2017年12月8日 直接证明与间接证明-试题君之每日一题

直接证明和间接证明例如，我们要证明一个分数小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1、我们可以直接证明如下：设分数为a/b，其中a和b均为正整数。

则有a<b，因此，a/b<b/b，即a/b<1又因为倒数的定义为1/a，即倒数为1除以该数，所以可知a/b *1/a = a/ba = 1/b，而1/b小于1因此，我们可以得出结论：一个小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1间接证明是通过反证法（或称间接推理）推导出结论的证明方法。

它包括以下步骤：首先，假设要证明的结论不成立；其次，根据该假设推导出与已知事实矛盾的结论；最后，得出假设的结论非真，因此原结论为真。

间接证明的特点是通过推理和推导推翻假设，从而得到结论。

例如，我们要证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，即可表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。

则根号2=a/b，即2=(a/b)^2，即2b^2=a^2根据等式两边平方数的性质可知，a^2必为偶数。

那么，根据整数的性质可知，a也必为偶数，即a=2c，其中c为整数。

将a=2c代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2c)^2，化简得到b^2=2c^2依据同样的推理，b也是偶数，与假设a和b之间没有公因数相矛盾。

因此，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。

总结来说，直接证明是通过逻辑推理和数学定义直接得出结论，而间接证明是通过反证法推导出结论。

这两种证明方法在数学中应用广泛，可以灵活运用于各类数学问题的证明中。

无论是选择直接证明还是间接证明，重要的是要严谨、清晰地阐述证明的过程和推理的逻辑，以确保结论的正确性。

直接证明与间接证明检测题（有答案）2.2直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P1成立，欲证P1成立只需证P2成立，则P2是θ的一个（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．3.设，，，，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.已知函数，，，，，则的大小关系（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明为奇函数的步骤是．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．三、解答题(共70分)7.（15分）设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞8.（20分）设，求证：9．(20分)设为任意三角形边长，，试证：10.（15分）在中，已知，且．判断的形状．2.2直接证明与间接证明2.2直接证明与间接证明答案一、选择题1.A2.A解析：∵欲证θ成立只需证P1成立，∴P1&#8658;θ.∵欲证P1成立只需证P2成立，∴P2&#8658;P1，∴P2&#8658;θ.∴P2是θ的一个充分条件.3.B4.A二、填空题5.满足的函数是奇函数，大前提，小前提所以是奇函数．结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心三、计算题7.解：证明一：(分析法)要证+＞成立，只需证(a+b)(-ab+)＞ab(a+b)成立，即需证-ab+＞ab成立。

(∵a+b＞0)只需证-2ab+＞0成立，即需证＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证。

证明二：(综合法)∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0亦即-ab+＞ab由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(-ab+)＞(a+b)ab即+＞，由此命题得证。

直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】 对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】 要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】 对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。

