《数值分析与数学建模》

《数据分析与建模教学大纲》课程教学大纲课程代码：030742003课程英文名称：Data Analysis and Modeling课程总学时：48 讲课：40 实验：8 上机：0适用专业：电子信息科学与技术大纲编写（修订）时间：2011.9一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标数据分析与建模是一门综合运用分析、试验、量化的手段对生产实践、科学研究、军事工程等各种实际问题建立数学模型并进行求解的应用数学。

它系统地介绍数学模型、数学建模和建模过程中的常用方法与实例，为学生今后各专业课程的学习和工作时间打下必不可缺的专业基础。

通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1．掌握数学模型的基本思想、方法与技巧。

2．学会正确的分析、归纳的思维方式和思考习惯，能够根据各种实际问题的不同情况采取不同方法建立数学模型。

3．运用所学的知识和技巧进行数学模型的求解、分析、检验与评价。

4．掌握有关计算机软件的使用，提高解决复杂问题的能力。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.基本知识：学生应掌握与建模相关的数学和计算机软件知识。

2.基本理论和方法：掌握线性规划与非线性规划、无约束最优化、微分方程、最短路问题、数据统计描述与分析、回归分析、计算机模拟以及插值与拟合等建模与求解的基本理论和方法。

3.基本技能: 掌握一定的解决实际建模问题的能力，能熟练运用计算机与相关软件并具备相关的编程计算技能，掌握撰写数据分析与建模论文或报告的能力。

（三）实施说明1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；注意培养学生提高利用各种媒体获取技术资料的能力。

讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。

2．教学手段：在教学中采用电子教案、CAI课件及多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。

1. 数学模型的概念及特点1.1 数学模型的定义根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。

它是真实系统的一种抽象，集中反映了事物的本质。

1.2 数学模型的组成定义域+ 控制方程+ 边界条件定义域问题的范围。

包括问题变量的定义，几何模型的表示等。

定义域可不唯一，一般靠经验确定。

控制方程1）一定假设条件下依一定原理建立数学方程。

例如数值求解的算法等。

2）根据问题合理确定相应的控制方程。

3）合理选择对象的属性。

例如弹性模量，剪切模量，摩擦系数等。

边界条件定义域边界的已知值，可用数学表达式表示。

对于位移边界可添加约束，对于力边界可添加载荷。

1.3 数学模型的特点（1）模型的逼真性和可行性一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择．（2）模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．（3）模型的稳定性模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的稳定性：当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化．（4）模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．（5）模型的技艺性建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧．有入说。

数值分析读书报告数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。

数值分析也称为数值计算方法。

它包含的内容很多，如函数的插值计算方法、离散数据的拟合、微分与积分、线性和非线性方程、矩阵特征值问题、微分方程等。

我们已经学完了函数的插值计算方法，下面针对插值法问题谈谈自己的认识。

在工程实践和科学实验中，经常需要建立函数关系，即y=f(x)。

虽然从原则上说，它在某个区间[a,b]上是存在的，但通常只能观测到它的部分信息，即只能获取[a,b]上一系列离散点上的值，这些值构成了观测数据。

这就是说，我们只知道的一张观测数据表，而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。

有两种办法常用来确定经验函数y=g(x)：插值法和拟合法。

根据问题的不同，有时要用插值技术来解决，有时则应该采用拟合的方法才合理。

插值法是一个古老而实用的课题，它是函数逼近，数值微积分和微分方程数值解的基础。

因此它是很重要的。

那什么是插值法呢？插值的任务：就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。

插值法:由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处的值y0 , y1 , …, yn，构造一个简单函数F(x) 作为函数y=f(x) 的近似表达式y= f(x) ( F(x)使F(x0)= y0 , F(x1)= y1 , (, F(xn)= yn (称为插值条件)。

这类问题称为差值问题。

f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数，x0 , x1 , ... , xn 称为插值节点。

插值法主要包括拉格朗日插值，牛顿插值，等距节点插值及样条插值。

拉格朗日插值公式是在已知一些点的情况下,利用这些点的坐标,作一个多项式函数,使这个多项式函数的曲线过这些已知点,利用这种方法来分析在这条曲线上其它点的情况.根据点的多少,作出的多项式函数的次数是不同的。

数学专业书单数学专业是一门理论性较强的学科，学习数学需要掌握一定的基础知识和技巧。

下面是一份数学专业书单，帮助学生系统学习数学知识。

1.《数学分析》数学分析是数学专业的基础课程之一，它主要研究实数、函数、极限、连续性、微积分等概念和性质。

这本书以严谨的推导和证明，帮助学生深入理解数学分析的基本原理和方法。

2.《线性代数》线性代数是数学专业的另一个重要基础课程，它研究向量空间、线性变换、矩阵、特征值等概念和性质。

这本书介绍了线性代数的基本理论和应用，包括矩阵运算、线性方程组、特征值问题等。

3.《概率论与数理统计》概率论与数理统计是数学专业的一门重要课程，它研究随机事件的概率和随机变量的统计规律。

这本书介绍了概率论和数理统计的基本概念、定理和方法，包括概率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等。

