初三数学圆所有经典难题

圆所有经典难题一，选择题1.下列命题中正确的有( )个(1) 平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。

B 、一个三角形只有一个外接圆。

C 、和半径垂直的直线是圆的切线。

D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。

4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ）Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。

7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。

8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），A BP O则此圆的半径为（ ）A ．2b a +B ．2b a -C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或10.如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π二．填空题1.已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为__________(结果保留π)3.将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____．4.如图AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则ΔABC 的周长是 . E ACA F ·O PB ·O CBD5.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r 的半圆，则这个圆锥的全面积是__________．6.圆柱的底面半径是3 cm ，母线长为4 cm ，那么圆柱的侧面积为_______．7.在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为 。

初中数学圆的难题汇编附答案解析
一、选择题
1．如图，在 中， ．将 绕点 按顺时针方向旋转 度后得到 ，此时点 在 边上，斜边 交 边于点 ，则 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× =2 ，AB=2BC=4，
A．50°B．60°C．80°D．90°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得： ，则∠DBC=2∠EAD=80°．
【详解】
如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°．
∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M．
∴S阴影=S扇形−S△ODC= − ×3×3= − .
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.
5．如图， 是 的直径， 是 上一点（ 、 除外）， ，则 的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平角得出 的度数，进而利用圆周角定理得出 的度数即可．
故选C．
考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )
A．1B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE= AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（235 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．3．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(2632)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）∵点A6，0），点B为（02）∴62∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：2∴M的半径r=122.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=263=∴点E 的坐标为（26，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×3=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.6．如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝2，AC ＝4，BD ＝6，求⊙O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35. 【解析】【分析】 (1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ，从而证明AD 为圆O 的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ，∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝352∴⊙O的半径为352．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移【解析】【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝12平行四边形ABCD的面积，得出12AF×BM＝12CE×BN，证出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四边形的性质得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，由直角三角形的性质得出BP＝12AB＝2x，BQ＝12BE，AP＝BP＝，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝x，CE，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ． （4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP BP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝x ，CE ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解； （3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635TH , ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8； 综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．9．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．连接FC ．由FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ．因为AG AG =，推出∠GFA ＝2∠ACG ，再证明∠ACG ＝∠ABC ．②图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．想办法证明∠GFA ＝120°，求出EF ，OF ，OG 即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC ．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为35； （2）相似，理由见解析， 如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。

