华师大版初中数学八年级上册专题训练13.3 等腰三角形(含答案)

13.3 等腰三角形的性质与判断【含答案】一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．52．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（）A．15 B．18 C．20 D．223．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（）A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm5．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点6．如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，△PDE的周长为8，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．107．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.58．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（）A．14 B．16 C．10 D．1210．如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD二．填空题（共10小题）11．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为．12．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．13．如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC 于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D．则四边形BDEF的周长是cm．14．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．15．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为．16．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=．17．如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD=．18．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE=∠B，当BD的长为时，△ADE是等腰三角形．19．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是．20．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，过C作CE∥AD，交BA延长线于点E，若BA=7．则BE=．三．解答题（共10小题）21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求证：△DBC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：AB=AC．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．24．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．25．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．26．如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．27．如图，已知CE、CF分别是△ABC中∠ACB及外角∠ACD的平分线，点E在AB上，EF交AC于点M，且EF∥BC．（1）若∠B=45°，∠A=55°，求∠F的度数．（2）求证：ME=MF．28．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．29．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．30．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．13.3 等腰三角形的性质与判断【A1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．2．（2016春•福田区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（）A．15 B．18 C．20 D．22【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB，同理可证得DF=FC，∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22，即△AEF的周长为22，故选D．3．（2016春•保定期中）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE=5．故选A．4．（2016春•永登县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（）A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，∴DE=DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE．∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=DC=5cm，∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13（cm），故选B．5．（2016春•福安市期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠C=2∠A，故（A）正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠BDC=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，故（B）正确；∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；∵BD＜CD，∴AD＞CD，∴D不是AC的中点，故（D）错误．故选：D6．（2016春•东港市期中）如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，△PDE的周长为8，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，又PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠APC=∠EPC，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC，∴PD=BD，PE=CE，∴BC=BD+DE+EC=PD+DE+PE=△PDE的周长=8，故选C．7．（2015•盐亭县模拟）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=（5﹣3）=1．故选A．8．（2015秋•醴陵市校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°∴DE=DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．故选C．9．（2015秋•东平县期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（）A．14 B．16 C．10 D．12【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E=∠EBC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠ABE，∴AB=AE=10．同理可得：AD=AC=6，∴DE=AD+AE=AB+AC=16．故选B．10．（2015秋•沛县期中）如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC 于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD【解答】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．二．填空题（共10小题）11．（2015春•重庆校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为7．【解答】证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP，又∵∠BFP=∠AFE，∴∠E=∠AFE，∴AF=AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF=2，BF=3，∴CA=AB=5，AE=2，∴CE=7．12．（2010•安徽）如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．13．（2010•潍坊）如图，在△ABC中，AB=BC，AB=12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D．则四边形BDEF的周长是24cm．【解答】解：∵AB=BC，∴∠A=∠C；∵EF∥BC，∴∠AEF=∠C=∠A，同理，得：∠DEC=∠A=∠C；则△AFE、△EDC是等腰三角形，AF=FE、CD=DE；∴C四边形BDEF=BF+BD+DE+EF=BF+AF+BD+CD=AB+BC=24cm．故答案为24cm．14．（2016春•吉安校级月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3（cm）．故答案为：3cm．15．（2015秋•安阳校级期中）如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为24．【解答】解：AO、BO分别是角平分线，∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，∵MN=MO+ON，AC+BC=24，∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．故答案为：24．16．（2013秋•沙坪坝区期中）如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=3．【解答】解：∵∠BAC=100°，∠B=40°，∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB=3，∵∠D=30°，∴∠DAC=∠ACB﹣∠D=30°，∴∠DAC=∠D，∴CD=AC=3．故答案为：3．17．（2009秋•苏州期末）如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD=2．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，∴BD=BC=AD=2．故填2．18．在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE=∠B，当BD的长为或1时，△ADE是等腰三角形．【解答】解：AB=AC=5，∴∠B=∠C=∠ADE．∵BD=1时，DC=AC=5，∴∠DAC=∠ADC=∠ADE+∠EDC．∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE，∴∠DAE=∠DEA，DA=DE，当BD的长为1时，△ADE是等腰三角形，当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠1=∠ADE=∠B又∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC，∴，∴DC•BC=AC2，∴DC=，∴BD=；综上所述：当BD=或1时，△ADE是等腰三角形，故答案为：或1．19．（2010秋•建湖县校级期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是3∠1﹣∠2=180°．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠1，根据外角定理得∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，所以∠B=∠1﹣∠2，△ABD中∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，∴∠1﹣∠2+2∠1=180°，3∠1﹣∠2=180°．