组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷

2014-2015-1《组合数学》试卷（A ）答案一、填空题（每小题3分，共24分）1．6()x y +所有项的系数和是（ 64 ）.2．将5封信投入3个邮筒，有（ 243 ）种不同的投法.3．在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有（ 22 ）种不同的选取方法.4．把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有（ 7 ）种不同方式.5．把5个不同的球安排到4个相同盒子中，无空盒，共有种（ 10 ）不同方法.6．一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（ 44 ）种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子.7. 在边长为a 的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于（28a ）. 8．棋盘多项式 R ()=（ x 2 +3x+1 ）.二、单项选择题（每小题3分，共24分）9．...0110p q p q p q r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ B ）， min{,}r p q ≤.A 、1p q r +⎛⎫ ⎪-⎝⎭；B 、p q r +⎛⎫ ⎪⎝⎭；C 、1p q r +⎛⎫ ⎪+⎝⎭； D 、1p q r ++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 10. ()na b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（ B ）项. A 、n； B 、3n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭； C 、4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭； D 、!n . 11．多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是（ C ）.A 、 78 ；B 、 104 ；C 、 96 ；D 、 48.12．有4个相同的红球，5个相同的白球，则这9个球有（ B ）种不同的排列方式.Ａ、 63 ； Ｂ、 126 ； Ｃ、 252 ； Ｄ、378.13. 设,x y 均为正整数且10x y +≤，则这样的有序数对()y x ,共有（ D ）个.A. 100 ；B. 81 ；C. 50 ；D. 45.14. 递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（ B ）（α为待定常数）.A 、2n n α⋅；B 、2n α；C 、32n n α；D 、22n n α. 15．递推关系()6(1)9(2)f n f n f n =---的一般解是（ B ）（12,C C 为任意常数）.A 、11233n n C C -+；B 、12()3nC C n +； C 、1(1)3n C n +；D 、1233n n C C +.16. 数列n a n =的普通母函数是（ D ）A 、11t - ；B 、1t t- ； C 、2-1(1)t - ； D 、2(1)t t -.三、解答题（每小题10分，共30分）17. 用数字1、2、3、4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含一个3的n 位数 ( n > 1 ).解：由指数母函数()4!2!11!2!1!21!3!1342223tt t e e e t t t t t t t t A -+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= =()()!134410n t n n n n n -+-∑∞=，!n t n 的系数()4314nn n -+- 即为所求. …………10分18. 解递推关系：12012749562(2),,.44n n n a a a n n a a --=-++≥==， 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （1）的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为.3221n n n c c a ⨯+⨯= …………………………………（4分）因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系()226521≥++-=--n n a a a n n n （2）有特解 B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An化简得,2722+=-+n A B An 所以 解之得.411,21==B A 于是 ⎩⎨⎧=-=27212A B A,41213221++⋅+⋅=n c c a n n n ……………………………（8分） 其中21,c c 是待定常数. 由初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++44941121324274112121c c c c解之得.1,321==c c 所以).2(41121323≥+++⨯=n n a n n n ……………………（10分）19. 求1到1000之间不能被5、6 或8整除的自然数的个数.解：设A 为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B 为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C 为1至1000的整数中能被8整除的数的个数. 则81201000,41241000,25401000,33301000,12581000,16661000,20051000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A C B C A B A C B A 所以 4008412533125166200C B A =+---++=+---++=CB AC B C A B A C B A 即所求为：6004001000=-. ………………………………………………10分四、证明题（每小题11分，共22分）20. 设0[]:0,[]:(1)(1),k x x x x x k k ==--+∈N ，s(,),(,)n k S n k 分别为第一、第二类Stirling 数，定义为：0[](,)n k n k x s n k x ==∑，0(,)[]n n k k x S n k x ==∑. 证明： （1）第二类Stirling 数满足递推关系：(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥；（2）两类Stirling 数满足关系：0,(,)(,)1,n k m m n S n k s k m m n =≠⎧=⎨=⎩∑. 证明：（1）[]1100011111(,)[][()](,)[](,)[](,1)[](,)[](,1)(,)[](,)[]n n nn nk k k k k k n n nk k k n k m k x x x S n k x x k k S n k x kS n k x S n k x kS n k x S n k kS n k x S n n x ++===++====⋅=-+=+=-+=-++∑∑∑∑∑∑因为110(1,)[]n n k k x S n k x ++==+∑，所以比较两等式的[]k x 的系数，即得递推关系：(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥. …………………6分（2）因为00(,)[],[](,)n kn m kk k m x S n k x x s k m x ====∑∑，所以 000(,)(,)(,)(,)n k n n n m m k m m k mx S n k s k m x S n k s k m x ======∑∑∑∑比较两等式的mx 的系数，即得： 0,(,)(,)1,nk m m n S n k s k m m n =≠⎧=⎨=⎩∑. ………………………11分21. 考虑n 个数12,,,n a a a 的乘积123n a a a a ，依据乘法的结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积. 设n p 为n 个数乘积的n -1对括号插入的不同方案数.（1）证明n p 的递推关系为：112211,(2)n n n n p p p p p p p n ---=+++≥；（2）用母函数方法证明：221,(2).1n n p n n n -⎛⎫=≥ ⎪-⎝⎭证明：（1） n 个数12,,,n a a a 的乘积的最后一次乘法运算是前k 个数的积与后n - k 个数的积之间进行，其中1,2,,1k n =-. 前k 个数可以有k p 种不同的方法加括号，而后n-k 个数可以用n k p -种不同的方法加括号. 这样，当k 取遍{}1,2,,1n -时，集所有可能性，于是我们得到112211,(2).n n n np p p p p p p n---=+++≥………………5分（2）显然121p p==，设1()nnnG x p x∞==∑，由递推公式11, 2.nn k n kkp p p n--==≥∑有111122111121111()()n nn n n nn n k n k k n kn n n k n kn k nk n k k nk n k k nG x p x x p x x p p x x p p xx p p x x p x p x x G x∞∞∞-∞+--+======∞∞∞∞+-+======+=+=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2[()]()0G x G x x∴-+=，解得114().2xG x±-=因为(0)0G=，所以“+”舍去，114()2xG x--=. 又因为所以，当1n≥时，np=11分。

