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什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
灰色系统理论概述一、本文概述本文旨在对灰色系统理论进行全面的概述和探讨。
灰色系统理论，作为一种专门研究信息不完全、不明确、不确定系统的新兴学科，自其诞生以来，已经在众多领域，如经济管理、预测决策、生态环保等，展现出其独特的优势和强大的应用价值。
本文首先简要介绍了灰色系统理论的基本概念、发展历程和主要特点，然后详细阐述了灰色系统理论的核心内容，包括灰色预测、灰色决策、灰色关联分析等方面。
本文还将对灰色系统理论的应用领域和前景进行展望，以期能够为广大读者提供一个全面、深入的灰色系统理论概述，并激发更多学者和研究人员对该领域的兴趣和探索。
二、灰色系统理论的基本原理灰色系统理论是一种专门研究信息不完全、不明确的系统的理论。
它的基本原理主要包括灰色关联分析、灰色预测模型和灰色决策等。
这些原理的核心思想是利用已知信息，通过灰色理论的处理方法，挖掘系统的内在规律，从而实现对系统的有效描述和预测。
灰色关联分析是灰色系统理论中的一种重要方法。
它通过计算系统中各因素之间的关联度，揭示因素之间的内在联系和动态变化过程。
这种方法对于处理信息不完全、数据不规则的系统尤为有效，能够帮助我们更好地理解系统的结构和行为。
灰色预测模型是灰色系统理论的另一个核心原理。
它利用少量的、不完全的信息，通过建立灰色微分方程或灰色差分方程，实现对系统发展趋势的预测。
灰色预测模型具有预测精度高、计算简便等优点，广泛应用于经济、社会、工程等多个领域。
灰色决策是灰色系统理论在决策领域的应用。
它通过分析决策问题中的灰色信息，结合灰色关联分析和灰色预测模型等方法，为决策者提供科学、合理的决策依据。
灰色决策注重决策过程的系统性和整体性，有助于提高决策的科学性和准确性。
灰色系统理论的基本原理包括灰色关联分析、灰色预测模型和灰色决策等。
这些原理为我们提供了一种全新的视角和方法来理解和处理信息不完全、不明确的系统。
通过运用这些原理，我们可以更好地揭示系统的内在规律，实现对系统的有效描述和预测，为决策和实践提供有力支持。
第一章灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生于发展动态1.1.1 灰色系统理论产生的科学背景1、在系统研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局限，人们得到的信息往往带有某种不确定性。
随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入。
邓聚龙于80年代创立的灰色系统理论。
2、中国学者邓聚龙在1982年创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。
3、灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
1.1.2 灰色系统理论的产生与发展动态1、灰色系统理论的产生——1982年，北荷兰出版公司的《系统与控制通讯》（Systems & Control Letters）杂志刊载了我国学者邓聚龙的第一篇灰色系统系统论文“灰色系统的控制问题”（The control problem of grey systems）；同年，《华中工学院学报》刊载了邓聚龙的第一篇中文灰色系统论文“灰色控制系统”。
这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论的问世。
1.1.3 不确定性系统的特征与科学的简单性原则1、信息不完全、不准确是不确定性系统的基本特征。
2、系统演化的动态特性、人类认识能力的局限性和经济、技术条件的制约，导致不确定性系统的普遍存在。
3、信息不完全是不确定性系统的基本特征之一。
信息不完全是绝对的，信息完全则是相对的。
4、概率统计中的“大样本”，实际上表达了人们对不完全的容忍程度。
通常情况下，样本量超过30即可视为“大样本”。
5、不确定性系统的另外一个基本特征是数据不准确。
从不准确产生的本质来划分，又可分为概念型、层次型和预测型三类：（1）概念型。
概念型不准确源于人们对某种事物、观念或意愿的表达，如人们通常所说的“大”、“小”、“多”、“少”、“高”、“低”、“胖”、“瘦”、“好”、“差”以及“年轻”、“漂亮”、“一堆”、“一片”、“一群”等，都是没有明确标准的不准确概念，难以用准确的数据表达。
![[数学]灰色系统理论](https://img.taocdn.com/s1/m/d71ec270a4e9856a561252d380eb6294dd882228.png)
理论简介灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。
灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。