故答案为：3∠1﹣∠2=180°．20．（2014春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，过C作CE∥AD，交BA延长线于点E，若BA=7．则BE=14．【解答】解：∵D为BC的中点，CE∥AD，∴BD=DC，=，∴BA=AE，∵BA=7，∴AE=7，∴BE=7+7=14，故答案为：14．三．解答题（共10小题）21．（2016春•吉安期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB 的平分线．求证：△DBC是等腰三角形．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．22．（2016•丰台区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：AB=AC．【解答】证明：∵AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°，∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC．23．（2015秋•蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°24．（2015•株洲模拟）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5．25．（2011•郑州校级三模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE ⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．26．（2016春•蓝田县期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D 为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．【解答】（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．27．（2014秋•深圳期末）如图，已知CE、CF分别是△ABC中∠ACB及外角∠ACD的平分线，点E在AB上，EF交AC于点M，且EF∥BC．（1）若∠B=45°，∠A=55°，求∠F的度数．（2）求证：ME=MF．【解答】解：（1）∵∠B=45°，∠A=55°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°；∵CF平分∠ACD，∴∠FCD=50°；而EF∥CD，∴∠F=∠FCD=50°．（2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE；而EF∥BC，∴∠MEC=∠BCE，∴∠MEC=∠MCE，∴ME=MC；同理可证MF=MC，∴ME=MF．28．（2012•青浦区二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵EF∥AC，∴∠AEF=∠CAE，∴∠AEF=∠BAE，∴AF=EF，又∵BE⊥AD，∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，又∠AEF=∠BAE，∴∠ABE=∠BEF，∴BF=EF，∴AF=BF，∴F为AB中点．29．（2012秋•天津期末）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC 的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．【解答】解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．∴A、D是对称点，∴AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE=DE，在Rt△ABE和Rt△DBE中∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），∴AB=BD，又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°，又ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE=DC，即AB+AE=BD+DC=BC=10．30．（2014秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E，试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=72°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCB=∠ACB=36°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=72°+36°=108°；（2）△ADE是等腰三角形，理由是：∵AE∥BC，∴∠EAB=∠B=72°，∵∠B=72°，∠DCB=36°，∴∠ADE=∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形．。

13.3 等腰三角形1 等腰三角形的性质学习目标：1.理解等腰三角形和等边三角形的有关概念.2.借助轴对称图形的性质来理解等腰（边）三角形的性质.（重点）3.能运用等腰（边）三角形的性质解决有关问题.（难点）自主学习一、知识链接1.三角形按边来分类可分为三角形、三角形和三角形.2.证明两个三角形全等的方法有、、、、.二、新知预习根据已有的知识完成下题：1.有两条边相等的三角形叫做，相等的两边叫做，另一边叫做，两腰的夹角叫做，腰和底边的夹角叫做 (请在下图中标出来）.2.（1）已知等腰三角形的周长是14 cm，若一边长是6 cm，则另外两边为.（2）等腰三角形的顶角为150°，则它的底角为.合作探究一、探究过程探究点1：等腰三角形的性质活动：如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？问题1 得到的△ABC是等腰三角形吗？如果是，请指出它的腰和底角.问题2 每个人剪的三角形大小不同，将AB与AC重合时，你发现∠A与∠C有什么特点？【要点归纳】等腰三角形的两底角相等.（简写成“”）例1如图，△ABC中，已知AB=AC，BC平分∠ABD，∠A=100°，求∠1的度数．问题3 前面的活动中，AD与BC的位置关系是什么？量一量∠BAD与∠CAD的度数，你发现了什么？【要点归纳】等腰三角形底边上的中线、高及顶角的平分线互相重合.（简称“”）例2如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，求证：BE=CE．【归纳总结】1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据. 2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三角形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形.但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形.例3如图，点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE．探究点2：等边三角形的概念及性质问题根据学过的知识，我们知道等边三角形的三条边都相等．试根据“等边对等角”说一说等边三角形的三个内角的关系.【要点归纳】等边三角形的性质定理：等边三角形的角相等，并且每个角都等于．例4如图，已知等边△ABC中，D为AC的中点，CE为BC的延长线，且CE=CD．求∠BDE 的度数．二、课堂小结内容等腰三角形概念有相等的三角形叫做等腰三角形.性质定理（1）等腰三角形的相等.（简称“”）（2）等腰三角形的、、重合.（简称“”）等边三角形概念三边的三角形叫做等边三角形.性质定理等边三角形的都相等，并且每个角都等于.当堂检测1.一个等腰三角形的底角是40°，则它的顶角是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【变式题】等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．50°，50°D．50°，50°或80°，20°2.如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO．若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°第2题图第3题图第4题图3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB的度数是．4．如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若BC=10，则DC=．5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC．求证：∠ABD=∠ACD．6.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．参考答案自主学习 一、知识链接1.三条边都不相等的 等腰 等边2.SAS ASA AAS SSS HL 二、新知预习1.等腰三角形 腰 底边 顶角 底角2.（1）6cm ，2cm 或4cm ，4cm （2）15° 合作探究一、探究过程 探究点1【要点归纳】等边对等角例1 解：∵AB=AC ，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，∵BC 平分∠ABD ，∴∠1=∠ABC=21∠ ABD.∴∠1=∠C=40°.【要点归纳】 三线合一例2 证明：∵AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD 平分∠BAC ，即∠BAE=∠CAE.在△ABE 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,AE AE CAE BAE AC AB ，∴△ABE ≌△ACE （SAS ）.∴BE=CE.例3 证明：作AF ⊥BC 于点F ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴BF ＝CF ，DF ＝EF ， ∴BF ﹣DF ＝CF ﹣EF ，∴BD ＝EC. 探究点2【要点归纳】三个 60°例4 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC.∵D 为AC 的中点，∴∠DBC=21∠ABC=21×60°=30°．∵DC=CE ，∴∠E=∠CDE ．∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°，∴∠E=∠CDE=30°．∴∠BDE=180°-30°-30°=120°．二、课堂小结当堂检测1.D 【变式题】D2.C3.108°4．7.55.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD＝CD．∴∠1＝∠2．∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB ﹣∠2．即∠ABD＝∠ACD．6.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°.∵AD⊥BC于点D，∴∠DAC＝30°.∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°.∴∠ADE＝60°．~。

