)1(+k k6.记函数)()2(x fy =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =,再对)('x f y =求导得)()2(x fy =,下列函数中满足)()()2(x f x f=的是（ ）A.x x f =)(B.x x f sin )(=C.xe xf =)( D.x x f ln )(=7．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 ( )A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 8．如图，蚂蚁从A 沿着长方体的棱以 的方向行走至B ，不同的行走路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条9、等比数列{a }n 中，120143,9a a ==，122014(x)(x a )(x a )....(x )f x a =---，'(x)f 为函数(x)f 的导函数，则'(0)f =（ ）A 0B 10073C 20163D 3021310.设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，由M 到M 上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )A .120B .240C .710 D .360B第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共25分） 11（15）如果5025001250(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，那么1349a a a +++= ．12．设复数z 满足条件1z =，那么z i 取最大值时的复数z 为 ． 13，02321=+-a a a 0334321=-+-a a a a类似上三行,第四行的结论为__________________________。

2014-2015学年高二数学下期选修2-2、2-3综合试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）1．已知i 为虚数单位，复数1iz i=-+，则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．12i - B ．12 C ．12- D ．12i2．已知a 1、a 2∈(1，＋∞)，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．不确定3．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 4．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图，则有（ ）A ．'()()f x g x =B ．'()()g x f x =C ．''()()f x g x =D ．()()g x f x = 5．设随机变量ξ～B (2，p )，η＝2ξ－1，若P (η≥1)＝6581，则E (ξ)＝( )A ．59B ．89C ．109D ．16816．△ABC 满足AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义f (M )＝(x ，y ，z )，其中x 、y 、z 分别表示△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(x ，y ，12)，则1x ＋4y的最小值为( )A ．9B ．8C ．18D ．167．观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，… 所得的结果都是24的倍数，由此推测可有（ ）A ．其中包含等式：152－1＝224B ．一般式是：(2n ＋3)2－1＝4(n ＋1)(n ＋2)C ．其中包含等式1012－1＝10 200D ．24的倍数加1必是某一质数的完全平方 8）ABCD9．设函数()(sin cos )(040)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 各极小值点之和为（ ）A ．380πB ．800πC ．420πD ．820π10．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种 11．已知函数()2,()ln(1)fx x ax g x b a x =-=+-，存在实数(1)a a ≥，使()yf x =的图象与()y g x =的图象无公共点，则实数b 的取值范围（ ）A ．[1,)+∞B ．3[1,ln 2)4+ C ．3[ln 2,)4++∞ D ．3(,ln 2)4-∞+ 12．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()()()f x f x xf x ''+<恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =, 1)c f =则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a << 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）13．()25212(1)x x +-的展开式中41x 的系数是 .14．函数21()ln 2(0)2f x x ax x a =--<存在单调递减区间，则a 的取值范围是15．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于 ． 16．给出下列命题：①用反证法证明命题“设,,a b c 为实数，且0,0,a b c ab bc ca ++>++>则0,0,0a b c >>>”时，要给出的假设是：,,a b c 都不是正数； ②若函数()()2fx x x a =+在2x =处取得极大值，则2a =-或-6；③用数学归纳法证明*1111...(1,)2321n n n n N ++++<>∈-，在验证2n =成立时，不等式的左边是11123++； ④数列{}n a 的前n 项和c S n n -=3，则1=c 是数列{}n a 成等比数列的充分必要条件；三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）若非零实数,m n 满足20m n +=，且在二项式12()m n ax bx +（a>0，b >0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项； （2）求ab的取值范围．(第4题)18．（本小题满分12分）观察下表：1，2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15， ……问：（1）此表第n 行的各个数之和是多少？ （1）2012是第几行的第几个数？（2）是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分10分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：)(()(22c b a bc ad n K +-=20．（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （1） 求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（2）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.21．（本小题满分12分）（本小题满分12分）设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；22．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()f x ax x x a R =+∈ （1）当0=a 时，求)(x f 的最小值；（2）在区间(1,2)内任取两个实数,()p q p q ≠,若不等式(1)(1)f p f q p q+-+-1>恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：333ln 2ln 3ln 4234+++...3ln n n+<1e （其中*1,, 2.71828...n n N e >∈=）.高二下期理科数学选修2-2、2-3综合试卷13. -10 14.(-1，0) 15.10 16.③④17.(1)解：设12112()()rm r n rr T C ax bx -+=为常数项，则可由(12)020,0,0m r nr m n m n -+=+=≠≠⎧⎨⎩ …………4分解得 r=4，所以常数项是第5项． ………………6分 （2）由只有常数项为最大项且a >0，b >0，可得48457512124843931212C a b C a b C a b C a b >>⎧⎨⎩ …………10分解得 8954b a<<…………12分18.解：∵第n ＋1行的第1个数是2n ，∴第n 行的最后一个数是2n －1.(1)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n －1)＝n －1＋2n －n －12＝3·22n －3－2n －2.(2)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(3)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n－310－4－1－2n －210－2－1＝22n ＋17－22n －3－2n＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.19.(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝3－75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 20.当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分 （2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C Pξ,8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分21.函数()f x 的定义域为(0,)+∞， (Ⅰ)当1a =时，()ln 1f x x x =--，∴()f x 在1x =处的切线方程为2y =-(Ⅱ，)(x f 的定义域为),0(+∞。