2021年中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章圆难题训练一．选择题（共18小题）1．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（）A．9B．3+4C．10D．62．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤84．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形C．＝2D．BC＝2CE5．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（）A．5B．4C．3D．26．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE ＝BF，，OE＝1，则BC的长为（）A．2B．3C．4D．57．如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A'、B'、C'、D'四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：①甲的行距比乙的小；②甲的行距为；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（）A．3B．2C．+1D．不能确定10．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（）A．B．C．D．﹣11．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（）A．3B．4C．5D．612．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．513．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连接AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A 从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．14．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE ＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．15．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣116．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．17．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．18．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共10小题）19．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，M，N是BC边上两个动点，若AB，AC边上分别存在点P，Q使得∠MPN＝∠MQN＝60°，则线段MN的最小值为．20．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH ＝60°，则线段EH长．21．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为弧AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为4，则PN+MN的长度的最大值是．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是．23．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．24．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P 为圆心，P A为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为．26．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．27．如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D 在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．28．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是．三．解答题（共10小题）29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，点F在BC上，且BF＝DF．（1）求证：DF是半圆O的切线；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．30．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．31．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，且CD＝3，试求阴影部分的面积．32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过点C 作CG∥BD交AD的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AB＝3，AD＝5，求AC的长．33．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．35．如图在⊙O中，AB为直径，BP为⊙O的弦，AC与BP的延长线交于点C，且BP＝PC，PE⊥AC于E．求证：PE是⊙O的切线．36．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若OE＝3，AO＝5，求AC的长．37．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC 于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．38．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．2021年中考第一轮复习数学人教版九年级上册第24章圆难题训练参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（）A．9B．3+4C．10D．6【分析】设EC＝a，EB＝b．证明△P AC∽△PDB，可得＝＝＝，推出可以假设P A＝PB＝3k，则PC＝2k，PD＝k，再证明△EAB∽△EDC，可得＝＝，构建方程组，求出a，b即可．【解答】解：设EC＝a，EB＝b．∵∠APC＝∠DPB，∠A＝∠D，∴△P AC∽△PDB，∴＝＝＝，∴可以假设P A＝PB＝3k，则PC＝2k，PD＝k，∴CD＝k，AB＝6k，∵∠E＝∠E，∠A＝∠D，∴△EAB∽△EDC，∴＝＝，∴＝＝，可得a＝，b＝，∴EC+EB＝a+b＝10，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．【解答】解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，∵CB⊥l，∴∠DBC＝90°，∵BD＝BC，∴∠CDB＝45°，∵⊙O与直线l相切于点A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠AED＝45°，连接OC，则OC⊥DE，在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得OE＝＝，∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．则AB+BC的最大值是+1．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．3．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（）A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．【解答】解：（1）当点O2在点O1的右侧时，当⊙O2向右移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，则O2M＝4，又∵∠AO2O1＝30°，∴O1O2＝2•O2M＝8，当⊙O2继续向右移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2＝6﹣4＝2，所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；（2）当点O2在点O1的左侧时，根据圆的对称性可知，2≤x≤8，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC且∠BAC＝45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，F在AC上，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）A．BD＝CD B．四边形DHEF为矩形C．＝2D．BC＝2CE【分析】根据圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定等矩形逐一判断即可．【解答】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，故A正确；∵DF与⊙O相切，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∴∠EHD＝90°，∴四边形DHEF为矩形，故B正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵＝，∴＝2，故C正确；∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，即∠BCE＝67.5°，∴∠EBC＝22.5°，∴sin∠EBC＝sin22.5°＝≠．