答案一、CDABA BACDCDA 13、57-14、3/10 15、017、)4sin(π+x 18、3- 19、解：(1)由条件1OA =，AON θ∠=cos OC θ∴=，sin AC θ= ……2分1sin cos sin 22S θθθ∴== ……4分其中02πθ<< ……6分(2) 02πθ<<,02θπ∴<< ……8分故当22πθ=，即4πθ=时，……10分max 12S =. ……12分20、解：(1) 这二十五个数据的中位数是397.……4分 (2)品种A 亩产量的频率分布表如下：………………………8分(3)品种A 亩产量的频率分布直方图如下：0.0.0.0.0.0.0.0.………12分21、解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…………2分 由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，……………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。

………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2[sin )]12cos 2sin cos 12x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[,1]42x π+∈-，∴()g x 的值域为[-。

………………………………………12分22、解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---， ……………1分 由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---， …………２分 解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。

2014-2015年高一数学必修五试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1．已知集合2{(1)37,},A x x x x R =-<+∈0,1x B x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭则A B ⋂= ( )A ．[]1,0-B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．[)1,0-2．在ABC ∆中，若2,60a b B ︒===，则此三角形（ )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．解的个数无法确定 3．在数列{}n a 中，1121,,2nn n a a a a +==+则该数列的第5项为（ ） A ．12 B ．25 C ．13 D ．23 4．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A ．202400x y x y x --<⎧⎪+->⎨⎪≥⎩B ．20240x y x y x --<⎧⎪+-<⎨⎪≥⎩C ．202400x y x y x -->⎧⎪+-<⎨⎪≥⎩D ．202400x y x y x -->⎧⎪+->⎨⎪≥⎩5．等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知123,2,3S S S A ．3-B ．13-C ．3D ．136．设01b a <<<，则下列不等式不成立的是（ ）A ．222ba<< B ．11220log log a b << C ．21ab b << D ．21ab a <<7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若角3C π>，sin 2sin a C b A =，则下列结论正确的有 （ ）个①一定是锐角三角形；②一定是等腰三角形；③可能是等腰直角三角形；④可能是等边三角形 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且9593n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．若数列{}n a 满足：132a =，112(2,3,4,)221n n a n a -=-=+，且有一个形如sin()n a A n ωϕ=+的通项公式，其中,,A ωϕ均为实数，且0ω>，则此通项公式n a 可以为（ ）A ．32sin 236n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2233n a n ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．325sin 236n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．233n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且对任意的a R ∈，都有()()0f a f a -+=，若x y 、满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，则当14x ≤≤时，2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．8二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．《莱因徳纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。