高二数学直接证明与间接证明试题1.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为A．自然数都是奇数B．自然数都是偶数C．自然数中至少有两个偶数D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．【考点】命题的否定.2.用分析法证明：若，则.【答案】详见解析【解析】分析法证明的思路是执果索因，即寻找使结论成立的充分条件，通常对于分式不等式、无理不等式的证明常采用分析法，分析法要确保分析得到的最终结果必须是一个正确的结论，如题目提供的条件、某条公理、某条定理等，注意分析法证题的规范表述，防止循环论证.试题解析：证明：要证：.∵，∴两边均大于零，因此只需证：只需证：只需证：只需证：即证：，它显然成立，∴原不等式成立.【考点】不等式证明方法之一：分析法.3.设则（）A．都不大于B．都不小于C．至少有一个不大于D．至少有一个不小于【答案】C【解析】假设都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．【考点】反证法与放缩法．4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数【答案】B【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”，故选：B．【考点】反证法．5.（1）求证：当时，；（2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）证明过程可以使分析法，要证成立，需证成立；而显然成立，所以原结论成立；（2）用反证法证明：即先假设结论“不可能是同一个等差数列中的三项”的反面成立，最终推出公差即是无理数又是有理数的矛盾，所以假设不正确，原结论成立.1)(当且仅当时取等号)（其他证法，如分析法酌情给分） 7分2)假设是同一个等差数列中的三项，分别设为则为无理数，又为有理数所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项 14分【考点】推理与证明.6.用反证法证明：已知，，，求证：，，．【答案】证明详见解析．【解析】根据应用反证法证明命题的一般步骤：先假设原命题的结论不成立，由此找出矛盾，从而肯定结论．本题先假设不都是正数，结合可知三个数中必有两个为负数，一个为正数，根据本题中的条件互相进行轮换后都没有变化，从而不妨设，进而根据条件得出，由此推导出，这与条件矛盾，从而可肯定原结论正确．假设不都是正数 1分由可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数 2分不妨设则由可得 4分又，∴ 5分即 7分∵，∴即 9分这与已知矛盾所以假设不成立．因此成立 10分【考点】反证法．7.完成反证法证题的全过程．设a1,a2, ,a7是1,2, ,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2) (a7-7)为偶数．证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2, ,a7-7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数===0．但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数．【答案】(a1-1)+(a2-2)+ +(a7-7) = (a1+a2+ +a7)-(1+2+ +7)【解析】理解奇偶数的关系是本题的关键，利用分组将原来的(a1-1)+(a2-2)+ +(a7-7)变形为(a1+a2++a7)-(1+2+ +7)，可得出矛盾所在．【考点】反证法．8.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B．假设a，b，c都是偶数C．假设a，b，c至少有两个偶数D．假设a， b，c都是奇数【答案】A【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c都是奇数”，故选A．【考点】反证法与放缩法.9.用反证法证明命题“若实系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至少有两个是偶数【答案】B【解析】根据反证法的解题思路，首先是假设原命题的结论不成立即原结论的否定成立，因为原结论为“中至少有一个是偶数”，所以应假设中没有一个是偶数即都不是偶数，故选B.【考点】反证法.10.用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是()A．＝B．<C．＝且<D．＝或<【答案】D【解析】分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑>的反面即可。