同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测的数据是通过生成数据的gm(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。
其关联度提出系统的关联度分析方法，是对系统发展态势的量化比较分析。
关联度的一般表达式为：nri=1/n∑xi(k)i=1ri 是曲线xi对参考曲线x0的关联度。
生成数据通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
累加前数列为原始数列，累加后为生成数列。
基本关系式：记x(0)为原始数列x(0)=( x(0)(k)xk=1,2,…,n)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))记x(1)为生成数列x(1)=( x(1)(k)xk=1,2,…,n)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))如果x(0) 与x(1)之间满足下列关系，即kx(1)(k)= ∑x(0)(i)i=a称为一次累加生成。
b、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。
累减生成可将累加生成还原成非生成数列。
c、映射生成：累加、累减以外的生成方式。
<3>、建立模型a、建模机理b、把原始数据加工成生成数；c、对残差(模型计算值与实际值之差)修订后，建立差分微分方程模型；d、基于关联度收敛的分析；e、gm模型所得数据须经过逆生成还原后才能用。
f、采用“五步建模（系统定性分析、因素分析、初步量化、动态量化、优化）”法，建立一种差分微分方程模型gm(1,1)预测模型。
基本算式为：令x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))作一次累加生成，kx(1)(k)= ∑x(0)(m)m=1有x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))=(x(0)(1),x(1)(1)+x(0)(2),…,x(1)(n-1)+x(0)(n))x(1)可建立白化方程：dx(1)/dt+ax(1)=u 即gm(1,1).该方程的解为: x(1)(k+1)=(x(1)(1)-u/a)e-ak+u/a预测方法a、数列预测b、灾变预测c、季节灾变预测d、拓扑预测e、系统综合预测f、模糊预测对于一个模糊系统来说，传统的预测方法就会失去作用。
灰色模型原理
灰色模型是一种用于描述和预测非随机数据序列的数学模型，它主要用于处理缺乏足够数据或无法进行精确建模的问题。
灰色模型的原理基于灰色系统理论，该理论认为系统的行为由两部分组成：系统的确定性部分和系统的随机性部分。
在灰色模型中，我们将非随机序列分为两类：原始数据和累加数据。
原始数据是指所研究对象的历史观测数据，累加数据是指原始数据按照某种规则进行累积得到的数据。
通过累加数据，我们可以得到一个累加生成序列，它反映了系统的演化趋势。
然后，我们将累加生成序列分解为两个序列：发展序列和累减序列。
发展序列是指系统的确定性发展趋势，它是通过累加生成序列的一阶累加得到的，累减序列是指系统的随机变动，它是通过原始数据减去对应的发展序列得到的。
接下来，我们需要对发展序列进行建模。
常用的方法是灰色模型建模，其中最常用的是灰色一次指数平滑模型（GM(1,1)模型）。
该模型假设发展序列满足一个一阶指数增长或衰减的规律，通过最小二乘法求解得到模型参数。
最后，我们使用建立的模型来预测系统未来的行为。
通过预测模型，我们可以对未来的数据进行估计，从而提供决策支持或制定相应的措施。
总体来说，灰色模型利用原始数据和累加数据，通过分解和建模的方式，可以描述非随机序列的演化趋势并进行预测。
它在
数据缺乏或难以建模的情况下，为我们提供一种简单有效的分析方法。
灰色关联法的应用原理1. 灰色系统理论简介灰色系统理论是由我国科学家陈纳德于1982年提出的一种新的系统理论方法。
它是一种用于处理信息不完全、不确定性的数学方法，广泛应用于工程、管理和经济等领域。
灰色关联法是灰色系统理论的重要应用之一，通过建立灰色关联模型，可以分析和预测变量之间的关联程度。
2. 灰色关联法的基本思想灰色关联法是基于系统理论的思想，通过建立灰色关联模型来研究变量之间的关联程度。
其基本思想是利用灰色关联度来度量不同变量之间的相关程度，从而揭示变量之间隐藏的关联关系。
3. 灰色关联度的计算方法灰色关联度是衡量变量之间关联程度的指标，其计算方法有多种。
常见的计算方法包括绝对关联度、相对关联度等。
3.1 绝对关联度的计算方法绝对关联度是将每个变量与参考序列进行比较，计算其相对于参考序列的关联度。
计算公式为：绝对关联度 = |Xk(i) - Yk(i)| / [max(|X(i) - Xk(i)|) + max(|Y(i) - Yk (i)|)]其中，Xk(i)和Yk(i)分别表示变量X和变量Y在第i个时刻的值，X(i)和Y(i)分别表示变量X和变量Y在第i个时刻的最大值。
3.2 相对关联度的计算方法相对关联度是将每个变量与样本序列（即变量在不同时刻的取值）进行比较，计算其相对于样本序列的关联度。
