2020重庆中考数学专题训练十三几何证明菱形 一
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专题训练十二--------几何证明之菱形一
1.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝45°，DE⊥BC于点E，交AC于点F，
点G是BC的中点，连接FG，过点C作CM⊥CD交FG的延长线于点M．
（1）若菱形ABCD的周长为12，求菱形ABCD的面积；
（2）求证：CM+2EF＝BC．
（1）解：∵菱形ABCD的周长为12，
∴BC＝CD＝3，∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE ＝CD ＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE ＝；
（2）证明：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAF＝∠DAF，AB＝AD＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
在△ABF和△ADF 中，，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ABF＝∠ADF＝90°，BF＝DF，∴BF⊥AB，
∵CM⊥CD，
∴BF∥CM，
∴∠GFB＝∠M，
∵点G是BC的中点，
∴BG＝CG，
在△BFG和△CMG 中，，∴△BFG≌△CMG（AAS），
∴BF＝CM，
∴CM＝BF＝DF，
∵BF∥CM，∠BCD＝45°，CM⊥CD，
∴∠GBF＝∠GCM＝90°﹣45°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE＝EF，
∴CM+2EF＝DF+EF+BE＝DE+BE＝BC．
2、如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BC ＝2OC ，E 为BC 边上一点.
（1）如图1，若CE ＝6，∠ACE ＝15°，求BC 的长；
（2）如图2，若F 为BO 上一点，且BF ＝EF ，G 为CE 中点，连接FG ，AG ，求证：AG=3FG ．
G
F
O
D
A
C
E
O
D
A B
C
B
E
图1 图2
（1）解：如答图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M, ∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ∴AB=BC,AC=2CO ∵BC=2CO ∴AB=BC=AC ∴∠ACB=∠ABC=60° ∵∠ACE=15°
∴∠ECB=∠ACB —∠ACE=45° ∴CM=EM=
2
2
CE=23 ∴BM=
3
3
EM=6 ∴BC= CM+BM=23+6
（2）证明：如答图,2，延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，连接CH ，AH ． ∵G 为CE 中点， ∴EG ＝GC ，
在△EFG 与△CHG 中，
，
△EFG ≌△CHG （SAS ），
∴EF ＝CH ，∠CHG ＝∠EFG ， ∴CH ＝BF ，CH ∥EF ，
由（1）可知∠EBC ＝60°，∠EKB ＝90°，∠BCD ＝120°， ∴∠HCB ＝90°，∠ACH ＝∠BCD ﹣∠HCB ＝120°﹣90°＝30°，
∴∠ABF ＝∠ACH ， 在△AFB 与△AHC 中，
△AFB ≌△AHC （SAS ），
∴AF ＝AH ，∠BAF ＝∠CAH ∵FG ＝GH ，
∴AG ⊥FG ，∴∠F AG ＝∠HAG ∵∠BAC ＝∠BAF +∠F AC ＝60°， ∴∠CAH +∠F AC ＝60°， 即∠F AH ＝60°，
∴∠F AG ＝∠HAG ＝30°， ∴
O
B
A H
E
F
G
M
E
O
D
A
答图1
答图2
3.在菱形ABCD中以B为顶点作等腰△BEF，已知∠EBF+∠ABC＝180°．
（1）如图1，当BF与BD重合时，点E在AD边上已知∠A＝30°，AE＝6，求BE的长．（2）如图2，连接AF、CE，BE与AF于点G．若G为AF中点，求证：CE＝2BG．解：（1）如图1，过E点作EM⊥AB于M点，
∵在Rt△AME中，∠A＝30°，
∴ME ＝AE ＝×6＝3．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∴∠ADB ＝＝75°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠ADB＝75°．
∴∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
∴△MEB是等腰直角三角形．
∴BE ＝ME ＝．
（2）证法一：延长AB至H点，使得BH＝AB，连接FH．
∵G点为AF中点，B点为AH中点
∴FH＝2BG．
∵∠HBC+∠ABC＝180°，∠EBF+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠EBF．
∴∠HBC+∠CBF＝∠EBF+∠CBF，
即∠HBF＝∠CBE．
在△HBF和△CBE中
∴△HBF≌△CBE（SAS）．
∴CE＝HF．
∴CE＝2BG．
证法二：
G
D
A
C
F
E
H
B
证法三：
4.在菱形ABCD 中,∠C=60°,E 为CD 边上的点,连接BE.
(1)如图1,若E 为CD 的中点且BE=3,求菱形ABCD 的面积;
(2)如图2,点F 在BC 边且DE=CF,连接DF 交BE 于点M,连接EB 并延长至点N,使得BN=DM,求证:AN=DM+BM
B
D C
A
E
E
M
D
C
A
B
N
F
图1 图2
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ， ∵∠C ＝60°，
∴△BCD 是等边三角形， ∵DE ＝EC ， ∴BE ⊥CD ， ∴EC ＝
，
∴CD ＝2EC ＝2
，
∴菱形ABCD 的面积＝CD •BE ＝6
．
（2）证法一：如图2中，连接AM ，在MA 上截取MH ＝MD ，连接DH ．
∵DE ＝CF ．∠BDE ＝∠C ，BD ＝CD ，
∴△BDE ≌△DCF ， ∴∠DBE ＝∠CDF ，
∴∠MBF ＝∠DBM +∠BDM ＝∠CDF +∠BDM ＝60°， ∴∠DMB ＝120°， ∵∠DAB +∠DMB ＝180°， ∴∠ADM +∠ABM ＝180°， ∵∠ABN +∠ABM ＝180°， ∴∠ABN ＝∠ADM ，
∵AB ＝AD ，BN ＝DM ， ∴△ABN ≌△ADM ，
∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，
∴∠MAN＝∠DAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMB＝∠AMD＝60°，
∵MH＝MD，
∴△DMN是等边三角形，
∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，∴∠ADH＝∠BDM，
∵AD＝DB，DH＝DM．
∴△ADH≌△BDM，
∴AH＝BM，
∵AM＝AH+HM，
∴AN＝AM＝DM+BM．
证法二：。
