奥数分类题1
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2009全国初中数学竞赛考题分类汇编（一）数与式1.设r≥4，a＝11r r+1－，b ＝11r r+1－，c ＝1r(r+r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a2.设a,b是不相等的任意正数,又21bxa+=,21ayb+=,则有x,y这两个数一定( )A.都不大于2B.都小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个小于23.设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
4.不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
5.若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则2222212345x+x+x+x+x的未位数字是＿＿。
6.a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
7.已知：，那么＝________。
8.若a a a =-+-20062005，则22005-a =_______．9.已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．10.已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于 ．([]x 表示不超过x 的最大整数)11．已知ab x =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ．（1） 试写出一个满足条件的x ； （2） 求所有满足条件的x ．12.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 13．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ① 542--=a a bc ②求a 的取值范围．14.已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222abcbccaab++的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 15.计算111112233420032004++++++++ = . 16.实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,，则a+b= .17.设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= . 答案1718.已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b 中较大的数是＿＿。
19.a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ） （A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定20. 已知y x ,是正整数，并且120,2322=+=++xy x y x xy y ，则22y x += 。
21. 一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。
22. 已知且，则＝________。
23 .已知为整数，且满足，则＝________。
24．设N=23x+92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有 对。
27部分题解答:1.解法1：用特值法，取r=4，则有a=1114520=－，b ＝()2525155251.03625102020--==≈－ ，c ＝()5521521.18420204(2+5)--==≈∴c>b>a，选D解法2：a ＝()11111r r r r =++－，b ＝()()()11111111r r r r r r r r rr +-==+++++－ c ＝1r(r +r+1)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()4,111111111110111,111110111,:,Dr r r r r r rr r r r r rrr r r r r r r r r a brr r r rr r r rr r r rr r r rr rb c a b c ≥∴+-+++⎡⎤=++-+-⎣⎦⎡⎤=+-+-->⎣⎦∴+>+++<+++-++=+++->∴+++>++<<< 故又 故综上所述选 解法3：∵r≥4 ∴111rr ++＜1∴111111111a b r r r r r r⎛⎫⎛⎫=+-<-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ c ＝111111r r r r br rr r r +-+->=-=++ ∴a<b<c，选D3.∵M ＝，N ＝，P ＝，M －P ＝，∵，∴＞，即M －P ＞0，即M ＞P 。
4.不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝24185.解：因为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)为互不相等的偶数而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005－x 1)、(2005－x 2)、(2005－x 3)、(2005－x 4)、(2005－x 5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005－x 1)2＋(2005－x 2)2＋(2005－x 3) 2＋(2005－x 4) 2＋(2005－x 5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96展开得：()()222222123451234552005-4010x +x +x +x +x +x +x +x +x +x 96⋅= ()()2222221234512345x +x +x +x +x =96-52005+4010x +x +x +x +x 1m o d 10A ∴⋅≡ ，选 6.设a 、b 、c 为正整数，且a 2＋b 3＝c 4，求c 的最小值。
解：显然c ＞1.由题设得：(c 2-a)(c 2+a)=b 3若取()22221,2bb c a b c c a b ⎧+-==⎨+=⎩则 由大到小考察b ，使()12b b +为完全平方数，易知当b ＝8时，c 2＝36，则c=6，从而a=28。
下面说明c 没有比6更小的正整数解，列表如下：c c 4 x 3(x 3<c 4) c 4-x 3 2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,6480,73,54,174 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 56251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数。
故c 的最小值为67.答：∵，即。
∴10.解：因为0<23029302301<+<<+<+a a a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+301a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+302a ，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3029a 等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3011302301a a a =0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+302930133012a a a =1， 所以 130110<+<a ，1≤3012+a ＜2． 故18≤30a ＜19，于是6≤10 a ＜319，所以[]a 10=6．11.解：（1）21=x 满足条件． ……………5分（2）因为a bx =，a ，为互质的正整数，且a ≤8，所以1312-<<-ab， 即 ab a )()(1312-<<-． 当a=1时，113112⨯-<<⨯-)()(b ，这样的正整数b 不存在． 当a=2时，213212⨯-<<⨯-)()(b ，故b =1，此时21=x ．当a=3时，313312⨯-<<⨯-)()(b ，故b =2，此时32=x ．当a=4时，413412⨯-<<⨯-)()(b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a=5时，513512⨯-<<⨯-)()(b ，故b =3，此时53=x ．当a=6时，613612⨯-<<⨯-)()(b ，与a 互质的正整数b 不存在． 当a=7时，713712⨯-<<⨯-)()(b ，故b =3，4，5此时73=x ，74，75．当a=8时，813812⨯-<<⨯-)()(b ，故b =5，此时85=x所以，满足条件的所有分数为21，32，53，73，74，75，85．………………15分12.解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为bcdef a 82．根据题意，有81×abcdef=bcdef a 82．记fe d c b x +⨯+⨯+⨯+⨯=10101010234，于是 xa x a +⨯+⨯=+⨯⨯6551010208811081， 解得x =1250×(208－71a ) ．因为0≤x ＜510，所以0≤1250×(208－71a )＜510，故a <71128≤71208．因为a 为整数，所以a=2．于是x =1250×(208－71×2)=82500． 所以，小明家原来的电话号码为282500．13.解法一：由①－2×②得01242>+=-)()(a c b ，所以a >－1． 当a >－1时， 14162222++=+a a c b =0712>++))((a a ．………………10分 又当b a =时，由①，②得 141622++=a a c ， ③542--=a a ac ④将④两边平方，结合③得2222541416)()(--=++a a a a a 化简得 0254082423=--+a a a ， 故 0524562=--+))((a a a ，解得65-=a ，或4211±=a ．所以，a 的取值范围为a >－1且65-≠a ，4211±≠a ．………………………15分解法二：因为14162222++=+a a c b ，542--=a a bc ，所以 222221448454214162)()()(+=++=--+++=+a a a a a a a c b ， 所以 )(12+±=+a c b ． 又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程 0541222=--++±a a x a x )( ⑤ 的两个不相等实数根，故05441422>---+=∆)()(a a a ，所以a >－1． 当a >－1时， 14162222++=+a a c b =0712>++))((a a ．………………10分 另外，当b a =时，由⑤式有 0541222=--++±a a a a a )(， 即 05242=--a a 或 056=--a ，解得，4211±=a 或65-=a ．当c a =时，同理可得65-=a 或4211±=a ．所以，a 的取值范围为a >－1且65-≠a ，4211±≠a ．………………………15分18.225；设(b a ,)＝d ，且md a =，nd b =，其中n m >，m 与n 互质。