高二理科数学（选修2-2、2-3）综合测试题班级___________ 姓名__________________ 得分___________一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 1．复数i i4321-+的共轭复数为( ) A. i 5251+- , B. i 5251--, C. i 5251+ D.i 5251-2.在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( )A ．23397C C B.2332397397C C +C C C.514100397C -C C D.5510097C -C3.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为( )A.72B.48C.24D.604．若0()2f x '=,则0lim→k 00()()2f x k f x k+-=( )A ．2 B.1 C. 12D. 无法确定5.101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )（A ）第5项 （B ）第6项 （C ）第5项或第6项 （D ）不存在6.袋中有5个红球，3个白球，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是红球，则第2次抽出的是白球的概率为( )（A ）37 （B ）38 （C ）47 （D ）127.曲线3sin (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为( )A . 1B . 2C . 52D. 38. 4名学生被中大、华工、华师录取，若每所大学至少要录取1名，则不同的录取方法共有( ) A ．72种 B ．24种 C ．36种 D ．12种 9．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )（A ）12 (B)512(C)14 (D)16 10.已知随机量X 服从正态分布N （3,1），且P （2≤X ≤4）=0.6826，则P(X ＞4)= ( )。

选修2-2，2-3综合检测一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i 答案.A z2－2z ＝z(z －2) ＝(1＋2i)(2i －1) ＝－2－1＝－3.2．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3)答案解析 B∵f ′(x)＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M(－1，－3)．3.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的两个数之和为偶数”,事件B=“取到的两个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( ) (A)18 (B)14(C)25 (D)12解析:P(B|A)=n(AB)n(A)=14,故选B.4．满足条件|z －1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆 D ．椭圆答案．C 本题中|z －1|表示点Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．5．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3.∵f(x)在x ＝－3时取得极值， 即f ′(－3)＝0，∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.6．函数y＝ln1|x＋1|的大致图象为( )答案 D解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x>－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有（）A.20种B.30种C.40种D.60种解析分类解决.甲排周一，乙、丙只能在周二至周五这4天中选两天进行安排，有A24＝12（种）方法；甲排周二，乙、丙只能在周三至周五这3天中选两天安排，有A23＝6（种）方法；甲排周三，乙、丙只能安排在周四和周五，有A22＝2（种）方法.由分类加法计数原理，得共有12＋6＋2＝20（种）方法.答案 A8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名学生至少一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（）A.360B.520C.600D.720解析根据题意，分两种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480（种）情况；若甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240（种）情况，其中甲、乙相邻的有C22·C25·A33·A22＝120（种）情况.故不同的发言顺序种数为480＋240－120＝600.答案 C9.已知（1＋x ）10＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 10（x －1）10，则a 8等于（ ） A.－180B.180C.45D.－45解析 本题是关于二项展开式的系数问题，注意到展开式右边的特点，可将1＋x 写成x －1＋2，再展开（1＋x ）10＝（2＋x －1）10＝C 010210＋C 11029（x －1）＋C 21028（x －1）2＋…＋C 81022（x －1）8＋C 9102（x －1）9＋C 1010（x －1）10，可得a 8＝22C 810＝180. 答案 B10.若(1－2x )2 020＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 020x 2 020(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020的值为( ) A.2B.0C.－1D.－2解析 令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝－1. 故选C.11.某次数学考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的方差为（ ）. （A ）48 （B ）9.6 （C ）1.92 （D ）24 解析:设小王选对个数为X,得分为η=5X, 则X ～B(12,0.8),D(X)=np(1-p)=12×0.8×0.2=1.92, D(η)=D(5X)=25D(X)=25×1.92=48. 答案:4812．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．(0,3]D ．答案 D解析 把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值． 