故D错误．故选：D．【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定，解决本题的关键是掌握圆的切线．5．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误．②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误．③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误．④证明∠EFC＝∠ECF＝45°，可判断正误；⑤由∠CBF＝∠CPB＝30°，∠DFB＝∠FBP+∠BPF，∠CBP＝∠FBP+∠CBF推出∠DFB＝∠CBP，可判断正误．【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图，∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BAH＝30°，∵BD与半圆O相切于点B．∴∠ABD＝90°，∴∠H＝60°，∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，∴∠ABP＝15°，∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，∴∠PDB不一定等于∠ABD，∴PB不一定等于PD，故①错误；②∵M，C是半圆上的三等分点，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵直径AB＝8，∴OB＝OC＝4，∴的长度＝＝π，故②正确；③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，∵BE⊥OC，∴∠OBE＝∠CBE＝30°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝60°，故③错误；④∵＝，∴∠ABP＝15°，∵∠ABD＝90°，∠DBE＝60°，∴∠PBF＝15°，∵∠BPC＝30°，∴∠CFE＝∠FPb+∠FBP＝45°，∵∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴EC＝EF，故④正确，⑤∵∠CBF＝∠CPB＝30°，∠DFB＝∠FBP+∠BPF，∠CBP＝∠FBP+∠CBF，∴∠DFB＝∠CBP，故⑤正确，故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用．6．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，若AE ＝BF，，OE＝1，则BC的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．利用全等三角形的性质证明AE＝CJ＝BF＝BH，CT＝BH．EH＝BH，再利用勾股定理求出EC，BC即可．【解答】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH⊥AB于H．∵AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴OC⊥AF，∴∠AJO＝∠CEO＝90°，∵∠AOJ＝∠COE，OA＝OC，∴△AJO≌△CEO（AAS），∴OJ＝OE，∴AE＝CJ，∵AB是直径，∴∠F＝∠CJT＝90°，∵AE＝BF，∴BF＝CJ，∵∠CTJ＝∠BTF，∴△CTJ≌△BTF（AAS），∴CT＝BT，∵TH⊥AB，CD⊥AB，∴TH∥CE，∴EH＝BH，∵＝，∴∠TBF＝∠TBH，∵∠F＝∠THB＝90°，BT＝BT，∴△BTF≌△BTH（AAS），∴BF＝BH，∵AE＝BF，∴AE＝BH，∵OA＝OB，∴OE＝OH＝1，∴EH＝BH＝2，∴AE＝BH＝2，∴AB＝6，OC＝OB＝3，∴EC＝＝＝2，∴BC＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图，是同一种蔬菜的两种栽植方法．甲：A、B、C、D四珠顺次连接成为一个菱形，且AB＝BD．乙：A'、B'、C'、D'四株连接成一个正方形．其中两行作物间的距离为行距；一行中相邻两株作物的距离为株距；设这两种蔬菜充分生长后，每株在地面上的影子近似成一个圆面（相邻两圆如图相切），其中阴影部分的面积表示生长后空隙地面积．设株距都为a，其它客观因素都相同．则对于下列说法：①甲的行距比乙的小；②甲的行距为；③甲、乙两种栽植方式，空隙地面积面积相同；④甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意求出甲乙的行距，阴影部分的面积即可判断．【解答】解：∵甲的株距为a，行距为a，乙的行距为a，∴甲的行距比乙的小，故①②正确，∵甲阴影部分的面积＝2×a2﹣π•（）2＝a2﹣，乙的阴影部分的面积＝a2﹣π•（）2＝a2﹣，∴甲的空隙地面积比乙的空隙地面积少，故③错误，④正确．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OA i B i∁i D i E i，则正六边形OA i B i∁i D i E i（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，﹣）B．（1，）C．（1，﹣2）D．（2，1）【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2020÷8＝252…4，所以∁i的坐标与C4的坐标相同．【解答】解：由题意旋转8次应该循环，∵2020÷8＝252…4，∴∁i的坐标与C4的坐标相同，∵C（﹣1，），点C与C4关于原点对称，∴C4（1，﹣），∴顶点∁i的坐标是（1，﹣），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD+CD的值为（）A．3B．2C．+1D．不能确定【分析】如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．利用全等三角形的性质证明DE＝DF，AE＝CF，推出DA+DC＝2DF，求出DF即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDE＝∠BDF，∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE＝BF，DE＝DF，∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），∴AE＝CF，∴AD+DC＝DE+AE+DF﹣CF＝2DF，∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，∴BF＝BD＝，∴DF＝＝＝，∴DA+DC＝3，故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，⊙O的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在⊙O上运动，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足为点C，连接OC，则OC的最小值是（）A．B．C．D．﹣【分析】如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．解直角三角形求出CH，OH，根据OC≥OH﹣CH求解即可．【解答】解：如图，设BM交⊙O于T，连接OT，OA，过点O作OH⊥AT于H，连接CH．∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，∵OT＝OA，∴△OTA是等边三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，∵OH⊥AT，∴TH＝AH＝，OH＝＝＝，∵AC⊥BM，∴∠ACT＝90°，∴CH＝，∵OC≥OH﹣CH＝﹣，∴OC的最小值为＝﹣．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（）A．3B．4C．5D．6【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，∴EG⊥BC，∵∠C＝90°，∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A，∵∠GFO′＝∠C＝90°，∴△O′FG∽△BCA，∴，∴＝，∴O′G＝，∴EG＝，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC﹣CH﹣BE＝8﹣1﹣3＝4，∴⊙O平移的距离为4，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．5【分析】如图，当点B与A重合时，连接CD．证明OE＝AC，此时OE的值最大．【解答】解：如图，当点B与A重合时，连接CD．∵BD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴CD是直径，∵OE⊥AD，∴AE＝ED，∵OC＝OD，∴OE＝AC＝4，此时OE的值最大，最大值为4∴OE的最大值为4，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．13．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连接AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A 从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F，求两个弓形的面积之差即可；【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD•sin60°＝10×＝5，S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，当∠A＝60°时，过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，S弓形AD′＝﹣×10×5＝π﹣25，∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE ＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC 交AD于J．