专题13.3-13.4等腰三角形与最短路径问题（讲练）一、知识点1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴） 等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一；4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；7、最短路径的选择①当两点在某一条直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点.②当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法:作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置.[来源:学&科&网Z&X&X&K]注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.二、标准例题：例1：如图、已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM=（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=6，∴OM=OH-MH=5，故选C．总结：本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．例2：如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠DCA，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B=∠CFE，∠2+∠DCA=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形.故选A总结：此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.例3：如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，的最小值是______．【答案】4【解析】如图：连接CE，△ 是等边三角形，AD 是中线， 垂直平分BC ， ，，当点C ，点E ，点F 三点共线，且 时， 值最小，即 的值最小． 此时： △ 是等边三角形， ， ， ， 即 的最小值是4， 故答案为：4.总结：本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键 解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 例4：已知：如图，在等边ABC ∆中，060ADE ∠=，且DE 交ABC ∆外角平分线CE 于点E .（1）当点D 为BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系； （2）当点D 不是BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系. 【答案】（1）AD DE =，见解析.（2）AD DE =，见解析. 【解析】（1）结论：AD=DE ，理由如下： 如图: 过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°． 又∵DF ∥AC ， ∴∠BDF=∠ACB=60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴DF=BD ，∠BFD=60°， ∵BD=CD ， ∴DF=CD ∴∠AFD=120°．∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠ADF=∠EDC=30°， 在△AFD 与△EDC 中，AFD DCE DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AFD ≌△DCE （ASA ）， ∴AD=DE ；（2）结论：AD=DE ；理由如下：如图2，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°， 又∵DF ∥AC ， ∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴BF=BD ，∠BFD=60°， ∴AF=CD ，∠AFD=120°，∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ， ∵∠ADC 是△ABD 的外角， ∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD ， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC ， ∴∠FAD=∠EDC ， 在△AFD 和△DCE 中，DAF EDC AF CDAFD DCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AFD ≌△DCE （ASA ）， ∴AD=DE.总结：考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、练习1．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，过D 作EF BC ∕∕交AB 于E 交AC 于F ，若10,7,8AB BC AC ===，则AEF ∆的周长为（ ）A．15 B．18 C．17 D．16【答案】B【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB，同理可证得DF=FC，∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=10+8=18，即△AEF的周长为18，故选：B．2．若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（）A．14B．12C．1倍D．2倍【答案】B【解析】解：过点C作AB边上的高交BA延长线于D，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°，∴在直角三角形ADC中，CD=12AC ，故答案为：B.3．等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角度数为A．20°B．80°C．20°或80°D．50°或80°【答案】C【解析】解：由题意可判定，分两种情况： 当该内角为顶角时，即顶角为80°；②当该内角为底角时，根据等腰三角形的性质，可得顶角度数为180808020︒-︒-︒=︒综上所述，顶角度数为20°或80°， 故答案为C.4．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm 和12cm 两部分，则等腰三角形的底边长为( ) A ．10cm B ．2cmC ．6cm 或4cmD ．2cm 或10cm【答案】B【解析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm ，ycm ，由题意得1621122x x x y ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩ 或1122162x x x y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ， 解得410x y ==⎧⎨⎩ 或82x y ==⎧⎨⎩∵4+4<10，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm ， 故选B.5．如图，将ABC ∆绕点C 按逆时针方向旋转得A B C ∆''，且A '点在AB 上，A B ''交CB 于点D ，若BCB β'∠=，则CA B ''∠的度数为( )A ．180β︒-B ．1902β︒+C ．11802β︒-D ．1902β︒-【答案】D【解析】∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得△A′B′C ， ∴AC=A′C ，∠A=∠CA′B′，∠ACA′=BCB β'∠=，∴∠A=∠CA′B′=01802ACA -∠'=1902β︒- 故选：D.6．已知030AOB ∠=，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则12POP ∆是（ ）A ．含30°角的直角三角形B ．顶角是30°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】如图，∵P ，P 1关于直线OA 对称，P 、P 2关于直线OB 对称， ∴OP=OP 1=OP 2，∠AOP=∠AOP 1，∠BOP=∠BOP 2， ∵∠AOB=30°，∴∠P 1OP 2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP ）=2∠AOB=60°， ∴△P 1OP 2是等边三角形． 故选：C ．7．如图，三角形ABC 中，,AB AC AD AE ==，050BAD ∠=，则CDE ∠=（ ）A．40°B．45°C．25°D．20°【答案】C【解析】∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠EDC+∠C=∠AED，∠ADE=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+50°=∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B=∠C．∴2∠EDC=50°，∴∠EDC=25°．故选：C.8．一个等腰三角形的周长为40 cm,以一边为边作等边三角形,这个等边三角形周长为45 cm,那么这个等腰三角形的底边长为()A．15 cm B．10 cmC．30 cm或10 cm D．15 cm或10 cm【答案】D【解析】解：∵等边三角形周长为45cm，∴其边长为15cm，即等腰三角形的一边为15cm，则：若该边为腰长，则底边为：40-2×15=10cm，若该边为底边，则腰长为：（40-15）÷2=12.5，∴等腰三角形的底边为15cm，10cm．故选：D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．7【答案】B【解析】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP=PC．∴PA+BP=AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．故选：B．10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△周长的最小值为A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．11．如图，在正方形ABCD（四个边相等，四个角为直角）中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )A．AB B．DE C．AF D．BD【答案】C【解析】如图，连接CP，由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP＝CP，∴AP＋PE＝CP＋PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP＋PE的最小值为CE长，此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∴AP＋EP最小值等于线段AF的长，故选：C．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于_____度【答案】100【解析】∵AB=AC，∠B=40°，∴∠C=40°，∴∠A=180°-40°-40°=100°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=100°，故答案为：100．13．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠CBE=69°.则∠C=________°.【答案】23°【解析】解：设∠C的度数为x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x，∵ED为线段AB的垂直平分线，∴∠EBA=∠EAB=2x，∵∠CBE的度数为69°，∴2x+x=69°，∴∠C=x=23°.14．如图，在四边形中，∠BAD=108°，∠B=∠D=90°，在上分别找一点，使的周长最小，此时的度数为__________°.【答案】144【解析】作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．作DA 延长线AH ，∵∠DAB=100°， ∴∠HAA′=80°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=80°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN ，∠NAD+∠A″=∠ANM ， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160° 15．如图，点,D E 分别在等边ABC △的边,AC BC 上，BD 与AE 交于点P ，ABD CAE ∠=∠，BF AE ⊥，10AE =，2DP =，求PF 的长度.【答案】4【解析】解：∵等边△ABC ，∴AB=AC ，∠C=∠BAD=∠ABC=60°， 又∵∠ABD=∠CAE ， ∴△BAD ≌△ACE∴BD=AE=10，∵PD=2，∴BP=10-2=8，∵∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠CAE+∠BAP=∠SAC=60°，又∵BF⊥AE，∴∠PBF=90°-60°=30°，在Rt△BPF中，PF=12BP=4，答：PF的长为4．