[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编4.doc

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（常微分方程）-试卷4(总分52, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.方程y′sinχ＝ylny，满足条件y()＝e的特解是SSS_SINGLE_SELABe sinχ．CD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：这是变量分离的方程．因此选D．2.设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是SSS_SINGLE_SEL Ay＝C1χ 2＋C2χ＋C3．Bχ 2＋y 2＝C．Cy＝ln(C1χ)＋ln(C1sinχ)．Dy＝C1 sin 2χ＋C2cos 2χ．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2. 填空题1.下列微分方程中(填序号)_______是线性微分方程．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：②、③．2.已知(χ－1)y〞－χy′＋y＝0的一个解是y1＝χ，又知＝e χ－(χ 2＋χ＋1)，y *＝－χ 2－1均是(χ－1)y〞－χy′＋y＝(χ－1) 2的解，则此方程的通解是y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝C1χ＋C2e χ－χ 2－1，其中C1，C2为任意常数．3.已知方程＝0的两个解y1＝e χ，y2＝χ，则该方程满足初值y(0)＝1，y′(0)＝2的解y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝e χ＋χ．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.求下列方程的通解：(Ⅰ)(χ－2)dy＝[y＋2(χ－2) 3]dχ；(Ⅱ)y 2dχ＝(χ＋y 2)dy；(Ⅲ)(3y－7χ)dχ＋(7y－3χ)dy＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)原方程改写成＝2(χ－2) 2．(一阶线性方程) ，两边同乘μ＝＝2(χ－2)．积分得＝(χ－2) 2＋C．通解y＝(χ－2) 3＋C(χ－2)，其中C为任意常数．(Ⅱ)原方程改写成(以y为自变量，是一阶线性的) 两边同乘μ＝＝e y．积分得＝y y＋C 通解χ＝，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成分离变量得积分得通解为(χ－y) 2(χ＋y) 5＝C，其中C为任意常数．2.求下列方程的通解或特解：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ 2－4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y *＝aχ 2＋bχ＋c，代入方程得2a－4(aχ 2＋bχ＋c)＝4χ 2．－4a＝4，b＝0，2a－4c＝0 a＝－，c＝－．得y *＝－χ 2－．则通解为y＝C1 e 2χ＋C2e －2χ－χ 2－．由初值y(0)＝C1＋C2－，y′(0)＝2C1－2C2＝2，因此得特解y＝(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ 2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝－1，λ2＝－2．由于非齐次项是e －χcosχ；－1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y *＝e －χ(acosχ＋bsinχ)．代入原方程比较等式两端e －χcosχ与e －χsinχ的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C1 e －χ＋C2e －2χ＋ e －χ(sinχ－cosχ)，其中C1，C2为任意常数．3.求方程y〞＋2my′＋n 2 y＝0的通解；又设y＝y(χ)是满足初始条件y(0)＝a，y′(0)＝b的特解，求∫＋∞y(χ)dχ，其中，m＞n＞0，a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：特征方程λ 2＋2mλ＋n 2＝0，特征根λ＝－m± ，通解为y＝注意：指数均为负的将方程两边积分4.设y＝y(χ)在[0，＋∞)内可导，且在χ＞0处的增量△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)满足△y(1＋△y)＝＋α，其中当△χ→0时α是△χ的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△χ→0即得＋1．从而y＝y(χ)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘μ＝，两边积分得＝C＋ln(4＋χ)y＝C(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)．令χ＝0，y＝2可确定常数C＝－2ln2，故 y＝(－2ln2)(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)＝(4＋χ)[－2ln2＋ln(4＋χ)]．5.设函数f(χ)连续，且∫0χ f(t)dt＝sin 2χ＋∫χtf(χ－1)dt．求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将代入原方程即得∫0χ f(t)dt＝sin2χ＋χ∫χ f(u)du－∫χ uf(u)du．① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得f(χ)＝2sinχcosχ＋∫0χ f(u)du＝sin2χ＋∫χf(u)du．② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)．故求y＝f(χ)等价于求解初值问题的特解．解之可得 y＝f(χ)＝(e χ＋2sin2χ－cos2χ) ．6.设有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，试求：在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(χ)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：当χ＜1时，方程y′－2y＝2的两边同乘e -2χ得(ye -2χ)′＝2e -2χ，积分得通解y＝C1e 2χ－1；而当χ＞1时，方程y′－2y＝0的通解为y＝C2 e 2χ．为保持其在χ＝1处的连续性，应使C1e 2－1＝C2e2，即C2＝C1－e -2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为y＝7.