由题意知f ′(x)≥0对任意的x ∈[21，＋∞)恒成立，又f ′(x)＝2x ＋a －21x ， 所以2x ＋a －21x ≥0对任意的x ∈[21，＋∞)恒成立， 分离参数得a ≥21x －2x ， 若满足题意，需a ≥(21x－2x)max. 令h(x)＝21x －2x ，x ∈[21，＋∞) 因为h ′(x)＝－31x－2， 所以当x ∈[21，＋∞)时，h ′(x)＜0， 即h(x)在[21，＋∞)上单调递减， 所以h(x)＜h(21)＝3，故a ≥3. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.现有语文、数学、英语书各1本,把它们随机发给甲、乙、丙三个人,且每人都得到1本书,则甲得不到语文书的概率为________ .解析:语文、数学、英语书各1本,随机发给甲、乙、丙三个人,每人都得到1本书,共有A 33=6种分法,甲得不到语文书的分法有C 21A 22=4种,根据古典概型概率公式可得,甲得不到语文书的概率为46=23. 答案:2314．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________ 答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15)15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 【答案】0.18 ；【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63⨯0.5⨯0.5⨯2=0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4⨯0.62⨯0.52⨯2=0.072综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q=0.108+0.072=0.1816．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案 4，－11解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f(1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10， 联立方程组，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11.三、解答题（本大题共70分）17（10分).某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X 的分布列和期望. 解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)=56×45×34=12. (2)X 的可能取值是1,2,3,则P(X=1)=16, P(X=2)=56×15=16, P(X=3)=56×45=23, 所以X 的分布列为E （X ）=16 +26 +2=5218(12分).已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两种产品的质量,从中分别随机抽取了10件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),如图所示是测量数据的茎叶图.规定:当产品中的此种元素的含量不小于18毫克时,该产品为优等品.(1)试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率;(2)从乙产品抽取的10件样品中随机抽取3件,求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E(ξ);(3)从甲产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件,也从乙产品抽取的10件样品中有放回地随机抽取3件;抽到的优等品中,记“甲产品恰比乙产品多2件”为事件C,求事件C 的概率.解:(1)从甲产品抽取的10件样品中优等品有4件,优等品率为410 = 25, 从乙产品抽取的10件样品中优等品有5件,优等品率为510 = 12,故甲、乙两种产品的优等品率分别为25,12. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=C 53C 103 = 112, P(ξ=1)=C 51C 52C 103 = 512,P(ξ=2)=C 52C 51C 103 = 512, P(ξ=3)=C 53C 103 = 112.E(ξ)=0×112+1×512+2×512+3×112= 32.(3)抽到的优等品中,甲产品恰比乙产品多2件包括两种情况:“抽到的优等品数甲产品2件且乙产品0件”“抽到的优等品数甲产品3件且乙产品1件”,分别记为事件A,B,P(A)=C 32(25)2(1-25)×C 30(12)0(1-12)3=9250, P(B)=C 33(25)3×C 31×12×(1-12)2=3125,故抽到的优等品中,甲产品恰比乙产品多2件的概率为P(C)=P(A)+ P(B)=9250+3125 =350.20、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. ………………………10分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，m 的范围是(3,2)--.21（12分）.近两年双11网购受到广大市民的热捧.某网站为了答谢老顾客,在双11当天零点整,每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张,中奖率分别是23和13.每人限抽一次,100%中奖.小张、小王、小李、小赵四个金冠买家约定零点整抽奖.(1)试求这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率;(2)这4人中抽到200元,500元代金券的人数分别用X,Y 表示,记ξ=XY,求随机变量ξ的分布列与数学期望.解:(1)设“这4人中恰有i 人抽到500元代金券”为事件Ai,P(A1)=C 41(13)1(23)3=3281.(2)易知ξ可取0,3,4.P(ξ=0)=P(A0)+P(A4)=C 40(13)0(23)4+C 44(13)4(23)0=1681+181=1781, P(ξ=3)=P(A1)+P(A3)=C 41(13)1(23)3+C 43(13)3(23)1=3281+881=4081, P(ξ=4)=P(A2)=C 42(13)2(23)2=2481=827.E(ξ)=0×1781+3×4081+4×827=83. 22（12分）．设，．（1）令，求在内的极值；（2）求证：当时，恒有．（1）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：极小值所以，在处取得极小值．（2）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．。