16．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．【答案】详见解析【解析】证明：连接BM，∵AB＝BC，AM＝MC，∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝12∠ABC＝45°，∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝1802ABC︒-∠＝45°，∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，∵BD＝CE，AB＝BC，∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，在△ADM 和△BEM 中，,45,,AD BE A EBM AM BM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△BEM （SAS ）， ∴DM ＝EM ，∴△DEM 是等腰三角形．17．尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A 和工厂B ，位于两条公路OC 、OD 之间的地带，现要建一座货物中转站P ．若要求中转站P 到两条公路OC 、OD 的距离相等，且到工厂A 和工厂B 的距离之和最短，请用尺规作出P 的位置．【答案】详见解析.【解析】解：如图所示：点P 即为所求．18．如图，ABC ∠的平分线BF 与ACG ∠的平分线CF 相交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 与点D ，交AC 于点E ，若8BD =，3DE =，求CE 的长.【答案】CE 的长为5.【解析】∵BF 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB 的外角， ∴∠DBF=∠CBF ，∠FCE=∠FCG ， ∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠CBF ，∠EFC=∠FCG ，∴∠DBF=∠DFB ，∠FCE=∠EFC ， ∴BD=FD ，EF=CE ， ∴BD-CE=FD-EF=DE ， ∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5， ∴EC=5．19．作图题.如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂P ，向A 村B 村供水． （1）若要使厂部到A 、B 两村的距离相等，则厂部P 应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A 、B 两村的输水管长度之和最小，则厂部P 应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图①所示：点C 即为所求； （2）如图②所示：点C 即为所求．．20．如图，ABC △中，90ACB ∠=，以AC 为边在ABC △外作等边三角形ACD ，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，与AB 相交于点E ，连接CE .（1）说明：AE CE BE ==；（2）若DA AB ⊥，6BC =，P 是直线DE 上的一点.则当P 在何处时，PB PC +最小，并求此时PB PC +的值.【答案】（1）证明见解析；（2）点P 在点E 处时PB+PC 最小，最小值为12cm. 【解析】∵DF ⊥AC ，△ACD 是等边三角形， ∴DF 垂直平分AC ， ∴AE=CE ， ∴∠ACE=∠CAE ， ∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°， ∴∠BCE=∠B ， ∴CE=BE ， ∴AE=CE=BE ；（2）∵DA ⊥AB ，∠DAC=60°， ∴∠BAC=30°， ∵∠ACB=90°，BC=6， ∴AB=2BC=12，由（1）知，DE 垂直平分AC ， ∴PC=PA ， ∴PB+PC=PB+PA ；∴当PB+PC 最小时，即PB+PA 最小， ∵点P 、B 、A 在同一直线上时，PB+PA 最小， ∴点P 在点E 处时PB+PA 最小．即PB+PC 最小， 当点P 在E 处时，PB+PC=BE+CE=BE+AE=AB=12cm ．21．如图（1），在Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，030A ∠=，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边一动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF .（1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明；（2）如图（2）当P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图（3）在Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，0A n ∠=，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边一动点，分别以,CP PQ 为边作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使（1）中的结论依然成立，还需要添加怎样的条件？为什么？【答案】（1）EF AB ⊥，见解析；（2）成立，EF AB ⊥，见解析；（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是CPF EPQ B ∠=∠=∠，见解析. 【解析】（1）EF AB ⊥，证明如下： ∵PCF ∆和PQE ∆都是等边三角形，∴,,60PC PF PQ PE CPF EPQ ==∠=∠=︒， ∴CPQ QPF EPF QPF ∠+∠=∠+∠， ∴CPQ EPF ∠=∠ 在PCQ ∆和PFE ∆中PC PF CPQ EPF PQ PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PCQ PFE ∆≅∆， ∴PCQ PFE ∠=∠， ∵90ACB ∠=︒，∴90PFE PCQ ∠=∠=︒， ∴PF FE ⊥，∵60CPF ∠=︒，30A ∠=︒， ∴60B ∠=︒， ∴B CPF ∠=∠， ∴//PF AB ， ∴EF AB ⊥（2）成立，EF AB ⊥，理由如下： ∵PCF ∆和PQE ∆都是等边三角形，∴,,60PC PF PQ PE CPF EPQ ==∠=∠=︒， ∴CPQ CPE EPF CPE ∠+∠=∠+∠， ∴CPQ EPF ∠=∠， 在PCQ ∆和PFE ∆中PC PF CPQ EPF PQ PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PCQ PFE ∆≅∆ ∴PCQ PFE ∠=∠， ∵90ACB ∠=︒， ∴90PCQ ∠=︒，∴90PFE PCQ ∠=∠=︒， ∴PF FE ⊥，∵60CPF ∠=︒，30A ∠=︒， ∴60B ∠=︒， ∴B CPF ∠=∠， ∴//PF AB ， ∴EF AB ⊥.（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是CPF EPQ B ∠=∠=∠，理由如下： ∵,,PC PF PQ PE CPF EPQ ==∠=∠，21 ∴CPF CPE EPQ CPE ∠+∠=∠+∠， ∴CPQ EPF ∠=∠，∴PCQ PFE ∆≅∆，∴PCQ PFE ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90PCQ ∠=︒，∴90PFE PCQ ∠=∠=︒，∴PF FE ⊥，又∵CPF B ∠=∠，∴//PF AB ，∴EF AB ⊥.。

华东师大版八年级数学上册练习：13.3 等腰三角形-全国填空题在等腰三角形中，已知顶角为底角度数的4倍，则顶角等于__________ ,【答案】120°【解析】根据等腰三角形的两底角相等，设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，利用三角形的内角和定理即可求得x的值，进而求得顶角的度数．设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，则有x+x+4x=180．解得：x=30，则顶角是：4×30°=120°，故答案是：120°．填空题等边三角形的周长是30厘米，则边长为_______.【答案】10厘米【解析】根据等边三角形的三边长相等即可求得答案.30÷3=10（厘米）答：它的边长是10厘米．故答案为：10厘米．填空题等腰三角形的一个外角等于130°，则顶角是______________ 【答案】50°或80°【解析】试题分析：当这个外角是顶角的外角时，则这个顶角的度数为50°；当这个外角是底角的外角时，则这个底角的度数为50°，顶角的度数为80°.填空题△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC= 50cm，AB+BD+DA =40cm，那么AD=_____,【答案】15cm【解析】由AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，根据等腰三角形的两腰相等以及等腰三角形的三线合一，可以把已知条件转换为含有两个未知量的方程组，再进行求解即可．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AB+BD=AC+DC，又∵AB+BC+AC=50cm，即AB+BD+CD+AC=50cm，∴AB+BD=25cm，∵AB+BD+AD=40cm，即25+AD=40cm，∴AD=15cm，故答案为：15cm.（略）填空题如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAD＝4∶1，则∠B＝____.（略）【答案】40°【解析】首先设∠B=x°，根据题意得出∠DAB和∠CAD的度数，最后根据∠CAB+∠B=90°列出方程得出答案．设∠B=x°，则∠DAB=x°，∵∠BAD∶∠CAD＝4∶1，∴∠CAD=（略），∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°，即x+x+（略）=90，解得：x=40，即∠B=40°．填空题如图，∠AOB内一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为__________ cm .（略）【答案】5【解析】由P与P1关于OA对称，得到OA为线段PP1的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得MP=MP1，同理可得NP=NP2，由P1P2=P1M+MN+NP2=5，等量代换可求得三角形PMN的周长．∵P、P1,P、P2关于OA、OB对称∴PM=P1M,PN=P2N∴△PMN的周长=P1P2∴△PMN的周长是5cm.填空题已知AB垂直平分CD，AC=6cm,BD=4cm，则四边形ADBC的周长是____________．（略）【答案】20cm【解析】根据线段垂直平分线的性质可得CB=BD，AC=AD，再利用四边形的周长公式进行求解即可.∵AB垂直平分CD，∴CB=BD，AC=DA，而BD=4cm，AC=6cm，∴CB=4cm，AD=6cm，∴四边形ADBC的周长=AC+AD+BD+BC=6+6+4+4=20（cm），故答案为：20cm．填空题如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=_______。