设函数f(t)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝试求f(t)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得f(t)＝两边对t求导得f′(t)＝8πt ＋2π.f(1).2t.2，即f′(t)－8πtf(t)＝8πt ．① 在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．② 求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边同乘得＝8πt．积分得f(t)＝4πt 2＋C．由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt 2＋1) ．8.已知y1*＝χe χ＋e 2χ，y2*＝χe χ＋eχ －χ，y3*＝χe χ＋e 2χ－e －χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*－y3*＝e －χ，y2*－y3*＝2e －χ－e 2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e －χ，y2＝2(y1*－y3* )－(y2*－y3* )＝e 2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*＝y1*－y1＝χe χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C1e －χ＋C2e 2χ＋χeχ，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ1＝－1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ－2)=0，即λ 2－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y4*＝χe χ代入得(χ＋2)e χ－(χ＋1)e χ－2χe χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e χ因此方程为y〞－y′－2y ＝(1－2χ)e χ．9.求解初值问题SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是可降价类型的(方程不显含χ)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得p 2＝y -2＋C1．由初值得C1＝－1，积分得最后得y＝(0≤χ≤2)．10.设P(χ)在(a，b)连续，∫p(χ)dχ表示p(χ)的某个原函数，C为任意常数，证明：y＝是方程y′＋P(χ)y＝0的所有解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：因为对任意常数C，y＝Ce ∫p(χ)dχ是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 [ye ∫p(χ)dχ]′＝e ∫p(χ)dχ[y′＋p(χ)y]＝0 即存在常数C，使得ye ∫p(χ)dχ＝C，即y＝Ce －∫p(χ)dχ．11.设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ 3，求此凸弧的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设凸弧的方程为y＝f(χ)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(χ)]，故χ 3＝∫χ f(t)dt－[1＋f(χ)]．两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为χy′－y＝－6χ 2－1．其通解为y＝＝Cχ－6χ 2＋1．对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ 2＋1．12.在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，χ]上侧面积与体积分别为2π∫χy dt，∫0χπy 2 dt．按题意2π∫χ y(t) dt＝π∫χ y 2(t)dt，① y(0)＝2．② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(χ) ＝y 2 (χ) (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④，⑤相加得y＝13.设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为∫tf 2(χ)dχ／∫0t f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫tf(χ)dχ．见图6．2．按题意即∫0t f 2(χ)dχ＝2[∫t f(χ)dχ]2＋∫t f(χ)dχ(χ≥0)．① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①f 2 (t)＝4f(t)∫t f(χ)dχ＋f(t) f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)．f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得方程(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e －∫4dte -4t得[f(t)e -4t]′＝0，并由初条件得f(t)＝e 4t，即f(χ)＝e 4χ．14.设曲线y＝y(χ)上点(χ，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y ＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．曲线y＝y(χ)在点(χ，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为，按题意＝－1．(Ⅱ)解方程．将方程改写为ydy＋χdχ＝0，即d(χ 2＋y 2 )＝0．于是通解为χ＋y＝C(C＞0为常数)．15.求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由曲率半径公式知．曲线y＝yf(χ)满足解方程积分得由②和③式得(χ＋C1 ) 2＋(y＋C2) 2＝a 2，即曲线是圆周．若y〞＝，则同样可证．16.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)弹性恢复力f＝ks，由条件知g＝k. k＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度a＝(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得3 v＝3g－24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，v(s)｜s＝0＝0．(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g－8gs)ds ＝gs－4gs 2＋c．由v(0)＝0＝gs－4gs 2．