电磁场理论

2011-9-20
麦克斯韦方程组；电磁场
在真空中 u0 = c =
2
1
ε 0μ0
= c = 3.0 ×108 m s
2 2
1∂E 2 ∇ E− 2 2 =0 u ∂t
1 ∂ E ∂ E = 2 2 2 u ∂t ∂x
2 2
1 ∂B ∇ B− 2 2 =0 u ∂t
对于仅沿 x 方向传播的一维平面电磁波，有
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麦克斯韦方程组；电磁场
一、电磁波的波动方程
无限大均匀介质或真空中，空间内无自由电荷， 也无传导电流。则麦克斯韦方程组
∂B ∇×E = − ∂t
∇• D = 0
∂D ∇×H = ∂t
∇• B = 0
介质性质方程：
D = εE
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B = μH
麦克斯韦方程组；电磁场
∂B ∇×E = − ∂t
通过电场中某截面的位移电流等于电位移通量的时间变化率 在无传导电流的介质中 ID = 回路导线段 传导电流I 一般情况位移电流 I D = dΦD = d D⋅ dS = ∂D ⋅ dS ∫∫S ∂t S dt dt ∫∫
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变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生 磁场的角度看，变化的电场可以等效为一种电 ∂D 流。I = dΦD = d D⋅ dS ⋅ dS = ∫∫ D ∫∫S S ∂t dt dt 若把最右端电位移通量的时间变化率看作为一种电流， 那么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为位移电流。
§4 麦克斯韦方程组；电磁场
§4-1 位移电流 §4-2 全电流安培环路定理 §4-3 麦克斯韦方程组 §4-4 电磁波 §4-5 电磁波能量与电磁波谱
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1819年奥斯特 1831年法拉第 变化的磁场 变化的电场 激发
电 产生 磁 电场 磁场 产生
磁 电
?
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r<R
P
S
∫
L1
H1 ⋅ dl = ∫∫ J D ⋅ dS = J Dπr 2
ε 0U 0
l
O
R
O′
−
H1 2πr =
πr 2ω cosωt
+
l
⎛ ε 0U0 ⎞ H1 = ⎜ ω cosωt ⎟r ⎝ 2l ⎠
⎞ ⎛ U 0ω B1 = μ 0 H1 = ⎜ 2 cosωt ⎟ r ⎝ 2lc ⎠
例 半径为R,相距l(l«R)的圆形空气平板电容器,两端 加上交变电压U=U0sinωt,求电容器极板间的: (1)位移电流; (2)位移电流密度的大小; (3)位移电流激发的磁场分布B(r),r为圆板的中心距离.
P
O
R
O′
−
+
l
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解： (1)由于l«R,故平板 间可作匀强电场处理,
∫∫ B ⋅ d S = 0
S
是磁场的高斯定理,反映磁场
传导电流、位移电流产生的磁场都是无源场,磁感 应线总是闭合曲线,该方程也叫磁通连续方程.
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方程 (3) ∫L E ⋅ dr = −∫∫S ∂ t ⋅ dS 是电场的环路定理,反 映了变化的磁场和电场之间的联系 —— 法拉第电磁感应定律 静电场是保守力场，变化磁场可以激发涡旋电场 方程 ( 4) ∫LH ⋅ dr = ∑ I i + ∫∫S ∂ t ⋅ dS = ∫∫S (J + ∂ t ) ⋅ dS i 是全电流安培环路定理(磁场环路定理),反映了 变化的电场和磁场之间的联系 传导电流和变化电场都可以激发涡旋磁场
L
= I
I
矛 盾
பைடு நூலகம்S2
R
ε
∫ H ⋅ dl
L
=I
∫ H ⋅ dl = 0
S1 L
I R
S2
ε
稳恒磁场的安培环路定理已 不适用于非稳恒电流的电路
2. 位移电流假设
非稳恒电路中，在传导电流中断处必发生电荷分布的变化
I = dq / dt
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极板上电荷的时间变化率等于传导电流
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定义
{
dΦ D d ∂D ID = = ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫ ⋅ dS S ∂t dt dt S ∂D jD = ∂t
（位移电流密度） 位移电流与传导电流方向相同
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位移电流的方向
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3. 位移电流的特点
1、只要电场随时间 变化，就有相应的位 移电流. (1)在无传导电流的介质中 ID = 回路导线段 I . (2)在导体中，低频 时ID << I， 可 忽略；高频时不可略 (1)传导电流只存在于导体中，有电荷 流动，通过导体会产生焦耳热. (2) ID则无论是导体、介质或真空中都 可以存在，无电荷流动，一般不存 在热效应。在高频交变电场作用下 ，介质也发热，那是分子反复极化 造成，不遵守焦耳—楞次定律.