华师大新版八年级上学期《13.3 等腰三角形》同步练习卷一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，若∠BAD=36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB=130°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．若等腰三角形的两边长分别是6cm和4cm，则等腰三角形的周长是（）A．16cm B．14cm C．16cm或14cm D．无法确定4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（）A．36°B．54°C．72°或36°D．54°或126°5．等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20B．22C．20或22D．不确定6．某等腰三角形的周长为25，其中一边长为9，则等腰三角形底边长为（）A．9B．7C．9或7D．以上均不对7．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是（）A．EF=ED B．FD=BC C．EC=MF D．EC=AG8．等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是（）A．40°B．70°或40°C．70°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°10．如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的底角的度数为（）A．5°B．10°C．175°D．170°11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个12．已知A（0，﹣1）、B（1，0）是平面直角坐标系中的两点，且点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A．4个B．5个C．7个D．8个13．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．1个B．3个C．5个D．无数多个14．如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4B．6C．8D．1015．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°16．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状17．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．解答题（共22小题）18．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．19．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，求BF的长．20．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=，∠CDE=；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．21．如图，AB∥CD，点E、N在AB上，点F在CD上，∠EFD的平分线FM交AB 于点G，且GM=GN，若∠EFC=112°，求∠M的度数．22．如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE=∠AED．（1）试说明∠BAD=2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．23．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系，并说明理由．24．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．25．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）26．在△ABC中，AB=AC=a，AB边上的高CD=h，点P是直线BC上任意一点，过P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且PE=h1，PF=h2．（1）若点P在边BC上时，h，h1，h2三者关系如何？请予以证明；（2）若点P在BC或CB的延长线上时，h，h1，h2三者关系又如何（直接写出结论，不需证明）（3）若点P是直线BC上的点，h1=5，h=8，求h2的值．27．如图1，已知△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外的一点（与点A分别在直线BC的两侧），且DB=DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD 交BC于点F．（1）求证：AD垂直平分BC；（2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE=AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．28．操作发现将一副直角三角板如图（1）摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC与BD交于点O，连接CD，如图2．（1）若DF=4，求BF的长；（2）求证：△CDO是等腰三角形．29．如图，在△ABC中，∠ABD=∠ACD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．30．如图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，说明△EDC是等腰三角形的理由．根据解题的要求，填写适当的内容或理由．解：∵DE∥BC （已知）∴（两直线平行，内错角相等）又（已知）∴∠ACD=∠BCD （）∴∠EDC=∠ACB∴DE=EC（）∴△EDC是等腰三角形．31．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠MAC和∠ABC的平分线AD、BD相交于点D，试说明△ABD是等腰三角形的理由．32．如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．（1）如图1，填空∠A=°，∠C=°．（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．①求证：△BNE是等腰三角形；②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．33．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．34．如图，等边△ABC中，AB=6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF=EF；（3）求△BDE的面积．35．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．36．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）37．如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．38．（1）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作ED∥BC．指出图中的等腰三角形，并说明理由．（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC．证明：EF=BE+CF．39．已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）如图1，求证：BE=DE．（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，若EG=3，BF=5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积等于的所有三角形．三．填空题（共3小题）40．如图，由九个等边三角形组成的一个六边形ABCDEF，当图中最小的等边三角形的边长为1cm时，这个六边形ABCDEF的周长为cm．41．如图，把面积为1的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形DEF；对新三角形重复上述过程，经过2017次操作后，所得正三角形的面积是．42．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=15°，CD是AB边上的高，则CD=．华师大新版八年级上学期《13.3 等腰三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，若∠BAD=36°，则∠C的大小为（）A．36°B．38°C．40°D．42°【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．【解答】解：∵∠BAD=36°，AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB=72°，又∵AD=DC，∴∠C=∠CAD=∠ADB=36°．故选：A．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解．2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB=130°，则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】设∠BAC=x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．【解答】解：设∠BAC=x，∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣x），∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD=（180°﹣x），∠DAB=x，∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，∴（180°﹣x）+x+130°=180°，∴x=20°．故选：A．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．3．若等腰三角形的两边长分别是6cm和4cm，则等腰三角形的周长是（）A．16cm B．14cm C．16cm或14cm D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为4cm时，解答出即可；【解答】解：根据题意，①当腰长为6cm时，周长=6+6+4=16（cm）；②当腰长为4cm时，周长=4+4+6=14（cm）．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（）A．36°B．54°C．72°或36°D．54°或126°【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD=36°，∴∠A=54°，即顶角的度数为54°．②如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA=36°，∴∠BAD=54°，∴∠BAC=126°．故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．5．等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20B．22C．20或22D．不确定【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为8时，解答出即可．【解答】解：根据题意，①当腰长为6时，周长=6+6+8=20；②当腰长为8时，周长=8+8+6=22．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．6．某等腰三角形的周长为25，其中一边长为9，则等腰三角形底边长为（）A．9B．7C．9或7D．以上均不对【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是9时，则另两边是9，7．当底边是9时，另两边长是8，8，则该等腰三角形的底边为9或7，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．7．如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB、AC于F、E，下列结论正确的是（）A．EF=ED B．FD=BC C．EC=MF D．EC=AG【分析】想办法证明BF=EC，BF=FM即可解决问题；【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵DM∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴BF=EC，∵∠D=∠DBC=∠FBD，∴DF=BF，同法可证：BF=FM，∴EC=FM，故选：C．【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是（）A．40°B．70°或40°C．70°D．140°【分析】分这个外角为顶角的外角和底角的外角，分别求解即可．