(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解 gs－4gs 2＝0得 s＝0，s＝．因此，s＝为所求．17.5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg．任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量：抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝5．由1＝＝ln5．因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1kg肥皂．18.求微分方程χ(y 2－1)dχ＋y(χ 2－1)dy＝0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y 2－1｜＝ln｜χ 2－1｜＋C′．即(χ 2－1)(y 2－1)＝C，其中C为任意常数．19.求解下列方程：(Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；(Ⅱ)求yy〞＝2(y ′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C1χ，即y′＝．这样，原方程的通解即为y＝＋C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C3．(Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，，原方程可化为yp＝2(p 2－p)．当p≠0时，可改写为y ＝2(p－1)或，解为p－1＝C1 y 2．再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C1＝1．从而上述方程为变量可分离的方程y′＝1＋y 2其通解为y＝tan(χ＋C2)．再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C2＝．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋)．1。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年] 微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C．y*=ax2+bx+c+AsinxD．y*=ax2+bx+c+Acosx正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对y’’+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．对y’’+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(λ=0，w=1)，因λ+iw=0+i·1=i 为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而知，y’’+y=x2+1+sinx 的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅A入选．知识模块：常微分方程2．[2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A．y’’’+y’’一4y’一4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’一y’’一4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案：D解析：由所给通解可知，其特征根为λ1=1，λ2，3=0+2i，故其特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λ2+4λ一4=0，故所求的微分方程为y’’’一y’’+4y’-4y=0．仅D入选．知识模块：常微分方程3．[2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解，则( )．A．a=一3，b=2，c=一1B．a=3，b=2，c=一1C．a=一3，b=2，c=1D．a=3，b=2，c=1正确答案：A解析：因为方程y’’+ay’+by=cex的特解，故为原方程对应的齐次方程的解，因而2，1为特征方程λ2+aλ+b=0的特征根，故a=一(2+1)=一3，b=1×2=2．再由所给原方程的特解易看出xex也为原方程的一个特解，将其代入原方程得c=一1．知识模块：常微分方程4．[2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．A．3x(1+x2)B．一3x(1+x2)C．D．正确答案：A解析：利用解的结构和性质，令y1*=(1+x2)2一，y2*=(1+x2)2+，为微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．可得到y1*—y2*为y’+p(x)y=0的解(因a=1，b=一1，a+b=0)，而将其代入(y1*-y2*)’+p(x)(y1*-y2*)=0，得到又为y’+p(x)y=q(x)的解(因，a+b=1)．易求得将其代入方程y’+p(x)y=q(x)得到即4x(1+x2)+(1+x2)2=q(x)故q(x)=4x(1+x2)一(1+x2)2=4x(1+x2)-x(1+x2)=3x(1+x2)．仅A入选．知识模块：常微分方程填空题5．[2006年] 微分方程y’=y(1一x)／x的通解是______．正确答案：y=Cxe-x (C为任意常数)解析：直接利用分离变量法求解．由原方程易得到即两边积分，得到ln｜y｜=ln｜x｜—x+C1，即=C1一x．故=eC1-x=e-xeC1，所以｜y｜=eC1｜x｜e-x，去掉绝对值符号，改写eC1为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x．由于y=0也是原方程的解．上式中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x (C为任意常数)．知识模块：常微分方程6．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解为______．正确答案：y=1／x解析：由初始条件y(1)=1知，只需考虑xy’+y=0在(0，+∞)内的非负解即可．由dy／(-y)=dx／x得到ln｜y｜=ln｜x｜+C1，即｜x｜｜y｜=eC1，即y=C／x(C=eC1)．又因y(1)=1，故C=1，所以y=1／x．知识模块：常微分方程7．[2014年] 微分方程xy’+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.正确答案：y=xe2x+1(x＞0)解析：在所给微分方程的两边除以x可得①令，则y=xu，y’=xu’+u，代入式①得到xu’+u=ulnu，即分离变量得即两边积分得到ln｜lnu一1｜=lnx+lnc，即lnu-1=cx，故则其通解为y=xecx+1．将y(1)=e3代入上式可得c=2，即得其特解为y=xe2x+1(x＞0)．知识模块：常微分方程8．