数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 求证：√2+√3>√5()A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法2. 要证√2−√3<√6−√7成立，只需证( )A.(√2+√7)2<(√3+√6)2B.(√2−√6)2<(√3−√7)2C.(√2−√3)2<(√6−√7)2D.(√2−√3−√6)2<(−√7)23. “执果索因”是下列哪种证明方法的特点（）A.数学归纳法B.反证法C.分析法D.综合法4. 如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A.①-分析法，②-综合法B.①-综合法，②-分析法C.①-综合法，②-反证法D.①-分析法，②-反证法5. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法6. 命题“对于任意角θ，cos4θ−sin4θ=cos2θ”的证明：“cos4θ−sin4θ=(cos2θ−A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法7. 已知，，，则下列三个数，，（）A.都大于B.至少有一个不大于C.都小于D.至少有一个不小于8. 已知a,b,c>0，则ba ,cb,ac的值()A.都大于1B.都小于1C.至多有一个不小于1D.至少有一个不小于19. 用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设()A.a，b，c中至多一个是偶数B.a，b，c中至少一个是奇数C.a，b，c中全是奇数D.a，b，c中恰有一个偶数10. 某同学证明√5+√13<√7+√11的过程如下：∵√13−√11>√7−√5>0，∴√13+√11<√7+√5，∴√13−√112<√7−√52，∴√5+√13<√7+√11，则该学生采用的证明方法是（）A.综合法B.比较法C.反证法D.分析法11. 若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是________．12. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．13. 下列对分析法表述正确的是________；（填上你认为正确的全部序号）①由因导果的推法；②执果索因的推法；③因果分别互推的两头凑法；④逆命题的证明方法．14. 用分析法证明：若a，b，m都是正数，且a<b，则a+mb+m >ab．完成下列证明过程：∵b+m>0，b>0，∴要证原不等式成立，只需证明b(a+m)>a(b+m)，即只需证明________.∵m>0，∴只需证明b>a，由已知显然成立，∴原不等式成立.15. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有是________（填序号）．16. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是________（填序号）．17. 用反证法证明命题“如果${018. 已知x1>0,x1≠1且x n+1=x n(x n2+3)3x n2+1(n=1,2，…），试证：“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n+1，”当此题用反证法否定结论时应为________．19. 用反证法证明命题：“x2−(a+b)x+ab≠0，则x≠a且x≠b”，首先要假设________．20. （选修4−1几何证明选讲）如图，AD // BC，∠A=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F求证：AB=FC．21. （1）若a≥1，用分析法证明√a+1+√a−1<2√a； 21.（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：(2a+1)(b+1)≥9．22. 试比较下列各式的大小（不写过程）（1）1−√2与√2−√3（2）√2−√3与√3−√4通过上式请你推测出√n−1−√n与√n−√n+1(n≥2且n∈N)的大小，并用分析法加以证明．23. 用综合法或分析法证明：如果3sinβ＝sin(2α+β)，求证tan(α+β)＝2tanα．24. 下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论. 命题：若a>b>c，且a+b+c=0，则√b2−aca<√3.25. 记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0, x0)为坐标的点为函数y=f(x)图象上的不动点．（1）若函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，试求a的取值范围．（2）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R且a>0)，满足{f(0)≥1f(1+sin a)≤1(a∈R)，且y=f(x)的图象上有两个不动点(x1, x1)，(x2, x2)，记函数y=f(x)的对称轴为x=x0，求证：如果x1<2<x2<4，那么x0>−1．26. 已知“一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大”．（1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，请你用l分别表示出圆和正方形的面积，并用分析法证明该命题；27. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，证明：CD1 // EF．28. 用分析法证明√3+√5>√2+√4．29. 用分析法证明：已知a>0，b>0，求证：a+b2≥2aba+b．30. 设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x−1，其中实数k1,k2满足k1k2+2=0．证明：l1与l2相交．31. 用分析法证明：√6+√7>√3+√10．32. 请用综合法或分析法、反证法证明：(1)如果a>0，b>0，则lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab；(2)若a，b，c为正数且abc=1，求证：a2+b2+c2≥1a +1b+1c．33. 用反证法证明：√2不是有理数．34. 设a3+b3=2，求证a+b≤2．35. 已知x，y>0，且x+y>2．求证：1+xy ，1+yx中至少有一个小于2.36. 如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，且BE=CD，BD，CE相交于点P，AP平分∠BAC，求证：AB=AC．37. 记集合T={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，a i(i=1, 2, 3, 4)是T中可重复选取的元素．（1）若将集合M={a1×83+a2×82+a3×8+a4|a i∈T, i=1, 2, 3, 4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a i(i=1, 2, 3, 4)的值；（2）若将集合N={a18+a28+a38+a48|a i∈T, i=1, 2, 3, 4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a i(i=1, 2, 3, 4)的值．