4.《常微分方程》常微分方程是数学专业的一门应用数学课程，它研究描述变化规律的微分方程解的存在性、唯一性和性质。

这本书介绍了常微分方程的基本理论和求解方法，包括一阶和高阶微分方程、常系数和变系数线性微分方程、常微分方程的数值解法等。

5.《数值分析》数值分析是数学专业的一门应用数学课程，它研究利用计算机进行数值计算和数值模拟的方法和技巧。

这本书介绍了数值分析的基本原理和常用算法，包括数值逼近、数值积分、数值代数方程的求解等。

6.《离散数学》离散数学是数学专业的一门基础课程，它研究离散结构和离散对象的性质和关系。

这本书介绍了离散数学的基本概念和方法，包括集合论、图论、布尔代数、逻辑推理等。

7.《数学建模》数学建模是数学专业的一门应用数学课程，它研究利用数学方法解决实际问题的建模和求解技巧。

这本书介绍了数学建模的基本原理和方法，包括问题分析、模型构建、模型求解和模型评价等。

8.《实变函数》实变函数是数学专业的一门高级课程，它研究实数轴上的函数的性质和变化规律。

这本书介绍了实变函数的基本概念和性质，包括连续性、可微性、积分等。

《数学建模》课程标准执笔人：吴孟达审阅学院：理学院课程编号：0701107英文名称：Mathematic Modeling预修课程：高等数学、线性代数、概率统计学时：36，其中课堂讲授28学时，上机与实践8学时。

学分：2开课学期：春季学期教学对象：全校理工科及指挥类各专业（选修）一、课程概述（一）课程性质地位计算机技术的飞速发展，极大地拓展了数学应用的空间。

数学应用已从传统的物理领域扩展到了包括生物、化学、医学、气象、人口、生态、经济、管理、社会学等极其广泛的领域，在这些应用中，不可或缺的是把数学理论与客观实际问题联系起来的桥梁——数学建模，即通过有目的地收集数据资料，研究其固有的特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，经过抽象简化，建立起反映实际问题的数量关系——数学模型，然后运用数学的方法与技巧去分析和解决实际问题。

本课程通过培养学员“定量化思考”的意识与素养，为所有理工科及合训类学员科研能力及创新能力的提高提供基础性综合训练。

（二）课程基本理念传统的数学课程的教学强调数学知识的掌握，要求学生掌握所学数学课程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为其进一步获得数学知识、学好以后的各门专业基础课、专业课打下坚实的数学基础。

但囿于教学体系及课时的限制，在综合运用知识解决实际问题的实践性环节上有欠缺，于是数学建模课程便应运而生。

数学建模是大学数学教学中的一个数学应用性教学环节，让学生借助相关数学理论、计算机和数学软件，通过解决实际问题来学数学和用数学。

该环节包括对实际问题的建模和分析、对数学软件的学习和使用等。

通过该教学环节，不仅使学生在学习大学数学课程的早期，便可初步获得运用数学知识和数学软件来解决实际问题的能力，而且能够提高学生学习数学的兴趣。

（三）课程设计思路数学建模分为由基本数学模型到案例分析的教学流程。

首先是介绍经典的数学模型，如微分方程模型等，使学生初步掌握数学建模的基本思想，为进行案例分析做准备；其次是围绕高等数学、线性代数、微分方程和概率统计等课程的基本内容，让学生充分利用数学和计算机去解决实际问题，去体验如何发现、总结和应用数学规律；最后是模型案例分析，综合运用所学数学知识和数学软件，解决有一定综合性的问题，培养学生对简化后的实际问题进行数学建模的能力和探索精神。

浅谈数值分析在数学建模中的应用韩玉桃1 白洋2 田露2 刘徳铮2(1天津商业大学理学院，天津 300134 2天津商业大学理学院，天津，300134) 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。

数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。

研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。

关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程1. 引言数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。

随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。

数学建模是数值分析联系实际的桥梁。

在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。

2. 数值分析在模型建立中的应用在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。

例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。

有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。

例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。

另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。

将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。

以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=∆+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=∆∆=∆++1222)(为k x 的二阶差分。

《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。

数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。

随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。

课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。

内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。

二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。

后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。

三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。

（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。

（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。

4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。

《数据分析与建模》课程教学大纲课程代码：030032126课程英文名称：Data Analysis and Modeling课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：信息科学与工程学院各专业大纲编写（修订）时间：2017.5一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标数据分析与建模是一门综合运用分析、试验、量化的手段对生产实践、科学研究、军事工程等各种实际问题建立数学模型并进行求解的应用数学。

它系统地介绍数学模型、数学建模和建模过程中的常用方法与实例，为学生今后各专业课程的学习和工作时间打下必不可缺的专业基础。

通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1．掌握数学模型的基本思想、方法与技巧。

2．学会正确的分析、归纳的思维方式和思考习惯，能够根据各种实际问题的不同情况采取不同方法建立数学模型。

3．运用所学的知识和技巧进行数学模型的求解、分析、检验与评价。

4．掌握有关计算机软件的使用，提高解决复杂问题的能力。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求1.基本知识：学生应掌握与建模相关的数学和计算机软件知识。