[2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：y=e-xsinx解析：注意到y’+y=y’+(x)’y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到y’ex+exx’y=exe-xcosx=cosx，即(yex)’=cosx．两边积分得到yex=∫cosxdx+C=sinx+C，即y=e-xsinx+Ce-x．由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程9．[2005年] 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．正确答案：y=(x／3)(lnx一1／3)解析：用凑导数法求之．为此在原方程两边乘以x得到x2y’+2xy=x2lnx，即(x2y)’=x2lnx．两边积分得到x2y=∫x2lnxdx=代入初始条件y(1)=一1／9，可得C=0，于是所求的特解为y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)．知识模块：常微分方程10．[2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．正确答案：y= c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数解析：先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程解的性质知，y1一y3=e3x，y2一y3=ex是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．因而该齐次微分方程的通解为Y=c1e3x+c2ex．又y3*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数微分方程解的结构知，所求的通解为y=Y+y*=c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数．知识模块：常微分方程11．[2002年] 微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=1／2的特解是______．正确答案：解析：将y’=p，代入原方程，得到．因而p=0(因不满足初始条件，舍去)，．积分后得到，将初始条件代入得到C1=.再对即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得C2=1，从而y2=x+1，再由y｜x=0=1＞0，得微分方程的特解. 知识模块：常微分方程12．[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的通解为______．正确答案：y= C1ex+C2e2x-2e2x解析：其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1e*+C2e3x.又设非齐次微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x-2e2x．知识模块：常微分方程13．[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．正确答案：f(x)=ex解析：方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r1=一2，r2=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x，则f’(x)=C1ex-2C2e-2x，f’’(x)=C1ex+4C2e-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2ex，得到C1ex+4C2e-2x+C1ex+C2e-2x=2C1ex+5C2e-2x=2ex，故C1=1，C2=0，于是所求f(x)=ex．知识模块：常微分方程14．[2017年] 微分方程y’’+2y’+3y=0的通解为y=______．正确答案：y=e-x解析：特征方程为r2+2r+3=0，特征值为λ1，2=，其通解为y=e-x 知识模块：常微分方程15．微分方程xy’’+3y’=0的通解为______．正确答案：y=C1+C2／x2解析：y=C1+C2／x2在所给方程两边乘以x得欧拉方程x2y’’+3xy’=0(a=1，b=3，c=0)．可知，令x=et，可化为常系数线性微分方程，其特征方程为r2+2r=r(r+2)=0，其通解为y=C1e0t+C2e-2t=C1+C2e-2t=C1+C2／x2．知识模块：常微分方程16．[2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．正确答案：y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数解析：作变量代换x=et，其中a=1，b=4，c=2，则此为二阶常系数的线性齐次微分方程．其特征方程为r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0，其特征根为r1=一1，r2=一2，故其通解为y=C1e-t+C2e-2t．代入原变量x，得到原方程的通解为y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程17．[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为______．正确答案：y=一xex+x+2解析：由所给通解知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征根是r1=r2=1．因而特征方程为(r一1)2=r2一2r+1=0．故二阶常系数线性齐次微分方程为y’’一2y’+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y’’-2y’+y=x．下面求非齐次方程y’’-2y’+y=x ①的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+ B．代入方程①，得到(y*)’’=0，(y*)’=A，于是有一2A+Ax+B=x，即(A 一1)x一2A+B=0，所以A一1=0，B一2A=0，从而A=1，B=2，故一特解为y*=x+2．非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2．②将y(0)=2，y’(0)=2，代入方程②得C1=0，C2=一1，满足初始条件的解为y=一xex+x+2．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一． 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷16(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是A．y=C1x2+C2x+C3．B．x2+y2=C．C．y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．D．y=C1sin2x+C2cos2x．正确答案：D解析：仅有D含有两个独立的任意常数C1与C2，选D．知识模块：常微分方程2．设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A．