38. 设0<x1<x2<π2．（1）证明：x1>sin x1（2）x1sin x2cos x1>x2sin x1cos x2．39. 已知△ABC中，B=C=2π5，记cos A=x，cos B=cos C=y．（1）求证：1+y=2x2；（2）若△ABC的面积等于2sinπ5，求AC边上的中线BD的长．参考答案与试题解析数学选修2-2直接证明与间接证明练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】综合法与分析法【解析】直接利用分析法证明不等式，推出结果后，判断选项．【解答】证明：因为√2+√3和√5都是正数，所以为了证明√2+√3>√5，只需证明(√2+√3)2>(√5)2，展开得5+2√6>5，即2√6>0，显然成立，所以不等式√2+√3>√5．上述证明过程应用了分析法．故选B．2.【答案】A【考点】综合法与分析法【解析】对于不等式而言，若想两边同时平方使得大小号不变，必须保证两边均为正数.【解答】解：要证√2−√3<√6−√7，只需证√2+√7<√3+√6，只需证(√2+√7)2<(√3+√6)2.故选A.3.【答案】C【考点】综合法与分析法【解析】针对证明方法的定义和特点以及分类，逐个选项验证即可．【解答】解：综合法是执因导果，从前到后，分析法是执果索因，从后往前；由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立；数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，：若1∘的自然数n都成立．故选C．4.【答案】B【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①-综合法，②-分析法.故选B．5.【答案】A【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法.故选A．6.【答案】B【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在证明过程中使用了大量的公式和结论，有平方差公式，同角的关系式，所以在证明过程中，使用了综合法的证明方法．故选B．7.【答案】D【考点】【解析】假设3个数a+4b b+9cc+16a都小于6，则a+4b+b+9c+c+16a≤18利用基本不等式可得，a+4b +b+9c+c+16a=(a+16a)+(b+4b)+(c+9c)≥18，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数a+4b b+9cc+16a至少有一个不小于6，故选D．【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】反证法进行简单的合情推理合情推理的作用【解析】此题暂无解析【解答】解：令a=b=c，则ba =cb=ac=1，排除A，B.令a=1,b=2,c=4，则ba =cb=2，ac=14，排除C.对于D，假设ba <1,cb<1,ac<1，则b<a,c<b,a<c，相加得a+b+c<a+b+c，矛盾.故选D.9.【答案】C【考点】反证法【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”.故选C．10.A【考点】综合法与分析法【解析】从推理过程（是“执因索果”还是“执果索因”）即可得到答案．【解答】解：从推理形式来看，从√13−√11>√7−√5>0入手，推出√13+√11<√7+√5，继而得到√13−√112<√7−√52，最后得到√5+√13<√7+√11，是“执因索果”，是综合法证明，故选：A．二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】综合法【考点】综合法与分析法【解析】根据证题思路，是由因导果，是综合法的思路，故可得结论．【解答】解：∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，∴证明方法是由因导果，是综合法的思路故答案为：综合法12.【答案】充分【考点】综合法与分析法【解析】利用分析法的定义和分析法证题的方法，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．【解答】解：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．故答案为充分．13.【答案】②【考点】综合法与分析法【解析】根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法．解：根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．故答案为：②．14.【答案】bm>am【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】本题考查分析法证明不等式的方法，属于基础题，根据分析法证明不等式的方法，由b(a+m)>a(b+m)可得bm>am，即可求解.【解答】解：由b(a+m)>a(b+m)可得ab+bm>ab+am，即证bm>am.故答案为：bm>am.15.【答案】①②③【考点】综合法与分析法【解析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确．【解答】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故答案为：①②③．16.【答案】①③【考点】命题的真假判断与应用综合法与分析法反证法与放缩法【解析】针对证明方法的定义和特点以及分类，逐个选项验证即可．【解答】解：综合法是执因导果，从前到后，分析法是执果索因，从后往前，综合法和分析法都是直接证法，反证法是一种间接证法，故可判断①③正确，②④错误．故答案为：①③17.【答案】√x≥√y反证法【解析】此题暂无解析【解答】解：由于√x<√y的否定为√x≥√y,根据用反证法证明命题的方法，应先假设要证的结论的否定成立，故应假设：√x≥√y,故答案为：√x≥√y.18.【答案】存在正整数n，使x n≤x n+1【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】解析根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n+1”的否定为“存在正整数m，使x n≤x n+1”．19.【答案】x=a或x=b【考点】反证法【解析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x=a或x=b”，故答案为：x=a或x=b.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）20.【答案】证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，∴BC=BE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，AE // BC，∴∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，∴∠BFC=90∘，在Rt△ABE和Rt△FCB中，BE=BC，∠AEB=∠FBC，∴Rt△ABE≅Rt△FCB，∴AB=FC．【考点】综合法与分析法由题意得BC=BE，再根据矩形的性质得∠A=90∘，AE // BC，则∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，则∠BFC=90∘，根据直角三角形全等的判定易得到Rt△ABE≅Rt△CFB，利用三角形全等的性质即可得到AB=FC．