计算公式为：相对关联度 = （Xk(i) - Xk(1)) / (Xk(p) - Xk(1))其中，Xk(i)表示变量X在第i个时刻的值，Xk(1)表示变量X在第1个时刻的值，Xk(p)表示变量X在第p个时刻的值。
4. 灰色关联度的应用案例灰色关联法可以应用于各种领域的数据分析和预测中。
以下是几个灰色关联度的应用案例：4.1 城市人口预测利用灰色关联法可以建立城市人口与相关因素之间的关联模型，从而进行人口预测。
通过分析城市人口与经济发展、环境变化等因素的关联度，可以预测未来人口的增长趋势，并为城市规划和政策制定提供参考。
灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授于1982年创立的一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科。
它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制。
如人口系统涉及因素太多，具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。
下面以灰色模型中应用广泛的GM(l ，l)模型为例，介绍灰色建模方法设)0(X = [)0(x (1), )0(x (2), …, )0(x (n)]为系统输出的非负原始数据序列，对序列)0(X 进行一阶累加生成，得生成序列)1(X ，即)()1(k x =)(1)0(i x ki ∑= (k = 1, 2, …, n)GM(1, 1)预测模型是一阶单变量的灰色微分方程动态模型)()0(k x + )()1(k az = b (k = 1, 2, …, n) (1)其中)()1(k z 为)()1(k x 的紧邻均值生成，即)()1(k z = 0.5[)()1(k x +)1()1(-k x ]，式(1)白化方程形式为:b ax dtdx =+)1()1( 其中a ,b 为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用量,a 的有效区间是(-2, 2)。
应用最小二乘法可经下式求得：aˆ = T b a ),(= n T T Y B B B ⋅⋅-1)( 其中 B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-111)),()1((2/1)),3()2((2/1 )),2()1((2/1)1()1()1()1()1()1( n x n x x x x x n Y = [)0(x (2), )0(x (3), …, )0(x (n)] 方程的解即时间响应函数为⎪⎩⎪⎨⎧-+=++⋅-=+-)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(k x k x k xa b e a b x k x ak模型检验为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，可用残差进行检验：(1) 求出)()0(k x 与)(ˆ)0(k x之残差)(k e 、相对误差k ∆和平均相对误差∆： )(ˆ)()()0()0(k x k x k e -=， %100)()()0(⨯=∆k x k e k ， ∑=∆=∆n k k n 11 (2) 求出原始数据平均值x ，残差平均值e ：x = ∑=n k x n 1)0(1(k), e = )(112)0(∑=-n k k e n (3) 求出原始数据方差21s 与残差方差22s 的均方差比值C 和小误差概率P ：21s = ∑=-n k x k x n 12)0(])([1， 22)0(22])([11e k e n s n k --=∑= C =2s /1s , p = P{e k e -)()0( < 0.67451s }通常)(k e 、k ∆、C 值越小，p 值越大，则模型精度越好。
灰色系统基本原理
灰色系统理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的方法，它的基本原理包括以下几个方面：
1. 灰色性：灰色系统理论认为，系统中的信息部分已知、部分未知，这种介于白色（完全已知）和黑色（完全未知）之间的状态被称为灰色。
2. 灰色关联分析：通过计算系统中各因素之间的灰色关联度，可以分析它们之间的相互关系和影响程度。
灰色关联分析用于确定因素间的相似性或相关性，常用于因素筛选、预测和决策等方面。
3. 灰色建模：灰色系统理论提供了多种建模方法，如灰色预测模型、灰色决策模型等。
这些模型基于灰色系统的特征和数据，通过对历史数据的分析和挖掘，对系统的未来发展进行预测或决策。
4. 灰色聚类：灰色聚类是一种基于灰色关联度的聚类方法，它根据各样本之间的相似程度进行分类或分组。
5. 灰色决策：灰色决策方法用于在不确定和模糊的环境下做出决策。
它考虑了多种因素和不同方案的影响，通过综合评价和比较，选择最优的决策方案。
6. 数据预处理：在应用灰色系统理论之前，通常需要对数据进行预处理，如数据归一化、灰色生成等，以使数据符合灰色系统的要求。