2014年秋《组合数学》期末考试试题一．填空（每空5分，共6×5 = 30分）1.将5个标有不同序号的珠子穿成一环，共有_____种不同的穿法。

2.教室有两排座位，每排6 个座位，现有学生9 人。

其中有3 名学霸总坐在第一排，2 名学渣总坐在最后一排。

求有_____种坐法？3.(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)7的展开式中，项231345a a a a的系数是_____。

4.从n双互相不同的鞋中取出r只（nr ），要求其中没有任何两只是成对的，问共有_____种不同的取法。

5.a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df的排列数为_____。

6.箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有_____只是完整配对的。

二．选择题（每题5分，共6×5 = 30分）1.{1,2,3,4,5}组成的全排列，按字典序法，25431 的下一个排列是（）。

A. 31254B. 31245C. 21345D. 354212.由1，2，3，4，5这五个数字能组成（）个大于43500的五位数。

A. 800B. 1000C. 900D. 11003.盒中有3个红球，2个黄球，3个篮球，从中取4个球，排成一列，问共有（）种不同排列方案。

A. 70B. 170C. 60D. 804.若两个整数的最大公因子是1，则称这两个整数互素，请问1-500 之间与105 互素的数有（）个？A. 242B. 240C. 238D. 2295.等边三角形的3个顶点用红，蓝，绿3着色，有（）种方案。

A. 15B. 24C. 10D. 126. 班级中30人，有至少（）位同学在同一个月出生。

A．2 B. 3 C.1 D. 4三．简答题（第1题10分，第2题10分，第3题20分）1.一个有障碍的格路如下图所示: 从(0,0)点到(10,5)点的路径中,求不能过AB, CD,EF, GH的路径数。

（各点坐标为A(2,2), B(3,2), C(4,2), D(5,2), E(6,2), F(6,3), G(7,2),H(7,3) ）2.用1 x 1 和2 x 2 的两种瓷砖若干块，不重叠地铺满8 x 3 的地面，共有多少种方案？3.对如下正方形的4个小格用红、蓝两种颜色着色，可得多少种不同的图象，其中经过旋转后能吻合的两种方案只能算一种。

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。

2014-2015年高一下学期期末试卷一、选择题1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项，832S =， 则10S 等于（ ）A ．18B ．24C ．60D ．902．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．－1或12- 3．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象 如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 （ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x-4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 二、填空题5．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．6．已知平面向量(1,2)a =， (2,)b m =-， 且a //b ，则23a b +＝ . 7．某人射击1次，命中7~10环的概率如下表所示：则该人射击一次，至少命中9环的概率为 ．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，8，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为 ．9．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．10．已知平面向量,,1,2,()a b a b a a b ==⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．11．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.则数列{}n a 的前n 项和为n S = ．12．已知AB 是圆O 的一条直径，在AB 上任取一点H ，过H 作弦CD 与AB 垂直，则弦CD 的长度大于半径的概率是 ． 13．在ABC ∆中，15BC =，10AC =,60A ∠=，则cos B = ．14．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机首次抽得的号．．．．．．码．为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.则第Ⅲ营区被抽中的人数为 ．15．若0a >，0b >，2a b +=．则下列不等式：①1ab ≤； ≤； ③222a b +≥； ④112a b+≥.其中成立的是 ．(写出所有正确命题的序号). 三、解答题16.设向量cos sin m x x =（，），(0,)x π∈，(1,3)n =．（１）若||5m n -=，求x 的值；（２）设()()f x m n n =+⋅，求函数()f x 的值域．17．已知函数()31x f x x =+，数列{}n a 满足*111,()()n n a a f a n N +==∈. (1)证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （选做）(2)记12231n n n S a a a a a a +=+++,求n S .18．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b C ，cos a A -，cos c B 成等差数列. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b c +=，求ABC ∆的面积.19．已知数列}{n a 满足：121,(0)a a a a ==>，数列}{n b 满足*)(1N n a a b n n n ∈=+. （1）若}{n a 是等差数列，且,123=b 求a 的值及}{n a 的通项公式； （2）若}{n a 是等比数列，求}{n b 的前n 项和n S ；（选做）（3）若}{n b 是公比为1-a 的等比数列，问是否存在正实数a ，使得数列}{n a 为等比数列？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.。