【解答】证明：∵以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，∴BC=BE，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，AE // BC，∴∠AEB=∠FBC，而CF丄BE，∴∠BFC=90∘，在Rt△ABE和Rt△FCB中，BE=BC，∠AEB=∠FBC，∴Rt△ABE≅Rt△FCB，∴AB=FC．21.【答案】证明：（1）因a≥1，所以，要证√a+1+√a−1<2√a，只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1<a2，即−1<0，此不等式显然成立，于是√a+1+√a−1<2√a．（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2√2ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，∴(2a+1)(b+1)=2ab+(2a+b)+1≥4+4+1=9．【考点】综合法与分析法【解析】（1）只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1< a2．（2）利用基本不等式证明2a+b≥2√2ab=4，化简不等式的左边，把此结论代入，可证得不等式成立．【解答】证明：（1）因a≥1，所以，要证√a+1+√a−1<2√a，只需证明a+1+2√a2−1+a−1<4a，即证√a2−1<a，只需证明a2−1<a2，即−1<0，此不等式显然成立，于是√a+1+√a−1<2√a．（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2√2ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，∴(2a+1)(b+1)=2ab+(2a+b)+1≥4+4+1=9．22.【答案】解：（1）1−√2<√2−√3；（2）√2−√3<√3−√4猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)证明：要证：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)即证：(√n−1−√n)2<(√n−√n+1)2整理得：√n2+n>√n2−n+1平方整理得：2n−1>2√n2−n平方并整理得：1>0而此不等式一定成立，故猜想正确【考点】综合法与分析法不等式比较两数大小【解析】猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)，再用分析法证明即可．【解答】解：（1）1−√2<√2−√3；（2）√2−√3<√3−√4猜想：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)证明：要证：√n−1−√n<√n−√n+1(n≥2且n∈N)即证：(√n−1−√n)2<(√n−√n+1)2整理得：√n2+n>√n2−n+1平方整理得：2n−1>2√n2−n平方并整理得：1>0而此不等式一定成立，故猜想正确23.【答案】证明：将条件化为：3sin[(α+β)−α]＝sin[(α+β)+α]，展开得：3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即：2sin(α+β)cosα＝4cos(α+β)sinα，由cos(α+β)cosα≠0，两边同除以cos(α+β)cosα，可得tan(α+β)＝2tanα．【考点】分析法的思考过程、特点及应用两角和与差的三角函数【解析】把已知等式左边的角β变为(α+β)−α，右边的角2α+β变为(α+β)+α，然后左右两边分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项合并后，在等式两边同时除以cosαcos(α+β)，利用同角三角函数间的基本关系变形可得证．【解答】证明：将条件化为：3sin[(α+β)−α]＝sin[(α+β)+α]，展开得：3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα＝sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即：2sin(α+β)cosα＝4cos(α+β)sinα，由cos(α+β)cosα≠0，两边同除以cos(α+β)cosα，可得tan(α+β)＝2tanα．24.【答案】解：此命题是真命题．∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0．<√3，只需证√b2−ac<√3a，要证√b2−aca即证b2−ac<3a2，也就是证(a+c)2−ac<3a2，即证(a−c)(2a+c)>0，∵a−c>0，2a+c=a+c+a=−b+a>0，∴(a−c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立，即命题为真．【考点】不等式的基本性质分析法的思考过程、特点及应用【解析】采用分析法来证，先把不等式转化为：√b2−ac<√3a，两边平方b2−ac<3a3，整理后得到一恒成立的不等式即可．【解答】解：此命题是真命题．∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0．<√3，只需证√b2−ac<√3a，要证√b2−aca即证b2−ac<3a2，也就是证(a+c)2−ac<3a2，即证(a−c)(2a+c)>0，∵a−c>0，2a+c=a+c+a=−b+a>0，∴(a−c)(2a+c)>0成立，故原不等式成立，即命题为真．25.【答案】=x0，解：（1）若点(x0, x0)是不动点，则2x0−1x0+a即x02+(a−2)x0+1=0，由题意函数f(x)=2x−1的图象上有且仅有两个不动点，∴a=x+a4．（2）设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1，∵a>0，∴由条件x1<2<x2<4，得g(2)<0，g(4)>0．即{4a+2b−1<0 16a+4b−3>0由可行域可得ba <2，∴x0=−b2a>−1．【考点】综合法与分析法【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程x02+(a−2)x0+1=0，利用函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，求a的取值范围；（2）由x1<2<x2<4转化为g(x)=f(x)−x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．【解答】解：（1）若点(x0, x0)是不动点，则2x0−1x0+a=x0，即x02+(a−2)x0+1=0，由题意函数f(x)=2x−1x+a的图象上有且仅有两个不动点，∴a=4．（2）设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1，∵a>0，∴由条件x1<2<x2<4，得g(2)<0，g(4)>0．即{4a+2b−1<0 16a+4b−3>0由可行域可得ba <2，∴x0=−b2a>−1．26.【答案】解：（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2．因此本题只需证明π⋅(l2π)2>(l4)2．