总的来说，灰色系统理论提供了一种处理不确定性和模糊性问题的方法，它通过对系统中部分已知信息的分析和利用，推测和预测系统的整体行为和发展趋势。
需要注意的是，灰色系统理论并非适用于所有情况，具体应用时需要根据问题的特点进行选择和调整。
灰色理论在灰色理论中，通常用GM （n, m ）来表示灰色模型，其中，n 为差分次数，m 为变量的个数。
对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM （1, 1）来进行预测。
等时距GM （1, 1）模型等时距GM （1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM （1,1）模型的建模基础。
设观测到的原始等时距数据序列为：{}[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中，(0)()x k 为k t 时刻对应的初始数值，时间步长1i i t t c +-=为常数，1,2,3i n =⋅⋅⋅。
对[0]X 中的数据经过一次累加（1-AGO ）运算，得到光滑的生成数列：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中，(1)(0)1()()k k i i x t xt ==∑，1,2,3k n =⋅⋅⋅。
[1]X 的均值数据序列[1]Z 可以表示为：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Z z z z k z n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)z k x k x k ⎡⎤=++⎣⎦。
(1)()x k 的GM （1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为：（1） 其中，a ，b 为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]k k +离散后的方程为：(0)(1)(1)()x k az k b ++= （2）离散的过程：式（1）在区间[,1]k k +上积分，有：111(1)(1)()()k k k kk kdxt ax t dt bdt ++++=⎰⎰⎰ 1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1)k kdxt x k x k x k +=+-=+⎰所以，式（1）离散后的方程为式（2）。
利用最小二乘法可以从式（2）中求得参数a 和b ：(0)(1)(0)(1)(1)()(1)=-()x k az k b x k az k b Y Ba ++=⇒++⇒= 式中，(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1), 1(2)(2), 1(3), Y=, , 1 (1),1()z x a z x B a b z n x n ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢--⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把求得的参数代入式（1）中，可以得到白化方程的解为： (1)1()/at x t c e b a -=+当t=1时，(1)(1)(0)(1)(1)(1)()=(1)(1)()=((1)/)/a t x t x x x t x b a e b a --=⇒-+所以GM （1,1）模型的时间相应数据序列为：k =1,2,3….n 。
灰色系统理论：灰色系统理论是20世纪80年代，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。
主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象等学科。
1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。
灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是按照研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统确是按颜色命名的。
在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度，如艾什比(Ashby)将内部信息未知的对象称为黑箱(BlackBox)，这种称谓已为人们普遍接受。
我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。
相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
灰色模型：如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特性为灰色性。
具有灰色性的系统称为灰色系统。