y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．B．y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)≠0．C．y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0．D．y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0．正确答案：B解析：根据题目的要求，y1(x)与y2(x)应该线性无关，即≠λ(常数)．反之，若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，那么y1’(x)=λy2’(x)，利用线性代数的知识，就有y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．所以，B成立时，y1(x)，y2(x)一定线性无关，应选B．知识模块：常微分方程填空题3．已知(x－1)y”－xy’+y=0的一个解是y1=x，又知y=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y”－xy’+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=________．正确答案：C1x+C2ex－x2－1解析：由非齐次方程(x－1)y”－xy’+y=(x－1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解－y*=ex－x，事实上y 2=(ex－x)+x=ex也是该齐次方程的解，又ex与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程4．微分方程y”+6y’+9y=0的通解y=________．正确答案：(C1+C2)e－3x解析：特征方程λ2+6λ+9=0，即(λ+3)2=0．通解为y=(C1+C2)e－3x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（常微分方程）-试卷3(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.微分方程y""-4y=e 2x +x的特解形式为( )．（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c √解析：解析：y""-4y=0的特征方程为λ2 -4=0，特征值为λ1 =-2，λ2 =2． y""-4y=e 2x的特解形式为y=axe 2x， y""-4y=x的特解形式为y 2 =bx+C，故原方程特解形式为axe 2x +bx+c，选(D)．3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x，则该微分方程为 ( )．（分数：2.00）A.y"""-y""-y"+y=0 √B.y"""+y""-y"-y=0C.y"""+2y""-y"-2y=0D.y"""-2y"-y"+2y=0解析：解析：由y 1 =e x，y 2 =2xe -x，y 3 =3e -x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1 =λ2 =1，λ3 =-1，其特征方程为(λ-1) 2 (λ+1)=0，即λ3 -λ2 -λ+1=0，所求的微分方程为y"""-y""-y"+y=0，选(A)．4.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C[φ1 (x)+φ2 (x)]B.C[φ1 (x)-φ2 (x)]C.C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x) √D.[φ1 (x)-φ2 (x)]+Cφ2 (x)解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)为方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1 (x)-φ2 (x)为方程y"+P(x)y=0的一个解，于是方程y"+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x)，选(C)．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.yy""=1+y" 2满足初始条件y(0)=1，y"(0)=0的解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±x）解析：解析：令y"=p，则，解得In(1+p 2)=lny 2+lnC 1，则1+p 2=C 1y 2，由y(0)=1，y"(0)=0得y"= +C 2=±x，由y(0)=1得C 2 =0，所以特解为6.微分方程y""+4y=4x-8的通解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C 1 cosx+C 2 sin2x+x-2．）解析：解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C 1cosx+C 2sin2x+x-2．7.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y""-6y"+9y=e 3x，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题意得y(0)=0，y"(0)=2， y""-6y"+9y=e 3x的特征方程为λ2 -6λ+9=0，特征值为λ1=λ2 =3，令y""-6y"+9y=e 3x的特解为y 0 (x)=ax 2 e 3x，代人得a= 故通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x+ 由y(0)=0，y"(0)=2得C 1 =0，C 2 =2，则y(x)=2xe 3x8.微分方程2y""=3y 2满足初始条件y(-2)=1，y"(-2)=1的特解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y"=p，则y""= ，解得p 2 =y 3 +C 1，由y(-2)=1，y"(-2)=1，得C 1 =0，所以y"= ，再由y(-2)=1，得C 2 =0，所求特解为9.微分方程 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜x｜+C）解析：解析：由10.设二阶常系数非齐次线性微分方程y""+y"+qy=Q(x)有特解y=3e -4x +x 2 +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-12x 2 -34x-19，C 1 e -4x +C 2 e 2 +x2+3x+2）解析：解析：显然λ=-4是特征方程λ2 +λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2 +λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x 2+3x+2为特征方程y""+y"-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19，且通解为y=C1 e -4x +C2 e2 +x2+3x+2(其中C1，C 2为任意常数)．