【解答】解：当140°为顶角的外角时，则其顶角为：40°，则其底角为：=70°，当140°为底角的外角时，则其底角为：180°﹣140°=40°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为180°是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C=∠BDC，∠C=∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠C=∠BDC=75°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵从作图可知：BD=BC，∴∠C=∠BDC，∵在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=75°，∴∠BDC=∠C=75°，∴∠DBC=180°﹣∠C﹣∠BDC=30°，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能求出∠C和∠BDC 的度数是解此题的关键．10．如图，在第一个△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A4为顶点的底角的度数为（）A．5°B．10°C．175°D．170°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A==80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===40°；A同理可得∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠A n=，以点A4为顶点的底角为∠A5．∵∠A5==5°，故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．2+（3﹣1）+（3﹣1）=6，∴符合条件的点有六个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．12．已知A（0，﹣1）、B（1，0）是平面直角坐标系中的两点，且点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A．4个B．5个C．7个D．8个【分析】若线段AB为腰，以点A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点；若线段AB为底边，作线段AB的垂直平分线与坐标轴有一个交点，所有与坐标轴的交点都是满足条件的C点．【解答】解：根据题意画出图形如下所示；①若等腰三角形以线段AB为腰，以点A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点，以点B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴有三个交点；②若等腰三角形以线段AB为底边，作线段AB的垂直平分线与坐标轴有一个交点；故满足条件的C点有7个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质，分类别寻找是正确解答本题的关键，有一定难度．13．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．1个B．3个C．5个D．无数多个【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．14．如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】延长AD，BC交于点G，根据BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，可得AB=BG，D是AG的中点，依据DE∥BG，即可得出DE是△ABG的中位线，EF是△ABC 的中位线，求得BG=2DE=6，即可得到AB=6．【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用三角形中位线定理进行推算．15．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3=60°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．270°D．360°【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=120°．故选：B．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．16．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．17．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的判定：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，分析并作答．【解答】解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（1），（4）推出等边三角形，（2）若每个角各取一个外角时，该结论成立．而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形的判定，利用三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形这一知识点．二．解答题（共22小题）18．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．【分析】（1）根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；（2）连接AD，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）CG=DE+DF证明：连接AD，=S三角形ADB+S三角形ADC，∵S三角形ABC∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．19．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，求BF的长．=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC又S=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．△ABC【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．20．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=64°，∠CDE=32°；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．【分析】（1）如图①，将∠BAC=100°，∠DAC=36°代入∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=104°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=72°，那么∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=32°；（2）如图②，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACB﹣∠AED=，再由∠BAD=∠BAC﹣∠DAC得到∠BAD=n﹣100°，从而得出结论∠BAD=2∠CDE；（3）如图③，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD﹣∠AED=，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=100°+n，从而得出结论∠BAD=2∠CDE．【解答】解：（1）∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=100°﹣36°=64°．∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°．∵∠DAC=36°，∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=104°﹣72°=32°．故答案为64°，32°；（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图②，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACB=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACB﹣∠AED=40°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n﹣100°，∴∠BAD=2∠CDE；（3）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACD=140°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACD=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACD﹣∠AED=140°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=100°+n，∴∠BAD=2∠CDE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键．21．如图，AB∥CD，点E、N在AB上，点F在CD上，∠EFD的平分线FM交AB 于点G，且GM=GN，若∠EFC=112°，求∠M的度数．【分析】求出∠EFD，根据角平分线定义求出∠GFD，根据平行线的性质求出∠MGN，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠EFC=112°，∴∠EFD=180°﹣112°=68°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=34°，∵AB∥CD，∴∠MGN=∠GFD=34°，∵GM=GN，∴∠M=∠MNG=×（180°﹣∠MGN）=73°．【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，能根据知识点求出∠MGN的度数是解此题的关键．22．如图①，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且∠ADE=∠AED．（1）试说明∠BAD=2∠CDE；（2）如图②，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵∠AED是△CDE的外角∴∠AED=∠ACB+∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠ABC，∵∠ADE=∠AED∴∠ACB+∠CDE+∠CDE=∠BAD+∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，∴∠BAD=2∠CDE；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠ACB是△CDE的外角∴∠ACB=∠AED+∠CDE，∵∠ABC是△ABD的外角∴∠ABC=∠ADB+∠BAD，∵∠ABC=∠ACB，∴∠AED+∠CDE=∠ADB+∠BAD，∵∠AED=∠ADE=∠CDE+∠ADB∴∠CDE+∠ADB+∠CDE=∠ADB+∠BAD∴∠BAD=2∠CDE．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质解答即可．23．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC 上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=120°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=70°﹣15°=55°，于是得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵∠BAD=70°，∴∠DAE=50°，∴∠ADE=∠AED=65°，∴∠CDE=180°﹣50°﹣30°﹣65°=35°；（2）∵∠ACB=70°，∠CDE=15°，∴∠E=70°﹣15°=55°，∴∠ADE=∠AED=55°，∴∠ADC=40°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=70°，∴∠BAD=30°；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α∴，∴2α=β，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．24．