章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5iB ．a ＝0⇔|a |＝0C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B 2．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A.12i B ．－12i C.12D ．－12【解析】 i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.【答案】 C 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2D ．1【解析】 由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z －＝a －b i ，∵z ＋z －＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z －)i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z －)i ＝2，∴z －z －＝2i ＝－2i.又z ＋z －＝2， ∴(z －z －)＋(z ＋z －)＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D 5．复数i1－i的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B.12＋12i C.12－12iD ．－12－12i【解析】 ∵i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，∴其共轭复数为－12－12i.故选D. 【答案】 D6．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4【解析】 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ， ∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p 1是假命题；∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题为p 2，p 4. 【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i【解析】 设D (x ，y )，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎨⎧2＋(－2)2＝3＋x2，3＋(－3)2＝2＋y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) 【导学号：60030086】A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】 要使复数不是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，∴解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)， 又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0， －b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0.所以复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】 因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误． 选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知i 是虚数单位，计算1－i(1＋i )2＝________. 【解析】 1－i(1＋i )2＝1－i1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i (1－i )－2i 2＝－i －12＝－12－12i.【答案】 －12－12i14．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________. 【解析】 a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 【答案】315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 【解析】 a ＋b i ＝11－7i1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8. 【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算： (1)(2＋2i)2(4＋5i)；(2)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016.【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝2＋2i－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008＝－1＋i ＋(－i)1 008 ＝－1＋i ＋1 ＝i.18．(本小题满分12分)已知关于x ，y的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值． 【解】 由①得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，－(6＋b )＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积. 【导学号：60030087】【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D .(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB →＝2 AP →，求点P 对应的复数． 【解】 (1)∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5， 即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)，∴AB →＝(2，－3－5)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －5)，若AB →＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量O Z →1，O Z →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求O Z →1·O Z →2的值．【解】 由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ， 则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小， 所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 所以O Z →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，O Z →2＝(－1,1)．所以O Z →1·O Z →2＝38×(－1)＋1×1＝58.。