∵＝，∴AC＝BC，OC⊥AB，∵AB是直径，∴ACB＝90°，∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∴∠CAJ＝∠BCF，∴△CAJ≌△BCF（ASA），∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，∵OC＝OB，∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，∴△ACE≌△CBH（AAS），∴EC＝BH＝1，∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，∴△CEJ∽△COF，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，∴△BHF≌△CEJ（AAS），∴FH＝EJ＝，∵AE∥BH，∴＝，∴＝，整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），∴y＝2x，∴＝，解得x＝或﹣（舍弃）．∴BF＝，故选：A．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣1【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠P AG＝30°，∴∠OAP＝∠TAG，＝＝∴＝，∴△OAP∽△TAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴TG＝2，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+2，∴OG的最大值为1+2，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．16．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．【分析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．只要证明△EFB是等腰直角三角形，即可推出EF＝BF＝1，再利用勾股定理求出EC即可解决问题；【解答】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴＝，∴AD＝BE＝，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC＝＝＝，∵△OCE是等腰直角三角形，∴OC＝＝．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD 为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二．填空题（共10小题）19．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，M，N是BC边上两个动点，若AB，AC边上分别存在点P，Q使得∠MPN＝∠MQN＝60°，则线段MN的最小值为．【分析】如图1，在BC边上取点M、N，以MN为边作等边三角形△MNG，并作△MNG 外接圆⊙O，则所对圆周角＝∠MGN＝60°，⊙O交AB、AC于P、Q时，易知∠MPN ＝∠MQN＝60°，则⊙O与△ABC有交点，且半径最小时MN可取得最小值，推出⊙O 与AB、AC相切时MN最小，如图2．【解答】解：如图1，在BC边上取点M、N，以MN为边作等边三角形△MNG，并作△MNG外接圆⊙O，则所对圆周角＝∠MGN＝60°，⊙O交AB、AC于P、Q时，易知∠MPN＝∠MQN＝60°，则⊙O与△ABC有交点，且半径最小时MN可取得最小值，∴⊙O与AB、AC相切时MN最小，如图2，此时OP⊥AB，OP＝r，OQ⊥AC，OQ＝r，∴圆心O在∠BAC角平分线上，即在△ABC底边上的高AD上，∴BD＝CD＝6，AD＝8，连接MO，NO，PO，圆心角∠MON＝2∠MPN＝120°，MO＝NO＝OP＝OQ，∴∠MOD＝60°，设半径为r，则，，∵∠ADB＝∠APO＝90°，∠BAD＝∠BAD，∴△APO∽△ADB，∴，即，解得，则．故答案为：．【点评】本题考查三角形的外接圆，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【分析】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG ∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．21．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B＝60°，点O在∠B内，点D为弧AC上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为4，则PN+MN的长度的最大值是4+2．【分析】连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝2，∴AC＝4，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝2，∵CP＝PB，CN＝DN，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为4，∴PM+MN的最大值为4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P在线段AB上，⊙P与x轴交于A、C两点，当⊙P与y轴相切时，AC的长度是﹣1．【分析】根据一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出OA和OB的长，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，根据平行线分线段成比例定理，设PD＝PC＝x，则BD＝2x，作PE⊥OA于点E，可得四边形OEPD是矩形，PD＝OE＝x，PE ＝OD＝x，4﹣2x，AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，根据勾股定理可得x的值，再根据垂径定理可得AC的长．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，如图，设⊙P与y轴相切于点D，连接PD，∴PD⊥OB，∵OA⊥OB，∴PD∥OA，∴＝＝，设PD＝PC＝x，则BD＝2x，∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2x，作PE⊥OA于点E，∴四边形OEPD是矩形，∴PD＝OE＝x，PE＝OD＝4﹣2x，∴AE＝CE＝OA﹣OE＝2﹣x，∴PC2＝PE2+CE2，∴x2＝（4﹣2x）2+（2﹣x）2，解得x＝，∵＞2，不符合题意舍去，∴x＝，∵PE⊥AC，根据垂径定理，得AC＝2AE＝2（2﹣x）＝4﹣（5﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、垂径定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．23．如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B 在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为32．【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝16，则AB的最大长度为32．【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（6，8），∴OC＝＝10，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为6，∴OP＝OA＝OB＝16，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为32，故答案为32．【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．24．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P 为圆心，P A为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是＜AP＜或AP＝．【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；【解答】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，∵⊙P与边BC相切于点E，∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，∴AC⊥PE，∴AC∥PF，∴＝，∴＝，∴x＝，AP＝；如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．．S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，PE＝，观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、B、C三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝．故答案为：＜AP＜或AP＝．【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为5．【分析】如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．证明∠ACT＝45°，求出AT即可解决问题．【解答】解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．。