已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE=DF；【分析】（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM=DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N 就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）∵EF∥AB．∴∠FEC=∠A=30°．∠EFC=∠B=30°∴EC=CF．又∵AC=BC∴AE=BFD是AB中点．∴DB=AD∴△ADE≌△BDF．∴DE=DF（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．∵AC=BC，∴∠A=∠B，又∵∠ACB=120°，∴∠A=∠B=（180°﹣∠ACB）÷2=30°，∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°﹣∠ADM﹣∠BDN=60°．∵AC=BC、AD=BD，∴∠ACD=∠BCD，∴DM=DN．由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：DM=DE、DN=DF，结合证得的DM=DN，得：DE=DF，但EF∥AB，不合题意．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：∠EDM=∠EDF﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∠FDN=∠MDN﹣∠MDF=60°﹣∠MDF，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE=DF．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：∠EDM=∠MDN﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∠FDN=∠EDF﹣∠EDN=60°﹣∠EDN，∴∠EDM=∠FDN，又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE=DF．综上一、二、三所述，得：DE=DF．【点评】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，注意第（2）题分三种情况讨论求解，有一定的难度．25．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．（1）试猜想线段AR与AQ的长度之间存在怎样的数量关系？并证明你的猜想．（2）如图（2），如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，其它条件不变，问（1）中所得的结论还成立吗？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，根据等角的余角相等求出∠BQP=∠PRC，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQR，从而得到∠AQR=∠PRC，然后根据等角对等边证明即可；（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C，再根据对顶角相等可得∠ABC=∠PBQ，从而得到∠C=∠PBQ，然后根据等角的余角相等求出∠Q=∠R，最后根据等角对等边证明即可．【解答】（1）解：AR=AQ．理由如下：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∵PR⊥BC，∴∠B+∠BQP=90°，∠C+∠PRC=90°，∴∠BQP=∠PRC，∵∠BQP=∠AQR（对顶角相等），∴∠AQR=∠PRC，∴AR=AQ；。

等腰三角形1.如果等腰三角形ABC的两边长分别为4和10，那么这个等腰三角形的周长为（）A．18 B．24 C．18或24 D．142.下列三角形（）①三个外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有一个角为60°，且有一边上的高也是这边的中线的三角形；④以一等边三角形三边的中点为顶点的三角形.其中是等边三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图10-112所示，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，则△AMN的周长是（）A．30 B．33 C．36 D．394.等腰三角形中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，交AC于点D，∠BDC=75°，则∠A等于（）A．10°B．20°C．30°D．40°5.若一个等腰三角形的顶角为钝角，则它的底角α的取值范围是（）A．0°<α<90°B．30°<α<90°C．0°<α<45°D．45°<α<90°6.如果一个三角形的两个内角分别是70°，40°，那么这个三角形是_____.7. △ABC中，∠A=60°，添加一个条件，使△ABC为等边三角形，这个条件是_______.（写出一个即可）8.若等腰三角形的周长为8，边长为整数，则它的腰长为_______.9.如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是______.10.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，则AB=_____.11.已知a，b，c是△ABC的三边长，其中a=2，b=5，且△ABC的周长为偶数.（1）求c的值；（2）判断△ABC的形状.12.如图10-113所示，△ABC中，已知AB=AC=10 cm，BC=8 cm，D是AB边的中点，ED⊥AB于D，交AC于点E，连结EB，求△EBC的周长.13.如图10-114所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到点E，使BE=BD，连结ED并延长交AC于点F，判断AF与FC是否相等，并说明理由.14.如图10-115所示，AB∥CD，△EFM是等边三角形，E，F分别在直线AB，CD上，∠BEM=20°，求∠MFD的度数.15.如图10-116所示，在等边三角形ABC 中，D 是AC 边的中点，E 是BC 边延长线上一点，且CE =CD ，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，试说明M 是BE 的中点.参考答案1.B2.D3.A4.D5.C6.等腰三角形7. ∠B =60°8.39.等腰三角形10.811.解：（1）因为a +b =2+5=7，b -a =5-2=3，所以3<c <7.又由于a +b +c 为偶数.所以c =5. （2）由（1）得c =5，所以b =c =5，故△ABC 为等腰三角形.12.解：因为D 是AB 边的中点，且ED ⊥AB ，所以EA =EB ，所以△EBC 的周长=EB +BC +EC =EA +BC +EC =AC +BC .因为AB =AC =10 cm ，BC =8 cm ，所以△EBC 的周长=AC +BC =10+8=18 （cm ）.13.解：AF =FC .理由如下：如图10-117所示，因为BE =BD ，所以∠E =∠1.因为∠ABC =∠1+∠E ，∠ABC =2∠C ，所以∠1+∠E =2∠C .所以2∠1=2∠C ，即∠1=∠C .又∠1=∠2，所以∠2=∠C ，所以FD =FC .又AD ⊥BC ，所以∠3=90°-∠2，∠4=90°-∠C ，所以∠3=∠4，所以FA =FD ，又FD =FC ，所以FA =FC .14.解：因为△FEM 是等边三角形，所以∠MEF =∠EFM =∠EMF =60°，所以∠BEF =∠BEM +∠MEF =20°+60°=80°.因为AB ∥CD ，所以∠BEF =∠EFC =80°，所以∠MFD =180°-∠EFC -∠EFM =180°-80°-60°=40°，即∠MFD =40°15.解：连结BD .因为△ABC 是等边三角形，D 是AC 边的中点，所以BD ⊥AC ，∠DBC =∠D BA =21∠ABC =30°.又∠ACB =∠E +∠CDE ，CD =CE ，所以∠E =∠CDE =21∠ACB =30°.所以∠DBC =∠E ，所以BD =DE .又因为DM ⊥BC ，所以M 是BE 的中点.。

华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题一、腰或底边不确定时需讨论1．等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是()A．11 cm B．13 cmC．11 cm或13 cm D．以上答案都不正确2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10二、顶角或底角不确定时需讨论3．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°4．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________．5．已知△ABC中，∠A＝40°，则当∠B＝_________________时，△ABC是等腰三角形．三、三角形形状不确定时需讨论6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．8．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论9．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．11．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长．答案：1. C2. A3. D4. 80°或20°5. 70°或100°或40°6. D7. 63°或27°8. 两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠DBM ＝∠DAC ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°当∠ABC 为钝角时，如图2所示，∵BD ⊥AM ，BE ⊥AC ，∴∠BDM ＝∠BEC ＝90°，∵∠DBM ＝∠EBC ，∴∠M ＝∠C ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠M ＝∠C ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，则∠ABC ＝135° .∴综上所述，∠ABC ＝45°或135°9. C10. 当F 在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交AD 于M ，∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点，∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°，∴△ODM 为等边三角形，∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°，∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°，∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM ，而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°，∴△OMF ≌△OBE ，∴BE ＝MF ＝3；当F 点在线段AD 上，如图2，同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.∴综上所述，BE ＝3或111. 此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；②如图2，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝5，可得BC ＝9.综上所述，CB ＝7或9。

2018年秋八年级数学上册第13章全等三角形13.3 等腰三角形2 等腰三角形的判定作业（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第13章全等三角形13.3 等腰三角形2 等腰三角形的判定作业（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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［13。