数学·选修2－2(人教A 版)模块综合检测卷(三)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题中要求的)1．(2013·江门二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( )A ．－ 3 B.3i C ．±3i D ．±3解析：设复数z 的虚部是为b ，要求已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，故有1＋b 2＝4，解得b ＝±3，故选D. 答案：D2. 若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以复数的实部cos θ＋sin θ＞0，虚部sin θ－cos θ＜0，所以复数对应的点在第四象限．故选D.答案：D3．(2014·安徽池州一中月考)设x ∈R ，则“x 2＝x ”成立的充分不必要条件是( )A ．“x ＝1”B ．“x (x －1)＝0”C ．“x (x ＋1)＝0”D ．“x (x 2－1)＝0”解析：“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件； “x (x －1)＝0”是“x 2＝x ”的充要条件； “x (x ＋1)＝0” 是“x 2＝x ”的不充分不必要条件；“x (x 2－1)＝0”是“x 2＝x ”的不充分不必要条件．故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝axax 2－1，∴f ′(1)＝aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：B5．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )答案：B6．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3及x 轴所围成的曲边四边形的面积为( )A.116B.92C.12＋ln 3 D ．4－ln 3解析：由xy ＝1得y ＝1x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x得x D ＝1，所以曲边四边形的面积为x d x ＋1x d x ＝＋＝12＋ln 3，故选C.7．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1 000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)．要使旅行社的收费最多，旅游团组团人数为() A．130 B．140 C．150 D．160解析：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y，则依题意有f(x)＝1 000x－5(x－100)x(100≤x≤180)，令f′(x)＝1 500x－10x＝0得x ＝150.又f(100)＝100 000，f(150)＝112 500，f(180)＝108 000，所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112 500元，故选C.答案：C8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分；将正确答案填在题中的横线上)9．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：因为z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，所以z ＝1＋3i ，故z 的实部是1.答案：110．(2013·江西卷)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解析：设e x ＝t ，则x ＝ln t (t ＞0)，所以f (t )＝t ＋ln t ，所以f ′(t )＝1＋1t ，所以f ′(1)＝2.答案：211．(2013·潮州二模改编)计算⎰e 1⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x d x ＝________________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′＝3x ，(ln x )′＝1x ，＝32e 2－32－(ln e －ln 1)＝3e 2－52. 答案：3e 2－5212．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x . 令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)13．一同学在电脑中打出如下若干个圆，○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前100个圆中有________个●.解析：∴2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＜100，即n(n＋3)2＜100，则满足条件的n＝12.答案：1214．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝____________________.解析：观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2,4,8,16，…，与对应项的关系，显然满足2n，故f n(x)＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)设|z |＝1，且z ≠±i ，求证z1＋z 2为实数．证明：由条件可知z ≠0，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，x ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，且x 2＋y 2＝1，所以z 1＋z 2＝x ＋y i 1＋x 2－y 2＋2xy i ＝x ＋y i 2x 2＋2xy i＝12x ·x ＋y i x ＋y i ＝12x ∈R ，所以z 1＋z2为实数．16．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3, 并推测a n 的表达式；解析：由S n ＋a n ＝2n ＋1得a 1＝32， a 2＝74， a 3＝158，∴a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n .(2)用数学归纳法证明所得的结论．证明：①当n ＝1时， 左边＝S 1＋a 1＝32＋32＝3，右边＝2×1＋1＝3，∴结论成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2－12k ， 当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1, ∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k,∴2a k ＋1＝4－12k ， ∴a k ＋1＝2－12k ＋1成立．根据①②知对于任何自然数n ，结论成立．17．(本小题满分14分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；解析：解法一 f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2ax ·1ax ＋b ＝b ＋2，当且仅当ax ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1a 时，f (x )的最小值为b ＋2.解法二 f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a 时，f (x )取得最小值2＋b .(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程y ＝32x ，求a ，b 的值．解析：由题意得：f (1)＝32⇔a ＋1a ＋b ＝32， ①f ′(x )＝a 2x 2－1ax 2⇒f ′(1)＝a －1a ＝32， ② 由①②得：a ＝2，b ＝－1.18．(本小题满分14分)已知y ＝f (x )为定义在R 上奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2ln x －mx ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式；解析：因为y ＝f (x )为定义在R 上奇函数， 所以设x ∈(－∞，0)，有－x ∈(0，＋∞)，f (x )＝－f (－x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln (－x )＋mx ＋12x 2，即当x ∈(－∞，0)，f (x )＝－2ln(－x )－mx －12x 2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ln x －mx ＋12x 2，x ＞0，0，x ＝0，－2ln (－x )－mx －12x 2，x ＜0.(2)若f (x )在[1,2]上单调递减，求m 的取值范围．解析：因为f (x )在[1,2]上单调递减，所以f ′(x )＝2x －m ＋x ＝x 2－mx ＋2x≤0在[1,2]上恒成立． 设h (x )＝x 2－mx ＋2，则有⎩⎨⎧h (1)≤0，h (2)≤0，解得m ≥3.19．(2013·河北唐山市一模)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝mx ＋nex 在x ＝1处取得极值e －1.(1)求函数f (x )的解析式，并求f (x )的单调区间；解析：f ′(x )＝－mx ＋n －me x .依题意，f (1)＝e －1，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n )e －1＝e －1，－n e －1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝0.所以f (x )＝xe x ，f ′(x )＝x －1e x .当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减．(2)当x >0时，试证：f (1＋x )>f (1－x )．解析：设g (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝1＋x e 1＋x －1＋xe 1－x ＝(1＋x )e －x －(1－x )e xe .设h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ＝1＋xex －(1－x )e x， 则h ′(x )＝x (e 2x －1)e x>0，h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )>h (0)＝0，所以g (x )>0，从而f (1＋x )>f (1－x )．20．(本小题满分14分)数列{a n }满足a 1＝16,前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)求出a 2，a 3，a 4的值； 解析：(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解析：猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.所以k2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.所以a k ＋1＝k2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝kk (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3).当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).。