要证明上式，只需证明πl 24π2>l216，两边同乘以正数4l2，得1π>14．因此，只需证明4>π．因为4>π恒成立，所以π⋅(l2π)2>(l4)2．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．【考点】分析法的思考过程、特点及应用类比推理【解析】（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2，根据分析法的证明步骤可得结论；（2）周长类比表面积，面积类比体积，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，圆的面积为π⋅(l2π)2，正方形的面积为(l4)2．因此本题只需证明π⋅(l2π)2>(l4)2．要证明上式，只需证明πl 24π2>l216，两边同乘以正数4l2，得1π>14．因此，只需证明4>π．因为4>π恒成立，所以π⋅(l2π)2>(l4)2．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．（2）一个球与一个正方体的表面积相等时，球的体积比正方体的体积大．27.【答案】证明：连接A1B，则∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，∴EF // A1B，∵A1D1 // BC，A1D1=BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴CD1 // A1B，∴CD1 // EF．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】连接A1B，利用平行公理，即可证明．【解答】证明：连接A1B，则∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D的中点为E，BD的中点为F，∴EF // A1B，∵A1D1 // BC，A1D1=BC，∴A1D1CB是平行四边形，∴CD1 // A1B，∴CD1 // EF．28.【答案】证明：要证明√3+√5>√2+√4，只要证明：√3>√2，√5>√4，结论显然成立，∴√3+√5>√2+√4．【考点】分析法的思考过程、特点及应用【解析】寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要√3>√2，√5>√4．【解答】证明：要证明√3+√5>√2+√4，只要证明：√3>√2，√5>√4，结论显然成立，∴√3+√5>√2+√4．29.【答案】证明：因为a>0，b>0，要证a+b2≥2aba+b，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2−4ab≥0，即证a2−2ab+b2≥0，而a2−2ab+b2=(a−b)2≥0恒成立，故a+b2≥2aba+b成立．【考点】不等式的证明分析法的思考过程、特点及应用【解析】利用分析法（执果索因），要证a+b2≥2aba+b，只需证明(a−b)2≥0即可，该式显然成立．【解答】证明：因为a>0，b>0，要证a+b2≥2aba+b，只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2−4ab≥0，即证a2−2ab+b2≥0，而a2−2ab+b2=(a−b)2≥0恒成立，故a+b2≥2aba+b成立．30.【答案】证明：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得k12+2=0．这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】方法点拔：采用反证法．31.【答案】证明：要证√6+√7>√3+√10，只要证6+7+2√42>3+10+2√30，只要证2√42>2√30，即证42>30．而42>30显然成立，故原不等式成立．【考点】综合法与分析法【解析】分析使不等式√6+√7>√3+√10成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．【解答】证明：要证√6+√7>√3+√10，只要证6+7+2√42>3+10+2√30，只要证2√42>2√30，即证42>30．而42>30显然成立，故原不等式成立．32.【答案】证明：(1)（综合法）如果a>0，b>0，则a3+b3−(a+b)ab=a3−a2b+b3−ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a2−b2)(a−b)=(a+b)(a−b)(a−b)=(a+b)(a−b)2≥0，当且仅且a=b时取等号，故a3+b3≥(a+b)ab，即lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab．(2)（分析法）要证a2+b2+c2≥1a +1b+1c，只要证a 2+b2+c2abc≥1a+1b+1c，即证a2+b2+c2≥bc+ac+ab，即证2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2≥0，即证(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，显然成立，且a=b=c时取等号，以上均可逆，则原不等式成立．【考点】不等式的证明综合法的思考过程、特点及应用分析法的思考过程、特点及应用对数的运算性质【解析】【解答】证明：(1)（综合法）如果a>0，b>0，则a3+b3−(a+b)ab=a3−a2b+b3−ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a2−b2)(a−b)=(a+b)(a−b)(a−b)=(a+b)(a−b)2≥0，当且仅且a=b时取等号，故a3+b3≥(a+b)ab，即lg(a3+b3)≥lg(a+b)+lg ab．(2)（分析法）要证a2+b2+c2≥1a +1b+1c，只要证a 2+b2+c2abc≥1a+1b+1c，即证a2+b2+c2≥bc+ac+ab，即证2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2≥0，即证(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2≥0，显然成立，且a=b=c时取等号，以上均可逆，则原不等式成立．33.【答案】证明：假设√2为有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得：√2=pq，于是p=√2q，两边平方得p2＝2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p＝2s，s是正整数，代入上式，得：4s2＝2q2，即q2＝2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此√2不是有理数．【考点】反证法【解析】假设√2为有理数，通过有理数的性质，推出矛盾的结论，即可得到结果．【解答】证明：假设√2为有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得：√2=pq，于是p=√2q，两边平方得p2＝2q2由2q2是偶数，可得p2是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p＝2s，s是正整数，代入上式，得：4s2＝2q2，即q2＝2s2．所以q也是偶数，这样p，q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．因此√2不是有理数．