3.3.4两条平行直线间的距离

12 ( 3 )2
122 (5)2
x 1 或 x 171 37
所以P点坐标为：
d Ax0 By0 C A2 B2
练习2
(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为 2，求a的值. (2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为 2，求a的值.
解 : (1) y ax 1,ax y 1 0,
2a 3 1 2a 2
d
2,
a2 1
a2 1
2a 2 2a2 2, 4a2 8a 4 2a2 2,
解 : 由点到直线的距离公式：
(2)dd
3|
A(x01) By002C A322 0B22
2|
5 3
可得：思(1考)d： |还2有(1其) 他2 解10法| 吗2？ 5 41
点到直线的距离：
练习1 求点 P0 2到，下3列直线的距离：
(1) 3x+4y+3=0; (2) 3y=2 ； (3)-x+3y=7.
3.3.3《点到直线的距离》 3.3.4《平行线间的距离》
导入
铁路
仓库
导入
l
仓库
点到直线的距离 l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
. P(x0,y0)
o
x
引入新课
已知点 P0 x0 , y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点 P0到直线 l 的距离？ 点 P0 到直线 l 的距离，是指从点 P0到直线 l 的
|n|
y
l : Ax By C 0
| A(x1 x0 ) B( y1 y0 ) | A2 B2

两条平行线间的距离的解精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离【课时目标】 1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．一、选择题1．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( )A ．2677B ．265C ．245D ．2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．24．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．3D ．65．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．能力提升12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．13．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．1．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下两点： (1)若方程不是一般式，需先化为一般式．(2)当点P 在直线上时，公式仍成立，点P 到直线的距离为0．2．在使用两平行线间的距离公式时，要先把直线方程化为一般式，且两直线方程中x ，y 的系数要化为分别相等的数．3．注意数形结合思想的运用，将抽象的代数问题几何化，要能见“数”想“形”，以“形”助“数”．3．3．3 点到直线的距离 3．3．4两条平行直线间的距离答案知识梳理 公垂线段|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 |C 2－C 1|A 2＋B 2作业设计1．D [画图可得；也可用点到直线的距离公式．] 2．B3．B [|OP |最小值即为O 到直线x ＋y －4＝0的距离，∴d ＝|－4|2＝22．]4．C [|PQ |的最小值即为两平行线间的距离，d ＝|3＋12|5＝3．]5．C [①所求直线平行于AB ，∵k AB ＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0． ②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)，∴所求直线方程为y ＝1．]6．C [当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时 d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5． ∴0<d ≤5．] 7．2x ＋y －5＝0 解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2，∴方程为y －1＝－2(x －2)， 即2x ＋y －5＝0． 8．4916π 9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326．10．解 (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0， 则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝4 2则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8．12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3． 但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1： x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0． 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。

人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。

用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。

选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。