第二学期高二数学测试三一、填空题 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4. 5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则54321a a a a a ++++=_________．5. 6个同学排成一排，甲、乙不能站在一起，不同的排法有_________种6. 11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有______________种不同选法（用数字作答）．7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，AB OC OA ,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么BC 表示的复数为 . 13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分） 先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)在n（1+x ）的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等．（1）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项；（2）求2(2)nx x +-展开式中含2x 项的系数．20 . (本小题16分)已知33331111()1234f n n =++++，231()22g n n=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. -31；5. 480；6.185；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.3；12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分（Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； (8)分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法， 而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． (14)分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分19. 解：由已知得246n n C C n =⇒= ………………………3分（1）621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项261231661()()(1)r r r r r rr T C x C xx --+=-=- 当3r =时，展开式中的系数最小，即3520T x =-为展开式中的系数最小的项； 当2r =或4时，展开式中的系数最大，即63515,15T x T ==为展开式中的系数最大的项 ………………………9分（2）26(2)x x +-展开式中含2x 项的系数为1522466(2)1(2)48C C ⨯-+⨯⨯-=．………………………15分20. （1） 当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =；当2n =时，9(2)8f =，11(2)8g =，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，251(3)216f =，312(3)216g =，所以(3)(3)f g <．………3分（2） 由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明： ①当1,2,3n =时，不等式显然成立．②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即33332111131123422k k++++<-， 那么，当1n k =+时， 3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+<-+++，因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k+----=-=<++++， 所以231(1)(1)22(1)f k g k k +<-=++． 由①、②可知，对一切*n ∈N ，都有()()f n g n ≤成立．………………10分。

2012—2013学年高二下学期期中考试卷数学（理科）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内．每题5分，共计50分．）1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，反设正确的是（ ）。

A 假设三内角都不大于60度； B 假设三内角都大于60度；C 假设三内角至多有一个大于60度；D 假设三内角至多有两个大于60度。

2．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为（ ）A.4103418C C C B 4101438C C C C 4103418C C C D 4101238C C C 3．某高校“统计初步”课程的教师为了判断主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课程的一些学生的情况进行独立性检验，得到K 2≈4.844，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）．A ．95%B ．97.5%C ．5%D ．2.5%4．设随机变量X ～N （2，4），则D （12X ）的值等于 ( ) A.1 B.2 C. 12D.45、若p ，q =，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ） A 、p q > B 、p q = C 、p q < D 、由a 的取值确定6.5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（ ） Ａ.72 Ｂ.48 Ｃ.24 Ｄ.607. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6。

现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ）A. 0.9B.0.6C.0.54D.238. 若88776622108)1()1()1(....)1()1()1(-+-+-++-+-+=+x a x a x a x a x a a x则=6a ( )A 56B .112C .28D - 569.正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005Ｂ．22006 Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯10.已知nx x 223)(+的展开式的系数和比nx )13(-的展开式的系数和大992，求21(2)n x x-的展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）。

高二数学综合考试试题（三）（时间：120分 满分：150分钟）河北临城中学 赵素敏一、选择题: (每小题5分,共60分)1、复数1i1.1i z -+=-+在复平面内，z 所对应的点在（ ）2、设复数z 满足关系||2i z z +=+，那么z 等于（ ）A.3i 4+B.3i 4-C.3i 4-+D.3i 4--3由曲线2y x =与y =的边界所围成区域的面积为（ ）A.13B.23C.1D.164、在数学归纳法的递推性证明中由假设k n =时成立推导1+=k n 时成立时12131211)(-++++=n n f 增加的项数是（ ）A.1B.12+kC.12-kD.k25、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

A.假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角都大于60度； 6060度.6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( )A.5B.52C.53D.07、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-8．．连续抛掷一枚骰子两次，得到的点数依次记为（m ，n ），则点（m ，n ）恰能落在不等式组|4|23x y y +-<⎧⎨≤⎩所表示的平面区域内的概率为（ ） A ．14 B ．29 C ．736 D ．169、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的是（ ）A.模型1的相关指数R 2为0.78B. 模型2的相关指数R 2为C.模型3的相关指数R 2为0.61D. 模型4的相关指数R 2为10、下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒． B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n aa a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 11. 5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-在的展开式中，含3x 的项的系数（ ）A.7412.已知函数32()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点（1,0），则()f x 的极值为 （ ）427，极小值为0 B.极大值为0，极小值为427 427-，极大值为0 D. 极大值为427-，极小值为0二、填空题: (每小题5分,共20分) 13、若,)2(i b ii a -=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则____22=+b a .14、（1）⎰321dx x的值为__________.（2）01-⎰(x 2＋2 x ＋1)dx ＝_________________．15、若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_____．16、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，那么第2次也抽到A 的概率为_______________________三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。