电荷分布的变化必引起电场的变化 电位移通量
(以平行板电容器为例)
σ (t )
− σ (t )
σ D = εE = ε ⋅ = σ ε ΦD (t ) = σ (t )S = q(t )
ΦD = DS = ΦD (t )
I (t )
D(t )
I (t )
S
dq dΦD I= = = I D —位移电流(电场变化等效为一种电流) dt dt
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变
⎛ ∂D ⎞ ∫LH ⋅ dl = ∫∫S ⎜ j + ∂t ⎟ ⋅ dS ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
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一、积分形式
麦克斯韦指出：变化的电场和磁场不是彼此孤立的， 它们相互联系，彼此激发，组成一个统一的电磁场
静 电 场 稳 恒 磁 场
∫∫ D ⋅ dS = ∑Qi
S o
代入,可得同样结果. (2)由位移电流密度的定义
∂D ∂E ε 0 ∂U ε 0U 0 JD = = ε0 = = ω cos ωt ∂t ∂t l ∂t l
或者
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J D = I D πR
2
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(3)两极板间的位移电流相当于均匀分布的柱电流，这将 产生具有轴对称性的涡旋磁场,由全电流安培环路定律得
∂D ∇• D = 0 ∇• B = 0 ∇×H = ∂t ∂2E 1 2 ∇ E − με 2 = 0 令u = ∂t εμ ∂2B ∇ 2 B − με 2 = 0 电磁场的传播速度 ∂t
1∂E ∇ E− 2 2 =0 u ∂t 2 1∂B 2 ∇ B− 2 2 = 0 u ∂t
2 2
电磁场的波动微分方程
∫
L
E o ⋅ dr = 0
o
i
涡 旋 电 场 “涡 旋 磁 场”
∫∫ D ′ ⋅ d S
S
= 0
∂B ∂t
S
∫ E ⋅ dr = − ∫∫
' L
⋅ dS
∫∫ B
S
⋅ dS = 0
i
∫
L
H o ⋅ dr = ∑ I i
∫∫ B′ ⋅ dS = 0
S
∫ H ⋅ dr = ∫∫
' L
∂D ∂t
S
⋅ dS
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2、位移电流与传导电 流是完全不同的概念， 仅在产生磁场方面二者 等价.
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§4-2 全电流安培环路定理 全电流和全电流安培环路定律
1、全电流 通过某一截面的全电流是通过这一截面的传导 电流和位移电流的代数和. 电路中的全电流在任何情况下总是连续的. 在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立。 2、全电流安培环路定律
∂D ∫LH ⋅ dl = ∑ I + I D = ∑ I + ∫∫S ∂t ⋅ dS
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∂D ∫LH ⋅ dl = ∑ I + I D = ∑ I + ∫∫S ∂t ⋅ dS
对S2面
dΦD ∫L H ⋅dl = ID = dt
dq dΦD I= = = ID dt dt
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r>R
P
2
∫
L2
H 2 ⋅ dl = I D = J DπR
2
O
R
O′
−
+
l
⎞1 I D ⎛ ε 0 R U0 H2 = =⎜ ⎟ ⎜ 2l ω cosωt ⎟ r 2πr ⎝ ⎠
⎛ R2U0ω ⎞1 cosωt ⎟ B2 = μ0 H2 = ⎜ 2 ⎜ 2lc ⎟r ⎝ ⎠
i
∂B
S ∂t
⋅ dS
(4)
∫ H ⋅ dr = ∑ I i + ∫∫
L
∂D ∂t
S
⋅ dS
= ∫∫ ( J +
S
∂D ∂t
) ⋅ dS
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麦克斯韦方程组；电磁场
麦克斯韦方程组的物理意义 方程 (1) ∫∫S D ⋅ dS = ∑ Q i = ∫∫∫V ρ d V 是电场的高斯定理 i （电场通量定理）.它给出了电场强度与电荷的关系, 揭示了电场的性质.其中的电场既包括电荷产生的,也 包括变化的磁场产生的. 静电场是有源场、感生电场是涡旋场 方程 ( 2 ) 的性质
∇⋅ B = 0
Maxwell 方程组
⋅ dS
根据斯托克斯公式
L
∫ F ⋅ d r = ∫∫ (∇ × F )⋅ d S
S
∫
L