34.【答案】证明：假设a+b>2，则有a>2−b，从而a3>8−12b+6b2−b3，a3+b3>6b2−12b+8=6(b−1)2+2．因为6(b−1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立．评析：利用反证法证明不等式的第二步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答35.【答案】证明：假设1+xy ，1+yx都不小于2，即1+xy≥2且1+yx≥2.因为x，y>0，所以1+x≥2y且1+y≥2x.把这两个不等式相加得2+x+y≥2(x+y)，化简得x+y≤2，这与x+y>2矛盾．因此1+xy ，1+yx都不小于2是不可能的，即原命题成立．【考点】反证法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】证明：作DG⊥BC于G，作EH⊥BC于H，作PM⊥AC于M，作PN⊥AB于N，∵AP平分∠BAC，∴PM=PN，∵CD=BE，∴△CPD与△BPE的面积相等，∴△BCD与△CBE的面积相等，∴DG=EH，又∵CD=BE，∴△CGD≅△BHE，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．【考点】综合法与分析法【解析】作DG⊥BC于G，作EH⊥BC于H，作PM⊥AC于M，作PN⊥AB于N，先根据三角形面积相等求出DG=EH，利用全等三角形的判定定理即可得到△CGD≅△BHE，于是得到∠ABC =∠ACB ，利用等角对等边即可得到AB =AC ． 【解答】证明：作DG ⊥BC 于G ，作EH ⊥BC 于H ，作PM ⊥AC 于M ，作PN ⊥AB 于N ，∵ AP 平分∠BAC ， ∴ PM =PN ， ∵ CD =BE ，∴ △CPD 与△BPE 的面积相等， ∴ △BCD 与△CBE 的面积相等， ∴ DG =EH ， 又∵ CD =BE ， ∴ △CGD ≅△BHE ， ∴ ∠ABC =∠ACB ， ∴ AB =AC ． 37. 【答案】解：（1）记a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4=a 1a 2a 3a 4¯， 它表示一个8进制数；M 中最小值为0¯，第2008个数在十进制数中为2007， 将2007化为8进制数即为3727¯， 所以a 1=3，a 2=7，a 3=2，a 4=7．（2）因为a 18+a 28+a 38+a 48=18(a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4)，括号内表示的8进制数，其最大值为7777¯； ∵ 7777¯=4095，从大到小排列，第2008个数为 4095−2008+1=2088因为2008=4050¯，所以a 1=4，a 2=0，a 3=5，a 4=0【考点】分析法的思考过程、特点及应用 【解析】（1）要将集合M ={a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4|a i ∈T, i =1, 2, 3, 4}中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的a i ，首先要搞清楚，M 集合中元素的特征，关键是要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． （2）要将集合N ={a 18+a 282+a 383+a 484|a i ∈T, i =1, 2, 3, 4}中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的a i ，首先要搞清楚，N 集合中元素的特征，同样要分析求第2008个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． 【解答】解：（1）记a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4=a 1a 2a 3a 4¯， 它表示一个8进制数；M 中最小值为0¯，第2008个数在十进制数中为2007， 将2007化为8进制数即为3727¯， 所以a 1=3，a 2=7，a 3=2，a 4=7．（2）因为a 18+a 282+a 383+a 484=184(a 1×83+a 2×82+a 3×8+a 4)，括号内表示的8进制数，其最大值为7777¯； ∵ 7777¯=4095，从大到小排列，第2008个数为 4095−2008+1=2088因为2008=4050¯，所以a 1=4，a 2=0，a 3=5，a 4=0 38. 【答案】证明：（1）令f(x)=x −sin x(0<x <π2)，∴ f′(x)=1−cos x ≥0，∴ f(x)=x −sin x(0<x <π2)为增函数， ∵ 0<x 1<π2，∴ f(x 1)>f(0)，即x 1−sin x 1>0， ∴ x 1>sin x 1；（2）令g(x)=x cot x(0<x <π2)， 则g′(x)=cot x −xcsc 2x =sin x cos x−x sin 2x <0，∴ g(x)=x cot x(0<x <π2)为减函数， ∵ 0<x 1<x 2<π2，则x 1cos x 1sin x 1>x 2cos x2sin x 2，即x 1sin x 2cos x 1>x 2sin x 1cos x 2．【考点】综合法与分析法【解析】（1）构造函数f(x)=x−sin x(0<x<π2)，利用导数证明其为增函数，则结论可证；（2）构造函数g(x)=x cot x(0<x<π2)，利用导数证明其为增函数，则结论可证．【解答】证明：（1）令f(x)=x−sin x(0<x<π2)，∴f′(x)=1−cos x≥0，∴f(x)=x−sin x(0<x<π2)为增函数，∵0<x1<π2，∴f(x1)>f(0)，即x1−sin x1>0，∴x1>sin x1；（2）令g(x)=x cot x(0<x<π2)，则g′(x)=cot x−xcsc2x=sin x cos x−xsin2x<0，∴g(x)=x cot x(0<x<π2)为减函数，∵0<x1<x2<π2，则x1cos x1sin x1>x2cos x2sin x2，即x1sin x2cos x1>x2sin x1cos x2．39.【答案】（1）证明：∵B=C=2π5，∴A=π−(B+C)=π−4π5=π5∴1+y=1+cos2π5=2cos2π5=2x2．…（2）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有12bc sin A=2sinπ5，∵b=c，A=π5，∴b2sinπ5=4sinπ5，故b=c=2．…又BD2=c2+(b2)2−2×c×b2cos A=22+12−2×2×1×cosπ5=5−4cosπ5，∴BD=√5−4cosπ5．…【考点】综合法与分析法【解析】（1）利用cos A=x，cos B=cos C=y，结合二倍角公式，可证结论；（2）利用三角形的面积公式，结合b=c，A=π5，求出BC，进而可求BD的长．【解答】（1）证明：∵B=C=2π5，∴A=π−(B+C)=π−4π5=π5∴1+y=1+cos2π5=2cos2π5=2x2．…（2）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有12bc sin A=2sinπ5，∵b=c，A=π5，∴b2sinπ5=4sinπ5，故b=c=2．…又BD2=c2+(b2)2−2×c×b2cos A=22+12−2×2×1×cosπ5=5−4cosπ5，∴BD=√5−4cosπ5．…。