对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型(Grey Model)，简称GM模型，它揭示了系统内部事物连续发展变化的过程。
（对事物发展过程进行长期的描述）简介：灰色模型（grey models）就是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
从灰色系统中抽象出来的模型。
灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。
研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究基础。
灰色系统理论及其应用一、灰色系统理论概述灰色系统理论，是一种研究不确定性问题的方法。
它起源于20世纪80年代，由中国学者邓聚龙教授提出。
灰色系统理论认为，现实世界中的许多问题并非非黑即白，而是介于黑白之间的灰色地带。
这种理论为我们处理复杂、模糊、不确定性问题提供了一种新的视角。
灰色系统理论的核心思想是通过对部分已知信息的挖掘和加工，实现对整个系统行为的合理预测和控制。
它将系统分为白色系统、黑色系统和灰色系统。
白色系统是指信息完全已知的系统，黑色系统是指信息完全未知的系统，而灰色系统则是介于两者之间的系统，部分信息已知，部分信息未知。
二、灰色系统理论的基本原理1. 灰灰是灰色系统理论的基础，它通过对原始数据进行处理，具有规律性的序列。
常见的灰方法有累加（AGO）、累减（IGO）和均值等。
2. 灰关联分析灰关联分析是灰色系统理论的重要方法，用于分析系统中各因素之间的关联程度。
通过对系统各因素发展变化的相似度进行比较，揭示系统内部因素之间的联系。
3. 灰预测灰预测是灰色系统理论在实际应用中的重要手段，它通过对部分已知信息的挖掘，建立灰色模型，对系统未来发展趋势进行预测。
三、灰色系统理论的应用领域1. 经济管理灰色系统理论在经济学和管理学领域具有广泛的应用，如企业竞争力分析、市场预测、投资决策等。
通过灰关联分析，可以找出影响企业发展的关键因素，为企业制定发展战略提供依据。
2. 工程技术在工程技术领域，灰色系统理论可用于设备故障预测、质量控制、能源消耗分析等。
例如，通过对设备运行数据的分析，建立灰色预测模型，提前发现潜在故障，确保设备安全运行。
3. 社会科学4. 生态环境在生态环境领域，灰色系统理论可以用于水资源评价、环境污染预测、生态平衡分析等。
通过对生态环境数据的挖掘，有助于我们更好地了解和把握生态环境的发展态势。
四、灰色系统理论的优势与局限性优势：1. 对小样本数据的适用性：灰色系统理论不需要大量数据即可进行建模和分析，这对于样本量有限的情况尤其有价值。
灰色理论
在灰色理论中，通常用GM （n, m ）来表示灰色模型，其中，n 为差分次数，m 为变量的个数。
对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM （1, 1）来进行预测。
等时距GM （1, 1）模型
等时距GM （1, 1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM （1,1）模型的建模基础。
设观测到的原始等时距数据序列为：
{}[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅
其中，(0)()x k 为k t 时刻对应的初始数值，时间步长1i i t t c +-=为常数，1,2,3i n =⋅⋅⋅。
对[0]X 中的数据经过一次累加（1-AGO ）运算，得到光滑的生成数列：
{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()X x x x k x n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅
其中，(1)(0)1()()k k i i x t x
t ==∑，1,2,3k n =⋅⋅⋅。
[1]X 的均值数据序列[1]Z 可以表示为：{}[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Z z z z k z n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-
其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)z k x k x k ⎡⎤=++⎣⎦。
(1)()x k 的GM （1, 1）模型白化形式的微分方程可表示为：
（1） 其中，a ，b 为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]k k +离散后的方程为：
(0)(1)(1)()x k az k b ++= （2）
离散的过程：
式（1）在区间[,1]k k +上积分，有：
11
1(1)(1)()()k k k k
k k
dx
t ax t dt bdt ++++=⎰⎰⎰ 1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1)