11.以y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-sinx-3cosx，y""+y"-2y=-sinx-3cosx．）解析：解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y""+y"-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y""+y"-2y=-sinx-3cosx．12.设y""-3y"+ay=-5e -x的特解形式为Axe -x，则其通解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x）解析：解析：因为方程有特解Axe -x，所以-1为特征值，即(-1) 2 -3×(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为λ2 -3λλ1 =-1，λ2 =4，齐次方程y""-3y"+ay=0的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 4x，再把Axe -x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x13.设f(x)，则f(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e -x）解析：解析：由整理得，两边对x求导得f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce -x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e -x三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（常微分方程）模拟试卷24(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设线性无关的函数y1．y2，y3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C1、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3B．C1y2+C2y2一(C1+C2)y3C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3正确答案：D 涉及知识点：常微分方程填空题2．微分方程=y(xy—x+y—1)的通解为_______．正确答案：涉及知识点：常微分方程3．微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解为______．正确答案：y2=x(ln|x|+C) 涉及知识点：常微分方程4．微分方程的通解为_______．正确答案：涉及知识点：常微分方程5．方程y”一3y’+2y=2ex的通解为________．正确答案：y=C1ex+C2e2x一2xex 涉及知识点：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6．求微分方程的通解．正确答案：涉及知识点：常微分方程7．求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xex+y．2)3)y’+ytanx=cosx4)(1+x)y”+y’=05)yy”一(y’)2=y4，y(0)=1．y’(0)=06)y”+4y’+1=07)y”+9y=cos(2x+5)8)y”‘一3y”+9y’+13y=e2xsin2x正确答案：2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C3)y=(x+C)cosx4)y=C1ln|1+x|+C2 涉及知识点：常微分方程8．已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．正确答案：所求方程为(2x一x2)y”+(x2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x)．通解为：y=C1x2+C2ex+3 涉及知识点：常微分方程9．已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=cex 的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C1e2x+C2ex+xex 涉及知识点：常微分方程10．设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．正确答案：涉及知识点：常微分方程11．已知y”+(x+e2y)y’3=0。

考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )A．1。

B．2。

C．3。

D．4。

正确答案：B解析：=[(x一2)．1一(2x一2)．1]×[一6(x一2)一(一1)(x一7)]=(一x)×(一5x+5)=5x．(x—1)，故f(x)=x．(5x一5)=0有两个根x1=0，x2=1，故应选B。

2．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )A．kA*。

B．kn－1A*。

C．knA*。

D．k－1A*。

正确答案：B解析：对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立。

那么，当A可逆时，由A*=｜A｜A－1，有(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn｜A｜．A －1=kn－1｜A｜A－1=kn－1A*。

故应选B。

一般地，若A=(aij)m×n，有kA=(kaij)m×n，那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为即｜kA｜中每个元素的代数余子式恰好是｜A｜相应元素的代数余子式的kn－1倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA)*的元素是A*对应元素的kn－1倍。

3．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加至到第2列得C，记P=，则( )A．C=P－1AP。

B．C=PAP－1。

C．C=PTAP。

D．C=PAPT。

正确答案：B解析：由题设可得B=A，则C=，而P－1=，则有C=PAP－1。

故应选B。

4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示。

下列命题正确的是( )A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s。

B．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s。

C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s。