3 2.等腰三角形的判定],一、选择题1．下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝70°，∠B＝55°B．AB＝AC＝2,BC＝3C．AB＝3，BC＝7,周长为15D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶22．下列推理中，错误的是 ( ）A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC,∠B＝∠C,∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形3．有一个外角等于120°且有两个内角相等的三角形是( )A．三边均不相等的三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不能确定4．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．不能确定图K－30－15．如图K－30－1,在△ABC中,AB＝AC，∠A＝36°,BD,CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图K－30－2，D为△ABC内一点,CD平分∠ACB，BE⊥CD,垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE,AC＝5，BC＝3,则BD的长为（）A．1 B．1。

[13.3 1.等腰三角形的性质],一、选择题1．等腰三角形有一个角是120°，则另两个角分别是( )A．60°，60° B．30°，30°C．30°，120° D．20°，120°2．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A．17 B．15C．13 D．13或173．如图K－29－1，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC.若∠1＝70°，则∠BAC 的大小为( )A．40° B．30° C．70° D．50°图K－29－14.如图K－29－2，AB∥CD，点E在BC上，CD＝CE.若∠ABC＝34°，则∠BED的度数是( )图K－29－2A．104° B．107° C．116° D．124°5．如图K－29－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A．36° B．60° C．72° D．108°图K－29－36．如图K－29－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A 的度数为( )图K－29－4A．80° B．90° C．100° D．110°7．若等腰三角形的一个内角等于88°，则另两个内角的度数分别为链接听课例3归纳总结( )A．88°，4° B．46°，46°或88°，4°C．46°，46° D．88°，24°图K－29－58．如图K－29－5，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°二、填空题9．如图K－29－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BD⊥AC于点D，则∠CBD ＝________．10．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周长为16 cm，则AB边的取值范围是________．图K－29－611．如图K－29－7，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG ＝CD，DF＝DE，则∠E＝________°.链接听课例5归纳总结图K－29－7三、解答题12．2017·北京如图K－29－8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.图K－29－813．如图K－29－9，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数．图K－29－914．如图K－29－10，△ABC和△ADE都是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.链接听课例5归纳总结图K－29－1015．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和18的两部分，求三角形的三边长．16．如图K－29－11，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，求∠α的度数．图K－29－1117．如图K－29－12，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连结AE.求证：AE∥BC.图K－29－1218．小明做了一个如图K－29－13所示的“风筝”骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.(1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，她认为AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意王云的判断吗？为什么？(2)设AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.链接听课例4归纳总结图K－29－13规律探究2016·六盘水如图K－29－14，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，则∠A n－1A n B n－1的度数为( )图K－29－14A.70°2n B.70°2n＋1C.70°2n －1D.70°2n ＋2详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．B2．[解析] A 等腰三角形的两边长分别是3和7，有两种情况：①三边长为3，3，7，这种情况的三边不能构成三角形；②三角形的三边长为7，7，3，此时三角形的周长为17.3．[解析] A ∵AD∥BC， ∴∠C ＝∠1＝70°.∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠C＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B－∠C＝40°.故选A . 4．B5．[解析] C ∵AB＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ABC ＝∠C＝72°. ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD ＝36°，∴∠1＝∠A＋∠ABD ＝72°. 故选C . 6．C 7．B8．[解析] D ∵AC＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°， ∴∠A ＝∠CDA＝50°，∠B ＝∠DCB，∠BDE ＝∠BED. ∵∠B ＋∠DCB＝∠CDA＝50°， ∴∠B ＝25°.∵∠B ＋∠BDE＋∠BED＝180°，∴∠BDE ＝∠BED＝12×(180°－25°)＝77.5°，∴∠CDE ＝180°－∠CDA－∠BDE＝180°－50°－77.5°＝52.5°. 故选D . 9．[答案] 15°[解析] 因为AB ＝AC ， 所以∠ABC＝∠C. 因为∠A＝30°， 所以∠C＝75°. 又因为BD⊥AC，所以∠CBD＝90°－75°＝15°. 10．4 cm ＜AB ＜8 cm 11．[答案] 15[解析] ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB＝60°.∵CG ＝CD ，∠ACD ＝120°， ∴∠CDG ＝30°. ∵DF ＝DE ，∴∠E ＝15°.12．证明：∵AB＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°. 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD ＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠BDC ＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠C ＝∠BDC，∠A ＝∠ABD， ∴AD ＝BD ＝BC. 13．解：∵AB＝BD ， ∴∠BDA ＝∠A. ∵BD ＝DC ， ∴∠C ＝∠CBD. 设∠C＝∠CBD＝x ， 则∠BDA＝∠A＝2x ， ∴∠ABD ＝180°－4x ，∴∠ABC ＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x ＋x ＝105°， 解得x ＝25°，∴2x ＝50°，即∠A＝50°，∠C ＝25°.14．证明：∵△ABC 和△ADE 均是等边三角形， ∴AB ＝AC ，AE ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE＝60°. ∵AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线， ∴∠BAD ＝∠CAD＝12∠BAC＝30°， ∴∠BAE ＝∠BAD＝30°. 在△ABE 和△ABD 中，∵AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD，AB ＝AB ， ∴△ABE ≌△ABD(S .A .S .)， ∴BE ＝BD.15．解：根据题意画出图形，如图．设等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝2x ，BC ＝y. ∵BD 是腰上的中线， ∴AD ＝DC ＝x.若AB ＋AD 的长为12，则2x ＋x ＝12， 解得x ＝4，则x ＋y ＝18，即4＋y ＝18， 解得y ＝14，∴等腰三角形的腰长为8，底边长为14. 若AB ＋AD 的长为18，则2x ＋x ＝18， 解得x ＝6，则x ＋y ＝12，即6＋y ＝12， 解得y ＝6，∴等腰三角形的腰长为12，底边长为6.综上所述，三角形的三边长分别为8，8，14或12，12，6.16．[解析] 根据等腰三角形的性质求出∠C＝∠B，根据三角形外角的性质求出∠B＝∠C＝∠AED＋∠α－30°，根据∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠α，得出等式∠AED＝∠AED＋∠α－30°＋∠α，求出∠α即可．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠B＋30°＝∠AED＋∠α，∴∠B＝∠C＝∠AED＋∠α－30°.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝∠C＋∠α，即∠AED＝∠AED＋∠α－30°＋∠α，∴2∠α＝30°，∴∠α＝15°.17．[导学号：90702269]证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC，∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC，∴AE∥BC.18．[解析] (1)根据“S.S.S.”证△ABC≌△ADC，推出∠BAC＝∠DAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可推出AC⊥BD；(2)四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AC，代入求出即可．解：(1)同意．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， ∵AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ， ∴△ABC ≌△ADC(S .S .S .)， ∴∠BAC ＝∠DAC. ∵AB ＝AD ，∴AC ⊥BD ，BE ＝DE(等腰三角形的“三线合一”)． (2)∵AC＝a ，BD ＝b ，∴四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12BD ·AE ＋12BD·CE＝12BD·(AE＋CE)＝12BD·AC ＝12ab.[素养提升]C [解析] ∵在△ABA 1中，∠A ＝70°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝70°.∵A 1A 2＝A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角， ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A 2＝35°＝70°2.同理可得∠B 2A 3A 2＝17.5°＝70°22，∠B 3A 4A 3＝8.75°＝70°23， ∴∠A n －1A n B n －1＝70°2n －1. 故选C .~。