k k
dx
t x k x k x k +=+-=+⎰
所以，式（1）离散后的方程为式（2）。
利用最小二乘法可以从式（2）中求得参数a 和b ：
(0)(1)(0)(1)(1)()(1)=-()x k az k b x k az k b Y Ba ++=⇒++⇒= 式中，(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1), 1(2)(2), 1(3), Y=, , 1 (1),1()z x a z x B a b z n x n ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢--⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
把求得的参数代入式（1）中，可以得到白化方程的解为： (1)1()/at x t c e b a -=+
当t=1时，(1)(1)(0)(1)(1)(1)()=(1)(1)()=((1)/)/a t x t x x x t x b a e b a --=⇒-+
所以GM （1,1）模型的时间相应数据序列为：
k =1,2,3….n 。
还原到初始数据为：
k =1,2,3….n 。
预测精度分析及检验
根据GM （1,1）模型计算得到的预测值是否可靠，必须通过一定的检验手段和评价标准进行验证，常采用关联度分析或后验差检验来保证预测的可靠性，这里主要介绍后一种检验方法。
后验差检验方法是根据残差的均方差2S 和原始数据的均方差1S 的比值来判断的。
原始数据
序列为{}(0)()x k ，预测数据序列为{}
(0)()x k ，其残差为： (0)
(0)()()()k x k x k ε=-
^(0)11
1()n k S x x k n ===∑
^211()n k S k n εε===∑ 后残差比值为21/C S S =
小误差概率为：
对[1]X 可以建立GM （1,1）模型的条件：
光滑比：(0)(1)()()/(1)k x k x k ρ=-
级比：(1)(1)()()/(1)k x k x k σ=-
当[1]3()0.5 ()()(1,1.5]k k k X ρσ><∈，说明原始数据光滑，(说明满足准指数规律)，可以对[1]X 可以建立GM （1,1）。
非等时距GM （1,1）模型
当时间步长1i i t t c +-≠（常数）时，原始数据序列为非等时距数据序列，在实际工程中得到的原始数据往往属于这一类型的数据。
因此必须将非等时距数据序列转化为等时距序列，在利用建立等时距GM （1,1）模型的方法建立非等时距GM （1,1）模型。
利用三次样条插值法（cubic spline interpolation method ）将非等时距数据序列转化为等时距数据序列，在按照等时距GM （1,1）模型进行预测。
三次样条插值法用Matlab 实现的代码及实例
代码：
pp=csape(x,y,’conds ’,’valconds ’)
x,y 为初始数据序列
conds 为初始边界条件：
1.边界为一阶导数，用complete 表示，其值在valconds 中给出；
2.边界为二阶导数，用second 表示，其值在valconds 中给出，缺省时为[0,0]；
3.非扭结条件，用not-a-knot 表示；
4.周期条件，用periodic 表示
一般选用前两种。
实例：
Clear;
x=[1,2,4,5];
y=[1,3,4,2];
pp=csape(x,y,’complete ’,[-1,3]);
xx=1:0.1:5;
yy=ppval(pp,xx);
plot(xx,yy).
等时距GM （1,1）模型用Matlab 实现的程序代码：
y=input(‘请输入原始数据序列’);
n=length(y); %原始数据序列的维数
yy=ones(n,1); %列向量，用来给变量申请内存
yy(1)=y(1);
for i=2:n
yy(i)=yy(i-1)+y(i);
end
%yy为1-AGO累加后生成的数列
%接下来求B向量
B=ones(n-1,2);
For i=1:n-1
B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; %B矩阵的第一列元素
B(i,2)=1; %B矩阵的第二列元素
end
BT=B’; %B的转置矩阵
%接下来求Y矩阵
For j=1:n-1
YN(j)=y(j+1); %此处所求的YN矩阵为行向量end
YN=YN’;
A=inv(BT*B)*BT*YN; %A为2维列向量
a=A(1);
b=A(2);
t=b/a;
%灰色模型的预测数据
t-test=input(‘请输入需要预测的个数’)；
for i=1:n+t-test;
yys(1)=y(1);
yys(i+1)=(y(1)-t)*exp(-a*i)+t;
end
%还原到原始数据
For j=n+t-test:-1:2
ys(j)=yys(j)-yys(j-1);
end
x=1:n;
xn=2:t-test+n;
yn=ys(2:n+t-test);
plot(x,y,’r’,xn,yn,’b’)。