2.基本理论和方法：掌握线性规划与非线性规划、无约束最优化、微分方程、最短路问题、数据统计描述与分析、回归分析、计算机模拟以及插值与拟合等建模与求解的基本理论和方法。

3.基本技能: 掌握一定的解决实际建模问题的能力，能熟练运用计算机与相关软件并具备相关的编程计算技能，掌握撰写数据分析与建模论文或报告的能力。

（三）实施说明1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；注意培养学生提高利用各种媒体获取技术资料的能力。

讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。

2．教学手段：在教学中采用电子教案、CAI课件及多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。

《数值分析》教学大纲一、课程概述数值分析是应用数学的一个重要分支，通过数学建模和计算机仿真对实际问题进行数值计算和分析。

本课程旨在培养学生运用数值方法解决实际问题的能力，包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数、数值常微分方程等内容。

二、课程目标1.理解数值分析的基本原理和方法，掌握数值计算的基本技术。

2.熟悉计算机辅助数值计算的基本工具和软件。

3.能够运用数值方法解决实际问题，并分析计算结果的精度和稳定性。

4.具备进行科学计算和工程应用的能力。

三、教学内容与进度安排1.数值逼近（3周）1.1函数逼近与插值1.2最小二乘逼近1.3数值微积分基础2.数值微积分（3周）2.1数值求积2.2数值微分2.3常微分方程的数值解法3.数值线性代数（4周）3.1线性方程组的直接解法3.2迭代解法与收敛性分析3.3最小二乘问题的数值解法4.数值常微分方程（4周）4.1常微分方程的初值问题4.2常微分方程的边值问题4.3常微分方程的稳定性与数值稳定性分析四、教学方法1.理论讲述：通过教师的课堂讲解，引导学生理解数值分析的基本概念、原理和方法。

2.实例演示：通过实际问题的求解，演示数值方法的应用过程。

3.计算机实验：利用计算机软件进行数值计算实验，帮助学生掌握数值方法的具体实现。

4.课堂讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决课堂提出的数值问题。

五、评分标准1.期末考试：占总评成绩的60%。

2.平时作业：占总评成绩的20%，包括数值计算实验报告、课后习题等。

3.课堂表现：占总评成绩的20%，包括参与课堂讨论、提问和回答问题等。

六、参考教材1.《数值分析基础（第5版）》，谢启元，高等教育出版社，2024年。

2.《数值分析与计算方法（第3版）》，杨士勤，高等教育出版社，2024年。

七、教学资源1.硬件设施：计算机实验室、投影仪等。

2. 软件工具：MATLAB、Python等数值计算软件。

八、其他说明1.本课程的学时安排为32学时，每周2学时。

2007-2008学年第一学期《数值分析与数学建模》课程考核题目说明：本次考核题目共有五个部分，请从每一部分中任选一题作答。

选择时请注意：每题难度不同分值也有所不同。

完成时间：2007－2008学年第二学期开学第一周前三个工作日，过期无效。

答卷提交方式：手写稿或打印稿请直接交到5号楼202室；电子稿可以发送Email 至 tzl99@ 。

要求：（1）标清题号；（2）列出关键的数学模型及模型中各参数的含义；（3）可利用Matalb 软件中相关库函数直接求解，请注明你所用到的关键函数及其作用；（4）也可以在建立模型之后，自行选择数值分析课程中介绍的合适算法并利用Matlab 软件编程实现；如此，你将获得额外加分；（5）对得到的结果加以适当评价，以及对问题本身提出相应的思考与改进，也将获得额外加分； （6）鼓励相互讨论，不允许相互抄袭；雷同（绝大部分相同）答卷按无效答卷处理，不予记录成绩；若某些题目解答完全相同，则该题不得分。

第一部分说明： Ex1、Ex2每题10分；Ex3~Ex6每题15分Ex1：以定期存储为基础的储蓄账户的累积值可由“定期年金方程”确定，]1)1[(-+=ni iP A ；在这个方程中，A 是账户中的数额，P 是定期存储的数额，i 是n 个存储期间的每期利率。

一个工程师想在20年内退休时储蓄账户上的数额达到750000美元，而为了达到这个目标他每个月能存1500美元。

为实现他的储蓄值目标，最小利率应是多少？假定利息是月复利的。

Ex2：在固定的时期内需付抵押贷款的数额问题和下面的称为“普通年金方程”的公式有关，])1(1[ni iP A -+-=在这个方程中，A 是抵押贷款的数额，P 是每期付款的数额，i 是n 个付款期的每期利率。

假设需要30年房屋按揭贷款135000美元，又假设借款人每月至多能付1000美元房款。

借款人能付得起的最大利率是多少？Ex3：病人用的药在血流中产生的浓度由mlmg et A t c t 3)(-=给出（注射了A 单位药物后的t小时以后血液中药物的浓度）。