直接证明与间接证明练习卷一、填空题1．A ．将结论与条件同时否认，推出矛盾；B ．肯定条件，否认结论，推出矛盾；C ．将被否认的结论当条件，经过推理得出结论只与原题条件矛盾，才是反证支的正确运用D ．将被否认的结论当条件，原题的条件不能当条件2．用反证法证明“如果a b >，那么33a b >〞假设的内容是______________。

3．αβ，是两个平面，直线l 不在平面α内，l 也不在平面β内，设①l α⊥；②l β∥；③αβ⊥4．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60，用反证法证明时的假设为“三角形的 〞．5．当00a b >>，时，①11()4a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭≥；②22222a b a b +++≥；④2ab a b+．以上4个不等式恒成立的是 ．〔填序号〕61>1>，即证75111+>+>3511>，∴原不等式成立．以上证明应用了________(A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法)7．假设关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，那么k 的范围是____ .8． b a ,是不相等的正数，x y ==，那么,x y 的大小关系是_________. 9． 假设,,a b c R ∈,那么222a b c ++ ab bc ac ++.10．.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,那么其浓度为 ;假设再参加m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .二、解答题11.,,a b c R +∈， 1a b c ++=，求证：1119a b c++≥12．求证：对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=13．(01)a b c ∈，，，，求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14．14．求证：以过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切〔用分析法证〕15. ,0x y >,且2x y +>.试证:11,x y y x ++中至少有一个小于2.。